小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)方法講義40講(二)

第十一講份數(shù)法

把應(yīng)用題中的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為份數(shù)關(guān)系，并確定某一個已知數(shù)或未知數(shù)為1

份數(shù)，然后先求出這個1份數(shù)，再以1份數(shù)為基礎(chǔ)，求出所要求的未知數(shù)的解題

方法，叫做份數(shù)法。

（-）以份數(shù)法解和倍應(yīng)用題

已知兩個數(shù)的和及兩個數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，求這兩個數(shù)的應(yīng)用題叫做和倍應(yīng)用

題。

例1某林廠有楊樹和槐樹共320棵，其中楊樹的棵數(shù)是槐樹棵數(shù)的3倍%求

楊樹.、槐樹各有多少棵？（適于四年級程度）

解：把槐樹的棵數(shù)看作1份數(shù)，則楊樹的棵數(shù)就是3份數(shù)，320棵樹就是（3

+1）份數(shù)。

因此，得：

3204-（3+1）=80（棵）..............槐樹

80X3=240（棵）..............楊樹

答略。

例2甲、乙兩個煤場共存煤490噸，已知甲煤場存煤數(shù)量比乙煤場存煤數(shù)

量的4倍少10噸。甲、乙兩個煤場各存煤多少噸？（適于四年級程度）

解：題中已經(jīng)給出兩個未知數(shù)之間的倍數(shù)關(guān)系：甲煤場存煤數(shù)量比乙煤場存

煤數(shù)量的4倍少10噸。因此可將乙煤場的存煤數(shù)量看作1份數(shù)，甲煤場的存煤

數(shù)量就相當(dāng)于乙煤場存煤數(shù)量的4倍（份）數(shù)少10噸，兩個煤場所存的煤490

噸就是（1+4）份數(shù)少10噸，（490+10）噸就正好是（1+4）份數(shù)。

所以乙場存煤：

（490+10）4-（1+4）

=5004-5

=100（噸）

甲場存煤:

490-100=390（噸）

答略。

例3媽媽給了李平10.80元錢，正好可買4瓶啤酒，3瓶香檳酒。李平錯買

成3瓶啤酒，4瓶香檳酒，剩下0.60元。求每瓶啤酒、香檳酒各是多少錢？（適

于五年級程度）

解：因為李平用買一瓶啤酒的錢買了一瓶香檳酒，結(jié)果剩下0.60元，這說

明每瓶啤酒比每瓶香檳酒貴0.60元。把每瓶香檳酒的價錢看作1份數(shù)，則4瓶

啤酒、3瓶香檳酒的10.80元錢就是（4+3）份數(shù)多（0.60X4）元，（10.80-0.

60X4）元就正好是（4+3）份數(shù)。

每瓶香檳酒的價錢是：

（10.80-0.60X4）4-（4+3）

=8.4+7

=1.2（元）

每瓶啤酒的價錢是：

1.2+0.60=1.80（元）

答略。

（-）以份數(shù)法解差倍應(yīng)用題

已知兩個數(shù)的差及兩個數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，求這兩個數(shù)的應(yīng)用題叫做差倍應(yīng)用

題。

例1三灣村原有的水田比旱田多230畝，今年把35畝旱田改為水田，這樣

今年水田的畝數(shù)正好是旱田的3倍%該村原有旱田多少畝？（適于五年級程度）

解：該村原有的水田比旱田多230畝（圖11T）,今年把35畝旱田改為水

田，則今年水田比旱田多出230+35X2=300（畝）。根據(jù)今年水田的畝數(shù)正好

是旱田的3倍，以今年旱田的畝數(shù)為1份數(shù)，則水田比旱田多出的300畝就正好

是2份數(shù)（圖11-2）。

今年旱田的畝數(shù)是:

(230+35X2)4-2

=3004-2

=150（畝）

原來旱田的畝數(shù)是：

150+35=185（畝）

綜合算式：

（230+35X2）4-2+35

=3004-2+35

=150+35

=185（畝）

答略。

*例2和平小學(xué)師生步行去春游。隊伍走出10.5千米后，王東騎自行車去

追趕，經(jīng)過1.5小時追上。已知王東騎自行車的速度是師生步行速度的2.4倍。

王東和師生每小時各行多少千米？（適于五年級程度）

解：根據(jù)“追及距離+追及時間=速度差”，可求出王東騎自行車和師生步

行的速度差是10.5-M.5=7（千米/小時）。已知騎自行車的速度是步行速度的2.

4倍，可把步行速度看作是1份數(shù)，騎自行車的速度就是2.4份數(shù)，比步行速度

多2.4-1=1.4（份）。以速度差除以份數(shù)差，便可求出1份數(shù)。

10.5+1.5+（2.4-1）

=74-1.4

=5（千米/小時）....................步行的速度

5X2.4=12（千米/小時）.........................騎自行車的速度

答略。

（三）以份數(shù)法解變倍應(yīng)用題

已知兩個數(shù)量原來的倍數(shù)關(guān)系和兩個數(shù)量變化后的倍數(shù)關(guān)系，求這兩個數(shù)量

的應(yīng)用題叫做變倍應(yīng)用題。

變倍應(yīng)用題是小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題中的難點。解答這類題的關(guān)鍵是要找出倍數(shù)的

變化及相應(yīng)數(shù)量的變化，從而計算出“1”份（倍）數(shù)是多少。

*例1大、小兩輛卡車同時載貨從甲站出發(fā)，大卡車載貨的重量是小卡車的

3倍。兩車行至乙站時，大卡車增加了1400千克貨物，小卡車增加了1300千克

貨物，這時，大卡車的載貨量變成小卡車的2倍。求兩車出發(fā)時各載貨物多少千

克？（適于五年級程度）

解：出發(fā)時，大卡車載貨量是小卡車的3倍；到乙站時，小卡車增加了130

0千克貨物，要保持大卡車的載貨重量仍然是小卡車的3倍，大卡車就應(yīng)增加1

300X3千克。

把小卡車增加1300千克貨物后的重量看作1份數(shù)，大卡車增加1300X3千

克貨物后的重量就是3份數(shù)。而大卡車增加了1400千克貨物后的載貨量是2份

數(shù)，這說明3份數(shù)與2份數(shù)之間相差（1300X3-1400）千克，這是1份數(shù)，即小

卡車增加1300千克貨物后的載貨量。

1300X3-1400

=3900-1400

=2500（千克）

出發(fā)時，小卡車的載貨量是：

2500-1300=1200（千克）

出發(fā)時，大卡車的載貨量是：

1200X3=3600（千克）

答略。

*例2甲、乙兩個班組織體育活動，選出15名女生參加跳繩比賽，男生人數(shù)

是剩下女生人數(shù)的2倍；又選出45名男生參加長跑比賽，最后剩下的女生人數(shù)

是剩下男生人數(shù)的5倍。這兩個班原有女生多少人？（適于五年級程度）

解：把最后剩下的男生人數(shù)看作1份數(shù)，根據(jù)“最后剩下的女生人數(shù)是男生

人數(shù)的5倍”可知，剩下的女生人數(shù)為5份數(shù)。

根據(jù)45名男生未參加長跑比賽前“男生人數(shù)是剩下女生人數(shù)的2倍”，而

最后剩下的女生人數(shù)是5份數(shù)，可以算出參加長跑前男生人數(shù)的份數(shù)：

5X2=10（份）

因為最后剩下的男生人數(shù)是1份數(shù)，所以參加長跑的45名男生是：

10-1=9（份）

每1份的人數(shù)是：

45-7-9=5（人）

因為最后剩下的女生人數(shù)是5份數(shù)，所以最后剩下的女生人數(shù)是：

5X5=25（人）

原有女生的人數(shù)是：

25+15=40（人）

綜合算式：

454-（5X2-1）X5+15

=454-9X5+15

=25+15

=40（人）

答略。

（四）以份數(shù)法解按比例分配的應(yīng)用題

把一個數(shù)量按一定的比例分成兒個部分?jǐn)?shù)量的應(yīng)用題，叫做按比例分配的應(yīng)

用題。

例1一個工程隊分為甲、乙、丙三個組，三個組的人數(shù)分別是24人、21人、

18人?，F(xiàn)在要挖2331米長的水渠，若按人數(shù)的比例把任務(wù)分配給三個組，每…

組應(yīng)挖多少米？（適于六年級程度）

解：甲、乙、丙三個組應(yīng)挖的任務(wù)分別是24份數(shù)、21份數(shù)、18份數(shù)，求出

1份數(shù)后，用乘法便可求出各組應(yīng)挖的任務(wù)。

23314-(24+21+18)=37(米)

37X24=888（米）甲組任務(wù)

37X21=777（米）..............乙組任務(wù)

37X18=666（米）..............丙組任務(wù)

答略。

例2生產(chǎn)同一種零件，甲要8分鐘，乙要6分鐘。甲乙兩人在相同的時間內(nèi)

共同生產(chǎn)539個零件。每人各生產(chǎn)多少個零件？（適于六年級程度）

解：由題意可知，在相同的時間內(nèi)，甲、乙生產(chǎn)零件的個數(shù)與他們生產(chǎn)一個

零件所需時間成反比例。

把甲生產(chǎn)零件的個數(shù)看作1份數(shù)，那么，乙生產(chǎn)零件的個數(shù)就是：

生產(chǎn)零件的總數(shù)539個就是：

甲生產(chǎn)的個數(shù)：

乙生產(chǎn)的個數(shù)：

答略。

（五）以份數(shù)法解正比例應(yīng)用題

成正比例的量有這樣的性質(zhì)：如果兩種量成正比例，那么一種量的任意兩個

數(shù)值的比等于另一種量的兩個對應(yīng)的數(shù)值的比。

含有成正比例關(guān)系的量，并根據(jù)正比例關(guān)系的性質(zhì)列出比例式來解的應(yīng)用

題，叫做正比例應(yīng)用題。

這里是指以份數(shù)法解正比例應(yīng)用題。

例1某化肥廠4天生產(chǎn)化肥32噸。照這樣計算，生產(chǎn)256噸化肥要用多少

天？（適于六年級程度）

解：此題是工作效率一定的問題，工作量與工作時間成正比例。

以4天生產(chǎn)的32噸為1份數(shù)，256噸里含有多少個32噸，就有多少個4天。

4X（2564-32）

=4X8

=32（天）

答略。

例2每400粒大豆重80克，24000粒大豆重多少克？（適于六年級程度）

解：每400粒大豆重80克，這一數(shù)量是一定的，因此大豆的粒數(shù)與重量成

正比例。如把400粒大豆重80克看作1份數(shù)，則24000粒大豆中包含多少個40

0粒，24000粒大豆中就有多少個80克。

240004-400=60（個）

24000粒大豆的重量是：

80X60=4800（克）

綜合算式：

80X（240004-400）=4800（克）

答略。

（六）以份數(shù)法解反比例應(yīng)用題

成反比例的量有這樣的性質(zhì)：如果兩種量成反比例，那么?種量的任意兩個

數(shù)值的比，等于另一種量的兩個對應(yīng)數(shù)值的比的反比。

含有成反比例關(guān)系的量，并根據(jù)反比例關(guān)系的性質(zhì)列出比例式來解的應(yīng)用

題，叫做反比例應(yīng)用題。

這里是指以份數(shù)法解反比例應(yīng)用題。

例1有一批水果，每箱裝36千克，可裝40箱。如果每箱多裝4千克，需要

裝多少箱？（適于六年級程度）

解：題中水果的總重量不變，每箱裝的多，則裝的箱數(shù)就少，即每箱裝的重

量與裝的箱數(shù)成反比例。

如果把原來要裝的40箱看做1份數(shù)，那么現(xiàn)在需要裝的箱數(shù)就是原來要裝

箱數(shù)的：

現(xiàn)在需要裝的箱數(shù)是:

答略。

天的用煤量看做1份數(shù)，那么改進爐灶后每天的用煤量是原來每天用煤量

的：

用煤天數(shù)與每天用煤量成反比例，原來要用24天的煤，現(xiàn)在可以用的天數(shù)

是：

答略。

（七）以份數(shù)法解分?jǐn)?shù)應(yīng)用題

分?jǐn)?shù)應(yīng)用題就是指分?jǐn)?shù)的三類應(yīng)用題，即求一個數(shù)的兒分之兒是多少；求一

個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾；已知一個數(shù)的幾分之幾是多少，求這個數(shù)。

例1長征毛巾廠男職工人數(shù)比女職工人數(shù)少1/3,求女職工人數(shù)比男職工人

數(shù)多百分之兒？（適于六年級程度）

解：從題中條件可知，男職工人數(shù)相當(dāng)于女職工人數(shù)的:

如果把女職工人數(shù)看作3份，那么男職工人數(shù)就相當(dāng)于其中的2份。

所以，女職工人數(shù)比男職工人數(shù)多：

(3-2)+2=50%

答略。

那么黃旗占：

如果把21面黃旗看作1份數(shù)，總數(shù)量“1”中包含有多少個7/45,旗的總

面數(shù)就是21的多少倍。

答略。

棉花谷多少包？(適于六年級程度)

解：由題意可知，甲、乙兩個倉庫各運走了一些棉花之后，甲倉庫剩下

成8份時，甲倉庫剩下的是2份；把乙倉庫的棉花分成5份時，乙倉庫剩下

的也是2份。

但是，乙倉庫剩下的2份比甲倉庫剩下的2份多130包?？梢钥闯?，乙倉庫

的1份比甲倉庫的1份多出：

1304-2=65（包）

如果把乙倉庫原有的棉花減少5個65包，再把剩下的棉花平均分成5份，

這時乙倉庫的每一-份棉花就與甲倉庫的每一份同樣多了。

這樣，從兩倉庫棉花的總數(shù)2600包中減去5個65包，再把剩下的棉花平均

分成13份（其中甲倉庫8份，乙倉庫5份），其中的8份就是甲倉庫原有的包

數(shù)。

（2600-65X5）+（8+5）X8

=22754-13X8

=1400（包）.....................甲倉庫原有的包數(shù)

2600-1400=1200（包）.........乙倉庫原有的包數(shù)

答略。

（A）以份數(shù)法解工程問題

工程問題就是研究工作量、工作時間及工作效率之間相互關(guān)系的問題，這種

問題的工作量常用整體“1”表示。

例1一輛快車和一輛慢車同時從甲、乙兩站相對開出，經(jīng)12小時相遇。相

遇后，快車又行8小時到達乙站。相遇后慢車還要行幾小時才能到達甲站？（適

于六年級程度）

解：由“相遇后快車又行8小時到達乙站”可知，慢車行12小時的路程快

車只需行8小時。

把快車行這段路程所需的8小時看作1份數(shù)，則慢車所需的份數(shù)是:

答略。

*例2加工一批零件，甲單獨完成需要30天，乙單獨完成的時間比甲少

解：由題意可知，甲單獨完成需要30天，乙單獨完成所需天數(shù)是：

如果把乙工作的6天看作1份數(shù)，那么甲完成相同的工作量所需時間就

答略。

（九）以份數(shù)法解幾何題

*例1一個正方形被分成了大小、形狀完全一樣的三個長方形（如圖11-3）o

每個小長方形的周長都是16厘米。這個正方形的周長是多少？（適于五年級程

度）

解：在每個長方形中，長都是寬的3倍。換句話說，如果寬是1份，則長為

3份，每個長方形的周長一共可分為：

3X2+1X2=8（份）

因為每個長方形的周長為16厘米，所以每份的長是：

164-8=2（厘米）

長方形的長，也就是正方形的邊長是：

2X3=6（厘米）

正方形的周長是：

6X4=24（厘米）

答略。

*例2長方形長寬的比是7：3。如果把長減少12厘米，把寬增加16厘米，

那么這個長方形就變成了一個正方形。求原來這個長方形的面積。（適于六年級

程度）

解：根據(jù)題意，假設(shè)原來長方形的長為7份，則寬就是3分，長與寬之間相

差：

7-3=4（份）

由于長方形的長要減少12厘米，寬增加16厘米，長方形才能變成正方形，

因此原長方形長、寬之差為：

12+16=28（厘米）

看得出，4份與28厘米是相對應(yīng)的，每一份的長度是：

284-4=7（厘米）

原來長方形的長是：

7X7=49（厘米）

原來長方形的寬是：

7X3=21（厘米）

原來長方形的面積是：

49X21=1029（平方厘米）

答略。

第十二講消元法

在數(shù)學(xué)中，“元”就是方程中的未知數(shù)?！跋ā笔侵附柚ノ粗獢?shù)去解應(yīng)

用題的方法。當(dāng)題中有兩個或兩個以上的未知數(shù)時，要同時求出它們是做不到的。

這時要先消去一些未知數(shù)，使未知數(shù)減少到一個，才便于找到解題的途徑。這種

通過消去未知數(shù)的個數(shù)，使題中的數(shù)量關(guān)系達到單一化，從而先求出一個未知數(shù),

然后再將所求結(jié)果代入原題，逐步求出其他未知數(shù)的解題方法叫做消元法。

（-）以同類數(shù)量相減的方法消元

例買1張辦公桌和2把椅子共用336元；買1張辦公桌和5把椅子共用54

0元。求買1張辦公桌和1把椅子各用多少錢？（適于四年級程度）

解：這道題有兩類數(shù)量：一類是辦公桌的張數(shù)、椅子的把數(shù)，另一類是錢數(shù)。

先把題中的數(shù)量按“同事橫對、同名豎對”的原則排列成表12-1。這就是說，

同一件事中的數(shù)量橫向?qū)R，單位名稱相同的數(shù)量上下對齊。

表12-1

從表12-1第②組的數(shù)量減去第①組對應(yīng)的數(shù)量，有關(guān)辦公桌的數(shù)量便消去,

只剩下有關(guān)椅子的數(shù)量：

5-2=3（把）

3把椅子的錢數(shù)是：

540-336=204（元）

買1把椅子用錢：

2044-3=68（元）

把買1把椅子用68元這個數(shù)量代入原題，就可以求出買1張辦公桌用的錢

數(shù)是：

336-68X2

=336-136

=200（元）

答略。（二）以和、積、商、差代換某數(shù)的方法消元

解題時，可用題中某兩個數(shù)的和，或某兩個數(shù)的積、商、差代換題中的某個

數(shù)，以達到消元的目的。

1.以兩個數(shù)的和代換某數(shù)

*例甲、乙兩個書架上共有584本書，甲書架上的書比乙書架上的書少88

本。兩個書架上各有多少本書？（適于四年級程度）

解：題中的數(shù)量關(guān)系可用下面等式表示：

甲+乙=584①

甲+88=乙②

把②式代入①式（以甲與88的和代換乙），得：

甲+甲+88=584

甲X2+88=584

2甲=584-88

=496

甲=496+2

=248（本）

乙=248+88

=336（本）

答略。

2.以兩個數(shù)的積代換某數(shù)

*例3雙皮鞋和7雙布鞋共值242元，一雙皮鞋的錢數(shù)與5雙布鞋的錢數(shù)相

同。求每雙皮鞋、布鞋各值多少錢？（適于四年級程度）

解：因為1雙皮鞋與5雙布鞋的錢數(shù)相同，所以3雙皮鞋的錢數(shù)與5X3=15

（雙）布鞋的錢數(shù)一樣多。

這樣可以認為242元可以買布鞋：

15+7=22（雙）

每雙布鞋的錢數(shù)是:

2424-22=11（元）

每雙皮鞋的錢數(shù)是：

11X5=55（元）

答略。

3.以兩個數(shù)的商代換某數(shù)

*例5支鋼筆和12支圓珠筆共值48元，一支鋼筆的錢數(shù)與4支圓珠筆的錢

數(shù)一樣多。每支鋼筆、圓珠筆各值多少錢？（適于五年級程度）

解:根據(jù)“一支鋼筆的錢數(shù)與4支圓珠筆的錢數(shù)一樣多”，可用12+4=3（支）

的商把12支圓珠筆換為3支鋼筆。

現(xiàn)在可以認為，用48元可以買鋼筆：

5+3=8（支）

每支鋼筆值錢：

484-8=6（元）

每支圓珠筆值錢：

64-4=1.5（元）

答略。

4.以兩個數(shù)的差代換某數(shù)

*例甲、乙、丙三個人共有235元錢，甲比乙多80元，比丙多90元。三個

人各有多少錢？（適于五年級程度）

解：題中三個人的錢數(shù)有下面關(guān)系：

甲+乙+丙=235①

甲-乙=80②

甲-丙=90③

由②、③得:

乙二甲-80④

丙=甲-90⑤

用④、⑤分別代替①中的乙、丙，得：

甲+（甲-80）+（甲-90）=235

甲X3770=235

甲X3=235+170

=405

甲=405?3

=135（元）

乙=135-80

=55（元）

丙=135-90

=45（元）

答略。

（三）以較小數(shù)代換較大數(shù)的方法消元

在用較小數(shù)量代換較大數(shù)量時，要把較小數(shù)量比較大數(shù)量少的數(shù)量加上，做

到等量代換。

*例18名男學(xué)生和14名女學(xué)生共采集松樹籽78千克，每一名男學(xué)生比每

一名女學(xué)生少采集1千克。每一名男、女學(xué)生各采集松樹籽多少千克？（適于五

年級程度）

解：題中說“每一名男學(xué)生比每一名女學(xué)生少采集1千克”，則18名男生

比女生少采集IX18=18（千克）。假設(shè)這18名男生也是女生（以小代大），就

應(yīng)在78千克上加上18名男生少采集的18千克松樹籽。

這樣他們共采集松樹籽：

78+18=96（千克）

因為已把18名男學(xué)生代換為女學(xué)生，所以可認為共有女學(xué)生:

14+18=32（名）

每一名女學(xué)生采集松樹籽:

964-32=3（千克）

每一名男學(xué)生采集松樹籽：

3-1=2（千克）

答略。

（四）以較大數(shù)代換較小數(shù)的方法消元

在用較大數(shù)量代換較小數(shù)量時，要把較大數(shù)量比較小數(shù)量多的數(shù)量減去，做

到等量代換。

*例勝利小學(xué)買來9個同樣的籃球和5個同樣的足球，共付款432元。已知

每個足球比每個籃球貴8元，籃球、足球的單價各是多少元？（適于五年級程度）

解：假設(shè)把5個足球換為5個籃球，就可少用錢：

8X5=40（元）

這時可認為一共買來籃球：

9+5=14（個）

買14個籃球共用錢：

432-40=392（元）

籃球的單價是：

3924-14=28（元）

足球的單價是：

28+8=36（元）

答略。

（五）通過把某一組數(shù)乘以一個數(shù)消元

當(dāng)應(yīng)用題的兩組數(shù)量中沒有數(shù)值相等的兩個同類數(shù)量時，應(yīng)通過把某?組數(shù)

量乘以一個數(shù)，而使同一類數(shù)量中有兩個數(shù)值相等的數(shù)量，然后再消元。

*例2匹馬、3只羊每天共吃草38千克；8匹馬、9只羊每天共吃草134千

克。求一匹馬和一只羊每天各吃草多少千克？（適于五年級程度）

解：把題中條件摘錄下來，排列成表12-2。

表12-2

把第①組中的數(shù)量乘以3得表12-3。

表12-3

第③組的數(shù)量中，羊的只數(shù)是9只；第②組的數(shù)量中，羊的只數(shù)也是9只。

這樣便可以從第②組的數(shù)量減去第③組的數(shù)量，從而消去羊的只數(shù)，得到2匹馬

吃草20千克。

一匹馬吃草：

204-2=10（千克）

一只羊吃草：

（38-10X2）4-3

=18+3

=6（千克）

答略。

（六）通過把兩組數(shù)乘以兩個不同的數(shù)消元

當(dāng)應(yīng)用題的兩組數(shù)量中沒有數(shù)值相等的兩個同類的數(shù)量，并且不能通過把某

一組數(shù)量乘以一個數(shù)，而使同一類的數(shù)量中有兩個數(shù)值相等的數(shù)，而達到消元的

目的時，應(yīng)當(dāng)通過把兩組數(shù)量分別乘以兩個不同的數(shù)，而使同一類的數(shù)量中有兩

個數(shù)值相等的數(shù)，然后再消元。

*例1買3塊橡皮和6支鉛筆用1.68元錢，買4塊橡皮和7支鉛筆用2元

錢。求一塊橡皮和一支鉛筆的價格各是多少錢？（適于五年級程度）

解：把題中條件摘錄下來排列成表12-40

表12-4

要消去一個未知數(shù)，只把某一組數(shù)乘以一個數(shù)不行，要把兩組數(shù)分別乘以兩

個不同的數(shù)，從而使兩組數(shù)中有對應(yīng)相等的兩個同一類的數(shù)。因此，把第①組中

的各數(shù)都乘以4,把第②組中的各數(shù)都乘以3,得表12-5。

表12-5

③-④得：3支鉛筆用錢0.72元，一支鉛筆的價格是：

0.724-3=0.24（元）

一塊橡皮的價格是：

（1.68-0.24X6）4-3

=（1.68-1.44）4-3

=0.244-3

=0.08（元）

答略。

*例2有大杯和小杯若干個，它們的容量相同?，F(xiàn)在往5個大杯和3個小杯

里面放滿砂糖，共420克；又往3個大杯和5個小杯里面放滿砂糖，共380克。

求一個大杯和一個小杯分別可以放入砂糖多少克？（適于五年級程度）

解：摘錄題中條件排列成表12-6。

表12-6

把表12-6中①組各數(shù)都乘以5,②組各數(shù)都乘以3,得表12-7。

表12-7

③-④得：16大杯放砂糖960克，所以，

一個大杯里面可以放入砂糖：

9604-16=60(克)

一個小杯里面可以放入砂糖：

(420-60X5)4-3

=(420-300)4-3

=40(克)

答略。

第十三講比較法

通過對應(yīng)用題條件之間的比較，或難解題與易解題的比較，找出它們的聯(lián)系與區(qū)

別，研究產(chǎn)生聯(lián)系與區(qū)別的原因，從而發(fā)現(xiàn)解題思路的解題方法叫做比較法。

在用比較法解應(yīng)用題時，有些條件可直接比較，有些條件不能直接比較。在

條件不能直接比較時，可借助畫圖、列表等方法比較，也可適當(dāng)變換題目的陳述

方式及數(shù)量的大小，創(chuàng)造條件比較。

(-)在同一道題內(nèi)比較

在同一道題內(nèi)比較，就是在同一道題的條件與條件、數(shù)量與數(shù)量之間的比較,

不涉及其他題目。

1.直接比較

例1五年級甲班要種?些樹。如果每人種5棵，則剩下75棵；如果每人種

7棵，則缺15棵。問這個班有多少人？這批樹苗有多少棵？（適于四年級程度）

解：將兩種分配方案進行比較，就會發(fā)現(xiàn)，第二次比第一次每人多種：

7-5=2（棵）

第二次比第一次多種：

75+15=90（棵）

90棵中含有多少個2棵就是全班的人數(shù)：

904-2=45（人）

這批樹苗的棵數(shù)是：

5X45+75=300（棵）

或7X45-15=300（棵）

答略。

*例2四季茶莊購進兩批茶葉，第一批有35箱綠茶和15箱紅茶，共重292

5千克。第二批有35箱綠茶和28箱紅茶，共重3640千克。兩種茶葉每箱各重

多少千克？（適于五年級程度）

解：將前后兩批茶葉的箱數(shù)與箱數(shù)、重量與重量分別比較，可發(fā)現(xiàn)，第二批

紅茶箱數(shù)比第一批紅茶箱數(shù)多：

28-15=13（箱）

第二批紅茶比第一批紅茶多：

3640-2925=715（千克）

因此，可得每一箱紅茶重量：

7154-13=55（千克）

每箱綠茶重量:

(2925-55X15)4-35

=（2925-825）4-35

=21004-35

=60（千克）

答略。

2.畫圖比較

有些應(yīng)用題由于數(shù)量關(guān)系復(fù)雜、抽象，不便于通過直接推理、比較看出數(shù)量

關(guān)系，可借助畫圖作比較，就容易看出數(shù)量關(guān)系。

解：作圖13-1,比較已修過米數(shù)與未修過米數(shù)的關(guān)系。

可看出，這段公路一共分為（7+2）份。

答略。

3.列表比較

有些應(yīng)用題適于借助列表的方法比較條件。在用列表的方法比較條件時，要

把題中的條件摘錄下來，盡量按“同事橫對，同名豎對”的格式排列成表。這就

是說，要盡量使同一件事情的數(shù)量橫著對齊，使單位名稱相同的數(shù)量豎著對齊。

例趙明準(zhǔn)備買2千克蘋果和3千克梨，共帶6.8元錢。到水果店后，他買

了3千克蘋果和2千克梨，結(jié)果缺了0.4元錢。求每千克蘋果、梨各多少元錢？

（適于五年級程度）

解：摘錄已知條件排列成表13-1。

表13-1

比較9、②兩組數(shù)量會看出：由于多買了1千克蘋果，少買了1千克梨，才

缺了0.4元。

可見1千克蘋果比1千克梨貴0.4元。

從買2千克蘋果、3千克梨的6.8元中去掉買2千克蘋果多用的錢，便可以

把買2千克蘋果當(dāng)成買2千克梨，則一共買梨（2+3）千克，用錢：

6.8-0.4X2=6（元）

每千克梨的價錢是：

64-（2+3）=1.2（兀）

每千克蘋果的價錢是：

1.2+0.4=1.6（元）

答略。（二）和容易解的題比較

當(dāng)一道應(yīng)用題比較復(fù)雜時，可先回憶過去是不是學(xué)過類似的、較容易解的題,

回憶起來后，可進行比較，找出聯(lián)系，從而找到解題途徑。

1.與常見題比較

例4名騎兵輪流騎3匹馬，行8千米遠的路程，每人騎馬行的路程相等。

求每人騎馬行的路程是多少？（適于四年級程度）

小學(xué)生對這類題不易理解，如與下面的常見題作比較就容易理解了。

有3籃蘋果，每籃8個，平均分給4人，每人得兒個？

把這兩道題中的條件都摘錄下來，一一對應(yīng)地排列起來：

3匹馬..................3籃蘋果

每匹馬都行8千米.......每籃都裝8個蘋果

4人騎馬行的路程相等……4人得到的蘋果一樣多

解答“蘋果”這道題的方法是：

8X3+4

通過這樣的比較，自然會想出解題的方法。

解:8X34-4=6（千米）

答：每人騎馬行的路程是6千米。

2.與基本題比較

例甲、乙兩地相距10.5千米，某人從甲地到乙地每小時走5千米，從乙地

到甲地每小時走3千米。求他往返于甲、乙兩地的平均速度。（適于五年級程度）

在解答此題時，有的同學(xué)可能這樣解：（5+3）4-2=4（千米）。這是錯誤的。

把上題與下面的題作比較，就會發(fā)現(xiàn)問題。

甲、乙兩地相距12千米，某人從甲地到乙地走了4小時，他每小時平均走

多少千米？

解此題的方法是：12+4=3（千米）。這是總路程4?總的時間=平均速度。

前面的解法不符合“總路程+總時間=平均速度”這個公式，所以是錯誤的。

解：本題的總路程是：

10.5X2

總時間是:

10.54-5+10.54-3

所以他往返的平均速度是：

10.5X24-（10.54-5+10.54-3）=3.75（千米/小時）

答略。

3.把逆向題與順向題比較

例王明與李平共有糖若干塊。王明的糖比李平的糖多

題，不易找出解題方法。

把這道題與類似的一道順向思維的題比較一下，就可得出解題方法。

答略。

（三）創(chuàng)造條件比較

對那些不能以題中現(xiàn)有條件與相關(guān)條件進行比較的應(yīng)用題，應(yīng)適當(dāng)變換條

件，創(chuàng)造可以比較的條件，再進行比較。

*例1學(xué)校食堂第一次買來2袋大米和3袋面粉，共275千克；第二次買來

5袋大米和4袋面粉，共600千克。求1袋大米和1袋面粉各重多少千克？（適

于五年級程度）解：摘錄題中條件，列成表13-2。

表13-2

從表13-2中的條件看，題中條件不能直接比較。此時要創(chuàng)造條件比較。

因為大米袋數(shù)2和5的最小公倍數(shù)是10,所以把第一次買來的袋數(shù)2乘以5

（把面粉的袋數(shù)3,重量275也要乘以5）,把第二次買來的袋數(shù)乘以2（把面

粉的袋數(shù)4,重量600也要乘以2）,得表13-3。

此時題中條件便可以比較了。

表13-3

看表13-3,把兩次買來糧食的數(shù)量比較一下，大米的袋數(shù)相同，面粉第一

次比第二次多買：

15-8=7（袋）

因此，第一次買的糧食比第二次多：

1375-1200=175（千克）

每袋面粉重：

1754-7=25（千克）

每袋大米重：

（275-25X3）4-2

=（275-75）4-2

=100（千克）

答略。

*例21支鉛筆、2塊橡皮、3把卷筆刀共值2.35元；2支鉛筆、3塊橡皮、

4把卷筆刀共值3.30元；3支鉛筆、3塊橡皮、5把卷筆刀共值4.05元。求1

支鉛筆、1塊橡皮、1把卷筆刀各值多少錢？（適于五年級程度）

解：摘錄題中條件排列成表13-4o

表13-4

從表13-4看，題中條件不能直接比較。因此，要創(chuàng)造條件比較。

因為橡皮的塊數(shù)2、3、3的最小公倍數(shù)是6,所以①X3,②義2,③X2,

得表13-5。此時題中條件便可以比較了。

表13-5

⑥-⑤，得：

2支鉛筆價錢+2把卷筆刀價錢=1.5（元），即,

1支鉛筆價錢+1把卷筆刀價錢=0.75（元）...................⑦

⑥-④，得：

3支鉛筆價錢+1把卷筆刀價錢=1.05（元）...................⑧

⑧-⑦，得：

2支鉛筆價錢=0.30（元）

1支鉛筆價錢=0.15（元）

把1支鉛筆價錢0.15元代入⑦，得出1把卷筆刀的價錢是:

0.75-0.15=0.60（元）

根據(jù)①可求出一塊橡皮的價錢數(shù)：

（2.35-0.15-0.6X3）4-2

=0.44-2

=0.2（元）

答略。

*例3甲、乙兩人共需做140個零件，甲做了自己任務(wù)的80%,乙做了自己

任務(wù)的75%,這時甲、乙共剩下32個零件未完成。求甲、乙兩人各需做多少個

零件？（適于六年級程度）

解：已知“甲做了自己任務(wù)的80%,乙做了自己任務(wù)的75%”后共剩下32

個零件，甲、乙兩人所做零件個數(shù)不相等，因此，甲所做零件的80%與乙所做

零件的75%不可直接比較。此時就要創(chuàng)造條件比較了。

已知甲做自己任務(wù)的80%,假設(shè)乙也做自己任務(wù)的80%,那么甲乙就共剩

下零件：

140X（1-80%）=28（個）

這比原來已知的“甲、乙共剩下32個零件”少：

32-28=4（個）

這4個所對應(yīng)的分率是：

80%-75%=5%

所以，乙需做的零件是：

4?5%=80（個）

甲需做的零件是：

140-80=60（個）

答略。

第十四講演示法

對于那些不容易理解和分析數(shù)量關(guān)系的應(yīng)用題，利用身邊現(xiàn)成的東西，如鉛

筆、橡皮、小刀、文具盒等，進行演示，使應(yīng)用題的內(nèi)容形象化，數(shù)量關(guān)系具體

化，這種解題的方法叫做演示法。

例1一根繩子正好圍成一個邊長為5分米的正方形。如果用它圍成長是8

分米的長方形，問其寬應(yīng)當(dāng)是多少分米？（適于三年級程度）

解：對這道題一般同學(xué)都會用這樣的方法解答：

5X44-2-8=2（分米）

然而這并不是最簡捷的解法，要用更簡捷的解法，我們可以做下面的試驗：

AD

圖14-1

（1）用一根細鐵絲圍成一個邊長是5分米的正方形（圖14T）。

（2）把正方形的細鐵絲從C點斷開。

這時ABC部分、CDA部分都是正方形邊長的2倍。

（3）把ABC那部分（或CDA部分）拉直，折出8分米長的一段與另一段成

90°

的角（圖14-2）。此時會看到8分米長的這一段是長方形的長，與8分米

長的邊成直角的那一段是長方形的寬。

8分木

圖14-2

到此，很容易得出，求長方形的寬也可以用下面的方法:

5X2-8=2（分米）

答略。

*例2有一列火車，長120米，以每小時18千米的速度通過一座長150米

的隧道。求從火車頭進隧道到火車尾部離開隧道共需要多長時間？（適于五年級

程度）

解：求火車過隧道的時間，必須知道過隧道的速度和所行的路程。速度已知,

因此，解此題的關(guān)鍵是求出火車頭從進隧道到火車尾部離開隧道所行的路程。

為弄清這個問題，我們做下面的演示。

用文具盒當(dāng)隧道，用鉛筆當(dāng)火車。

E14-3

用圖14-3表示火車剛剛要進隧道時的情景，用圖14-4表示火車車尾正好離

開隧道時的情景。

從圖14-4可看出：火車從車頭進隧道，到車尾離開隧

道，所行的路程等于隧道長與車身長之和。

到此，便可求出火車頭從進隧道到車尾離開隧道所用的時間。

分步列式計算：

（1）火車每秒行：

1000X184-3600=5（米）

（2）火車通過隧道共行的米數(shù)：

150+120=270（米）

（3）火車通過隧道需時間是:

270+5=54（秒）

綜合算式：

（150+120）4-（1000X184-3600）

=2704-5

=54（秒）

答略。

*例3兄弟二人早晨五點鐘各推一車菜，同時從家里出發(fā)去集市。哥哥每分

鐘走100米，弟弟每分鐘走60米。哥哥到達集市后5分鐘卸完菜，立即返回，

途中遇到弟弟，這時是5點55分。問集市離他們家有多遠？（適于五年級程度）

解：本題可用橡皮、瓶蓋分別代表“家”與“集市”，放在桌面的兩端，用

兩支鉛筆代表兄弟二人實際走一走。如（圖14-5）。

兄.........................》

家。--------------------------O集市

弟--------------------木....

圖14-5

圖14-5實線表示弟弟走的路程，虛線表示哥哥走的路程。從演示中可以看

出兄弟二人共走的路程是從家到集市路程的2倍。

因此，只要求出兄弟二人共走了多少路，就可求出家到集市的路程。

[60X55+100X（55-5）]+2

=[3300+5000]4-2

=4150（米）

答略。

*例4一個5分米高的圓柱體，它的側(cè)面積是62.8平方分米，求圓柱體的

體積。（適于六年級程度）

解：要求圓柱體的體積就要知道圓柱底面圓的半徑是多少。從表面看，題中

沒有告訴圓柱底面圓的半徑是多少，這可怎么辦呢？做了下面的演示，問題就得

到解決了。

用一?張長方形的紙卷成一個圓柱形，再把圓柱形展開，展開后看到圓柱形的

側(cè)面是個長方形。長方形的寬就是圓柱的高，長方形的長就是圓柱底面圓的周長。

知道了圓柱底面圓的周長，就能算出圓柱體底面圓的半徑。

（1）圓柱體底面圓的周長是：

62.84-5=12.56（分米）

（2）圓柱體底面圓的半徑是：

12.564-3.144-2=2（分米）

（3）圓柱體的體積是：

3.14X2X2X5=62.8（立方分米）

答略。

*例5從三點鐘到四點鐘之間，鐘面上時針和分針什么時刻會重合？什么時

刻成一直線？（適于高年級程度）

解：此題很抽象，可用有活動指針的時鐘教具做演示來理解題中的數(shù)量關(guān)系。

圖14-6

看圖14-6,因為鐘的指針是順時針方向轉(zhuǎn)動的，所以在3點鐘時，時針在

分針前面。要使兩針重合，分針就要追上時針。

我們把分針轉(zhuǎn)動一圈，即分針走60小格，時針才走5個小格，因此，在

相同的呻可內(nèi)，啪便動的距離（即I長）是分針的、cap5-?o-l）.

分針比時計筵的距處分班期1針.輛利ft】曉微距同分

強分科初.吉）格的距離.要選上15ft的距霽,要用多長時何憲？

15（格）*（l-l）（ft）=162（分）

V.在3點16^分tf時分鐘迨上時If,分針與時針重合.

分針要與時針成一條直線，分針不僅要追上時針15格的距離，還要超過30

格的距離，總計要“追”（15+30）格的距離?！白贰保?5+30）格的路程要用多

長時間呢？

（15+30）*（1-1）=4*（分）

即，在3點4桔分仲時分鐘與

時針成一條直線。

答略。

*例6一列快車全長151米，每秒鐘行15米，一列慢車全長254米，每秒

鐘行12米。兩車相對而行，從相遇到離開要用兒秒鐘？（適于五年級程度）

解：要求兩車從相遇到離開要用幾秒鐘，必須知道兩車從相遇到離開走多長

的路程。

為弄清這個問題，我們做下面的演示：

用一支鉛筆作慢車，用另一支鉛筆作快車。先