高等幾何第一章仿射坐標(biāo)與仿射變換課件

高等幾何1課程概論高等幾何是師范類數(shù)學(xué)專業(yè)重要的基礎(chǔ)課之一，它跟初等幾何、解析幾何、高等代數(shù)等課程有緊密的聯(lián)系；對(duì)未來(lái)中學(xué)數(shù)學(xué)教師在幾何方面基礎(chǔ)的培養(yǎng)、觀點(diǎn)的提高、思維的靈活、方法的多樣起著重要作用，有助于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的提高和科研能力的培養(yǎng)。本書(shū)的主要內(nèi)容是介紹射影幾何學(xué)，但為了比較起見(jiàn)，也引進(jìn)了仿射幾何學(xué)與歐氏幾何學(xué)。射影幾何學(xué)范圍大，可以包含許多其他的幾何學(xué)，例如歐氏幾何學(xué)、非歐氏幾何學(xué)、仿射幾何學(xué)等。2課程概論射影幾何學(xué)的起源是由于繪圖和建筑上的需要。當(dāng)一個(gè)畫(huà)家要把一個(gè)實(shí)像描繪在一塊布幕上時(shí)，他用他的眼睛當(dāng)做是投影中心，把實(shí)像投影到布幕上去。他的眼睛好比燈光，把實(shí)像的影子映射到布幕上去，然后再描繪出來(lái)。在建筑上我們需要把設(shè)計(jì)的實(shí)物畫(huà)在一個(gè)面上，平面上的圖像就是實(shí)物的平面投影。（透視圖）這種投影技術(shù)在純理論方面的發(fā)展，就成為射影幾何學(xué)。在實(shí)用方面的發(fā)展就成為工科院校的一門(mén)基礎(chǔ)課---畫(huà)法幾何學(xué)。3歐氏幾何(初等幾何)研究圖形在“搬動(dòng)”之下保持不變的性質(zhì)和數(shù)量(統(tǒng)稱不變性，如距離、角度、面積、體積等)搬動(dòng)正交變換對(duì)圖形作有限次的平移、旋轉(zhuǎn)、軸反射的結(jié)果歐氏幾何研究圖形在正交變換下不變性質(zhì)的科學(xué)5仿射幾何平行射影仿射變換仿射幾何研究圖形在仿射變換下不變性質(zhì)的科學(xué)透視仿射對(duì)應(yīng)有限次平行射影的結(jié)果仿射不變性比如——平行性、兩平行線段的比等等6射影幾何中心射影射影變換射影幾何研究圖形在射影變換下不變性質(zhì)的科學(xué)透視對(duì)應(yīng)有限次中心射影的結(jié)果射影不變性比如——幾條直線共點(diǎn)、幾個(gè)點(diǎn)共線等等射影變換將徹底改變我們?cè)械膸缀慰臻g觀念！7課程概論一、高等幾何的內(nèi)容二、高等幾何的與方法三、開(kāi)課目的學(xué)習(xí)射影幾何，拓展幾何空間概念，引入幾何變換知識(shí)，接受變換群思想。訓(xùn)練理性思維、抽象思維、邏輯推理能力，增強(qiáng)數(shù)學(xué)審美意識(shí)，提高數(shù)學(xué)修養(yǎng)。新穎性，趣味性，技巧性，反饋于初等幾何，提高觀點(diǎn)，加深理解，舉一反三。9主要內(nèi)容第二章：射影平面包括：中心射影，齊次坐標(biāo)，對(duì)偶原理，復(fù)元素第三章：射影變換與射影坐標(biāo)包括：交比，調(diào)和共軛，透視對(duì)應(yīng)，一維射影變換，二維射影變換、射影坐標(biāo)第四章：變換群與幾何學(xué)克萊因（F.Klein)的變換群觀點(diǎn)第五章：二次曲線的射影理論包括：二次曲線的射影定義，帕斯卡和布利安桑定理，極點(diǎn)，極線，配極原則，二次曲線的射影分類第六章：二次曲線的仿射性質(zhì)和度量性質(zhì)包括：二次曲線的中心，直徑，共軛直徑，漸近線，二次曲線的仿射分類，主軸，焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，二次曲線的度量分類，

射影幾何第一章：仿射坐標(biāo)與仿射變換包括：透視仿射對(duì)應(yīng)，仿射對(duì)應(yīng)，仿射變換和性質(zhì)，仿射坐標(biāo)本教材基本框架10第一章：仿射坐標(biāo)與仿射變換定義：設(shè)A,B,C為共線三點(diǎn)，這三點(diǎn)的單比（ABC）定義為以下有向線段的比：§1透視仿射對(duì)應(yīng)一.單比當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)，(ABC)<0稱A、B為基點(diǎn)，C為分點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)C在線段AB或BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，(ABC)0當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時(shí)，(ABC)=0當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)B重合時(shí)，(ABC)不存在當(dāng)點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)時(shí)，(ABC)=-1注：與定比分點(diǎn)中定比（分割比）相差一個(gè)符號(hào)。11ABCD原象點(diǎn)：A,B,C,D……

直線a上的點(diǎn)平行射影的方向：直線透視仿射對(duì)應(yīng)與方向有關(guān)，方向變了，則得到另外的透視仿射對(duì)應(yīng)O點(diǎn)O為自對(duì)應(yīng)點(diǎn)(同一平面上兩相交直線的公共點(diǎn))映象點(diǎn)：……直線上的點(diǎn)記透視仿射對(duì)應(yīng)T：………132.兩直線間的仿射對(duì)應(yīng)仿射對(duì)應(yīng)是透視仿射對(duì)應(yīng)鏈或平行射影鏈表示透視仿射鏈，T表示仿射對(duì)應(yīng)（如圖）………………14如圖所示：第一章、仿射坐標(biāo)與仿射變換15如圖第一章、仿射坐標(biāo)與仿射變換17平面到平面的仿射對(duì)應(yīng)是有限次透視仿射對(duì)應(yīng)的積組成的，是透視仿射對(duì)應(yīng)鏈。三.透視仿射對(duì)應(yīng)、仿射對(duì)應(yīng)與仿射變換性質(zhì)：1.保持同素性.（幾何元素保留同一種類而不改變）即點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，直線對(duì)應(yīng)為直線.2.保持點(diǎn)與直線的結(jié)合性2仿射對(duì)應(yīng)：3.保持單比不變（ABC)=(A’B’C’)4.保持平行a‖b則a’‖b’3.平面上的仿射變換與重合的仿射對(duì)應(yīng)稱為仿射變換。但不保距離，不保角度！18例1

下列圖形在仿射變換下的對(duì)應(yīng)圖形是什么？平行四邊形；梯形；等腰三角形；菱形；三角形的內(nèi)心；三角形的垂心；角平分線；（二全等的矩形）例2

仿射變換下，正方形有哪些性質(zhì)不變？其仿射象是什么圖形？

例3“三角形重心”與“二互相垂直直線”的仿射象各是什么？（仿射像是另一三角形重心和兩相交直線）。19xyOP(x,y)21平面上一定點(diǎn)O及二不共線向量e1、e2構(gòu)成一個(gè)仿射標(biāo)架，記為

[O；e1，e2]．任意點(diǎn)M的向徑的分解式為：OxyMEyExe2e1a則有序數(shù)對(duì)(x,y)稱為點(diǎn)M關(guān)于標(biāo)架的仿射坐標(biāo)．OM

xe1

ye2(1){x,y}也稱為向量OM的坐標(biāo)(或分量)．22顯然，原點(diǎn)O的坐標(biāo)是(0,0)；x軸上的單位點(diǎn)為Ex(1,0)；y軸上的單位點(diǎn)為Ey(0,1)．稱標(biāo)架

[O；e1，e2]為仿射坐標(biāo)系，O稱為坐標(biāo)原點(diǎn)，e1和e2稱為基本向量．二、定理3.1

設(shè)在給定仿射坐標(biāo)系下，A(xA,yA)，B(xB,yB)，C(xC,yC)，則

證明：（ABC）=(AxBxCx)··AxBxCxxyABCOExEy23推論：P1,P2,P3共線的充要條件是

直線的一般方程仍為：25一、定理3.3

平面上的仿射變換式為：§3.2仿射變換的代數(shù)表示證明：如圖，設(shè)26用代數(shù)法可證：（1）共線點(diǎn)對(duì)應(yīng)共線點(diǎn)；（2）保單比。于是得仿射變換的幾何定義：平面內(nèi)點(diǎn)之間的一一滿足：（1）共線點(diǎn)對(duì)應(yīng)共線點(diǎn)；（2）保單比。則稱為平面內(nèi)的仿射變換仿射變換的代數(shù)定義3.2：平面內(nèi)點(diǎn)之間的一個(gè)線性變換：稱為仿射變換29例1求使點(diǎn)（0，0），（1，1），（1，-1）分別變?yōu)辄c(diǎn)（2，3）,（2，5），（3，-7）的仿射變換。將點(diǎn)解:分別代入仿射變換的代數(shù)表示式得:30∴仿射變換式為:例2求仿射變換的不變直線。解:設(shè)所求的不變直線為:ax+by+c=0與直線ax+by+c=0是同一條直線，所以對(duì)應(yīng)系數(shù)成比例。31因?yàn)榕c矛盾不變直線為當(dāng)時(shí)，方程組有非零解32求使直線x=0,y=0,x+2y-1=0分別變?yōu)橹本€x+y=0,x-y=0,x+2y-1=0的仿射變換.練習(xí):解:設(shè)所求的仿射變換為則有:33由以上(1),(2),(3)聯(lián)立解得34§3.3幾種特殊的仿射變換:一、正交變換即即A為正交陣即也可寫(xiě)為第一種正交變換第二種正交變換35

二、位似變換Oxye1e2k為位似比幾何定義：變換f滿足（1）任意對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線PP’過(guò)定點(diǎn)S（2）（P’PS)=k36三、相似變換1.幾何定義：f滿足（相似比）2.變換式異向相似變換同向相似變換也可寫(xiě)為有4個(gè)獨(dú)立參數(shù)a,b,c1,c237四、壓縮變換例將圓壓縮為橢圓，所以圓的仿射圖形為橢圓。38§2仿射性質(zhì)定義4.1

仿射不變性與不變量：圖形經(jīng)過(guò)任何仿射變換后都不變的性質(zhì)（數(shù)量）稱為圖形的仿射性質(zhì)（仿射不變量）。定理4.1：兩直線間的平行性是仿射不變性。推論1兩相交直線經(jīng)仿射變換后仍變成兩相交直線。.（反證法）假設(shè)由結(jié)合性與‖矛盾推論2共點(diǎn)直線經(jīng)仿射變換后仍變成共點(diǎn)直線。39定理4.2：兩平行線段之比是仿射不變量.要證:ABCDE如圖,作DEAC,==∵單比是仿射不變量∴推論一直線上兩線段之比是仿射不變量.40任意兩個(gè)三角形面積之比是仿射不變量.證明：在笛卡爾坐標(biāo)系下，已知不共線的三點(diǎn)經(jīng)過(guò)仿射變換后，對(duì)應(yīng)點(diǎn){注：（x’,y’)是第一個(gè)笛卡爾坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，所以三角形的面積公式可以用}定理4.3為常數(shù)41推論1在仿射變換下，任何一對(duì)對(duì)應(yīng)多邊形面積之比是仿射不變量。推論2在仿射變換下，任何兩條封閉凸曲線所圍成的面積之比是仿射不變量。仿射不變性平行性單比平行線段的比,兩三角形面積之比(是仿射不變量)線段的中點(diǎn),三角形的重心,梯形,平行四邊形（是仿射不變圖形）42例.求橢圓面積。解：OABB’43例.用仿射變換證明任意三角形三條中線所分成的六個(gè)三角形的面積相等。證明：任意一個(gè)三角形總存在一個(gè)仿射變換，將其變?yōu)榈冗吶切?，等邊三角形中三條中線所分成的六個(gè)三角形的面積顯然相等，再由兩個(gè)三角形面積之比是仿射不變量，得此命題對(duì)于任意三角形也成立。44例.在