二自由度系統(tǒng)振動1課件

第三章

二自由度系統(tǒng)振動振動與噪聲控制實驗室(1)概論大量振動系統(tǒng)需要簡化成多自由度系統(tǒng)才能反映實際問題的物理本質(zhì)。舉例：汽車的單自由度、二自由度、四自由度、七自由度模型與單自由度系統(tǒng)比較，多自由度系統(tǒng)具有一些本質(zhì)上的新概念，需要新的分析方法。二自由度系統(tǒng)是多自由度系統(tǒng)最簡單的特例。從二自由度系統(tǒng)到多自由度系統(tǒng)，主要是量的擴充，在問題的表述、求解方法、振動性態(tài)上沒有本質(zhì)區(qū)別。數(shù)學工具：線性代數(shù)、矩陣理論車輛懸架車輛懸架結(jié)構(gòu)簡圖1、二自由度系統(tǒng)運動微分方程的矩陣表示形式；2、系統(tǒng)動能、勢能和能量耗散函數(shù)的矩陣表示形式；3、運動微分方程的耦合問題。

本節(jié)講三個問題：

二自由度系統(tǒng)簡圖

下面是一個典型的二自由度彈簧阻尼質(zhì)量系統(tǒng)簡圖

在多自由度系統(tǒng)振動理論中，廣泛使用矩陣記號(寫為矩陣形式)其中定義質(zhì)量矩陣阻尼矩陣剛度矩陣矩陣形式的改寫位移向量；速度向量；加速度向量；激勵向量；矩陣形式的運動微分方程定義：運動微分方程的矩陣形式和單自由度微分方程的關(guān)系單自由度系統(tǒng)如果將看作一維矩陣，看作一維向量，則單自由度和多自由度微分方程具有相同的形式。系統(tǒng)勢能的矩陣表達形式剛度矩陣的二次型系統(tǒng)能量耗散函數(shù)的矩陣表達形式阻尼矩陣的二次型通過對以上三個函數(shù)求偏導數(shù)，可以分別求出三個矩陣的各個元素

多自由度系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣，剛度矩陣和阻尼矩陣是對稱矩陣質(zhì)量，剛度和阻尼矩陣的確定（二階混合偏導數(shù)在什么條件下與求導次序無關(guān)？）由于能量為標量，對于任意的,，

質(zhì)量矩陣一定是正定的；剛度矩陣和阻尼矩陣是半正定的質(zhì)量，剛度和阻尼矩陣的性質(zhì)三、運動微分方程的耦合問題

由于的存在，使得兩個質(zhì)量的振動相互影響,使剛度矩陣和阻尼矩陣成為非對角矩陣，微分方程存在耦合耦合的分類如果質(zhì)量矩陣是非對角矩陣，稱方程存在慣性耦合如果剛度矩陣是非對角矩陣，稱方程存在彈性耦合如果阻尼矩陣是非對角矩陣，稱方程存在阻尼耦合

解耦如何消除方程的耦合是（手工）求解多自由度系統(tǒng)運動微分方程的關(guān)鍵，從數(shù)學上講，就是使三個矩陣同時成為對角矩陣。

不同坐標系下的運動微分方程

下面通過實例說明：方程是否存在耦合以及存在什么類型的耦合取決于所取的描述系統(tǒng)的廣義坐標，并不是系統(tǒng)本身的性質(zhì)。

汽車的二自由度振動模型汽車板簧以上部分被簡化為一剛性桿，質(zhì)心C，質(zhì)量m。繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動慣量Ic

，k1,k2為前后板簧剛度，忽略了減振器阻尼和干摩擦等其他形式的阻尼，不計板簧以下部分的質(zhì)量和剛度。不同廣義坐標下的運動微分方程。⑴、，

勢能由于則系統(tǒng)的動能系統(tǒng)的勢能運動微分方程耦合情況當時，存在彈性耦合若，則剛度矩陣成為對角矩陣，方程已經(jīng)解耦，變?yōu)閮蓚€彼此獨立的單自由度方程，和獨立微分方程取廣義坐標為則yC和θ可以表示為：變換矩陣動能和勢能的表達式當時，方程存在慣性耦合，當，A點和B點振動相互獨立，對于汽車來說，就是前懸和后懸振動相互獨立。在汽車理論中，定義為質(zhì)量分配系數(shù)當時，汽車前懸和后懸振動相互獨立，可以分別討論它們的振動。耦合情況結(jié)論結(jié)論：耦合的方式（彈性耦合還是慣性耦合）是依選取的坐標而定的，而坐標選取是研究者的主觀抉擇，并非系統(tǒng)的本質(zhì)特性。從這個意義上講，這里我們應該說“坐標的耦合方式”或“運動方程的耦合方式”，而不應該說“系統(tǒng)的耦合方式”。

廣義坐標和的變換關(guān)系為由于勢能和廣義坐標選取無關(guān)：從而：

不同廣義坐標系下的質(zhì)量、剛度、阻尼矩陣的關(guān)系不同廣義坐標系下的質(zhì)量、剛度、阻尼矩陣的關(guān)系結(jié)論：從上例我們看到，系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣（當然也包括阻尼矩陣）的具體形式與所選取的廣義坐標有關(guān)，合適的廣義坐標能夠解除方程的耦合，由于不同廣義坐標之間存在著變換關(guān)系，所以，方程解耦的就歸結(jié)為尋找一個合適的變換矩陣，使變換后的系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣同時成為對角矩陣。

線性代數(shù)知識的復習特征值與特征向量矩陣的相似實對稱矩陣的性質(zhì)特征值與特征向量設是n階矩陣，如果存在數(shù)和非零向量，使得則稱為A的特征值，X為A的對應于的特征向量

矩陣的相似設A，B是兩個n階矩陣，如果存在n階矩陣P，使得：B=P-1AP，則稱，A相似于B，P稱為A到B的相似變換矩陣。相似矩陣具有相同的特征值實對稱矩陣的特征值和特征向量實對稱矩