FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法

FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法第1頁/共97頁2引言（1）IIR數(shù)字濾波器在前述設(shè)計(jì)中只強(qiáng)調(diào)了幅頻特性，其相頻特性不好，雖然可以用全通網(wǎng)絡(luò)給以校正，仍不算好。在圖象處理及數(shù)據(jù)傳輸中，要求線性相位（只產(chǎn)生群延時(shí)，不產(chǎn)生波形畸變），用FIR濾波器較適宜。FIR濾波器是多項(xiàng)式形式，沒有分式分母部分，易于用FFT法實(shí)現(xiàn)。由于非線性相位系統(tǒng)一般可用IIR濾波器實(shí)現(xiàn)，故這里討論線性相位FIR。一、FIR與IIR相比較：第2頁/共97頁二、FIR與IIR相比較：

首先在相頻特性控制上可以做到線性相位，IIR而不能做到這一點(diǎn)，這一點(diǎn)在通信等領(lǐng)域中要求卻很重要；其次，F(xiàn)IR不存在穩(wěn)定性問題，其非遞歸結(jié)構(gòu)不會產(chǎn)生極限環(huán)現(xiàn)象等有限精度問題；最后，F(xiàn)IR還可以FFT用來濾波。故FIR應(yīng)用越來越多。第3頁/共97頁三、線性相位設(shè)計(jì)的重要性1、系統(tǒng)的相移會造成信號波形的改變時(shí)間t幅度原始信號時(shí)間t幅度相移90o時(shí)間t幅度相移180o第4頁/共97頁2、系統(tǒng)非線性相移造成輸出信號失真f1f2f時(shí)延f1f2f時(shí)延f1f2f()f1f2f()系統(tǒng)相位特性決定了信號不同頻率的時(shí)延第5頁/共97頁3、忽略相位信息的后果輸入波形DFT變換忽略相位信息IDFT變換輸出波形第6頁/共97頁4、要求線性相位的例子通信系統(tǒng)：調(diào)制解調(diào)器、綜合業(yè)務(wù)數(shù)據(jù)網(wǎng)（ISDN）等。希爾伯特變換器：要求輸入輸出信號正交。高保真音響系統(tǒng)：音樂的相位失真必須減到最小，盡可能逼真地重現(xiàn)原來的聲音。理想微分器：……第7頁/共97頁線性相位要求：5、線性相位的FIR濾波器設(shè)計(jì)基礎(chǔ)----系統(tǒng)的群延遲第8頁/共97頁9線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)

（1）對于FIR濾波器，單位沖激響應(yīng)

的Z變換為

，共N個(gè)樣點(diǎn)長，N-1階多項(xiàng)式，有N-1個(gè)零點(diǎn)，N-1階極點(diǎn)z=0在原點(diǎn)處。一、線性相位條件

當(dāng)

為實(shí)數(shù)，

，且滿足下列條件之一：

——偶對稱

——奇對稱

則具有線性相位特性。

第9頁/共97頁10線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)

（2）又由于N分為奇、偶兩種情形，故組合出四種情形。

偶對稱，N為奇情形偶對稱，N為偶情形第10頁/共97頁11線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)

（3）奇對稱，N為奇情形

奇對稱，N為偶情形注意：無論是奇對稱還是偶對稱，對稱中心在n=(N-1)/2處。

第11頁/共97頁12線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)

（4）二、線性相位特點(diǎn)

這里推導(dǎo)一下滿足偶對稱或奇對稱的

具有線性相位，即（7-2）

是幅度，

是相角。

其中

，k，b是常量，-k稱為群延時(shí)

，第12頁/共97頁13線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)

（5）1.

是偶對稱的情況

從而

，進(jìn)而：

第13頁/共97頁14線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)

（6）比較（7-2），幅度、相位分別為：

（7-17）（7-18）

第14頁/共97頁15線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)

（7）2.是奇對稱的情況

從而有

，進(jìn)而：

第15頁/共97頁16線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)

（8）在單位圓上：

第16頁/共97頁17線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)

（9）（7-20）（7-21）

線性相位，但有固定相移。

三、幅度函數(shù)的特點(diǎn)

幅度函數(shù)的討論不僅對偶對稱和奇對稱不同，且N為奇偶也不同。

第17頁/共97頁18線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)

（10）1.h(n)是偶對稱，N為奇數(shù)

由（7-17）式

其中

是偶對稱，而

也對

處成偶對稱，故整個(gè)

關(guān)于

成偶對稱，除中點(diǎn)處外，可以把第一點(diǎn)與最后一點(diǎn)合并×2，第二點(diǎn)與倒數(shù)第二點(diǎn)合并×2，則有第18頁/共97頁19線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)

（11）令

，則可記做

其中

，，第19頁/共97頁20線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)

（12）關(guān)于

呈偶對稱

0h(n)是偶對稱，N為奇數(shù)第20頁/共97頁21線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)

（13）2.h(n)是偶對稱，N為偶數(shù)

與

為奇數(shù)不同在于

合并偶對稱項(xiàng)時(shí)，沒有中間項(xiàng)，可寫成：

記作：

其中

，第21頁/共97頁22線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)

（14）∴

，在

處有一個(gè)零點(diǎn)

關(guān)于

呈偶對稱，對

呈奇對稱

（不可用作高通、帶阻）。

0h(n)是偶對稱，N為偶數(shù)第22頁/共97頁23線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)

（15）3.h(n)是奇對稱，N為奇數(shù)

由（7-20）式

由知，即中間項(xiàng)為零。

故也是奇對稱的，合并相等項(xiàng)

第23頁/共97頁24線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)

（16）可表示為：

其中

，在

處

，即

在

處為零點(diǎn)。

第24頁/共97頁25線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)

（17）

0h(n)是奇對稱，N為奇數(shù)關(guān)于

呈奇對稱

第25頁/共97頁26線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)

（18）4.h(n)是奇對稱，N為偶數(shù)

與3.情況相同，但無中間項(xiàng)

令

，則記做：

其中

，第26頁/共97頁27線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)

（19）在

處

在

處為零點(diǎn)

在

呈奇對稱，在

呈偶對稱（不可用作低通、帶阻）。

0h(n)是奇對稱，N為偶數(shù)第27頁/共97頁28線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)

（20）四、零點(diǎn)位置

由于線性相位FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)總滿足

，是

的零點(diǎn)

，故

也是

的零點(diǎn)

加之

是實(shí)數(shù)，對應(yīng)

的零點(diǎn)總是成共軛對出現(xiàn)，故一般總是4個(gè)零點(diǎn)一組同時(shí)出現(xiàn)

當(dāng)零點(diǎn)是復(fù)零點(diǎn)時(shí)總是4個(gè)一組出現(xiàn)第28頁/共97頁29線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)

（21）圖

1Re(z)jIm(z)0一般情況第29頁/共97頁30線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)

（22）有幾個(gè)特例情況，即零點(diǎn)在單位圓上或在實(shí)軸上，需要另外討論。

1.零點(diǎn)在單位圓上，但不在實(shí)軸上時(shí)，也需呈共軛對。

1Re(z)jIm(z)0二階FIR濾波器

第30頁/共97頁31線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)

（23）2.零點(diǎn)在實(shí)軸上，但不在單位圓上時(shí)，實(shí)數(shù)的倒數(shù)仍是實(shí)數(shù)，也成對出現(xiàn)。

1Re(z)jIm(z)0二階FIR濾波器

第31頁/共97頁32線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)

（24）3.零點(diǎn)在單位圓上，且在實(shí)軸上時(shí)。

1Re(z)jIm(z)0一階FIR濾波器

第32頁/共97頁33線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)

（25）對為偶數(shù)時(shí)，如奇對稱，有，在處是零點(diǎn)（不適合低通、帶阻）對為偶數(shù)時(shí)，如偶對稱，有，在處是零點(diǎn)（不適合高通、帶阻）對為奇數(shù)時(shí)，如奇對稱，有，，處是零點(diǎn)（不適合低通、高通、帶阻）這三種情況必有零點(diǎn)

返回第33頁/共97頁34窗函數(shù)設(shè)計(jì)法（1）提到窗函數(shù)，首先有兩點(diǎn)要搞清楚，一是什么是窗，二是這里是什么窗。窗的概念是取已知序列的一部分，該部分每點(diǎn)值要對應(yīng)乘上窗的值。

窗函數(shù)設(shè)計(jì)法（時(shí)窗設(shè)計(jì)法）的過程如下：

2.取窗函數(shù)，去掉

部分，得到物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)

3.其Z變換對應(yīng)物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)函數(shù)，

其幅頻特性將近似于原理想濾波器1.給定理想的數(shù)字濾波器

，求得其對應(yīng)時(shí)域單位采樣響應(yīng)為。是物理不可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)時(shí)

）（因?yàn)榈?4頁/共97頁35設(shè)計(jì)流程：IDTFT選擇窗DTFT檢驗(yàn)窗函數(shù)設(shè)計(jì)法的優(yōu)點(diǎn)是簡單實(shí)用（特別是Hamming窗、Hanning窗）；缺點(diǎn)是截止頻率不易準(zhǔn)確控制，有時(shí)需多次尋優(yōu)計(jì)算逼近。

第35頁/共97頁36窗函數(shù)設(shè)計(jì)法（2）從這一過程可看到取的是時(shí)窗，而這一過程稱FIR濾波器的窗函數(shù)法。由于這一方法涉及時(shí)域到Z域的變換，可用FFT快速計(jì)算，故又稱傅立葉級數(shù)法。

全過程的數(shù)學(xué)描述如下：

對已知濾波器

，其時(shí)域采樣響應(yīng)

用

表示為：

例：對理想低通

第36頁/共97頁37窗函數(shù)設(shè)計(jì)法（3）進(jìn)一步設(shè)窗函數(shù)為

，得物理可實(shí)現(xiàn)

為

其中設(shè)選矩形時(shí)窗，窗寬

，即

此時(shí)

第37頁/共97頁圖7.2.1理想低通的單位脈沖響應(yīng)及矩形窗第38頁/共97頁39窗函數(shù)設(shè)計(jì)法（4）如上得到時(shí)域結(jié)果。如果要求Z域結(jié)果，一種簡單方法是求出

后，就是有限長FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。

這種方法求出的

和

差距有多大，如何減少差距是下面要進(jìn)一步分析的內(nèi)容。傅立葉變換具有一個(gè)重要的性質(zhì)：

時(shí)域的卷積對應(yīng)頻域的乘積

時(shí)域的乘積對應(yīng)頻域的卷積

第39頁/共97頁40窗函數(shù)設(shè)計(jì)法（5）由于

是

與

之積構(gòu)成，故

是

與

的卷積，

是理想矩形，而

是矩形時(shí)，

是卷積關(guān)系，從圖形上看一下這一卷積的效果。

圖7-7、7-8

第40頁/共97頁圖7-8矩形窗的卷積過程第41頁/共97頁42窗函數(shù)設(shè)計(jì)法（6）如果窗函數(shù)的頻譜是一個(gè)

，則卷積能保持原

的理想形式，

但

要求時(shí)域窗是常數(shù)，無限長，無法物理實(shí)現(xiàn)，故選窗函數(shù)的主要構(gòu)想是選具有主瓣窄高，旁瓣小的頻域特性的時(shí)窗。（但兩者是矛盾的）主瓣窄，則過渡帶窄；旁瓣小，則衰減大；實(shí)際應(yīng)用中是用主瓣寬度換取較大衰減。下面介紹幾種時(shí)窗：

首先介紹描述窗函數(shù)頻譜中幾個(gè)參數(shù)。

第42頁/共97頁43窗函數(shù)設(shè)計(jì)法（7）對

進(jìn)行歸一化：

1）3dB帶寬B是主瓣下降-3dB時(shí)的帶寬，以

為單位1。

2）主瓣寬度（過零點(diǎn)帶寬），帶寬越小越好，減少過渡帶寬度，更陡

3）旁瓣峰值（最大旁瓣峰值A(chǔ)(db)），越小越好，減少波動（阻帶最小衰減）4）是旁瓣峰值衰減速度。

第43頁/共97頁44窗函數(shù)設(shè)計(jì)法（8）（1）矩形窗

主瓣寬度為，旁瓣較大第44頁/共97頁45窗函數(shù)設(shè)計(jì)法（9）（2）三角窗（Bartlett窗）

主瓣寬度為，旁瓣較小第45頁/共97頁46窗函數(shù)設(shè)計(jì)法（10）（3）漢寧（Hanning）窗：升余弦窗

主瓣寬度為，旁瓣電平變小第46頁/共97頁47窗函數(shù)設(shè)計(jì)法（11）（4）海明（Hamming）窗：改進(jìn)升余弦窗

主瓣寬度為，旁瓣幅度更小第47頁/共97頁48窗函數(shù)設(shè)計(jì)法（12）（5）布萊克曼（Blackman）窗：二階升余弦窗

其中

為二階諧波分量

主瓣寬度為為最大，旁瓣電平最小第48頁/共97頁49窗函數(shù)設(shè)計(jì)法（13）（6）凱澤（Kaiser）窗

由貝塞爾函數(shù)構(gòu)成，可以通過參數(shù)

調(diào)整，適應(yīng)性強(qiáng)。另有幾十種，例如Chebyshev窗，Gaussian（高斯）窗。

第49頁/共97頁50常用的六種窗函數(shù)(N=25)第50頁/共97頁51六種窗函數(shù)的窗譜(N=25)第51頁/共97頁52不同窗寬時(shí)漢寧窗的窗譜第52頁/共97頁重點(diǎn)看P342，表7-3第53頁/共97頁窗函數(shù)法的設(shè)計(jì)步驟給定理想的頻率響應(yīng)函數(shù)及技術(shù)指標(biāo)求出理想的單位抽樣響應(yīng)根據(jù)阻帶衰減選擇窗函數(shù)根據(jù)過渡帶寬確定N值求所設(shè)計(jì)的FIR濾波器的單位抽樣響應(yīng)求，檢驗(yàn)第54頁/共97頁窗函數(shù)法計(jì)算中的主要問題當(dāng)不是很復(fù)雜時(shí)，可以直接計(jì)算積分，否則必修用求和代替積分，以便在計(jì)算機(jī)上計(jì)算，也就是，要計(jì)算離散傅里葉反變換，一般都采用FFT來計(jì)算第55頁/共97頁線性相位FIR低通濾波器的設(shè)計(jì)用一個(gè)例子來講書P343第56頁/共97頁57例：FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)解：

求FIR濾波器低通沖激響應(yīng)h(n)

hd(n)的兩種編程實(shí)現(xiàn)方法

%方法二wc=0.3*pi;a=(N-1)/2;forn=1:N;m=n-1;ifm==ahd(n)=wc/pi;elsehd(n)=sin(wc*(m-a))/(pi*(m-a));endend%方法一wc=0.3*pi;a=(N-1)/2;n=0:N-1;m=n-a+eps;%通過加任意小值eps避免%了n=a時(shí)零比零的出現(xiàn)。hd=sin(wc*m)./(pi*m);第57頁/共97頁58例：FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)解：

求FIR濾波器低通沖激響應(yīng)h(n)

h(n)=hd(n)*w(n)hd(n)w(n)第58頁/共97頁59例：FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)解：

畫出h(n)的幅頻特性和相頻特性曲線

第59頁/共97頁60窗函數(shù)設(shè)計(jì)法（14）用窗函數(shù)設(shè)計(jì)法設(shè)計(jì)不同類型HP、BP、BS的方法

對低通單位抽樣響應(yīng)：

矩形時(shí)窗則取

第60頁/共97頁61窗函數(shù)設(shè)計(jì)法（15）對高通、帶通、帶阻，只需改變（1）式的上下限即可。1）高通：

則

高通濾波器＝全通濾波器－低通濾波器第61頁/共97頁62窗函數(shù)設(shè)計(jì)法（16）2）帶通：

帶通濾波器（w1,w2）＝低通濾波器（w2）－低通濾波器（w1）第62頁/共97頁63窗函數(shù)設(shè)計(jì)法（17）3）帶阻：

帶阻濾波器（w1,w2）＝低通濾波器（w1）＋高通濾波器（w2）第63頁/共97頁64窗函數(shù)設(shè)計(jì)法（18）可以觀察到：高通＝全通－低通帶通＝低通1－低通2帶阻＝低通＋高通＝全通－帶通窗函數(shù)法還可用于設(shè)計(jì)其它形式的濾波器

例：用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)一個(gè)

移相器，其理想頻率響應(yīng)為：

，稱為希爾伯特（Hilbert）變換器

第64頁/共97頁65窗函數(shù)設(shè)計(jì)法（19）取

奇對稱，N為奇數(shù)，

奇對稱

第65頁/共97頁66窗函數(shù)設(shè)計(jì)法（20）如

是矩形窗，則有：

為奇數(shù)

得到

，如需要可寫成

形式。

第66頁/共97頁67頻率抽樣設(shè)計(jì)法（1）窗函數(shù)設(shè)計(jì)法是令時(shí)域

與理想

相近，設(shè)計(jì)濾波器。

而頻率抽樣法是令頻域

來設(shè)計(jì)濾波器。

即：

令得到

后利用3.7節(jié)的插值公式（3-90），則有

其中

第67頁/共97頁68頻率抽樣設(shè)計(jì)法（2）一、線性相位的約束

如果用頻率抽樣法設(shè)計(jì)，又附加線性相位濾波要求，則對應(yīng)濾波器的對稱性有一定的要求，具體討論如下：

1.對

是偶對稱，且

為奇數(shù)時(shí)：

由表7-1第一欄：

第68頁/共97頁69頻率抽樣設(shè)計(jì)法（3）其中

是偶對稱

相位特性函數(shù)：

線性的

對

抽樣，則

，2.對

是偶對稱，且

為偶數(shù)時(shí)：

由表7-1第二欄：

奇對稱

3.對

是奇對稱，且

為奇數(shù)時(shí)：

由表7-1第三欄：

奇對稱

或或第69頁/共97頁70頻率抽樣設(shè)計(jì)法（4）4.對

是奇對稱，且

為偶數(shù)時(shí)：

由表7-1第四欄：

奇對稱

或二、頻率抽樣的兩種方法（兩種起點(diǎn)）

I型

已討論過

II型情況下：

第70頁/共97頁圖7-17兩種頻率抽樣第71頁/共97頁72頻率抽樣設(shè)計(jì)法（5）代入

這時(shí)（7-100）（7-101）第72頁/共97頁73頻率抽樣設(shè)計(jì)法（6）三、用

的模

表示線性相位濾波器

上面I型、II型表達(dá)式是已知

時(shí)求對應(yīng)線性相位的濾波器

，有時(shí)為設(shè)計(jì)方便，往往已知

而相位要求線性相位，來設(shè)計(jì)，此時(shí)

可表示成模及幅角形式：

，第73頁/共97頁三、線性相位第一種頻率抽樣由于當(dāng)h(n)為實(shí)數(shù)時(shí)，滿足由此得出即H(k)的模以k=N/2為對稱中心呈偶對稱，H(k)的相角(k)以k=N/2為對稱中心呈奇對稱。第74頁/共97頁利用線性相位的條件即可得到：當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，有當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，有第75頁/共97頁由此可知，當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，有同樣，當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，有第76頁/共97頁把上式帶入式7-90b，可以得到對線性相位第一種頻率抽樣，當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)對于線性相位第二種頻率抽樣，分析相同，自己看書第77頁/共97頁78四、過渡帶抽樣的優(yōu)化設(shè)計(jì)

為了減輕偏離理想濾波器的起伏振蕩，可放寬“理想程度”，加寬過渡帶，增加過渡抽樣點(diǎn)數(shù)，從而使整體性能更好。

增加過渡帶抽樣點(diǎn)，可加大阻帶衰減第78頁/共97頁加一點(diǎn)：不加過渡抽樣點(diǎn)：加兩點(diǎn)：加三點(diǎn)：第79頁/共97頁增加過渡帶抽樣點(diǎn)，可加大阻帶衰減，但導(dǎo)致過渡帶變寬增加N，使抽樣點(diǎn)變密，減小過渡帶寬度，但增加了計(jì)算量優(yōu)點(diǎn)：頻域直接設(shè)計(jì)缺點(diǎn)：抽樣頻率只能是2/N或/N的整數(shù)倍，截止頻率wc不能任意取值第80頁/共97頁例：利用頻率抽樣法設(shè)計(jì)一個(gè)頻率特性為矩形的理想低通濾波器，截止頻率為0.5，抽樣點(diǎn)數(shù)為N=33，要求濾波器具有線性相位。解：理想低通頻率特性按第一種頻率抽樣方式，N=33，得抽樣點(diǎn)第81頁/共97頁則：將這些值帶入（7-111）式，可得第82頁/共97頁為了改善頻率特性，以滿足指標(biāo)要求，可在通帶和阻帶交界處安排一個(gè)或幾個(gè)不等于零也不等于1的抽樣值，在本例中，在k=9處增加一個(gè)抽樣值第83頁/共97頁如果要進(jìn)一步增加阻帶衰減，可再添加第二個(gè)不等于1也不等于零的抽樣，這樣過渡帶又加寬了。第84頁/共97頁85例：FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)2．用頻率抽樣法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字低通濾波器，指標(biāo)如下。注意要選取合適的抽樣點(diǎn)數(shù)N使得在過渡帶內(nèi)有抽樣點(diǎn)，編程設(shè)計(jì)，求濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)，并畫出h(n)的幅頻特性和相頻特性曲線。第85頁/共97頁86

FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)解：（1）

wp=0.2π;ws=0.4π;

過渡帶=ws-wp=0.2π; 要選取合適的抽樣點(diǎn)數(shù)N使得在過渡帶內(nèi)無抽樣點(diǎn)。

第86頁/共97頁87

FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)解：N=10；magHk=[ones(1,2),zeros(1,7),ones(1,1)];%依據(jù)（7-107）式alpha=(N-1)/2；k1=0:(N/2-1);k2=(N/2+1):N-1;angHk=[-alpha*(2*pi)/N*k1,0,alpha*(2*pi)/N*(N-k2)];Hk=magHk.*exp(j*angHk);h=ifft(Hk,N);[H,w]=freqz(h,1,1000,'whole');第87頁/共97頁88

FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)抽樣點(diǎn)數(shù)N=10，過渡帶上無抽樣點(diǎn)。第88頁/共97頁89

FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)解：（2）

wp=0.2π;ws=0.4π;

過渡帶=ws-wp=0.2π; 要選取合適的抽樣點(diǎn)數(shù)N使得在過渡帶內(nèi)有抽樣點(diǎn)。 即0.2π內(nèi)至少有一個(gè)點(diǎn)T1。第89頁/共97頁90

FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)解：N=20；magHk=[ones(1,3),T1,zeros(1,13),T1,ones(1,2)];%依據(jù)（7-107）式alpha=(N-1)/2；k1=0:(N