復(fù)變函數(shù)傅立葉變換

復(fù)變函數(shù)傅立葉變換第一頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日所謂積分變換,就是把某函數(shù)類A中的函數(shù)(象原函數(shù))乘上一個(gè)確定的二元函數(shù),然后計(jì)算積分,即這樣變成另一個(gè)函數(shù)類B中的函數(shù)(象函數(shù)).根據(jù)選取的二元函數(shù)(核函數(shù))不同,就得到不同名稱的積分變換.第二頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日7.1傅里葉變換的概念與性質(zhì)第三頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日41、

連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)2、

只有有限個(gè)極值點(diǎn)這兩個(gè)條件實(shí)際上就是要保證函數(shù)是可積函數(shù).在高等數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)傅里葉級(jí)數(shù)時(shí)知道，研究周期函數(shù)實(shí)際上只須研究其中的一個(gè)周期內(nèi)的情況即可,通常研究在閉區(qū)間[-T/2,T/2]內(nèi)函數(shù)變化的情況.并非理論上的所有周期函數(shù)都可以用傅里葉級(jí)數(shù)逼近,而是要滿足狄利克雷(Dirichlet)條件,即在區(qū)間[-T/2,T/2]上第四頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日5因此,任何滿足狄氏條件的周期函數(shù)

,可表示為三角級(jí)數(shù)的形式如下:第五頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日6而利用三角函數(shù)的指數(shù)形式可將級(jí)數(shù)表示為:其中第六頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日7如圖所示:1-1otf(t)1第七頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日81-13T=4f4(t)t現(xiàn)以f(t)為基礎(chǔ)構(gòu)造一周期為T的周期函數(shù)fT(t),令T=4,則第八頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日9第九頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日10第十頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日11sinc(x)x第十一頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日12w第十二頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日131-17T=8f8(t)t第十三頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日14第十四頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日15w第十五頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日16w第十六頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日17第十七頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日18第十八頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日19第十九頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日20Otf(t)OtfT1(t)OtfT2(t)第二十頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日21第二十一頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日22{O

w1

w2

w3

wn-1wn{{{w第二十二頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日23第二十三頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日24此公式稱為函數(shù)f(t)的傅里葉積分公式,簡(jiǎn)稱傅氏積分公式,而等號(hào)右端的積分式稱為的傅里葉積分(簡(jiǎn)稱傅氏積分).第二十四頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日

若函數(shù)在任何有限區(qū)間上滿足狄氏條件（即函數(shù)在任何有限區(qū)間上滿足：(1）連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)；(2)至多有有限個(gè)極值點(diǎn)）,并且在上絕對(duì)可積，則有：

為連續(xù)點(diǎn)為間斷點(diǎn)第二十五頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日26第二十六頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日27最后這個(gè)式子就是傅里葉積分的三角形式第二十七頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日也叫做的傅氏積分表達(dá)式

如果函數(shù)滿足傅里葉積分定理,由傅里葉積分公式,設(shè)叫做的傅氏變換,象函數(shù),可記做

=?[]叫做的傅氏逆變換,象原函數(shù),=?第二十八頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日解第二十九頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日解這個(gè)指數(shù)衰減函數(shù)是工程技術(shù)中常遇到的一個(gè)函數(shù)

tf(t)第三十頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日若上式右端為于是第三十一頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日

在物理和工程技術(shù)中,除了用到指數(shù)衰減函數(shù)外,還常常會(huì)碰到單位脈沖函數(shù).因?yàn)樵谠S多物理現(xiàn)象中,除了有連續(xù)分布的物理量外,還會(huì)有集中在一點(diǎn)的量（點(diǎn)源）,或者具有脈沖性質(zhì)的量.例如瞬間作用的沖擊力,電脈沖等.在電學(xué)中,我們要研究線性電路受具有脈沖性質(zhì)的電勢(shì)作用后所產(chǎn)生的電流；在力學(xué)中,要研究機(jī)械系統(tǒng)受沖擊力作用后的運(yùn)動(dòng)情況等.研究這類問(wèn)題就會(huì)產(chǎn)生我們要介紹的脈沖函數(shù).有了這種函數(shù),對(duì)于許多集中在一點(diǎn)或一瞬間的量,例如點(diǎn)電荷、點(diǎn)熱源、集中于一點(diǎn)的質(zhì)量以及脈沖技術(shù)中的非常狹窄的脈沖等,就能夠像處理連續(xù)分布的量那樣,用統(tǒng)一的方式來(lái)加以解決.第三十二頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日（1）看作矩形脈沖的極限（2）函數(shù)的數(shù)學(xué)定義（3）物理學(xué)家狄拉克給出的定義滿足下列兩個(gè)條件的函數(shù)稱為函數(shù)：Ⅰ

Ⅱ

第三十三頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日1函數(shù)用一個(gè)長(zhǎng)度等于1的有向線段來(lái)表示,如下圖o定義為滿足下列條件的函數(shù)如下圖1第三十四頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日（1）對(duì)任意的連續(xù)函數(shù),都有

（2）函數(shù)為偶函數(shù),即

第三十五頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日（3）其中,稱為單位階躍函數(shù).反之,有.Otu(t)第三十六頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日由于

=?可見(jiàn),

?[]=1,?-1[1]=.

與常數(shù)1構(gòu)成了一個(gè)傅氏變換對(duì),即與也構(gòu)成了一個(gè)傅氏變換對(duì),即第三十七頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日例4

可以證明單位階躍函數(shù)的傅氏變換為的積分表達(dá)式為pwO|F(w)|第三十八頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日例5證明的傅氏變換為證明=?所以第三十九頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日例6

求正弦函數(shù)的傅氏變換可以證明??pp-w0w0Ow|F(w)|tsint第四十頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日1線性性質(zhì)?=?設(shè)為常數(shù)則=?

?這一講介紹傅氏變換的幾個(gè)重要性質(zhì),為了敘述方便起見(jiàn),假定在這些性質(zhì)中,凡是需要求傅氏變換的函數(shù)都滿足傅氏積分定理中的條件,在證明這些性質(zhì)時(shí),不再重述這些條件.第四十一頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日若=?則以為自變量的函數(shù)

的象函數(shù)為

即?

?3相似性質(zhì)=?若則??第四十二頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日若=?為實(shí)常數(shù),則??（1）象原函數(shù)的平移性質(zhì)第四十三頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日例7

求??解因?yàn)樗?第四十四頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日若=?為實(shí)常數(shù),則??第四十五頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日例8已知?求?解??顯然一般地?第四十六頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日且則若=??一般地,若?則?（1）象原函數(shù)的微分性質(zhì)第四十七頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日例9證明?證明因?yàn)樗???一般地?第四十八頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日若=?則?或?例10已知?求?解?第四十九頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日若=??則在這里必須滿足傅氏積分存在定理的條件,若不滿足,則這個(gè)廣義積分應(yīng)改為?第五十頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日7.2傅里葉變換的應(yīng)用第五十一頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日在頻譜分析中,傅氏變換

又稱為的頻譜函數(shù),而它的模

稱為的振幅頻譜(亦簡(jiǎn)稱為頻譜).由于w是連續(xù)變化的,我們稱之為連續(xù)頻譜,對(duì)一個(gè)時(shí)間函數(shù)作傅氏變換,就是求這個(gè)時(shí)間函數(shù)的頻譜.可以證明,頻譜為偶函數(shù),即第五十二頁(yè)，共五十六頁(yè)，2022年，8月28日53f(t)單個(gè)矩形脈沖的頻譜函數(shù)為:tE-t