1.1.1-空間向量及其線性運(yùn)算-教案-2023學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版(2019)選擇性必修二

1.1.1空間向量及其線性運(yùn)算1教學(xué)內(nèi)容類比平面向量，建構(gòu)空間向量及其運(yùn)算的研究框架；空間向量的概念，空間向量的線性運(yùn)算及其運(yùn)算律；空間向量共線、共面的充要條件；用空間向量線性運(yùn)算解決幾何中的平行、共面問題.2教學(xué)目標(biāo)（1）類比平面向量及其應(yīng)用，構(gòu)建空間向量及其運(yùn)算的研究框架.（2）能類比平面向量，給出空間向量的概念，能解釋相等向量、相反向量、共線向量的相互關(guān)系；能提過具體實(shí)例解釋空間向量共線、共面的充要條件.能通過具體實(shí)例說明空間向量共線、共面的充要條件，能解釋其幾何意義，會用于判斷兩個向量是否共線，會用空間向量共面定理判別三個向量是否共面.（3）能應(yīng)用平行四邊形法則和三角形法則進(jìn)行空間向量的加減運(yùn)算；能借助平行六面體解釋空間三個向量之和的幾何意義；能類比平面向量，進(jìn)行空間向量的數(shù)乘運(yùn)算.（4）能將平面向量線性運(yùn)算的運(yùn)算律推廣到空間，并能進(jìn)行證明；會用空間向量的線性運(yùn)算表示空間中的基本元素.（5）會用空間向量的線性運(yùn)算解決立體幾何問題中的共面和平行問題.3教學(xué)重點(diǎn)與教學(xué)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：本章內(nèi)容整體框架的建構(gòu)；空間向量及其相關(guān)概念；空間向量的線性運(yùn)算及其運(yùn)算律的驗(yàn)證；空間向量共線、共面的充要條件.教學(xué)難點(diǎn)：空間向量加法結(jié)合律的證明；空間向量共面的充要條件.4教學(xué)過程設(shè)計(jì)大小大小關(guān)鍵點(diǎn)：大小大小類比空間向量方向平面向量類比空間向量方向平面向量方向方向引導(dǎo)語：通過“平面向量及其應(yīng)用”的學(xué)習(xí)，我們知道，平面內(nèi)的點(diǎn)、直線可以通過平面向量及其運(yùn)算來表示，它們之間的平行、垂直、夾角、距離等關(guān)系可以通過平面向量運(yùn)算而得到，從而有關(guān)平面圖形的問題可以利用平面向量的方法解決.在“立體幾何初步”中，我們用綜合幾何方法研究了空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征以及空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系.一個自然的想法是，能否把平面向量推廣到空間向量，從而利用空間向量表示空間中點(diǎn)、直線、平面等基本元素，通過空間向量運(yùn)算解決立體幾何問題.在本章，我們就來研究這些問題.下面我們類比平面向量研究空間向量，先從空間向量的概念和表示開始.任務(wù)一:空間向量的基本概念.閱讀教材第2頁（5分鐘）并完成問題1，2，3.問題1.類比平面向量及其相關(guān)的概念完成下表：平面向量空間向量向量具有大小和方向的量向量基本概念長度或模平面向量的大小表示方法幾何表示法：有向線段；字母表示法AB或a零向量長度為0的向量.注：大小為0，方向任意，只有一個.特殊向量單位向量長度等于1個單位的向量.注：大小為1，方向待定，有無數(shù)個.相等向量大小相等且方向相同的向量向量間的關(guān)系相反向量大小相等且方向相反的向量平行向量方向相同或相反的非零向量.規(guī)定：零向量與任一向量平行.共線向量平行向量問題2：利用空間向量的有關(guān)概念解題，判斷對錯，并說明理由.(1)若向量a和向量b都是單位向量，則a=b.（）(2)零向量和任何向量平行.（）(3)相反向量一定共線.（）(4)共線向量一定相等.（）(5)若兩個向量在同一直線上，則這兩個向量一定是平行向量.（）(6)零向量沒有方向.（）(7)平行于同一個向量的兩個向量是平行向量.（)(8)若向量a和向量b不共線，則兩個向量不平行.（）變式訓(xùn)練1.給出下列命題：①若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－b；②若向量a是向量b的相反向量，則|a|＝|b|；③在正方體ABCD-A1B1C1D1中，eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(A1C1,\s\up8(→))；④若空間向量m，n，p滿足m＝n，n＝p，則m＝p.其中正確命題的序號是________．問題3：如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，寫出滿足下列條件的所有的向量.（1）寫出與AB相等的向量.（2）寫出與AB相反的向量.（3）寫出與AB共線的向量.師生活動：在一組判斷習(xí)題中完成對空間向量及其相關(guān)概念的學(xué)習(xí)，尤其對共線向量和平行向量概念的理解，與學(xué)生探討最后教師總結(jié)：其本質(zhì)就是根據(jù)相等向量的定義得知向量的可移動性，也為后續(xù)的知識打好基礎(chǔ).設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過閱讀并獨(dú)立思考，通過類比的手法給出空間向量的概念以及相關(guān)知識點(diǎn)，鍛煉學(xué)生的猜想探究能力,結(jié)合平面向量的知識得出空間向量間的關(guān)系，并能掌握它們之間的差別與聯(lián)系，同時也鍛煉學(xué)生的概括理解能力；同時有意訓(xùn)練學(xué)生在特殊的幾何體中去感受空間向量的關(guān)系，也為后續(xù)的共面向量定理做好準(zhǔn)備.任務(wù)二:空間向量的線性運(yùn)算.引導(dǎo)語：數(shù)學(xué)中，引進(jìn)一種量后，一個很自然的問題就是要研究它們的運(yùn)算.由于任意兩個空間向量都可以通過平移轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的向量，這樣任意兩個空間向量的運(yùn)算就可以轉(zhuǎn)化為平面向量的運(yùn)算.因此，我們把平面向量的線性運(yùn)算推廣到空間，定義空間向量的加減法以及數(shù)乘運(yùn)算.核心知識點(diǎn)：空間向量的線性運(yùn)算(1)向量的加法、減法空間向量的運(yùn)算加法eq\o(OB,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝a＋b減法eq\o(CA,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))＝a－b加法運(yùn)算律①交換律：a＋b＝b＋a②結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)(2)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算①定義：實(shí)數(shù)λ與空間向量a的乘積λa仍然是一個向量，稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算．當(dāng)λ>0時，λa與向量a方向相同；當(dāng)λ<0時，λa與向量a方向相反；當(dāng)λ＝0時，λa＝0；λa的長度是a的長度的|λ|倍．②線性運(yùn)算的運(yùn)算律（其中λ，μ是實(shí)數(shù)）a．結(jié)合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a.b．分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.問題4：結(jié)合教材第3頁的探究問題，你能證明加法的結(jié)合律嗎？在證明時與平面向量的結(jié)合律有什么不同?可以發(fā)現(xiàn)，AB+其中包含問題:(1)向量加減法有幾種法則？它們的原則是什么？(2)對于兩個向量來說，空間向量與平面向量有何區(qū)別？(3)空間任意兩個向量的線性運(yùn)算，平面向量的結(jié)論都適用嗎？總結(jié)：一般地，對于三個不共面的向量a，b，c，以任意點(diǎn)O為起點(diǎn)，a，b，c為鄰邊作平行六面體，則a，b，c的和等于以O(shè)為起點(diǎn)的平行六面體對角線所表示的向量.另外，利用向量加法的交換律和結(jié)合律，還可以得到：有限個向量求和，交換相加向量的順序，其和不變.師生活動：教師先讓學(xué)生思考，再師生一起歸納:對于問題（1）讓學(xué)生去回答，通過回答的過程完成記憶的喚醒，對加法的三角形法則和平行四邊形法則加深理解，同時減法的三角形法則要注意是“共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，方向指向被減向量”；對于問題（2）平面向量在一個平面內(nèi)可以平移，而空間向量在空間也可以平移，平移后的向量與原向量是同一向量，由此得出空間任意兩個向量都可轉(zhuǎn)化為共面向量；對于問題（3）答案是肯定的，在于學(xué)生一問一答的交流中得出結(jié)論：空間任意兩個向量的線性運(yùn)算，平面向量的結(jié)論都適用.設(shè)計(jì)意圖：通過具體問題，引導(dǎo)學(xué)生初步歸納空間向量的線性運(yùn)算的運(yùn)算律，并從宏觀上構(gòu)建研究空間向量的路徑.為鞏固所學(xué)知識，安排一道例題和變式：例1.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列各式中運(yùn)算結(jié)果為向量eq\o(AC1,\s\up8(→))的有()①(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→)))＋eq\o(CC1,\s\up8(→))；②(eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\o(A1D1,\s\up8(→)))＋eq\o(D1C1,\s\up8(→))；③(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BB1,\s\up8(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up8(→))；④(eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\o(A1B1,\s\up8(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up8(→)).A．1個B．2個C．3個D．4個變1.如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點(diǎn).若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up8(→))＝c，則下列向量中與eq\o(BM,\s\up6(→))相等的向量是()A.－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c B.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cC.－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋cD.eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c教師根據(jù)以上問題的回顧教師提出追問1：對任意兩個空間向量a與b，如果a=λb(λ∈R)，a與b有什么位置關(guān)系？反過來，a與b設(shè)計(jì)意圖：通過具體問題，引導(dǎo)學(xué)生初步歸納空間向量的共線向量定理.任務(wù)三:共線向量定理.(1)共線向量定理：對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ使a＝λb.(2)如圖，O是直線l上一點(diǎn)，在直線l上取非零向量a，則對于直線l上任意一點(diǎn)P，由數(shù)乘向量定義及向量共線的充要條件可知，存在實(shí)數(shù)λ，使得eq\o(OP,\s\up8(→))＝λa.同時我們把與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量．問題5：如圖，如果l為經(jīng)過已知點(diǎn)A且平行于已知向量a的直線，那么對任一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t,滿足哪個等式？答：在l上取eq\o(AB,\s\up6(→))=a，可得AP=ta=tAB問題6：運(yùn)用向量的加法還可以得出什么？答：OP=OA+AP,師生活動：共同研討得出共線向量定理的推論：設(shè)O,A,B三點(diǎn)不共線，那么點(diǎn)P在直線AB上的充要條件是：存在唯一實(shí)數(shù)t,使得OP=設(shè)計(jì)意圖：通過教師的引導(dǎo)學(xué)生逐步得出共線定理的推理，培養(yǎng)了學(xué)生的猜想探究能力.任務(wù)四:共面向量定理.根據(jù)平面向量知識，回答下列問題：問題6：當(dāng)向量a，b不共線時，對于平面內(nèi)任一向量p是否都能用向量a，b表示？怎樣表示？答：是，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使向量p＝xa＋yb.問題7：任意兩個向量是共面的，若空間有三個向量，在什么條件下可以共面呢？【提示】若三個向量中其中一個可以被另外兩個線性表示，即向量p,a，b，存在有序數(shù)對（x，y）使得p=xa+yb時，這三個向量共面。核心知識點(diǎn)：(1)共面向量定義：如果表示向量a的有向線段eq\o(OA,\s\up6(→))所在的直線OA與直線l平行或重合，那么稱向量a平行于直線l.如果直線OA平行于平面α或在平面α內(nèi)，那么稱向量a平行于平面α.平行于同一個平面的向量，叫做共面向量．(2)共面向量定理：若兩個向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件：存在有序?qū)崝?shù)對(x，y),使eq\o(AP,\s\up8(→))＝xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→))或?qū)臻g任意一點(diǎn)O，有eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→)).例2-1.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，且eq\o(A1E,\s\up8(→))＝2eq\o(ED1,\s\up8(→))，F(xiàn)在對角線A1C上，且eq\o(A1F,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(FC,\s\up8(→)).求證：E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線．例2-2.已知A，B，C三點(diǎn)不共線，O為平面ABC外一點(diǎn)，若點(diǎn)M滿足eq\o(OM,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up8(→)).判斷eq\o(MA,\s\up8(→))，eq\o(MB,\s\up8(→))，eq\o(MC,\s\up8(→))三個向量是否共面？例題總結(jié)：1.證明向量共面，可以利用共面向量的充要條件，也可直接利用定義.2.利用向量法證明點(diǎn)共面、線共面問題，關(guān)鍵是熟練地進(jìn)行向量表示，恰當(dāng)應(yīng)用向量共面的充要條件，解題過程中注意直線與向量的相互轉(zhuǎn)化．3.空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→)).滿足這個關(guān)系式的點(diǎn)P都在平面MAB內(nèi)；反之，平面MAB內(nèi)的任一點(diǎn)P都滿足這個關(guān)系式．這個充要條件常用以證明四點(diǎn)共面.設(shè)計(jì)意圖：不論是點(diǎn)共線，還是向量共面問題都離不開空間向量的線性運(yùn)算，要讓學(xué)生清楚解決問題的關(guān)鍵是什么,通過與學(xué)生的分析與探究真正的理解共線向量定理與共面向量定理的含義，也為后面利用空間向量來解決簡單的立體幾何問題打好基礎(chǔ).六、課堂檢測與評價(jià)：1.在四面體OABC中，eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))等于()A.eq\o(OA,\s\up6(→))B.eq\o(AB,\s\up6(→))C.eq\o(OC,\s\up6(→)) D.eq\o(AC,\s\up6(→))2.已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(A1C1,\s\up6(→))，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝xeq\o(AA1,\s\up6(→))＋y(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))則()A．x＝1，y＝eq\f(1,2) B．x＝eq\f(1,2)，y＝1C．x＝1，y＝eq\f(1,