向量的概念與運(yùn)算

向量的概念與運(yùn)算

一、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

二、高考考點(diǎn)

1、對(duì)于向量的概念，高考的考點(diǎn)主要是兩向量平行（即共線）

的判定以及兩向量共線的基本定理的運(yùn)用，多以選擇題或填空題的形

式出現(xiàn)。

2、對(duì)于向量的運(yùn)算，向量的數(shù)量積及其運(yùn)算是向量的核心內(nèi)容,

對(duì)此，高考的考點(diǎn)主要是：

（1）向量的加法、減法的兒何意義與坐標(biāo)表示的應(yīng)用；

（2）向量共線的充要條件的應(yīng)用；（3）向量垂直的充要條件

的應(yīng)用；（4）向量的夾角的計(jì)算與應(yīng)用；

（5）向量的模的計(jì)算，關(guān)于向量的模的等式的變形與轉(zhuǎn)化，關(guān)

于向量的模的不等式的認(rèn)知與轉(zhuǎn)化。

3、線段的定比分點(diǎn)線或平移問(wèn)題。

4、以向量為載體的三角求值或圖象變換問(wèn)題，以向量為載體的

函數(shù)或解析幾何問(wèn)題（多以解答題的形式出現(xiàn)）。

三、知識(shí)要點(diǎn)

（一）向量的概念

1、定義（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量。

（2）向量的模：向量藕的大?。撮L(zhǎng)度）叫做向量藤的模,

記作|AB|o

特例：長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，記作6;長(zhǎng)度為1的向量

叫做單位向量.

（3）平行向量（共線向量）：

一般定義：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也

叫做共線向量.特殊規(guī)定：6與任一向量平行(即共線).

(4)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量。零

向量與零向量相等。認(rèn)知：向量的平移具有“保值性”。

2、向量的坐標(biāo)表示

(1)定義：在直角坐標(biāo)系內(nèi)，分別取與x軸、y軸正方向相同

的兩個(gè)單位向量；＞J作為基底，任作一個(gè)向量1，則由平面向量基

本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x,y使得［=［+?,將有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)

叫做向量I的坐標(biāo)，記作；=屋，y),并將2=(x,y)叫做向量］

的坐標(biāo)表示。

(2)認(rèn)知：相等的向量，其坐標(biāo)也相同，反之成立。

(二)向量的運(yùn)算

1、向量的加法2、向量的減法

3、實(shí)數(shù)與向量的積

(1)定義(2)實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律：

(3)平面向量的基本定理：

如果［'最是同一面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)

的任一向量)，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)41,42使1及5+%￡，這兩個(gè)

不共線的向量盛最叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。

(4)向量共線的充要條件：

(i)向量E與非零向量I共線=有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)4使最后

(ii)設(shè)a=(Xi，yi),b=(X2，y2)^*0，則：^11b(b*0)=0

4、向量的數(shù)量積(內(nèi)積)

(1)定義：(i)向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量I和B,

作而二，通=B,則NAOB=e(oowevi80。)叫做向量I與6的夾角。

(ii)設(shè)兩個(gè)非零向量1和B的夾角為e,則把數(shù)量?麗ess叫

做I與E的數(shù)量積(內(nèi)積)，記作獲，即麗cose.并且規(guī)

定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.

f-

一一cos9=

(2)推論設(shè)4、b都是非零向量，則(i)同網(wǎng)

f——―f——1~o"

(jj)a_Lb<=>a-b=0;(jjj)a-a=|a|=a

⑶坐標(biāo)表示⑴設(shè)非零向量：=(4為/=區(qū)死),則

**■*if

a-b='浴2+y[2，alb?x^j+yiy^O

(ii)設(shè)：=(x，y)，則向1=次2+丫2,⑷運(yùn)算律(自己總結(jié)，認(rèn)知)

四、經(jīng)典例題

例L判斷下列命題是否正確：

(1)若力區(qū)則的方向相同或相反；(2)若「而，的2則就;

(3)若魂，且I而#1的，則A、B、C、D四點(diǎn)組成的圖形為梯

形；

分析：

(1)不正確..i=0或三。時(shí)，雖有)欣但;或不能比較方向。

(2)不正確當(dāng)$=0，時(shí)，雖然對(duì)任意I,c都有

af/b,b/fc,但a與c不一定平行。

(3)不正確'彘"5"等價(jià)于''贏與無(wú)共線"，故這里的已知條

件也包含A、B、C、D四點(diǎn)共線的情形。

點(diǎn)評(píng)：判斷或證明向量的共線或垂直問(wèn)題，務(wù)必要注意有關(guān)向量

為零向量的情形，判斷失誤或解題出現(xiàn)疏露，多是零向量惹的禍。

例2.設(shè)點(diǎn)。為AABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)

(1)若疝+①+3=6,貝IJO為AABC的()

A、外心B、內(nèi)心C、垂心

D、重心

(2)若小祿=礪慶=5d前，則。為)

A、外心B、內(nèi)心C、垂心

D、重心

OP=QA+A.(—+-)(A->0)

(3)若動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足1ABi|AC|，則點(diǎn)P的軌跡一

定通過(guò)八人8(；的()

A、外心B、內(nèi)心C、垂心

D、重心

______ARXC

OP=OA+M-+上)('>0)

(4)若動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足|AB|cosB|AC|cosC,則點(diǎn)p

軌跡一定通過(guò)△ABC的()

A、外心B、內(nèi)心C、垂心

D、重心

分析:

(1)借助向量加法分析已知條件：

以無(wú)、反為鄰邊作平行四邊形0BDC,并設(shè)0DCBC=E,則由平

行四邊形性質(zhì)知，E為BC和0D中點(diǎn)。

0D=OB+0C①j=[^OB+0C=-0A②

...由①、②得°D=-OA

.,.A、O、E、D、四點(diǎn)共線③且畫(huà)=1兩=2國(guó)=|兩④

于是由③、④知。為△ABC的重心，應(yīng)選D

（2）山OAOB=^OC<^>OB（OA-OC）=Q

Q瓜瓦=O=0B_LAC

同理可得OA，BC,OC_LAB于是可知，0為AABC的垂心，應(yīng)

選C

顯女=良（竺+竺）普=，1-

（3）由已知得|AB||AC|①令A(yù)B|,則q是

令氤T",則最是Q上的單位向量。.?.由

AB上的單位向量,

G徂.屁=九4+￡）②

令A(yù)Q=e1+e?，則點(diǎn)Q在角A的平分線上③又由②知的

點(diǎn)與顛共線且同向（或點(diǎn)=6）

動(dòng)點(diǎn)P在角A的平分線上.?.點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC的內(nèi)

心，應(yīng)選B。

(4)注意到I而IcosB的幾何意義,

,_JC

|AB|cosB|AC|cosC

昌底+告會(huì)二畫(huà)+國(guó)X

|AB|cosB|AC|cosCcosBcosC二0

1_AC

AP=A.(

又由已知的得:|AB|cosB|AC|cosAPBC=0

AP±BC

動(dòng)點(diǎn)P在BC邊的高線上動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC的

垂心，應(yīng)選c。

點(diǎn)評(píng)：品味各小題，從中參悟解題思路以及三角形的各心的向量

特征。

例3：

(1)|a-bHa|+|b|(b^O)成立的充分必要條件為()

Aa=A,b(A.>0)Ba=A.b(A.<0)Qa=-A,b(A.>0)p

a=A,b(A.<0)

(2)已知A、B、C三點(diǎn)共線，0為該直線外一點(diǎn)，設(shè)

OA=a,OB=b,OC=c且存在實(shí)數(shù)m使ma-3E+c=于則點(diǎn)A分工所

成的比為()一

JJ

A、-3B、2C、3

D、-2

分析：(1)注意到不等式內(nèi)一“國(guó)力+⑻，當(dāng)且僅當(dāng)1.b反

向或1、b中至少有一個(gè)為6時(shí)等號(hào)成立，

.?.由|I<I=|2|+|E|得.b反向或2=6由此否定A、B、C,本

題應(yīng)選D

(2)注意到條件的復(fù)雜以及已知式變形方向。

的迷茫，故考慮從“目標(biāo)”分析切入，主動(dòng)去溝通“已知”，

設(shè)=則①-無(wú)=電-笈)(刻意變形，靠攏已知)

f1f1f

**-**.c=(l+—)a——b

,a-b=A.(c-a)AA.(目標(biāo)的延伸)①

又由已知得:c=-ma+3b(已知的變形或延伸)②

-1=33

.??根據(jù)兩向量相等的條件由①、②得：女于是可

,1=_1

知，點(diǎn)A分BC所成的比3,應(yīng)選A

點(diǎn)評(píng)：

(i)(1)對(duì)任意向量Z、Z都有1回-花||山-"國(guó)a|+|B|,其

中，當(dāng)且僅當(dāng)B同向或耳中至少有一個(gè)為6時(shí)左邊的等號(hào)成立；

當(dāng)且僅當(dāng)嚏“反向或耳中至少有一個(gè)為6時(shí)右邊的等號(hào)成立；當(dāng)且

僅當(dāng)月中至少有一個(gè)為d時(shí)，左右兩等號(hào)同時(shí)成立。

(ii)對(duì)于(2),“已知”與“目標(biāo)”相互靠擾，只是切入點(diǎn)

是從“已知”切入還是從“目標(biāo)”切入，需要仔細(xì)分析。

例4：設(shè)；、J分別是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)x軸、y軸正方向上的

兩個(gè)單位向量，在同一條直線上有A、B、C三點(diǎn)，

0A=-2i+mj,OB=m+j,0C=5i-j,若OAJLOB,求實(shí)數(shù)巾、n的值。

解：由題設(shè)知疝=(-2,m),而=(n,l),氏=(5,-1)

AB=(n+2,l-m),AC=(7,-l-m)

庭與衣共線

：.7(1-m)=(n+2)(-1-m)<=>7(m-1)=(n+2)(m+1)①

又。A_LOB=-2n+m=0=m=2n②

:②代入①得：

7(2n-l)=(n+2)(2n+l)=(n-3)(2n-3)=0

3

Qn=—或n=3

3

n=一

當(dāng)2時(shí)代入②得：m=3當(dāng)n=3時(shí)代入②得：m=6

3

n=一

m=6,n=3或m=3,2

點(diǎn)評(píng)：不失時(shí)機(jī)地利用向量的坐標(biāo)表示，是解題的基本技巧。

例5.設(shè)加=3)凝=(12),玩1甌Q麗試求滿(mǎn)足：

而+51=就向量魂坐標(biāo)(這里o為原點(diǎn))

分析：注意到團(tuán)的坐標(biāo)即點(diǎn)D的坐標(biāo)，可從設(shè)畫(huà)=(x,y)坐標(biāo),

由(x,y)切入，去建立關(guān)于x,y的方程組。

解：設(shè)麗=&y),則點(diǎn)D坐標(biāo)為(x,y)則由已知條件

OD+OA=OC得：

0C=(x+3,y+l)

BC=0C-0B=(x+4,y-l)

由玩_L畫(huà)導(dǎo)：—(x+3)+2(y+l)=00x-2y+l=0(D

由血/方得：x+4=3(y-l)Qx-3y+7=0②

卜=11_?

于是將①、②聯(lián)立，解得：iy=6所求而=(ii,6)

點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)向量坐標(biāo)的概念，向量的垂直與向量的平行的充

要條件的綜合應(yīng)用，借此練習(xí)，可進(jìn)一步認(rèn)識(shí)與把握關(guān)于向量的概念

與公式。

例6.設(shè)向量1烹2滿(mǎn)足I+U+三6

(1)若同=3,胸=5啟=7,求I與B的夾角；_

(2)若扃=3,6|=1,1=4,求鼠"+'；+展；的值。

-a-bab

--COS0=-qr^-=---

解：(1)設(shè)a與b的夾角為6,則|a||b|15①

?；a+b+c=6

a+B=-c(為追求a￡而變形)

.lol24.IW2k篇2,由已知得a￡=?

|a|+網(wǎng)+2ab=|c|2②

一?cos9=—

于是由②代入①得：2注意到ee[0,k],可得結(jié)

e=-

果3

(2)解法(著眼于對(duì)之工等各個(gè)擊破)一方面由已知得：

|aj+fi=fi③

又+|a+b|=|c|④-由③、④得向+q=庖+的

⑤

注意到向+B匿百麗，當(dāng)且僅當(dāng)I,b同向或I,b中至少

有一個(gè)為6時(shí)等號(hào)成立

由⑤得I與E同向另一方面，又由知，；與;反

向

I與'的夾角為0°,'與2的夾角為180。，c與I的夾角

為180°

.式=|a||b|cos0°+|b||c|cos1800+1c||a|cos180°

=3X1-1X4-3X4=-13

解法二(著眼于尋求目標(biāo)與已知的整體聯(lián)系)：

v(a+b+c)2=|a|2+|b|2+|c|2+2(ab+bc+ca)

二.由已知條件得0=9+l+16+2(ab+bc+ca)

—f——ff

ab4-b-c+c-a=-13

解法三(從尋求目標(biāo)局部的值切入)：

——―"?"ff——f——-?■

=-[(ab+bc)4-(b-c+c-a)+(c-a+a-b)]

原式2

又ab+bc=b(a+c)=b-(-b)=-|b|2=-1

同理，bc+ca=-|c|2=-16

b=府=_9二原式==-13

點(diǎn)評(píng)：解法二與解法三，均著眼于整體代入，解題過(guò)程簡(jiǎn)明，比

解法一有明顯優(yōu)勢(shì)。但是，解法一中對(duì)已知數(shù)值的利用，卻對(duì)今后的

條件求值有著不可替代的潛在作用，條件求值中對(duì)已知數(shù)據(jù)的應(yīng)用主

要有以下三個(gè)方面：

(1)利用數(shù)值本身(代入)；

(2)分別利用數(shù)值的絕對(duì)值和符號(hào);

(3)利用有關(guān)數(shù)值的關(guān)系溝通有關(guān)元素間的聯(lián)系(比如，由3+1=4,

32+42=52溝通聯(lián)系等)。

例7.已知匕=?^+月=(-24,2)工_1±迫七的夾角為120°,且

b；=A|a|=2V2，試求m,n及」與g的夾角。

解法一：(利用內(nèi)積的定義)，設(shè)I與E的夾角為6,

由1=(2祗2)得病=4再由-4=二[=而3cos120。=-2胸，得吊|=2

由J=(ma+nb)-c=ma?c+nb-c=|c|2=n=9①

..又由c=(ma+nE).E=m(aB)+nB『得：m(ab)=12②

—————————

再由.a-c=(ma+nb).aQa.c=m|a|4-n(ab)<=>8m4-n(ab)=0

由①，②得m=±#③

___...cos§_/_±百

將③代入②得：a￡=±2次|響2④

于是由①，③，④得所求m=±指，n-4,厚的夾角為30。或

150°

點(diǎn)評(píng)1：本題已知條件繁多，頭緒紛亂，更需要在解題時(shí)梳理思

緒。注意到所求m、n含在三m￡+nS中，故在求出慟、網(wǎng)的值之后,

以展=m；+n,的變形為主線展開(kāi)求索：

f—f——f———

變形[c=ma+nb=oc=m(ac)+n(b.c)=…

———ff——f.

變形2c=ma+nb=b.c=m(ab)4-n|b|=…

———~——

變形3c=ma+nbQac=m|a|+n(a-b)…

于是，整個(gè)解題過(guò)程既顯得有條不紊，又感覺(jué)酣暢淋漓。

解法二(利用向量的坐標(biāo))：設(shè)三區(qū),力)$=的為)，I與E的

夾角為6，

由已知得南=2..由ac=0得-2&1+2yl=0①

山E.c=4-2-?/3X+2y=4

22②

又X：+y，=8③X2+丫2?=4④

X[=0

<xi=

由①，③解得卜1=灰或⑶

x2=0x

由②，④解得卜=-2或1丫2=1

a=(0,&)或I=(-A/2,-76)b=(0,-2)或5=(4,1)

.將上述I,b坐標(biāo)分四次代入■mW+E=(-2/,2)

便解得n=-4,m=士m，6=30°或150°

點(diǎn)評(píng)2：本解法致力于求I與B的坐標(biāo)，雖然解題過(guò)程仍然曲折,

但思路明朗，更多兒分勝算。

例8設(shè)a=(l+cosasinoc),b=(l-cosp?,sinp),c=(1,0),ae(0,7i),pe(71,2TT),

0，與新夾角為a,且備-a=3求sin”的值。

a與。的夾角為％,&4

分析：此題為以向量為載體的三角求值問(wèn)題，因此，從化簡(jiǎn)】，

E的坐標(biāo)切入，向三角函數(shù)中常見(jiàn)的關(guān)系式轉(zhuǎn)化。

a=(2cos2—,sina)=2cos—(cos—,sin—)

解：2，2、22，.

b=(2sin2T，sin[3)=2sin-1(sin-^,cos-^)

ae(0,7i),pe(兀2兀)①

-ry(-v

|a|=|2cos—1=2cos—Ib1=12sin—1=2sin—

②2③

注意到這里a，c=la||c|cos為b-c=|b||c|cos?2,且q.ae[0,71]

r2a

2cos—

aca

COSavi='f2.=cos—

|a||c|ca2

2.cos—

?-.由②、③得到2④

k2B

2sin—

coSe2=-U_____2=s"

|b||c|9.B2

Zsin—

2⑤

&=—為3

于是由①、④得2由①、⑤得22

1222

壬r+n"4日兀/匹-B”a-°_7i

.再由備一備二三侍7+(三)=1

6220解得⑥

.cc-B./兀、1

sin----=sint--)=—

因此由⑥得462

點(diǎn)評(píng)：在這里，利用實(shí)數(shù)與向量的乘法的法則，將￡表為

2cos-（cossin-）,

222

將裱為2sinR（sinB,cosB）口Id

222，,從而為簡(jiǎn)化H及忖的表達(dá)式以及簡(jiǎn)化

coc^coce?的表達(dá)式奠定良好的基礎(chǔ)。

五、高考填題

（-）選擇題、

1、P是AABC所在平面上一點(diǎn)，且五質(zhì)=畝元=記位，則P

是AABC的（）

A、外心B、內(nèi)心C、重心D、垂

心

分析：

由證函=而記得函（亙晨畫(huà)=0

PBCA=0,CAIPB^IJCA_LPB

同理，AB1PC,BC±PA..點(diǎn)P為AABC的垂心，應(yīng)選D

2、已知向量a,b,=a+2b,BC=-5a+6b,CD=la-2b，則.

定共線的三點(diǎn)是（）

A.A、B、DB.A、B、CC.B、C、D

D.A、C、D

分析：利用兩向量共線的充要條件來(lái)判定，從尋找所給向量

的聯(lián)系切入

由題意得前+無(wú)=21+痛=2屈BD=2AB

^線

.A、B、D三點(diǎn)共線，應(yīng)選A

3、已知點(diǎn)A（萬(wàn)，1）,B（0,0）,C（心，0）,設(shè)NBAC的

平分線AE與BC相交于E,那么有比=運(yùn)，其中N等于（）

A>2B、2c、-3D、

1

-3

分析：從認(rèn)知目標(biāo)切入，由題設(shè)易知玩與無(wú)反向，故九<0

①

又由三角形內(nèi)角平分線定理得

現(xiàn)幽=2?|BC|_|BE|-HEC|_11|BE|_3

|EC||AC|"|CE||EC||EC|即N=3②

于是由①、②得九=-3,應(yīng)選C

4、若,W=2,；=a+bfi；1a,則向量I與F的夾角為

（）

A、30°B、60°C、120°D、150°

--cos6=:W

分析：令向量a與b的夾角為6，則Ia||b|①

又由.

得K=0<=>a(a+b)=0<^>|a|2+ab=0：,ab=-l②

COS0=——n

于是將已知與②代入①得2所得6=120°,麒

c

5、在AABC中，NC=90°,AB=(k,l),AC=(2,3),則k的值是

()o

3_3

A、5B、-5C、2D>2

分析：循著一般思路，欲求k的值，先尋找關(guān)于k的方程，可

以通過(guò)解方程獲取k的值，為此我們利用題設(shè)條件尋找等量關(guān)系切

入：

由題設(shè)知AC±BC,.ACBC=O>AC(AC-AB)=0,由此得(2

3)?(2—k,2)=0=2(2-k)+6=0

解得k=5,故應(yīng)選Ao

6、設(shè)向量a=(T，2),E=則(a*)(a+E)等于()。

A、(1,1)B、(-4,-4)C、一4D、

(-2,-2)

分析：循著向量的坐標(biāo)表示與有關(guān)公式得:

ab=(-l)x2+2x(-l)=^|,a+b=(l,l)

原式=-4(1,1)=(-4,-4),應(yīng)選B

7、已知A(3,1),B(6,1),C(4,3),D為線段BC的中

點(diǎn)，則向量記與血的夾角為()

714444

—arccos—BTs、arccos—C、arccos(--)D^-arccos(--)

A、255

分析L(特征分析法)：畫(huà)出△ABC及其中線AD,又將向量

DA平移到工5，則可見(jiàn)與月C成鈍角，而選項(xiàng)中A、B為銳角，D

為負(fù)角，故只能選C。

分析2：(直接法)：由題設(shè)D(5,2)

——ACDAY4

，一?，*..cos<AC,DA>=.—=~~=—■=——,

：.DA=(-2,-1),AC=(1,2)|AC||DA|行在5

,4、

arccosf——)

.?所求兩向量夾角應(yīng)為5)，應(yīng)選C

8、已知向量上；而=1,滿(mǎn)足對(duì)任意t￡R,扇冷靛|,則()

—ff—————f———

AaJ_eB>a±(a-e)C、e_L(a-e)D、(a+e)J_(a-e)

分析：從已知不等式的等價(jià)變形切入，去認(rèn)識(shí)所含向量I,5

的關(guān)系

由已知得6屋)22(1冢整理得t2-2(ae)t+(2a-e-l)>0

①

注意到①對(duì)任意zeR都成立。

A=4(ae)2-4(2ae-l)<0

g|j(ae-I)2<0.：a.e-l=0即a.e=1②

根據(jù)②式檢驗(yàn)選項(xiàng)，故選C

點(diǎn)評(píng)：關(guān)于向量的模的不等式，變形轉(zhuǎn)化的基本手段是不等式兩

邊平方，這是本題切入、轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。

(二)填空題

1、已知向量三(2,3),E=(x,6),且1應(yīng)則X=

分析：注意到兩向量平行的充要條件，力“Ox】y「xM=0由

已知條件得2X6-3x=0,由此解得x=4

2、已知向量眩=值12),而=(4,?氏=(-k,l°)，且A、B、C三點(diǎn)

共線，則1<=O

分析:由A、B、C三點(diǎn)共線切入，向著向量的共線轉(zhuǎn)化

???A、B、C三點(diǎn)共線

.-.向量淳、氏共線.

yBA=OA-OB=(k-4,7)BC=OC-OB=(-k-4,5)

由麗、而共線的充要條件得7(-k-4)=5(k-4),

k=--

解為3

3、已知M=2,H=4,a與B的夾角為可，以I,E為鄰邊

作平行四邊形，則此平行四邊形的兩條對(duì)角線中較短的一條的長(zhǎng)度

為0

分析：

根據(jù)向量加法與向量減法的兒何意義又知，卜+N、|a-b|分別表

示上述平行四邊形中兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度。

注意到I與E的夾角為銳角，故此平行四邊形的兩條對(duì)角線中

較短一條的長(zhǎng)度為卜―U①

Q17r

又叫=百4)2=|用+斷-2獲=4+16-2X2X4COST=12

=2君②

于是由①、②知所求為2g.

4、已知向量1=(-2,2),b=(5,k),若F+N不超過(guò)5,則k的

取值范圍為.

分析：由已知得I+"(3,k+2)若卜+可忘5,貝l」9+(k+2)

2?25.?.由此解得-6WkW2,故應(yīng)填[-6,2]

5、已知平面上三點(diǎn)A、B、C滿(mǎn)足冏=3,|BC|=4,網(wǎng)=5,

則蕊.瓦+氏a+瓦.夠的值等于。

分析：從認(rèn)知AABC切入，由32+于=52知NB=90°,

ABBC=0

.*2

.?.原式=阮.口+瓦.麗=CA（AB+BQ）=CAAC=-1熱1=-25

6、AABC的外接圓圓心為0,兩條邊上的高的交點(diǎn)為H,而=m（OA

+OB+OC）,則實(shí)數(shù)m=0

分析：由題設(shè)知，。為AABC的外心，即0是AABC的三邊

中垂線的交點(diǎn)，因此，以豆與歷為鄰邊作平行四邊形OADC,則OADC

為菱形，且應(yīng)+OC=為

：,AC±ODU*AC±（QA+OC）

.?.而+反+礪的終點(diǎn)必在AC邊的高線上①同理，質(zhì)

+至+反的終點(diǎn)在AB邊的高線上②

.??由①、②得質(zhì)+國(guó)+5的終點(diǎn)為AABC的垂心H.

OH=OA+OB+OC

點(diǎn)評(píng)：從0為AABC的外心切入，認(rèn)知向量~+蘇+1,止匕乃

求解本題的關(guān)鍵。

三、解答題

1>已知向量附=（cos。、sin。）和冏=（顯-sin^,cos。）,

且叫=萼37T

%（兀況,求cos(2+8)的值。

分析：這是以向量為載體的三角求值問(wèn)題，故首先要利用向量的

有關(guān)概念與公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化一化生為熟，進(jìn)入三角函數(shù)求值的“似曾相

識(shí)燕歸來(lái)”的境界。

解.由已知得m+n=(cos0-sin6+-x/2,cos9+sin9)

Im4-n|=-^(cos0-sin94-V2)24-(cos0+sin9)2

=也+2、歷(cos6-sin6)=2Jl+cos(0+1)

Im+n|=得cos(6+三)=工

:由題設(shè)?15IT14;25①

cos(9+—)=2cos2(—+—)-1

又428

2(6K_16

由①、②得C°S2+F~25③

5TI971

V71<9<271<一

T8④

,9Ji,4

cos(一+一)=--

于是由③、④得285

點(diǎn)評(píng)：首先運(yùn)用向量的公式化生為熟，進(jìn)而運(yùn)用“方程思想”去

,671、

cost—+一）

求解2I的值，這是求解本題所運(yùn)用的基本策略。也是解決本

類(lèi)問(wèn)題的基本思路

2、已知向量

a=(2cos^-,tan(1+^)),b=+,f(x)=ab

2242424,是否存

在實(shí)數(shù)

x￡[0,切，使f(x)+f'(x)=0(其中f'(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù))

若存在，則求出x的值；若不存在，則證明。

分析：對(duì)于這樣以平面向量為載體的問(wèn)題，首先仍是運(yùn)用

向量的知識(shí)將其轉(zhuǎn)化為熟悉的三角函數(shù)問(wèn)題。

f(x)=2cos—?A/2sin(—+—)4-tan(-4--)-tan(-~-)

解：224242