概率論7期望方差中心極限課件

r.v.的平均取值——數(shù)學(xué)期望

r.v.取值平均偏離均值的情況—描述兩r.v.間的某種關(guān)系的數(shù)

——協(xié)方差與本章內(nèi)容隨機(jī)變量某一方面的概率特性都可用數(shù)字來描寫分布函數(shù)能完整地描述r.v.的統(tǒng)計(jì)特性,但實(shí)際應(yīng)用中并不都需要知道分布函數(shù),而只需知道r.v.的某些特征.如:判斷棉花質(zhì)量時,既看纖維的平均長度,又要看纖維長度與平均長度的偏離程度。平均長度越長,偏離程度越小,質(zhì)量就越好;考察一射手的水平,既要看平均環(huán)數(shù)是否高,還要看他彈著點(diǎn)的范圍是否小,即數(shù)據(jù)的波動是否小.可見,與r.v.有關(guān)的某些數(shù)值,雖不能完整地描述r.v.,但能清晰地描述r.v.在某些方面的重要特征,這些數(shù)字特征在理論和實(shí)踐上都具有重要意義.4.1隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望例1某一班級有N個學(xué)生,進(jìn)行數(shù)學(xué)期終考試,成績統(tǒng)計(jì)如下:求全班數(shù)學(xué)的平均成績.(其中N1+N2+…+Nk=N)一、數(shù)學(xué)期望的定義1.離散型r.v.數(shù)學(xué)期望的定義解設(shè)X為獲獎的數(shù)值,則X的分布律為例2在有獎銷售彩票活動中,每張彩票面值2元,一千萬張?jiān)O(shè)有一等獎20名,獎金20萬或紅旗轎車；二等獎1000名,獎金3000元或25寸彩電；三等獎2000名,獎金1000元或洗衣機(jī)；四等獎100萬名,獎金2元,問買一張彩票獲獎(收益)的數(shù)學(xué)期望是多少？EX=200000×20/10000000+3000×1/10000+1000×2/10000+2×100/1000=1.1000(1)分別化驗(yàn)每個人的血,共需化驗(yàn)n次；(2)分組化驗(yàn),k個人的血混在一起化驗(yàn),若結(jié)果為陰性,則只需化驗(yàn)一次;若為陽性,則對k個人的血逐個化驗(yàn),找出有病者,此時

k個人的血需化驗(yàn)k+1次.設(shè)每人血液化驗(yàn)呈陽性的概率為p,且每人化驗(yàn)結(jié)果是相互獨(dú)立的.試說明選擇哪一方案較經(jīng)濟(jì).例3為普查某種疾病,n個人需驗(yàn)血.驗(yàn)血方案有如下兩種：解只須計(jì)算方案(2)所需化驗(yàn)次數(shù)的期望.為簡單計(jì),不妨設(shè)n是k的倍數(shù)，共分成n/k組.設(shè)第i組需化驗(yàn)的次數(shù)為Xi,則Xi

P1k+1例4

X~B(n,p),求E(X)

.解特例若Y~B(1,p)(兩點(diǎn)分布),則E(Y)=p=np=np例5

X~P(

),求E(X)

.例6甲乙兩個射手的技術(shù)統(tǒng)計(jì)如下：P甲X89100.30.10.6P乙Y89100.20.50.3甲、乙兩個射手誰的水平高？設(shè)連續(xù)r.v.X的d.f.為f(x)若廣義積分絕對收斂,則稱此積分為X的數(shù)學(xué)期望,記作E(X),即數(shù)學(xué)期望的本質(zhì)——加權(quán)平均,它是一個數(shù),不是r.v.定義2、連續(xù)型r.v.數(shù)學(xué)期望例9

X~N(,2),求E(X)

.解——概率積分[注]常見

r.v.

的數(shù)學(xué)期望分布期望概率分布參數(shù)為p的0-1分布pB(n,p)npP()分布期望概率密度區(qū)間(a,b)上的均勻分布Exp()N(,2)EX1：設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為解:求隨機(jī)變量Y=X2的數(shù)學(xué)期望XPk-101YPk10二、r.v.函數(shù)Y=g(X)的數(shù)學(xué)期望設(shè)離散r.v.X

的概率分布為

若無窮級數(shù)絕對收斂，則絕對收斂,則設(shè)連續(xù)r.v.的p.d.f.為f(x),若廣義積分注：若g(x)=x,則根據(jù)定理1，有這與定義是一致的。定理1.1.E(C)=C2.E(aX)=aE(X)3.E(X+Y)=E(X)+E(Y)4.當(dāng)X,Y獨(dú)立時，E(XY)=E(X)E(Y).常數(shù)線性性質(zhì)三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)逆命題不成立，即若E(XY)=E(X)E(Y)，X,Y不一定獨(dú)立證4:設(shè)(X,Y)~f(x,y)，X,Y獨(dú)立數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用應(yīng)用1據(jù)統(tǒng)計(jì)65歲的人在10年內(nèi)正常死亡的概率為解0.98,因事故死亡概率為0.02.保險公司開辦老人事故死亡保險,參加者需交納保險費(fèi)100元.若10年內(nèi)因事故死亡公司賠償a元,應(yīng)如何定a,才能使公司可期望獲益;若有1000人投保,公司期望總獲益多少?設(shè)Xi

表示公司從第i個投保者身上所得的收益,i=1~1000.則Xi~0.980.02100100應(yīng)用2市場上對某種產(chǎn)品每年需求量為X噸，X~U[2000,4000],每出售一噸可賺3萬元,售不出去，則每噸需倉庫保管費(fèi)1萬元，問應(yīng)該生產(chǎn)這中商品多少噸,才能使平均利潤最大？

解設(shè)每年生產(chǎn)y噸的利潤為Y顯然，2000<y<4000解即可以驗(yàn)證，零件的平均利潤最大.故時,銷售一個幾個重要的r.v.函數(shù)的數(shù)學(xué)期望——X的k階原點(diǎn)矩——X的k階絕對原點(diǎn)矩——X的k階中心矩——X的方差[附錄]——X,Y的k+l階混合原點(diǎn)矩——X,Y的k+l階混合中心矩——X,Y的二階原點(diǎn)矩——X,Y的二階混合中心矩

X,Y的協(xié)方差——X,Y的相關(guān)系數(shù)作業(yè)：P81——4，5，

7，9，10概率積分因?yàn)椋悍祷胤讲铍S機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均水平,是隨機(jī)變量的一個重要的數(shù)字特征.但在一些場合，僅僅知道平均值是不夠的.

如某零件真實(shí)長度為a,現(xiàn)用甲、乙兩臺儀器各測量10次,將測量結(jié)果X用坐標(biāo)上的點(diǎn)表示如圖：哪臺儀器好一些?乙儀器測量結(jié)果

甲儀器測量結(jié)果較好測量結(jié)果的均值都是

a因?yàn)橐覂x器的測量結(jié)果集中在均值附近又如,甲、乙兩門炮同時向一目標(biāo)射擊10發(fā)炮彈，其落點(diǎn)距目標(biāo)的位置如圖：你認(rèn)為哪門炮射擊效果好一些呢?甲炮射擊結(jié)果乙炮射擊結(jié)果乙較好因?yàn)橐遗诘膹椫c(diǎn)較集中在中心附近.

為此需引進(jìn)另一個數(shù)字特征,用它來度量隨機(jī)變量取值在其中心附近的離散程度.這就是我們這一講要介紹的方差——衡量隨機(jī)變量取值波動程度的一個數(shù)字特征.？如何定義？引例甲、乙兩射手各發(fā)6發(fā)子彈,擊中的環(huán)數(shù)分別為：甲10,7,9,8,10,6,乙8,7,10,9,8,8,問哪一個射手的技術(shù)較好？再比較穩(wěn)定程度甲:乙:乙比甲技術(shù)穩(wěn)定，故乙技術(shù)較好.解

首先比較平均環(huán)數(shù)甲=8.3,乙=8.3甲10,7,9,8,10,6,乙8,7,10,9,8,8,進(jìn)一步比較平均偏離平均值的程度甲乙

E[X-E(X)]2若E[X-E(X)]2存在,則稱其為隨機(jī)稱為X的均方差或標(biāo)準(zhǔn)差.定義

即D(X)=E[X-E(X)]2

變量X的方差,記為D(X)或Var(X)兩者量綱相同D(X)——描述r.v.X的取值偏離平均值

的平均偏離程度——

數(shù)4.2方差一、方差的定義若X為離散型r.v.，分布律為若X為連續(xù)型r.v.,概率密度為f(x)計(jì)算方差的常用公式：證:r.v.X的取值為xi,P{X=xi}=1/n2.EX的取值相當(dāng)于物理學(xué)上作一條直線，使所有的點(diǎn)均勻分布在直線的兩邊;1.方差非負(fù)，即DX0；x1x2x3x4x5x6x7xn

1234567n

EX3.DX的取值相當(dāng)于平均誤差；4.DX=0的充分必要條件為r.v.X的取值為常數(shù).例1：設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為1)求D（X）,2)求1.D(c)=02.D(cX)=c2D(X)D(c1X+c2

)=c12D(X)3.特別地，若X,Y相互獨(dú)立，則二、方差的性質(zhì)證1:證2:證3:當(dāng)X,Y相互獨(dú)立時，而推論:若X1,…,Xn相互獨(dú)立,a1,a2,…,an,b為常數(shù).則若X,Y相互獨(dú)立4.對任意常數(shù)C,D(X)

E(X–C)2,當(dāng)且僅當(dāng)C=E(X)時等號成立D(X)=0P(X=E(X))=1稱為X依概率1等于常數(shù)E(X)證4:當(dāng)C=E(X)時，顯然等號成立；當(dāng)CE(X)時，4.對任意常數(shù)C,D(X)E(X–C)2,當(dāng)且僅當(dāng)C=E(X)時等號成立常數(shù)a1.二項(xiàng)分布B(n,p)：二、幾個重要r.v.的方差設(shè)第i次試驗(yàn)事件A發(fā)生第i次試驗(yàn)事件A不發(fā)生則服從兩點(diǎn)分布的隨機(jī)變量,其方差為pq2.泊松分布P()：3.均勻分布U(a,b)：4.指數(shù)分布Exp()：5.正態(tài)分布N(,2)常見隨機(jī)變量的方差分布方差概率分布參數(shù)為p的0-1分布p(1-p)B(n,p)np(1-p)P()分布方差概率密度區(qū)間(a,b)上的均勻分布Exp()N(,2)則正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合仍服從正態(tài)分布，獨(dú)立，ci為常數(shù)，

例4已知X服從正態(tài)分布,E(X)=1.7,D(X)=3,Y=1–2X,求Y的密度函數(shù).解

在已知某些分布類型時,若知道其期望和方差,便常能確定分布.標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的期望E(X)、方差D(X)都存在,且D(X)0,則稱為X的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量.顯然，例8已知X的d.f.為其中A,B是常數(shù)，且E(X)=0.5.求A,B;(2)設(shè)Y=X2,求E(Y),D(Y)解(1)(2)作業(yè)：P87—13，14，

16，185.2中心極限定理在客觀實(shí)際中有許多隨機(jī)變量，它們是由大量相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的綜合效應(yīng)所形成的，而其中的每一個單個因素在總的效應(yīng)中所起的作用都是微小的。這類隨機(jī)變量往往近似地服從正態(tài)分布。在概率論中，論證隨機(jī)變量和的極限分布是正態(tài)分布的一系列定理統(tǒng)稱為中心極限定理。下面介紹常用的三個中心極限定理。定理1(同分布的中心極限定理——列維-林德伯格定理)設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,…

Xn,…相互獨(dú)立同分布且具有有限的數(shù)學(xué)期望和方差,則隨機(jī)變量的分布函數(shù)Fn(x)對任意x，滿足注:作為定理1的推廣，我們有下面的定理定理2（李雅普諾夫定理）設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,…

Xn,…

相互獨(dú)立，且具有有限的數(shù)學(xué)期望和方差：若每個Xi對總和∑Xi影響不大，記的分布函數(shù)對任意的x，滿足則隨機(jī)變量定理2表明,不論各個隨機(jī)變量具有怎樣的分布,只要滿足定理2條件,它們的和當(dāng)n很大時,就近似地服從正態(tài)分布在很多問題中,所考慮的隨機(jī)變量都可表示成若干獨(dú)立的隨機(jī)變量之和.它們往往近似地服從正態(tài)分布.在后面將學(xué)的數(shù)理統(tǒng)計(jì)中,我們會看到,中心極限定理是大樣本統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ)。作為定理1的特殊情況，我們給出下面的定理定理3（德莫佛—拉普拉斯定理）設(shè)隨機(jī)證X可以看作n個相互獨(dú)立,服從相同(0-1)分布的隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn之和:X=X1+X2+…+Xn

其中由于則定理1中的化為，故由定理1可得上述結(jié)論。變量X服從二項(xiàng)分布B(n,p),則有定理3表明,當(dāng)n充分大時,二項(xiàng)分布B(n,p)可近似地用正態(tài)分布N(np,)來代替.下面舉兩個關(guān)于中心極限定理的應(yīng)用的例子。因此,當(dāng)X~B(n,p),且n充分大時,有(其中q=1-p)解設(shè)一袋味精凈重Xi克,一箱味精的凈重為X克,則例1:用機(jī)器包裝味精,每袋味精凈重為隨機(jī)變量,期望值為100克,標(biāo)準(zhǔn)差為10克,一箱內(nèi)裝有400袋味精,求一箱味精凈重大于40500克的概率.例2對敵陣地集中射擊,每次集中射擊的命中數(shù)的概率分布相同,數(shù)學(xué)期望為2,方差為1,求集中射擊100次有180顆到220顆炮彈命中目標(biāo)的概率.解:設(shè)Xi為第i次集中射擊時的