導(dǎo)數(shù)對實際生活生產(chǎn)的重要性探究

本文格式為Word版，下載可任意編輯——導(dǎo)數(shù)對實際生活生產(chǎn)的重要性探究導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一，它在自然科學(xué)、工程技術(shù)等方面都有廣泛應(yīng)用。本文將介紹如何將生活中的有關(guān)數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為相關(guān)的導(dǎo)數(shù)問題來求解，以此說明導(dǎo)數(shù)對實際生活生產(chǎn)的重要性。

1導(dǎo)數(shù)有關(guān)的基本內(nèi)容

1.1導(dǎo)數(shù)的定義

設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在處取得增量時，相應(yīng)的取得增量；當(dāng)時，極限存在，則稱在點處可導(dǎo)，并稱此極限值為在點處的導(dǎo)數(shù)，記為，，。

1.2常見的導(dǎo)數(shù)的定義形式

1.3導(dǎo)函數(shù)的定義

假使函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的每點處都可導(dǎo)，就稱在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)。對任意都對應(yīng)著的一個確定的導(dǎo)數(shù)值，這樣就構(gòu)成了一個新的函數(shù)，這個函數(shù)叫做的導(dǎo)函數(shù)，記作：，，或，導(dǎo)函數(shù)簡稱導(dǎo)數(shù)。

即

2導(dǎo)數(shù)在實際生活生產(chǎn)中的重要應(yīng)用

在日常生活、生產(chǎn)中，往往會遇到這樣的問題，即求在什么條件下，可以使材料最省、時間最少、效率最高、利潤最大等，這些問題尋常稱為優(yōu)化問題。通過在謝的狀況下，導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)最大（?。┲档挠辛ぞ摺?/p>

2.1導(dǎo)數(shù)在物理學(xué)領(lǐng)域的重要應(yīng)用

例1在圖1所示的電路中，已知電源的內(nèi)阻為，電動勢為，外電阻為多大時，才能使電功率最大？最大電功率是多少？

解電功率，其中為電流強(qiáng)度，則

由，解得：。

分析得，當(dāng)時，取得極大值，且是最大值.最大值為

即：當(dāng)電阻R等于內(nèi)電阻時，電功率最大，最大電功率是。

2.2導(dǎo)數(shù)在幾何領(lǐng)域的重要應(yīng)用

例2在邊長為60cm的正方形鐵片的四角切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起（如圖2），做成一個無蓋的方底箱子，箱底的邊長是多少時，箱底的容積最大？最大容積是多少？

解法一：設(shè)箱底邊長為cm，則箱高cm，可得箱子容積為

令，解得（舍去），。

將代入得得箱子的容積為16000cm3。

由題意可知，當(dāng)過?。ń咏?）或過大（接近60）時，箱子容積很小，因此，16000是最大值.。

即當(dāng)cm時，箱子容積最大，最大容積是16000cm3。

法二：此題也可設(shè)箱高為cm，則箱底長為cm，如圖3，

則可得箱子容積為

令，解得（舍去），。

將代入得得箱子的容積為16000cm3。

由題目的兩種方法看出，箱子的容積的最大值出現(xiàn)在函數(shù)的極值點處。事實上，可導(dǎo)函數(shù)，在各自的定義域中都只有一個極值點，假使畫出函數(shù)圖象，即圖像只有一個波峰，這個極值點就是最值點，此時不需要考慮端點的函數(shù)值。

2.3導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域的重要應(yīng)用

在實際生產(chǎn)中，如何擴(kuò)大經(jīng)濟(jì)效益，提高生產(chǎn)利潤是生產(chǎn)者思考的問題。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，總利潤是指銷售個單位的產(chǎn)品所獲得的凈收入，即總收益與總成本之差，記為總利潤，則：

（其中表示銷售量）

將稱為平均利潤函數(shù)。

例3某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，固定成本為2000元，每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加100元。已知總收益為年產(chǎn)量的函數(shù)，且

問每年生產(chǎn)多少產(chǎn)品時，總利潤最大？此時總利潤是多少？

解由題意總成本函數(shù)為：

從而可得利潤函數(shù)為：

令

所以時總利潤最大，此時，即當(dāng)年產(chǎn)量為300個單位時，總利潤最大，此時總利潤為25000元。

3結(jié)語

在本文中，介紹了與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的基本內(nèi)容，并將實際生活生產(chǎn)中的物理問題、幾何問題