從幾何直觀與理性的角度談數(shù)學欣賞

本文格式為Word版，下載可任意編輯——從幾何直觀與理性的角度談數(shù)學欣賞義務(wù)教育階段的幾何學可以分為直觀幾何學和演繹幾何學兩個水平。小學里學習的手段主要依靠直觀，拼一拼、量。量、折一折，得到的結(jié)論就是對的，其中雖然也有規(guī)律演繹成分，但是很少；到了初中階段，則主要學習演繹幾何學，以培養(yǎng)理性思維為主要需求，但也要源于直觀，努力從感性升華為理性。

那么，怎樣認識幾何直觀和理性思考之間的關(guān)系呢?本文擬作一賞析。

一、歸納思維：人和動物的區(qū)別

讓我們從一種自然現(xiàn)象說起。有人說動物也懂得幾何學，例如，蜘蛛織出的網(wǎng)是八邊形的，蜜蜂的蜂房是六邊形的，所以昆蟲懂得幾何學。更進一步的例子是說狗也懂得幾何學，例如，你把一根肉骨頭丟出去，它一定沿著直線奔過去，所以它知道兩點之間的連線以線段為最短。于是，曾經(jīng)有人評論說，中學里的幾何學說“兩點之間的連線以線段為最短〞連狗都知道，還要我們一本正經(jīng)學習它，有什么用呢?

這就涉及到人的理性思維問題。

動物的行為符合幾何學原理，乃是本能所致，并沒有、也不可能得出任何兩點之間距離這樣的概念，以及“以線段為最短〞的結(jié)論。只有人，才能有這樣的概括。這就是人的理性精神。

只有人，才能夠進行抽象的歸納。一個好玩兒的問題是，生來就是盲人的學者可以學習幾何學嗎?答案是確定的。盲人通過觸覺，可以得出任何兩點之間都以線段為最短的結(jié)論。正是基于人類具有歸納抽象的自然能力，即使不用眼睛直觀觀測，也可以得到正確的幾何學結(jié)論。

有人說直觀不可靠，由于有錯覺。由此認為直觀的結(jié)果不能相信，甚至有“不要相信自己的眼睛〞的說法。例如圖1中的5條直線平行嗎?顯然，度量的結(jié)果與眼睛所見相悖。類似于此的使人產(chǎn)生錯覺的圖形還有好多。俗話說“耳聽為虛，眼見為實〞，然而在學習幾何時，眼見未必為實。幾何要相信自己的眼睛，但千萬不能過分依靠于自己的眼睛。

這一論述，盡管有一定的合理成分，卻未免言過其實。眼睛的錯覺只是感覺層面的問題，但是人有頭腦進行分析，可以避免錯覺。上述的例子中，眼睛雖然不能判斷5條直線的平行，但是通過度量(依舊要依靠眼睛)就能夠改正這種錯覺。因此，不能用眼睛的錯覺來否定人的直觀性，包括幾何直觀。

小學幾何教學更多地關(guān)注的是試驗幾何、經(jīng)驗幾何和直觀幾何，讓學生感受幾何直觀的作用，培養(yǎng)學生的幾何直觀能力。通過學生的拼一拼、折一折、量一量等操作之后，更多的是要求學生相信自己的眼睛，經(jīng)過不完全歸納之后，就可以得出一些正確的結(jié)論。

例如，“三角形內(nèi)角和為180度〞的論斷，在小學里是通過剪拼活動得到的。雖然大家測量的結(jié)果，并非恰巧為180度，或者179度，或者181度等等。但是，人可以用歸納的方法，接受“內(nèi)角和為180度〞的結(jié)論。這和做一個物理試驗，驗證100度的水會沸騰的結(jié)論，在思維方法上完全一致。

有些結(jié)論不很顯然。例如隨便畫一個三角形的三條高，好像交于一點，奇妙極了。然后再畫幾個三角形，其三條高依舊交于一點，太巧了。這個畫法可以重復(fù)，相當于物理學做試驗，幾次驗證的結(jié)論都大體上一致。我們也已經(jīng)可以相信它是真理了。不過，這個結(jié)論并非一眼就能得出，細心的學生就會想：這個結(jié)論終究對不對呢?但是，最終還是將信將疑地接受了這一結(jié)論。

應(yīng)當說，直觀總的說來是可靠的。人類的知識大部分是依靠直觀觀測，通過分析比較，歸納總結(jié)得出來的。物理學用儀器觀測，化學用試驗檢測，生物學和地理學靠野外考察，都是首先運用直觀的方法獲取資料，經(jīng)過歸納整理，得到的系統(tǒng)知識。

那么，為什么我們還需要超乎“直觀〞的理性精神呢?直觀幾何為什么要提升為演繹幾何學呢?其根本原因在于歸納思維的確存在著某種缺陷。

二、公理化的演繹數(shù)學：理性精神的典范

歸納推理得到的結(jié)論大部分是對的，但是依舊不能保證絕對正確。古希臘以歐幾里得為代表的智者，完成了《幾何原本》這一宏偉著作，浮現(xiàn)了公理化數(shù)學體系巨大威力，成為人類理性文明的一面旗幟。

17世紀宏偉的數(shù)學家和哲學家萊布尼茲是一位“唯理論〞學者。他在名著《人類理智新論》[1]中說：

能夠印證一個一般真理的例子，不管數(shù)目怎樣多，也不足以建立這個真理的普遍必然性。特別是在算術(shù)和幾何學中所見到的那些必然的真理，應(yīng)當有一些原則可以不依靠實例來證明，因此也不依靠感覺的見證，盡管沒有感覺我們永遠不會想到它們。

這段話說明，沒有直觀的感覺，永遠想不到一些命題，但是由直觀對象概括的知識是否一定正確呢?要證明這個命題的普遍正確性，只靠不斷地舉例是不夠的。物理學等其他科學尊重的可以重復(fù)地試驗舉證，在數(shù)學家看來還不具備普遍的真理性。

萊布尼茲在上述論文中繼續(xù)指出：

感覺永遠只能給我們提供一些例子，也就是特別的或個別的真理。這一點必需分辯明白，歐幾里德就很懂得這一點，他對那些憑經(jīng)驗和感性影象就足以看出的東西，也往往用理性來加以證明，只有理性才能建立可靠的規(guī)律，并指出它的例外，以補不可靠的規(guī)律之不足，最終便從必然后果的力量中找出確定的聯(lián)系。這樣做往往使我們無需乎實際經(jīng)驗到影象之間的感性聯(lián)系，就能對事件的發(fā)生有所預(yù)見，而禽獸則只歸結(jié)到這種影象的感性聯(lián)系。

記得小學時老師在推導(dǎo)圓錐體積公式時用倒沙的方法，做一個與圓錐同底等高的圓柱，將圓錐里盛滿細沙，然后倒入圓柱容器內(nèi)，當時覺得很奇怪，三次正好倒?jié)M圓柱容器，也不會去細究誤差多少。通過幾次重復(fù)的試驗就得到了圓錐公式，然后更多的是通過練習加強公式的記憶；再有一個深刻的例子是推導(dǎo)圓柱的體積，每個學生回家切一小段蘿卜，然后在課堂上垂直等分，大致切到8份已經(jīng)不錯了，再分就快成蘿卜干了，然后老師讓我們拼成一個長方形，當時總是想不通，怎么會拼成長方形呢?還有蘿卜的水分跑掉了，體積不會改變嗎?總之是懵懵懂懂地就學會了這個公式。這種經(jīng)驗性、描述性的學習方法在初始階段是必要的。但是假使停留在這一認識階段，就離開了初中階段幾何教學的目標。

數(shù)學地看，“三角形內(nèi)角和為180度〞的命題，“量一量，’是不算數(shù)的。光有幾何直觀，數(shù)學教學就回到尼羅河時代了。有證明的必要，才會有學習的沖動，才能認清定理的本質(zhì)。古希臘學者的深邃思考，把它歸于更原始的公理，并且必需由平行公理出發(fā)用規(guī)律演繹方法加以證明。要欣賞數(shù)學的“真〞，就必需挑明這兩者的區(qū)別。這樣的認識，不會自動產(chǎn)生。只有教師把問題挑明白，學生感到數(shù)學推理的價值了，數(shù)學“欣賞〞也就在其中了。

記得著名作家談祥伯先生說過這樣的故事：他是1947年上海大同中學的畢業(yè)生，60年之后，老同學聚會見面，幾位研究物理學的老同學說，一個物理學定理成立，只要重復(fù)做幾次試驗，結(jié)果都穩(wěn)定地表達某一個規(guī)律，研究就算成功了?？墒菙?shù)學則不行。譬如，哥德巴赫猜想是說“一

個充分大的偶數(shù)必定可以表示為兩個素數(shù)之和〞，雖然我們已經(jīng)用超級計算機驗證過，凡小于10的偶數(shù)都是兩個素數(shù)之和，但是依舊不能說這個猜想已經(jīng)成立。

譬如，上面提到的三角形的三條高交于一點的結(jié)論，只有用規(guī)律證明之后，才會確信無疑。此時的證明，會像醍醐灌頂，豁然開朗，受益無窮。

再舉一個教學設(shè)計的例子：“對頂角相等〞，這是平面幾何開頭的第一個定理。定理本身十分直觀，無庸質(zhì)疑。假使就事論事地講解一番，或者時尚地讓學生“量一量〞、“拼一拼〞那樣地活動一下，都不能使學生獲得數(shù)學之“真〞的欣賞。

事實上，我們的主題不是“對頂角相等〞的知識本身及其如何證明，關(guān)鍵是要問：這樣明顯的命題要不要證明?一般而論，這么簡單的問題何須證明?一本正經(jīng)地證明一番，豈不是自找麻煩?但是古希臘數(shù)學家認為需要證明。認知沖突發(fā)生了，數(shù)學教學進入了核心部分。

如圖2所示，∠AOC+∠COB=∠BOD+∠COB=180度，兩邊減去∠COB，即得∠AOC=∠BOD，命題得證。

問題歸結(jié)為“等量減等量其差相等〞的更加明白易懂的這一公理加以證明，恰是人追求宏偉理性精神的關(guān)鍵一步。只有把教學重點放在‘要不要證’，而不是讓學生被動地接受這一命題的知識，才會讓學生知道自己的淺薄，體驗古希臘理性精神的宏偉。

從“顯然正確因而不必證明〞，到“崇尚理性需要證明〞，是一次思想上的飛躍和升華，可以說震撼了莘莘學子的“靈魂〞。不過，現(xiàn)行的教材大多沒有這樣寫，課堂上教師也很少這樣教。大量學生猶如豬八戒吃人參果，吃到肚里卻不知道什么滋味，未免惋惜。當數(shù)學理性的“欣賞〞出現(xiàn)缺失的時候，當知我們努力之所在了。

三、中國科學傳統(tǒng)中缺乏理性思維的成分，幾何教學應(yīng)當加以補足

中國古代數(shù)學具有輝煌的成就，特別以算法體系的特征，為人類的文明進步做出過重大的貢獻。中國的幾何學，以勾股定理為核心，運用一些規(guī)律推理方法，得到了大量重要的結(jié)論，并服務(wù)于天文、建筑、治水等大量科學工程問題的解決。但是，無庸諱言的是，中國的幾何學缺乏嚴密的公理化體系。中國古代數(shù)學中，沒有“角〞的概念，更沒有“對頂角相等〞、“三角形內(nèi)角和為180度〞這樣的命題。

正是對數(shù)學理性精神的欣賞與震撼，使得徐光啟發(fā)出《幾何原本》“以當百家之用〞的吶喊。徐光啟在《刻幾何原本序》中所說，對于幾何學提供的知識，我們有四不必：“不必疑，不必揣，不必試，不必改〞；有四不可得：“欲脫之不得，欲駁之不得，欲減之不得，欲前后倒之不得〞，頗為震撼。徐光啟作為首先接觸這一嚴密規(guī)律體系的中國人，他敏感地覺察到這種定理體系的表達和中國古代數(shù)學著作的本質(zhì)區(qū)別。他認為，幾何是理性的思維，幾何問題由“四望無路〞到“蹊徑歷然〞、“自首迄尾，悉皆顯明文字〞。

聯(lián)想到我們的幾何教學，是否也能讓學生具有徐光啟那樣的感受，接受古希臘理性思維的洗禮呢?數(shù)學課上假使老是‘做題目〞，不能觸及數(shù)學思想，不能在情感上得到某種震撼，幾何學的教學目標就丟失了大半。

中學生的幾何學習從“拼〞開始最終還得落實到“證〞。至于這時機如何拿捏倒是學問。教材和教師都要精心設(shè)計使學生從直觀幾何到論證幾何、從歸納推理到演繹推理的過渡階梯。

四、理性思考，導(dǎo)致更深刻的應(yīng)用

人之所以區(qū)別與其它生物而主宰了世界，一個重要的理由是，動物的某些符合數(shù)學原理的行為人也能做，然而，人更為出眾的是，擅長從一些紛雜的現(xiàn)象中歸納出規(guī)律，并跳出經(jīng)驗的層面，用理性去分析和研究它，并最終在改造自然的實踐中得以運用。

例如，本文一開始舉的‘兩點之間的連線以線段為最短〞的例子，戲謔為連狗都知道的道理。但是人要做的，若重復(fù)著狗的做法，譬如在草坪里踩出一條所謂符合數(shù)學公理的捷徑，那便是一種悲哀了。人們從眾多狗兒們的表現(xiàn)中，明白了一個公理，并能理性地進行歸納、總結(jié)，應(yīng)用于各種不同的情形，包括生活實踐，那才是人應(yīng)當做的事。

譬如說，小狗在一條水渠的一邊A地，肉骨頭在水渠的另一邊B地，顯然，出于動物的本能，他會跳過水渠而直奔肉骨頭而去。但是，問題假使改為，小狗從水渠的一側(cè)A地要跑到同側(cè)的B地，且小狗很渴，中間必需在水渠里飲水一次，問最短路線是怎樣的(如圖3所示)。

那么，小狗是斷然不會想到作點A關(guān)于水渠的對稱點A"后再連結(jié)A"B，找到A"B與水渠的交