建筑數(shù)學(xué)概率2概率813604564課件

秦佑國燕翔

隨機(jī)變量與概率

建筑數(shù)學(xué)第十一講

扔擲數(shù)獲得6點(diǎn)的次數(shù)獲得6點(diǎn)的頻率111.00000210.50000310.33333410.25000520.400001020.200002050.25000100120.12000200390.1950030046018000500760.152006001020.170007001200.1714310001700.1700020003430.1715030005600.16867

下表是擲骰子獲得6點(diǎn)的試驗(yàn)記錄，共擲了3000次。隨著擲的次數(shù)的增加，得到6點(diǎn)的“頻率”在震蕩中趨近于“概率”（理論分析）值1/6=0.16666……（伯努利）大數(shù)定律當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)足夠多時，事件發(fā)生的頻率無窮接近于該事件發(fā)生的概率。即頻率的穩(wěn)定性。

設(shè)

μ

是

n

次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，且事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為

p，則對任意正數(shù)ε，有公式：在抽樣調(diào)查中，當(dāng)樣本數(shù)量足夠多時，可用樣本值去估計(jì)總體值，其理論依據(jù)就在于此。

概率論只不過是把常識用數(shù)學(xué)公式表達(dá)了出來。——拉普拉斯概率公理如果一個函數(shù)PA→P(A)給一個事件空間S中的事件A，指定一個實(shí)數(shù)P(A)，并且其滿足下面的3個公理，那么函數(shù)P叫做概率函數(shù)，相應(yīng)的P(A)叫做事件A的概率。公理1：

事件P(A)的概率是一個0與1之間（包含0與1）的非負(fù)實(shí)數(shù)。公理2：

完全事件的概率值為1。公理3：

如果A、B是互斥事件

互斥事件的加法法則。公理3可以推廣到可數(shù)個互斥事件的并。

定理5(乘法法則)事件A、B，同時發(fā)生的概率是：公式中的是指在B條件下A發(fā)生的概率，稱作條件概率。在52張牌中隨機(jī)連續(xù)抽出2張(第一次抽出的牌不放回去)，都是K的概率是多少呢？第一次抽到K的概率是P(A)=4/52，第二次抽到K的概率是P(B/A)=3/51，則有：4/52×3/51=12/2652定理6(無關(guān)事件乘法法則)，兩個不相關(guān)聯(lián)的事件，同時發(fā)生的概率是：輪盤賭是把一個圓盤等分成37個扇形，其中18個是紅色，18個是黑色，1個是綠色。旋轉(zhuǎn)圓盤，賭它停下后指針指的扇形的顏色。游戲中兩次連續(xù)的旋轉(zhuǎn)過程，P(A)代表第一次出現(xiàn)紅色的概率，P(B)代表第二次出現(xiàn)紅色的概率，兩者沒有關(guān)聯(lián)，利用上面提到的公式，連續(xù)兩次出現(xiàn)紅色的概率為：

造成許多玩家失敗的原因是因?yàn)?，大家普遍認(rèn)為，經(jīng)過連續(xù)出現(xiàn)若干次紅色后，黑色出現(xiàn)的概率會越來越大，事實(shí)上兩種顏色每次出現(xiàn)的概率是相等的，之前出現(xiàn)的紅色與之后出現(xiàn)的黑色之間沒有任何聯(lián)系。連續(xù)10次出現(xiàn)紅色的概率為P=(18/37)10=0.0007

通常人們看這張圖片會認(rèn)為有6棟建筑。不會想到樹干擋住的可能是2棟房子而不是1棟。因?yàn)槭?棟房子的可能性很小——小概率事件。首先，圖片中沒有遮擋的房子都高低和顏色不同，人們自然“順勢”推想，樹干擋住的房子，一樣的高度一樣的顏色，應(yīng)是一棟房子，兩棟房子的可能性?。ㄐ「怕剩辉僬f樹干怎么就正好擋住房子空擋呢？太巧合了?。ㄐ「怕剩┻@個問題是計(jì)算機(jī)圖像自動識別的書中提出的案例。

另一個案例是計(jì)算機(jī)自動翻譯問題：“Thegirlsawtheboywithatelescope.”這句英語如何翻（如何理解其含義）？一種理解是：女孩用望遠(yuǎn)鏡看到了男孩。另一種是：女孩看到了拿著望遠(yuǎn)鏡的男孩。正如Thegirlsawtheboywithabook.翻譯成：女孩看到了拿著一本書的男孩。也可以withabasketball等等。機(jī)器翻譯，按一般規(guī)則，可能翻成：女孩看到了拿著望遠(yuǎn)鏡的男孩。但人們更可能理解為：女孩用望遠(yuǎn)鏡看到了男孩。因?yàn)槿丝赡堋澳嫦颉彼伎?，男孩帶著望遠(yuǎn)鏡是“小概率事件”，而“女孩用望遠(yuǎn)鏡看到了男孩”，“望遠(yuǎn)鏡”和“看”關(guān)聯(lián)性大。計(jì)算機(jī)是從“句型”出現(xiàn)的概率來判別的，而人是從“詞語”含義搭配的概率來決定的。

美國加拿大大都數(shù)住宅都是木結(jié)構(gòu)，都要投火災(zāi)保險。

龍卷風(fēng)是一種災(zāi)害性天氣現(xiàn)象，破壞力極強(qiáng)。美國是龍卷風(fēng)多發(fā)的國家。1974年4月3日，有48個龍卷風(fēng)席卷美國11個州，造成300多人死亡，數(shù)百人受傷，經(jīng)濟(jì)損失315億美元。設(shè)計(jì)建造住房能抵抗龍卷風(fēng)幾乎是不可能的，如想做到，經(jīng)濟(jì)代價極高。盡管美國龍卷風(fēng)每年都有，但某一家住房遭遇到龍卷風(fēng)仍然是小概率事件。對待龍卷風(fēng)災(zāi)害，首先是氣象部門的發(fā)現(xiàn)、跟蹤和發(fā)布預(yù)警；再有，保證人生安全是第一位的，龍卷風(fēng)到來時人員能躲避逃生；房子一定要投保險的，一旦受災(zāi)，損失有保險公司賠付。

二項(xiàng)分布

一個試驗(yàn)只包含2個可能的結(jié)果，但兩者發(fā)生的概率可能不同。若出現(xiàn)其中一個結(jié)果的概率為

p，則出現(xiàn)另一個結(jié)果（或不發(fā)生這個結(jié)果）的概率為1－p

。例如，產(chǎn)品檢驗(yàn)，抽到的樣品可能是正品，也可能是次品，正品率p=99%，次品是1%;

一個城市平均10年發(fā)一次洪水，“十年一遇”，發(fā)洪水概率是p=0.9，不發(fā)洪水的概率是1－p=0.1。稱為二項(xiàng)分布。二項(xiàng)分布是最重要的離散概率分布之一，由瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利（JakobBernoulli）所發(fā)展，二項(xiàng)分布指出：

一條河流歷史統(tǒng)計(jì)每10年會發(fā)一次洪水（10年一遇），討論：今后10年發(fā)生洪水的概率是1（必定發(fā)生洪水）嗎？今后10年不發(fā)生洪水的概率呢？3年內(nèi)可能發(fā)生洪水嗎？這個問題是伯努利二項(xiàng)分布問題，發(fā)生洪水的概率p=0.1，不發(fā)生洪水的概率q=0.9。在n年內(nèi)發(fā)生k次洪水的概率可按伯努利概率公式計(jì)算：

“今后10年發(fā)生洪水的概率是1嗎？”，不是，盡管發(fā)生洪水的可能性很大，但不能確定一定發(fā)生，可能不發(fā)生?！敖窈?0年不發(fā)生洪水的概率呢？”，第1年不發(fā)生洪水的概率q=0.9=(0.91)，第2年也不發(fā)生洪水的概率：0.9×0.9

=

0.92

=

0.81，第3年還不發(fā)生洪水的概率：0.9×0.9×0.9

=

0.93

=

0.729，直到第10年還不發(fā)生洪水的概率是：0.910=0.3487。用二項(xiàng)概率公式計(jì)算，n=10,

k=0（1次也沒有發(fā)生），p=0.1，帶入公式，C010=1,0.10=1,(1－0.1)10－0=0.910=0.3487，結(jié)果相同?！?年內(nèi)可能發(fā)生洪水嗎？”n=3,k=0，p=0.1，帶入公式，用公式算出3年內(nèi)不發(fā)生洪水的概率是0.93=0.729，于是可得，3年內(nèi)發(fā)生洪水的概率是1－0.729=0.271。同樣10年內(nèi)發(fā)生洪水的概率1－0.3487=0.6513。

再來做拋擲硬幣的試驗(yàn)，不是一次拋1枚，而是拋很多枚。

一次拋100枚（n=100）硬幣，把正面朝上的個數(shù)K與總數(shù)n=100的比值，記錄下來，有可能是42個正面，比例是42/100，可能是62個正面，比例是62/100……?？梢圆聹y（理性分析）：得到一半正面向上，即比例是50/100的次數(shù)可能性要大（概率大），而100枚中沒有一個正面的（比例是0/100），或全部是正面的比例是（100/100），出現(xiàn)的可能性微乎其微（概率很小），1/100與99/100，2/100與98/100，概率也很小……；而49/100與51/100，概率會大。一共有101個結(jié)果，概率總和是1。但這101個結(jié)果的概率分布是怎樣的呢？首先應(yīng)該是對稱的，即1/100與99/100概率相同，49/100與51/100概率相同，K/100與（100－K）/100概率相同；第二是“兩頭小中間大”，K<50，K越小概率越??；K>50，K越大，概率越小，K越接近50，概率越大。如果做試驗(yàn)，一次一次地拋，拋的次數(shù)很多，例如1000次，2000次，……試驗(yàn)得到的“頻率”會無限接近“概率”，從而得到我們想要的概率分布。如果可以理論分析求算出概率分布，試驗(yàn)就可用來驗(yàn)證計(jì)算結(jié)果。

泊松分布泊松近似是二項(xiàng)分布的一種極限形式。其強(qiáng)調(diào)如下的試驗(yàn)前提：一次抽樣的概率值

p相對很小，而抽取次數(shù)值n又相對很大。因此泊松分布又被稱之為罕有事件分布。泊松分布指出，如果隨機(jī)一次試驗(yàn)出現(xiàn)的概率為p，那么在n次試驗(yàn)中出現(xiàn)k次的概率是：其中e=2.71828……，數(shù)學(xué)常數(shù)(自然對數(shù)的底數(shù))

例如，某工廠生產(chǎn)零件，次品率P=0.01。隨機(jī)抽取100個零件，出現(xiàn)0個、1個、2個、3個、……、99、100次品的概率各是多少？可以推測，抽出1個次品的概率最高（p=0.01,就意味著100個零件中有1個次品），抽出0個（沒有抽到）次品的概率會略小一些，抽出2個、3個次品還有可能，但出現(xiàn)99、100個次品幾乎不可能，概率接近于零，也就是說，當(dāng)K>1時，抽出的次品數(shù)K越大，概率就越小。

如果，次品（或換一種說法是“特殊”品）率p=0.1。隨機(jī)抽取100個零件，可以推測，抽出k=10個次品的概率最高（p=0.1,就意味著100個零件中有10個次品），k<10（但>0），k越小，概率越??；k>10（但<100），k越大，概率就越小。依然是“兩頭小中間大”，但不對稱，最高點(diǎn)在10，此時k/n=10/100=p。如果p=0.5，就是拋硬幣了，分布就對稱了。泊松分布n=9，p=1/3的二項(xiàng)分布泊松分布：兩頭小中間大，不對稱泊松分布是二項(xiàng)分布的近似在實(shí)際事例中，當(dāng)一個隨機(jī)事件，以一定的平均速率λ(或稱密度)隨機(jī)且獨(dú)立地出現(xiàn)時，例如某一服務(wù)設(shè)施在一定時間內(nèi)到達(dá)的人數(shù)，電話交換機(jī)接到呼叫的次數(shù)，汽車站臺的候客人數(shù)，機(jī)器出現(xiàn)的故障數(shù)，自然災(zāi)害發(fā)生的次數(shù)，一塊產(chǎn)品上的缺陷數(shù)，顯微鏡下單位分區(qū)內(nèi)的細(xì)菌數(shù)，等等。那么這個事件在單位時間內(nèi)（或面積、體積上）出現(xiàn)的次數(shù)或個數(shù)就近似地服從泊松分布。在離散事件泊松公式中，以λ=np

代入，就得到泊松公式的另一種表達(dá)：而二項(xiàng)分布概率公式，在n→∞時的極限就是上面的公式。

為了保證設(shè)備正常工作，需配備適量的維修工人，現(xiàn)有同類型設(shè)備300臺，各臺工作是相互獨(dú)立的，發(fā)生故障的概率都是0.01；一臺設(shè)備的故障可由一人來修理。至少需配備多少工人，才能保證當(dāng)設(shè)備發(fā)生故障但不能及時維修的概率小于0.01？解：設(shè)需配備N人，記同一時刻發(fā)生故障的設(shè)備臺數(shù)為X，n=300,p=0.01，λ=np=3，需要確定最小的N的取值，使得：查Poisson分布表可知，滿足上式的最小的N是8,因此至少需配備8個維修工人。

一條單向車行道上，1小時平均車流量是300輛，平均時距是3600/300=12秒，實(shí)際來車是隨機(jī)的，前后兩車的時距可能長，可能短，但不能短于兩車安全時距t0：（兩車安全距離+車身長度）/車速。則時距t（t0<t<∞）就服從泊松分布。注意：t的取值理論上是連續(xù)的，但也可以以秒（或0.1秒）為單位化成離散的取值。

一張考卷上有5道選擇題，每道題列出4個可能答案，其中只有一個答案是正確的。一學(xué)生靠猜測至少能答對4道題的概率是多少？解：每答一道題相當(dāng)于做一次伯努利試驗(yàn)，P{至少能答對4道題}

=

P{

X

≥

4

}=

P{

X=

4

}

+

P{

X=

5

},由二項(xiàng)公式：設(shè)：隨機(jī)數(shù)X為學(xué)生靠猜測的答對題數(shù)，則X～B（5,1/4)求得

前面討論的是離散概率分布，即隨機(jī)事件是離散的，事件取值是一個一個可列舉的離散的數(shù)值。如有n個結(jié)果（事件），各自的概率P（Aj）（j=1，2，3，……，n）已知，則有∑P（Aj）=1（離散值相加求和）。但還有一些隨機(jī)現(xiàn)象是連續(xù)的，例如在一條線或一個面上隨機(jī)確定一個點(diǎn)，其位置就是連續(xù)的。人的身高，在樣本量極大時，只要測量工具的“精度”足夠，也可以看做是連續(xù)的。即是一個連續(xù)的隨機(jī)變量。連續(xù)隨機(jī)變量不能象離散隨機(jī)變量那樣一一列舉各個取值的概率而直接給出概率分布，而是給出一個連續(xù)的“概率密度函數(shù)”f