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圓周角和圓心角的關系第2課時北師大版九年級數(shù)學下冊1.掌握直徑(或半圓)所對的圓周角是直角及90°的圓周角所對的弦是直徑的性質;2.了解圓的內(nèi)接四邊形的相關定義和性質;3.在探究、解決問題的過程中,培養(yǎng)學生的演繹推理能力;4.在應用推論計算和證明的過程中,培養(yǎng)觀察、分析和解決問題的能力.學習目標重點難點準備好了嗎?一起去探索吧!圓周角和圓心角的關系情境導入還記得圓周角和圓心角之間的關系嗎?圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半.

情境導入還記得圓周角和圓心角之間的關系嗎?如果A,O,B在一條直線上時,∠ACB等于多少呢?∠AOB是一個平角,此時∠ACB等于90°.圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半.

想一想如圖,BC是⊙O的直徑,它所對的圓周角有什么特點?你能證明你的結論嗎?BCOA

直徑所對的圓周角是直角.∠BAC=90°歸納圓周角定理的推論直徑所對的圓周角是直角.符號語言:∵BC為直徑∴∠BAC=90°BCOA想一想BCOA圓周角∠BAC

=90o,弦BC是直徑嗎?為什么?解:弦BC是直徑.理由:連接OB,OC∵∠BAC=90°∴∠BOC=2∠BAC=180°∴B、O、C三點在同一直線上∴BC是⊙O的一條直徑90°的圓周角所對的弦是直徑.圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角的度數(shù)的一半歸納90°的圓周角所對的弦是直徑.符號語言:∵∠BAC=90°,∴BC為直徑.圓周角定理的推論BCOA

(1)如下圖,A,B,C,D是O上的四點,AC為O的直徑,∠BAD與∠BCD之間有什么關系?為什么?議一議BCDAO根據(jù)題意,很容易得到∠B+∠D=180°.∴∠BAD+∠BCD=360°-90°-90°=180°,即∠BAD+∠BCD=180°.證明:

∵AC為O的直徑,

∴∠B=90°,∠D=90°.∠BAD+∠BCD

=180°∠B與∠D呢?

(2)如下圖,點C的位置發(fā)生了變化,∠BAD與∠BCD之間的關系還成立嗎?為什么?議一議同理可證,∠B+∠D=180°.BCD的度數(shù)+BAD的度數(shù)=360°,∴∠BAD+∠BCD=180°.證明:

∵∠BAD的度數(shù)=BCD的度數(shù)的一半,

∠BCD的度數(shù)=BAD的度數(shù)的一半,BCDAO仍然成立根據(jù)分析,你能得到什么結論嗎?如果一個四邊形的所有頂點都在同一個圓上,這個四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形.AOCBD這個圓叫做這個四邊形的外接圓.歸納幾何語言∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,∴∠A+∠C=180°,∠B+∠D=180°.

圓內(nèi)接四邊形的對角互補.想一想

如果延長BC到E,那么∠A與∠DCE會有怎樣的關系呢?∵∠DCE+∠BCD

=180°,又∠A+∠BCD=180°,∴∠A=∠DCE.BCDAOE

因為∠A是與∠DCE相鄰的內(nèi)角∠DCB的對角,我們把∠A叫做∠DCE的內(nèi)對角.幾何語言∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,∴∠A=∠DCE.

圓內(nèi)接四邊形的任何一個外角都等于它的內(nèi)對角.BCDAOE歸納如圖,⊙O的直徑AB=10cm,C為⊙O上一點,∠ABC=30°,求AC的長.例1

分析:直徑所對的圓周角是直角(90°).典型例題典型例題例2

△ABC的外角∠BAM的平分線與它的外接圓相交于點E,連接BE,CE.試判斷BE與CE是否相等,并說明理由.EM解:BE=CE,理由如下:∵∠EAM是圓內(nèi)接四邊形AEBC的外角,∴∠EAM=∠EBC.∵∠ECB=∠EAB,∠EAM=∠EAB,∴∠ECB=∠EBC.∴EB=EC.【分析】欲證明EB=EC,只要證明∠ECB=∠EBC即可.典型例題例3

如圖,在⊙O中,∠BOD=80°,求∠A和∠C的度數(shù).ABCDO【分析】先根據(jù)圓周角定理求出∠A的度數(shù),再由圓內(nèi)接四邊形的性質得出∠C的度數(shù)即可.解:∵∠BOD與∠A是同弧所對的圓心角與圓周角,∠BOD=80°,∴∠A=

×80°=40°∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形,∴∠C=180°-∠A=180°-40°=140°.隨堂練習1.小明想用直角尺檢查某些工件是否恰好為半圓形.如圖,你能判斷哪個是半圓形?為什么?(1)(2)(3)(4)90°的圓周角所對的弦是直徑.隨堂練習2.如圖,四邊形ABCD為圓的內(nèi)接四邊形,DA,CB的延長線交于點P,∠P=30°,∠ABC=100°,則∠C=

.70°3.如圖,四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形,∠B=130°,則∠AOC的度數(shù)是

.100°隨堂練習4.如圖,CD為半圓上的兩點,且

=,連接AC并延長,與BD的延長線相交于點E.寫出圖中相等的線段,并說明理由.解:AB=AE,BD=ED=CD.理由:連接AD,則∠ADB=90°,∴△ADB和△ADE都是直角三角形.∴∠B與∠BAD互余,∠E與∠EAD互余.∵

,∴∠BAD=∠EAD,

BD=CD.∴∠B=∠E.∴AB=AE.∴BD=ED.隨堂練習5.如圖,AB為半圓的直徑,點C,D在半圓上,且AD=CD,∠B=50°,求∠A,∠C的度數(shù).

??圓周角定理的推論:直徑所對的圓周角是直角(90°).90°的圓周角所對的弦是直徑.圓內(nèi)接四邊形:如果一個多邊形的所有頂

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