高考復(fù)習-功和能

專題點撥］

功和能

功和能，也是力學(xué)部分的重點內(nèi)容.這部分內(nèi)容概念、規(guī)律也多，但是條理清楚.下

面三個就是這部分最重要的問題.

1、功是重要的物理概念，計算功的方法有如下三種：

(1)根據(jù)功的定義計算功.

功是力在空間上的累積效果.利用公式那■不3計算功時要注意：①力三和位移

，必須是相關(guān)的，即三必須是在力三作用下發(fā)生的位移，并且二者的方向必須一致，如果二

者方向間有夾角古，可用公式郎&進行計算，或記?。河昧εc沿力方向的位移分

量相乘，即得功.②該公式只能計算恒力的功.如果是變力做功，必須把整個過程分成很多

小段，使每小段都可以看作是恒力做功，這樣就可以分別計算各小段的功，再把所有小段的

功加起來，即得出整個過程中的功.

Sf

P~—

(2)利用功率計算功.山于I因此產(chǎn)■尸功率是表示做功快慢的物

理量，在功率恒定的情況下，可利用功率與時間的乘積計算功.

(3)利用“功是能量變化的量度”計算功.

對于變力做功問題，不能直接套用公式用=題進行計算，而運用分段求功的辦法

一般比較繁瑣，而利用“功是能量變化的量度”計算功就是常用的方法.

2、正確理解“功是能量變化的量度”，是本章學(xué)習中的重要問題.

(1)動能定理.它解決了合外力對物體做的功與物體動能變化間的定量關(guān)系，即

合外力對物體所做的功，等于物體動能的增量，用公式表示是△=或

,8=/.%其中合外力做的功八的更確切說法應(yīng)是外力做功的代數(shù)和

(2)重力、彈簧彈力、萬有引力等“保守力”做的功等于相應(yīng)的勢能的減少量,

即:

重力、彈簧彈力、萬有引力等，它們做功有一個共同特點，即做功的數(shù)值與路程無

關(guān)，而只與始、末位置有關(guān)，我們把具有這樣特點的力稱為“保守力”，保守力都對應(yīng)有由

位置決定的勢能，即重力勢能、彈性勢能、引力勢能等.

可以把上面的關(guān)系具體化為％=?*8s,

T'2"

加

后面兩個式子加了一個*號，是因為我們中學(xué)階段目前不要求計算彈簧的彈性勢能

及引力勢能，但彈簧彈力及萬有引力做功與相應(yīng)勢能變化的關(guān)系還是應(yīng)該掌握的.

(3)對于摩擦力做功與生熱問題，也是學(xué)習中的一個難點.常常有人說“靜摩擦

力不做功”、“滑動摩擦力一定做負功”等等，這都是錯誤的.

要區(qū)分一個摩擦力做功與一對相互作用物體間的摩擦力做功的問題：

①一個摩擦力做功的問題：摩擦力(包括靜摩擦力和滑動摩擦力)對物體既可以做

正功，也可以做負功，或說摩擦力既可以是動力、也可以是阻力，我們不難舉出物體受到的

摩擦力與物體運動方向相同或相反的實例.當然，摩擦力有時不做功，因為摩擦力的方向可

能與速度方向垂直.

②一對摩擦力做功的問題：一般情況下，發(fā)生相互作用的兩物體間的摩擦力要分別

對兩個物體做功，這兩個功的代數(shù)和，反映了機械能向內(nèi)能轉(zhuǎn)化的量.這個問題又要分兩種

情況討論.

對于靜摩擦力，由于相互作用的兩物體間沒有相對運動，因此兩物體的位移總是相

等的，這一對相互作用的靜摩擦力分別對兩物體所做的功的代數(shù)和一定為零，這表示一對靜

摩擦力做功的結(jié)果，只是把一部分機械能從?個物體轉(zhuǎn)移到另一個物體，而機械能的總量沒

有變化，沒有生熱.可以把這一結(jié)論簡述為“靜摩擦力做功不生熱”.

對于滑動摩擦力，由于相互作用的兩物體間有相對滑動，因此兩物體的位移總是不

相等的，這樣，一對滑動摩擦力做功的代數(shù)和就不為零，而是負值，它表示一對滑動摩擦力

做功的結(jié)果，系統(tǒng)的機械能一定減少，即有一部分機械能向內(nèi)能轉(zhuǎn)化，即平時所說的“摩擦

生熱”.所生熱量的數(shù)值等于滑動摩擦力與相對運動的路程的乘積，即：

3、機械能守恒定律.

機械能守恒定律是有條件的.課本上說：“在只有重力做功的條件下，物體的動能

和重力勢能發(fā)生相互轉(zhuǎn)化，但機械能的總量保持不變”.這里“只有重力做功”就是條件，

在滿足這個條件的情況下,物體的動能和重力勢能發(fā)生相互轉(zhuǎn)化,但機械能的總量保持不變,

這就是結(jié)論.這里的研究對象是“物體”.這里所說的只是機械能守恒的種情況，在這種

情況下，物體的動能和重力勢能發(fā)生相互轉(zhuǎn)化，一定滿足重力勢能的減少量等于動能的增加

量，或反過來，動能的減少量等于重力勢能的增加量.

還有一些更復(fù)雜的情況，例如下圖中的斜向體F靜止在光滑的水平地面上，小物

體Q放在F的斜面的頂點，從靜止開始釋放，°沿著光滑的斜面下滑，同時F也會開始向

右運動.對于物體。來講，除了有重力對它做功以外，還有斜面的支持力對它做功，因此它

不滿足機械能守恒的條件，因此物體°的機械能不守恒.但是，以F、。作為一個系統(tǒng)，

由于發(fā)生相對運動的兩個接觸面都是光滑的，沒有摩擦力存在，F(xiàn)對Q的支持力和。對F

的壓力這一對相互作用力所做的功的代數(shù)和為零，它只起到把一部分機械能從0轉(zhuǎn)移到F

的作用，系統(tǒng)的總機械能仍是守恒的.對于更一般情況下的機械能守恒定律，可以這樣敘述:

在系統(tǒng)中，沒有外力做功，也沒有摩擦力等能耗散機械能的內(nèi)力做功，系統(tǒng)內(nèi)只有動能和勢

能間的轉(zhuǎn)化，總機械能守恒.

一、本章高考要求:

(1)深刻理解功、功率、動能、動能定理、重力勢能、彈性勢能等概念的物理意義

靈活掌握重力做功、彈力做功、電場力做功、摩擦力做功等各不相同的特點。

(2)掌握做功與動能變化間的定量關(guān)系，并能在力學(xué)、熱學(xué)、電磁學(xué)及原子物理等

領(lǐng)域靈活應(yīng)用這一結(jié)論。

(3)掌握機械能守恒定律的條件和內(nèi)容，并會用來分析和解決有關(guān)問題。

二、本章的知識結(jié)構(gòu)：

三、考點導(dǎo)悟：

功是力的空間積累效果。有力做功，一定有能的轉(zhuǎn)化或轉(zhuǎn)移；功是能的轉(zhuǎn)化或轉(zhuǎn)移的量

度。弄清一個物理過程中能量的變化情況，才能更深刻地理解這個過程，從而做出正確的判

斷。學(xué)習“功和能”，重點掌握以下知識點：

1.理解功的概念，掌握功的計算方法。做功總伴隨能的轉(zhuǎn)化或轉(zhuǎn)移，功是能量轉(zhuǎn)化或

轉(zhuǎn)移的量度。計算恒力的功時用怕Fscos。，其中a是力尸與位移S的夾角，它可以理解為

位移方向的分力與位移的乘積或力的方向的分位移與力的乘積。在計算或定性判斷做功情況

時，一定要明確是哪個力的功。

2.會判斷正功、負功或不做功。判斷方法有：

(1)用力和位移的夾角a判斷當0<a<90°,力做正功

當a=90。時，力做功為零

當90°VaW180°,力做負功

(2)用力和速度的夾角9判斷定當0W9<90°,力做正功

當0=90°時，力不做功

當90°<6<180°時，力做負功

(3)用動能變化判斷當某物體的動能增大時，外力做正功

當某物體的動能不變時，外力不做功

當某物體的動能減小時，外力做負功

3.了解常見力做功的特點

重力做功和路徑無關(guān)，只與物體始末位置的高度差力有關(guān)：作颶h,當末位置高于

初位置時，W>0,即重力做正功；反之則重力做負功。

滑動摩擦力做功與路徑有關(guān)。當某物體在一固定平面上運動時，滑動摩擦力做功的

絕對值等于摩擦力與路程的乘積。

在彈性范圍內(nèi)，彈簧做功與始末狀態(tài)彈簧的形變量有關(guān)系。

4.理解力和功率的關(guān)系。某力做功的瞬時功率P與該瞬時力的大小尸，速度u及它們

的夾角a有關(guān)：QQucosa。應(yīng)用此式時注意兩點：一是明確少指的哪個力；二是明確a是

力與速度的夾角。當我們用片廠u分析汽車或汽船(此時cosa=l)的運動時，要注意條件。

如果汽車啟動時可以看作勻加速直線運動，阻力可看作大小不變的力，則汽車的牽引力廠

的大小不變，由月尸?？芍l(fā)動機的功率是逐漸增大的。但是當功率達到額定功率時不再增

大，由尸廠U可知牽引力廠將逐漸減小，即汽車啟動時做勻加速運動的時間是有限度的。在

發(fā)動機功率不變的條件下，汽車加速運動的加速度將不斷減小。

￡

5.掌握動能和動能定理動能E產(chǎn)弓勿u2是物體運動的狀態(tài)量，功是與物理過程有關(guān)的

過程量。動能定理是：在某一物理過程中，外力對某物體做功等于該物體末態(tài)動能與初態(tài)動

能之差，即動能增量，用數(shù)學(xué)表示為動能定理表達了過程量功與狀態(tài)量動

能之間的關(guān)系。在應(yīng)用動能定理分析一個具體過程時，要做到三個“明確”，即明確研究對

象(研究哪個物體的運動情況)，明確研究過程(從初狀態(tài)到末狀態(tài))及明確各個力做功的

情況。

6.理解勢能勢能與相互作用的物體之間的相對位置有關(guān)，是系統(tǒng)的狀態(tài)量。例如重

力勢能與物體相對地面的高度有關(guān)，彈性勢能與物體的形變有關(guān)。勢能的大小與參考點(此

處勢能為零)的選取有關(guān)，但勢能的變化與參考點無關(guān)。重力勢能的變化與重力做功的關(guān)系

是W〃=ER—儂加；彈性勢能的變化與彈簧做功有類似的關(guān)系。要區(qū)分重力做功

WL儂?力中的“h”和重力勢能E片儂力中的“力”，前者是始末位置的高度差，后者是物體相

對參考面的高度。

7.掌握機械能一個物體系統(tǒng)動能和勢能的總和，叫它的機械能。我們研究一個物體

A,地球和?個輕彈簧組成的系統(tǒng)，其中力和彈簧，地球以某種方式相連。在4的某個運動

過程中，可能有重力做功Wm、彈簧做功W彈,還可能有摩擦力、推力、拉力等其他外力做功

￡

W1?；在初態(tài)的物體4的動能為2wu/，系統(tǒng)的重力勢能為加g力，彈性勢能為En，末態(tài)/

1

的動能為弓〃，刀?，系統(tǒng)的重力勢能為加g7?2,彈性勢能為瓊W由動能定理可以得出：

￡￡￡

2

aW=2mu2~2加u『或囚或+w彈+W其他=22--zz?v(1)

而W重二儂A一儂3

W彈=ER—ER(2)

由(1)(2)可得

11

2

W其他二(2/u2?+加gAi+E/^)—(2/ui+z?^/?i+Epi)=E2—Ei(3)

￡￡

上式中Ei="mu『+加gA+Epi為系統(tǒng)初態(tài)機械能，E2=2/〃為系統(tǒng)末態(tài)機械能。

從上式可以看出，在個物理過程中，如果只有系統(tǒng)內(nèi)部的重力和建簧做功，則系統(tǒng)的

機械能變化為零，即機械能守恒。機械能守恒定律是力學(xué)中的重點定律，它的另種表述是：

如果沒有介質(zhì)阻力做功，只發(fā)生動能和勢能的相互轉(zhuǎn)化，則機械能保持不變。應(yīng)用機械能守

恒定律分析問題時，要（1）注意所研究的過程是否符合機械能守恒的條件；（2）明確研究

系統(tǒng)；（3）明確研究過程。

從（3）式還可以看出，除系統(tǒng)內(nèi)部的重力、彈力以外，其他外力的功WK他決定了機械

能的變化情況，當WM他>0時，E2>E,,機械能增大，當WK他（0時，E2<EI（機械能減小。

例如鋼絲繩吊一重物減速上升，把重物、地球看作一個系統(tǒng)，鋼絲繩的拉力作正功，系統(tǒng)的

機械能是增大的。

8.理解“摩擦生熱”設(shè)質(zhì)量為很的板在光滑水平面上以速度uz運動，質(zhì)量為用的

物塊以速度力在板上同向運動，且2,它們之間相互作用的滑動摩擦力大小為￡經(jīng)

過一段時間，物塊的位移為a,板的位移金，此時兩物體的速度變?yōu)閡'?和u'2由動能定

理得

2

fs2=-m>v'2--?v2（2）

在這個過程中，通過滑動摩擦力做功，機械能不斷轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，即不斷“生熱”，由能

量守恒定律及（1）（2）式可得

1_￡￡￡

缶（2如u『+2股u/）—（2如u':一2&u'2）=f（,Si—S2）（3）

由此可見，在兩物體相互雁擦的過程中，損失的機械能（“生熱”）等于摩擦力與相對

路程的乘積。

【例1】小物塊位于光滑的斜面上，斜面位于光滑的水平地面上，如圖1所示.從地面上看,

在小物塊沿斜面下滑的過程中，斜面對小物塊的作用力

圖1

（A）垂直于接觸面，做功為零（B）垂直于接觸面，做功不為零

（C）不垂直于接觸面，做功為零（D）不垂直于接觸面，做功不為零

【分析與解】由于斜面是光滑的，因而斜面對小物塊作用力只有支持力N,支持力N

始終與接觸斜面垂直.因木塊下滑時，斜面也將沿光滑水平地面向右運動，所以木塊對地位

移f并不與支持力垂直（見圖2）,而成大于90?的角，根據(jù)功的定義式可知支持力曾將做負

功，所以⑻正確.

從能的觀點看，整個過程中小物塊下滑減少的重力勢能，轉(zhuǎn)化為小物塊與斜面的動能,

斜面動能是通過木塊對斜面的壓力M對斜面做正功而獲得的（見圖3）,而斜面對小物塊支

持力那做負功表明小物塊-部分機械能被轉(zhuǎn)化出去.

【例2】質(zhì)量為E的物塊，在沿斜面方向的恒力；作用F,沿粗糙斜面勻速地由二點

移動至三點，物塊上升高度為?:，如圖所示，則在運動過程中

(A)作用于物塊的所有各個力的合力所做的功等于零

(B)作用于物塊的所有各個力的合力所做的功等于2

(C)恒力三與摩擦力的合力做的功為零

(D)恒力三所做的功等于

【分析與解】準確理解功能關(guān)系，是非常重要的.根據(jù)動能定理，物體受到所有外力做

功之和等于物體動能增量，該物體因動能增量為零，因而(A)正確.

重力做功與路徑無關(guān)，因而引入重力勢能，把動能和重力勢能稱為機械能，因此，除重

力以外的所有外力做功應(yīng)等于物體機械能增量.因而(B)錯誤，正確說法應(yīng)是除重力以外的

所有外力做功等于2.

由于物體所受支持力不做功，因此恒力三與摩擦力的合力做的功應(yīng)等于而不是

零.因而(0(D)都是錯誤的.

從能的轉(zhuǎn)化角度看，只有動力對物體輸入能量，摩擦力做負功，表明消耗物體能量，轉(zhuǎn)

化為內(nèi)能，重力做負功，轉(zhuǎn)化為機械能的另一種形式——重力勢能，這樣，我們就能清楚地

理解恒力三所做功的實質(zhì)，是把其它形式的能輸入給物體，一部分轉(zhuǎn)化為物體的重力勢能,

另一部分由克服摩擦做功的過程轉(zhuǎn)化為內(nèi)能.

【例3】一質(zhì)量為4的小球，用長為?的輕繩懸掛于點.小球在水平拉力工作用下，從

平衡位置F點很緩慢地移動到。點(如圖所示)，則力三所做的功為

(A)—8?@⑻巾。-8?3

(C)的由?(D)

【分析與解】因小球移動緩慢，動能變化可不考慮，從功和能的關(guān)系，很容易看出外力

所做功是使小球重力勢能增加，因此(B)正確.如果從功的定義式出發(fā)，則必須弄清：小球

上升的軌跡是圓弧，力與每一瞬間位移方向(圓弧切線方向)的夾角始終在變化，實質(zhì)上是

變力做功，但是中學(xué)階段根據(jù)力的位移積累效果求解很難完成.

【例4】質(zhì)量為**的汽車發(fā)動機的功率恒為F,摩擦阻力恒為F，牽引力為三.汽車

由靜止開始，經(jīng)過時間工行駛了位移工時，速度達到最大值修，則發(fā)動機所做的功為：

13+空

(A)A(B)卜」(C)2*⑻V3J(E)

Fe

【分析與解】由于題設(shè)汽車發(fā)動機功率恒定，因而在汽車啟動過程中隨著速度增大，牽

引力逐漸減小，是變加速過程，直至*一/達到最大速度汽車作勻速直線運動.

由于功率恒定，故，■At,(A)正確.

至最大速度時有因而(B)正確.

根據(jù)動能定理，'町G'5且町=木，故?也正確.由尸=%,

可得.0，代入上式即得（D）式，（D）正確.由于在整個的運行過程中，發(fā)動

機的牽引力是變力，所以不能由》=加直接求得.因此（E）錯誤.

【例5】圖中“7。是一條長軌道，其中座段是傾角為5的斜面，高為點.S段

是水平的，長為三.3。是與&和您都相切的一小段圓弧，其長度可以略去不計.一質(zhì)

量為4的小滑塊在上點從靜止狀態(tài)釋放，沿軌道滑下，最后停在二點.A點和三點的位置

如圖所示.現(xiàn)用一沿著軌道方向的力推滑塊，使它緩慢地由二點推回到三點時停下.設(shè)滑

塊與軌道間的動摩擦因數(shù)為聲，則推力對滑塊做的功等于（）

fc

⑷用8(B)2.(C)(D)+

【分析與解】當小滑塊從二點由靜止下滑恰到水平面上二點停止時，說明小滑塊在三點

具有的重力勢能F*在下滑過程中用于克服摩擦做功最終全部轉(zhuǎn)化為內(nèi)能了，因此，當從

二點緩慢地將小滑塊推回至三點時，推力做功除了要使小滑塊增加重力勢能臂的外，還須

克服摩擦做功，由前面分析可知，這個功大小應(yīng)為網(wǎng)曲，所以推力做功應(yīng)為2?"劭.（B）正

確.

【例6】如圖所示，倔強系數(shù)為品的輕質(zhì)彈簧兩端分別與質(zhì)量為網(wǎng)、吟的物塊1、2

栓接，倔強系數(shù)為七的輕質(zhì)彈簧上端與物塊2栓接，下端壓在桌面上（不栓接），整個系

統(tǒng)處于平衡狀態(tài).現(xiàn)施力將物塊1緩慢地豎直上提，直到下面那個彈簧的下端剛脫離桌

面.在此過程中，物塊2的重力勢能增加了，物塊1的重力勢能增加了.

【分析與解】本題是學(xué)科內(nèi)小綜合題，實質(zhì)上是考查與彈簧彈力有關(guān)的受力分析以及推

理能力.弄清兩根彈簧長度變化是問題的核心.

眄+吟龍

對下面彈簧，原來的壓縮量應(yīng)為,因此到下面彈簧的下端剛脫離桌面時，

眄+吟）g

即彈簧恢復(fù)原長時，下面彈簧高度比原來增加,所以物塊2的重力勢能增加

了：

E-

眄+哈加

現(xiàn)在討論物塊1.物塊1除了上升外，還因上面的彈簧由壓縮到拉伸而增

加高度.先計算原來壓縮量應(yīng)為：..再計算物塊1,緩慢地豎直上提，直到下面那個

彈簧的下端剛脫離桌面時拉伸量.這時只有物塊2拉伸彈簧，即拉力與物塊2物重相等，故

伸長量應(yīng)為4,由壓縮到拉伸上面彈簧長度變化為與6&.所以

物塊1上升總高度應(yīng)為:

物塊1增加的重力勢能為：.

【例7】如圖所示，質(zhì)量為M的木板F在光滑水平地面上以速度％勻速運動，把另一

個質(zhì)量為R的小木塊°放到F的右端三點處，剛放上時速度為0.0將在F上滑行一段距

離后相對于F靜止，而后以共同的速度丫一起運動，圖中右邊虛線表示剛停止相對滑動時的

位置.試分析這個過程中摩擦力做功與能量變化的情況.

*

7^77777777777777777777777777^777777^77777777777777777777777777^7777

【分析與解】設(shè)相互作用的滑動摩擦力分別為劣和力，在有相對運動的過程中，木塊

°和木板F的位移分別為和門.

摩擦力對°做的功等于。的動能的增量，即：2.

町一人跖3

同理，摩擦力對F做的功等于F的動能的增量，即:

K+“Q--[2封--(M+m>a]

這兩個功的代數(shù)和為負值，22

這里幅的數(shù)值等于由F向。轉(zhuǎn)移的動能，%的值則表示這兩個物體組成的系

統(tǒng)的機械能向內(nèi)能的轉(zhuǎn)化量，即所生的熱.

即摩擦生熱的數(shù)量：

（如果換一個角度思考問題，我們可以把聲相對看作是以木板F為參考系的摩擦力;

對Q做的功.在以F為參考系時，這一對滑動摩擦力中了?是不做功的，只有力做負功，

這兩個功的代數(shù)和仍為負值，它表示在這個過程中，系統(tǒng)的機械能有?部分向內(nèi)能轉(zhuǎn)化，即

等于所生的熱的值.）

【例8】水平傳送帶上各點的速度均為'并保持不變.現(xiàn)將一小工件放到傳送帶上，

并使它具有與傳送帶運動方向相反的初速度，速度大小也是丫，它將在傳送帶上滑動一段距

離后才與傳送帶保持相對靜止.設(shè)工件質(zhì)量為胸，它與傳送帶間的動摩擦因數(shù)為嚴，在它

們相對滑動的過程中，滑動摩擦力對工件所做的功及產(chǎn)生的熱量各是多少？

4??廿A

【分析與解】根據(jù)題意作出如圖所示的示意圖，傳送帶勻速向右運動，速度大小為丁，

小工件與剛放到傳送帶時的位置為圖中的三點.工件三的運動是勻變速直線運動，即先從

圖中實線所示的3位置向左作勻減速運動，至圖中3點時速度減為0,再向右作勻加速運

動，回到原來位置時，速率恰好達到：，也就是說在它們相對滑動的過程中，工件三的初位

置與末位置是同一點，即對地位移為0,因此摩擦力對工件所做的功為0.

在三先向左后向右運動的過程中，傳送帶一直在向右勻速運動，當工件回到原處并且

速率達到Y(jié)時，開始時與三接觸的二點運動到了圖中的才點，〃'就是這個過程中工件在

傳送帶上滑行的路程，即所生的熱：

I--

設(shè)工件從三運動到三用時間［，貝I」：?.

-----

的即為偉送帶在2J時間內(nèi)運動的距離，國.

滑動摩擦力：/-K.

因此得出：。=/?然

(本題還有-個更簡便的方法求生的熱時，由于傳送帶作的是勻速直線運動，它也是-

個慣性參考系，若轉(zhuǎn)換成以傳送帶為參考系，則問題被簡化，這時工件對傳送帶的滑動摩擦

力不做功，只有傳送帶對工件的摩擦力做功，摩擦力做功的數(shù)值即等于這過程中生的熱.求

摩擦力的功可以用動能定理，它等于工件相對于傳送帶的動能的增量，即：

又，若以傳送帶與工件作為一個系統(tǒng)，在它們相對滑動的過程中，系統(tǒng)的機械能并沒有

減少，但有熱量生成，這又如何解釋呢？這是因為這個系統(tǒng)并不是“孤立系統(tǒng)”，它與外界

有能量傳遞.如果它們是孤立系統(tǒng)，傳送帶原來作勻速運動，當把小工件放到上面后，由于

摩擦力的存在，傳送帶應(yīng)減速運行，現(xiàn)在傳送帶仍保持勻速運行，說明帶動傳送帶運動的電

動機一定要多給出些能量，也就是說在這個過程中，外界必須要向這個系統(tǒng)輸入一些能量才

行.正是外界輸入的這些能量轉(zhuǎn)化成了內(nèi)能.)

例題1、如圖2-2-1,小物體位于光滑的斜面上，斜面位于光滑的水平地面上如

圖所示。從地面上看，在小物體沿斜面下滑的過程中，a對，的彈力對b做功為

股力為a的彈力對a做功為例對下列關(guān)系正確的是

(A)W,=O,W2=0(B)W1^0,W2=0

(OWFO,W2^0(D)WH0,WzW0

啟發(fā)提問：小物體在斜面上下滑時，斜面a在光滑水平地面上應(yīng)做何種運動？這

時，a對方的彈力N與6的位移S之間夾角還能是直角嗎？

分析：當小物體8下滑時，因地面光滑a在8的壓力作用下將向右做勻加速運動。

由于彈力N垂直于斜面，固而N與S的夾角大于90°。所以a對6的彈力N對方

做負功，即伙W0。6對a的彈力旅與斜面位移夾角小于90°,固而6對a做

正功，的中0。選項(D)是正確的。

答：此題應(yīng)選(D)。

圖2-2~2

變式1.如右圖2-2-2所示，板長為/,板的B端放有質(zhì)量為加的小物體只物

體與板的摩擦因數(shù)為U。開始時板水平，若板緩慢轉(zhuǎn)過一個小角度a的過程中,

物體保持與板相對靜止，則在這個過程中(D)

A.摩擦力對P做功為mglcosa(1—cosa)

B.摩擦力對一做功為mglsina(1—cosa)

C彈力對"做功為儂/s力/a

D.板對〃做功為mglsina

ffl2-2-3

變式2.如圖2-2-3所示，物塊右端有一個質(zhì)量不計的定滑輪，細繩的一端系在

墻上B點，另一端繞過滑輪受到恒力F的作用，力F跟水平面夾角為0。跟B

點相連的細繩處于水平在力F作用下，物塊沿水平方向移動S的過程中，恒力F

做功的大小是。(答案：喀"36)

例題2.汽車的質(zhì)量5X10%g,額定功率為6X10'kw,運動中阻力大小為車重的

0.1倍。汽車在水平路面上從靜止開始保持加速度0.5rn/s2做勻加速直線運動中：

(1)汽車的實際功率隨時間變化的關(guān)系式，汽車保持加速度不變的時間。

(2)此后汽車的運動情況，所能達到的最大速度。

啟發(fā)提問：汽車開始做勻加速運動，當牽引力保持一定，汽車的速度如何變

化，汽車的實際功率如何變化？當實際功率已增大到額定功率時，速度再增大，

牽引力將如何變化？

分析：汽車開始做勻加速運動，牽引力恒定，速度越來越大，實際功率也越來越

大，直至功率增大到額定功率為止。此后再增大速度牽引力將隨之減小，做加速

度逐漸小的加速運動，直到牽引力等于阻力，汽車做勻速運動為止。

解：(1)設(shè)汽車做勻加速運動時牽引力為E所受阻力為￡汽車質(zhì)量為如額定

功率為R,勻加速過程的最大速度為V”則有

F—隹ma①

f=kmg②

/o=/vt③

由①②③三式聯(lián)立可得汽車實際功率隨時間變化的關(guān)系式

'*應(yīng)+。)(4)

將題給各量的值代入上式，并注意k=0.1

6x10*,

f5xl^xOJllx10+05)

=8m/s

(2)汽車達到額定功率后，速度再增加，牽引力就要減小，但只要牽引力大

于阻力時，加速度不為零，速度還是增加直到牽引力等于阻力時，汽車將做勻速

運動。這時，汽車達到這種阻力條件下的最大速度

r-=/

6x10*,

~Qlx5xlO’xlO

=12M/S

變式1.質(zhì)量為500X10；ikg的火車在平直的鐵路上行駛，火車行駛過程的發(fā)動機

的功率不變經(jīng)過3min行駛了1.45km,速度由0增至36km/ho設(shè)火車受到的阻力

不變。求發(fā)動機的功率。

(答案：17.375kw)

變式2、額定功率為80A?,質(zhì)量為2.0Z的汽車，在平直公路上行駛。在汽車的

速度uWlOWs時，汽車受到的阻力保持不變，當u>10%/s時，阻力與速度成

正比戶Au=200u（加。問：

（1）汽車的最大行駛速度多大？

（2）如果汽車的速度為10加/s時，發(fā)動機的功率為額定功率，此時的加速度為

多大？

（3）如果速度達到10加/s以前，汽車做勻加速直線運動，達到lOWs后保持發(fā)

動機功率為額定功率，那么汽車做勻加速運動的時間多長？

分析和解答（1）汽車以最大速度行駛時，發(fā)動機功率一定是額定功率，而且此

時汽車的運動一定是勻速直線運動。設(shè)最大速度為u9,汽車牽引力尸尸額/u,

阻力戶勻速運動時有

也

戶f或\=Au?

所以

u年*=20/z//s

⑵加速度由牛頓第二定律求出

年"1①

u=10勿/s時的牽引力和阻力分別是：

F=~^②片ku③

由①②③式得出

U_______

SF*=3zz?/s2

（3）在速度達到lOWs以前，阻力保持不變，勻加速直線運動就意味著牽引力

不變而功率增大，而功率的最大值應(yīng)是額定功率，因此勻加速直線運動的時間有

一限度友。由前述分析可知，=10Ws時，爐3加/乙此為勻加速直線運動的末速

度和加速度，因此

u

a

t0==3.3(s)

點評汽車運動的不同階段有不同的運動規(guī)律，“勻加速直線運動”、“功率為

額定功率”、“最大速度”是不同階段的運動情況。應(yīng)在弄清運動情況的基礎(chǔ)，

運用物理公式。

變式3、如圖2-2-3所示，水平平行放置的導(dǎo)軌上連有電阻R,并處于垂直軌道

平面的勻強磁場中.今從靜止起用力拉金屬棒ab（ab與導(dǎo)軌垂直），若拉力恒定，

經(jīng)時間砥后ab的速度為u,加速度為a”最終速度可達2u；若拉力的功率恒

定，經(jīng)時間心后ab的速度也為u,加速度為a2,最終速度可達2u.求a和aZ

滿足的關(guān)系.

解析電磁感應(yīng)中產(chǎn)生的感應(yīng)電流在磁場中將受到安培力的作用，因此電磁感應(yīng)

問題往往跟力學(xué)問題聯(lián)系在一起.解此類型問題的一般思路是：先由法拉第電磁

感應(yīng)定律求感應(yīng)電動勢，然后根據(jù)歐姆定律求感應(yīng)電流，再求出安培力，再往后

就是按純力學(xué)問題的處理方法，如進行受力情況分析、運動情況分析及功能關(guān)系

分析等.

設(shè)恒力為F,由于最終速度為勻速2u,則

F尸BLL……①

圖2-2-4

Ii=凝=收...②

26"%

.?.F尸R.........③

當速度為u時，ab棒所受安培力為姆，同理解得:

Fz=&...④

此時加速度為a”則

Fi-F2=mai...⑤

聯(lián)立以上各式得

a1=I...⑥

設(shè)外力的恒定功率為P”最終速度為2u時，由能量守恒知：

Pi=I；R=mR...⑦

速度為u時，ab棒受的外力為FJ,則

P尸F(xiàn)Jv……⑧

此時加速為a?,有

FJ-F2=ma2...(9)

聯(lián)立④、⑦、⑧、⑨式，得

3臚小

a2=mR...⑩

由⑥、⑩式，得a?=3ai.此即為所求.

評注本題是典型的運用力學(xué)觀點分析解答的電磁感應(yīng)問題.注重進行力的分

析、運動狀態(tài)分析以及能的轉(zhuǎn)化分析等.涉及的知識點較多，綜合性較強，適當

訓(xùn)練將有利于培養(yǎng)綜合分析問題和解題能力.

例題3、如圖2-2-5所示，小球從距地面高於4加處自由下落，到地面恰好沿半

徑廬0.5加的半圓形槽運動，到最低點時速度為8Ws,而后沿圓弧運動，脫離槽

后豎直上升。小球質(zhì)量爐0.4kg,求小球離槽后豎直上升的高度力？(g取10Ws,

空氣阻力不計)

D

圖2~2~6

啟發(fā)提問：小球從靜止開始下落，最后上升到力處時速度大小又是零。怎樣

運用動能定理解決這樣問題？

分析：此題小球的運動須劃分成兩段。第一段小球從高處落下至最低點；第

二段是小球從最低點上升至最高點。

解：小球從環(huán)R高處落下至最低點時速度為v=8Ws。根據(jù)動能定理

&一等=4/-o①

式中修是槽對球的阻力功，小球上升過程，根據(jù)動能定理

+約-盯=0

12V2②

由①②兩式聯(lián)立得小球離槽后豎直上升高度

■=

g

=y-(tf4-2JQ

=L4?c

ffl2-2-fl

變式1、如圖2-2-6所示，從高度廬250米，以v°=2OWs的初速度豎直下拋的物

體，陷入泥里的深度920的。如果物體的質(zhì)量爐2Ag,求泥土的平均阻力/?（空

氣阻力不計，g取10WJ）

啟發(fā)提問：物體陷進泥土里之前受什么力作用？陷進泥土里之后又受哪些力的作

用？怎樣確定動力功和阻力功？又怎樣確定物體的初態(tài)動能和末態(tài)動能？

分析：物體陷進泥里之前，只受重力儂的作用，陷進泥里以后受重力加g之外還

受有泥土阻力f,受力情況如圖所示。

解：物體開始下拋時為初態(tài)，陷進泥里停止運動時為末態(tài)。初態(tài)動能，/=鏟

vj末態(tài)動能為零。根據(jù)動能定理可得

%-叼=0-

苴中匹=*（我*+司.町

2

MgfM+S)=0-2V02

由上式可得泥土的平均阻力

2x10x(2504-02)+^x2x20?

二02

=27xlO*M

ffla-M

例題4、內(nèi)壁光滑的環(huán)形細圓管，位于豎直平面內(nèi)，如圖2-2-7,環(huán)的半徑為不

（比細管的半徑大得多。在圓管中有兩個直徑與細管內(nèi)徑相同的小球可視為質(zhì)

點）。A球的質(zhì)量為B球的質(zhì)量為色，它們沿環(huán)形圓管順時針運動，經(jīng)過最

低點時的速度都為V。。設(shè)A球運動到最低點時，B球恰好運動到最高點，若要此

時兩球作用于圓管的合力為零，那么處、色，〃與v。應(yīng)滿足的關(guān)系式是。

分析：如圖5—12所示，A球在最低點處速度為v。，做圓周運動的向心力由小

一場g的合力充當，根據(jù)牛頓第二定律

MFFR①

再設(shè)B球在最高點時速度為V,它做圓周運動的向心力為％+您的根據(jù)牛頓

第二定律

當B球從最高點處運動至最低點處，運動中只有重力做功（管壁支持力與運

動方向垂直不做功）機械能守恒定律適用

尹*=~-2&4-③

由①②③式即可解題。具體過程是由②式得出

f/=叼④

將④式代入③式，消去V,則可得出下式

M+3若⑤

由題意可知式中嚀即再用①式減⑤式可得所求的關(guān)系式

通彳

=0

R.

4網(wǎng)-

二二■

?1g+5wjg+=0

答：此題應(yīng)填-------------------------

變式1、如圖2-2-8所示，一個鐵球從豎立在地面上的輕彈簧正上方某處自由下

落，接觸簧后將彈簧壓縮。在壓縮的全過程中，彈簧的壓縮量最大時：(BC)

io*?,

h

S2-2-8

(A)球所受合力最大,但不一定大于重力值

(B)球的加速度最大,且一定大于重力加速度值

(C)球的加速度最大,有可能小于重力加速度值

(D)球所受彈力最大，且一定大于重力值

啟發(fā)提問：球落到輕彈簧上將彈簧壓縮，在這個過程中，系統(tǒng)（球與彈簧）

中發(fā)生了什么能量轉(zhuǎn)化？

分析：設(shè)以彈簧壓縮量最大處A點為重力勢能的參考點（即重力勢能為零處），

根據(jù)機械能守恒定律

4-^

即=0

解方程得彈簧壓縮量的最大值

X=,■__

kk①

又知道在壓縮過程中有一位置卻在此位置上彈簧的彈力等于小球的重力

kx^mg

即.叁

由①與②式得

x=勺+2*^4③

就③式來討論：

圖2~2~9

(1)當h=0時,A=2AO；

⑵當h>0時，x>2%,結(jié)合②式可知如圖5—10所示的情況下彈力

F>2mg

由此可判斷出(B)、(C)是正確的。

答：此題應(yīng)選(B)、(C)o

變式2、如圖2-2-9所示，懸線長為把小球拉到A處，懸線與豎直方向成。

角，由靜止釋放，當小球擺動經(jīng)過位置C時，小球的動能恰好等于重力勢能。求

這時懸線與豎直方向夾角(規(guī)定小球在B點處的重力勢能等于零)

例5、如圖2-2-10所示一傳送皮帶與水平面夾角為30°,以2勿/$的恒定速度

順時針運行。現(xiàn)將一質(zhì)量為104g的工件輕放于底端，經(jīng)一段時間送到高2加的平

正

臺上，工件與皮帶間的動摩擦因數(shù)為(u=>),求帶動皮帶的電動機由于傳送

工件多消耗的電能。

分析和解答首先要弄清什么是電動機“多消耗的電能”。當皮帶空轉(zhuǎn)時，電動

機會消耗一定的電能?，F(xiàn)將?工件置于皮帶上，在摩擦力作用下，工件的動能和

重力勢能都要增加；另外，滑動摩擦力作功還會使一部分機械能轉(zhuǎn)化為熱，這兩

部分能量之和，就是電動機多消耗的電能。

設(shè)工件向上運動距離s時，速度達到傳送帶的速度u,由動能定理可知

-mgsSJZ?30°+umgcosiQ°行0-

代入數(shù)字，解得步0.8勿，說明工件未到達平臺時，速度已達到*所以工件動

能的增量為

圖2-2~U0

△EA=^fflv2=20J

工件重力勢能增量為

△E尸/〃g/F200J

口

在工作加速運動過程中，工件的平均速度為u=1,因此工件的位移是皮帶運動

距離

S，的亍，即/=2豆1.6加。由于滑動摩擦力作功而增加的內(nèi)能E為

△E=/A所儂cos30°（s'—s）=60J

電動機多消耗的電能為

△EA+AE^AE=280J

點

評當我們分析一個物理過程時，不僅要看速度、加速度，還要分析能量轉(zhuǎn)化

情

況

o在工件加速和勻速兩個階段，能量轉(zhuǎn)化情況不同。知道了能量變化情況,

尤

其E

人“多消耗”電能的涵義，問題就迎刃而解了。

OX6p

ffi2-2-11

變式L如圖2-2T1所示，水平傳送帶保持IWS的速度運動。一質(zhì)量為1例的

物體與傳送帶間的動摩擦因數(shù)為0.2?，F(xiàn)將該物體無初速地放到傳送帶上的力點,

然后運動到了距/1加的B點，則皮帶對該物體做的功為（A）

A.0.5JB.2JC.2.5JD.5J

變式2、如圖2-2T2（甲）所示，是一段位于豎直平面內(nèi)的光滑軌道，高度

為力，末端6處的切線方向水平.一個小物體〃從軌道頂端4處由靜止釋放，滑

到8端后飛出，然后落到地面的。點，其落地點相對于8點的水平位移為OC=L.現(xiàn)

在軌道下方緊貼8點安裝一水平傳送帶，傳送帶的右端6'與6點相距為￡/2,

當傳送帶靜止時，讓物體，再次由力點自靜止釋放，它離開軌道并在傳送帶上滑

行一段后從傳送帶右端水平飛出，仍然落在地面上的。點.當驅(qū)動輪轉(zhuǎn)動帶動傳

送帶以速度-勻速向右運動（其他條件不變）時，物體"的落地點變?yōu)?。，如圖

2-2-12（乙）所示.問：

(甲)(Z,)

fi2-2-12

（1）求尸滑至6點時的速度大?。?/p>

（2）求。與傳送帶之間的動摩擦因數(shù)；

（3）傳送帶的速度1r?好時，勿間的距離為多少？

解：（1）~?府（2）出，在空中運動的時間也為心水平位移

為w,因此物體從傳送帶右端拋出的速度■■亨

根據(jù)動能定理，物體在傳送帶上滑動時，有移手產(chǎn)匕*.

解出物體與傳送帶之間的動摩擦因數(shù)為,.了竺

（3）當"二娘時，物體先做減速運動，再做勻速運動，最終以速度序飛出

所以0D間距離為.棄Y+爭

［專項訓(xùn)練］

功和能

1、用大于物體所受重力的恒力三將物體提一高度?:，在這一過程中（）

（A）力三所做的功等于物體動能的增加

（B）力；和重力的合力所做的功等于物體動能的增加

(C)力:和重力的合力所做的功等于物體動能和勢能的增加

(D)力三和重力的合力所做的功等于物體勢能的增加

2、一物體靜止在升降機的地板上，在升降機加速上升的過程中，地板對物體的支

持力所做的功等于()

(A)物體勢能的增加量

(B)物體動能的增加量

(C)物體動能的增加量加上物體勢能的增加量

(D)物體動能的增加量加上克服重力所做的功

3、一質(zhì)量為刑的木塊靜止在光滑的水平面上.從￡=°開始，將一個大小為三的

恒力作用在該木塊上.在時刻力三的功率是()

P\辟不

-----*1------*1-----*1-----<1

(A)2w(B)加(C)M(D)M

4、以初速》豎直上拋一小球.若不計空氣阻力，在上升過程中，從拋出到小球

動能減少一半所經(jīng)過的時間是()

包上.男生。-烏

(A)&(B)2g(C)2g(D)82

5、一質(zhì)量為2kg的滑塊，以4m/s的速度在光滑水平面上向左滑行.從某一時刻

起，在滑塊上作用一向右的水平力.經(jīng)過一段時間，滑決的速度方向變?yōu)橄蛴遥笮?nl

/s.在這段時間里水平力做的功為()

(A)0(B)8J(C)16J(D)32J

6、一物體從某一高度自由落下，落在直立于地面的輕彈簧上，如圖所示.在4點,

物體開始與彈簧接觸，到6點時，物體速度為零，然后被彈回.下列說法中正確的是()

□

r-fA

jA

(A)物體從｛下降到8的過程中，動能不斷變小

(B)物體從6上升到4的過程中，動能不斷變大

(C)物體從4下降到從以及從6上升到4的過程中，速率都是先增大，后減小

(D)物體在5點時，所受合力為零

7、兩顆人造地球衛(wèi)星，都在圓形軌道上運行，它們的質(zhì)量相等，軌道半徑之比

“6-2,則它們動能之比?//等于()

I

(A)2(B)痘(C)-(D)4

8、?人在雪橇上.從靜止開始沿著為15：的斜坡滑下，到達底部時速度為

10*人和雪橇的總質(zhì)量為60厄，下滑過程中克服力做的功等于J.(取

gTftn/?)

9、在光滑水平面上有一靜止的物體.現(xiàn)以水平恒力甲推這?物體，作用一段時間

后，換成相反方向的水平恒力乙推這?物體.當恒力乙作用時間與恒力甲作用時間相同時，

物體恰好回到原處，此忖物體的動能為32J.則在整個過程中，恒力甲做的功等于

J,恒力乙做的功等于J.

10、一個圓柱形的豎直的井里存有一定量的水，井的側(cè)面和底部是密閉的.在井中

固定地插著一根兩端開口的薄壁圓管，管和井共軸，管下端未觸及井底.在圓管內(nèi)有一不漏

氣的活塞，它可沿圓管上下滑動.開始時，管內(nèi)外水面相齊，且活塞恰好接觸水面，如圖所

示.現(xiàn)用卷揚機通過繩子對活塞施加一個向上的力三，使活塞緩慢向上移動.已知管筒半

徑0.100m,井的半徑R-2r,水的密度一■1.00x10s大氣壓

s

“-1.00x10pa求活塞上升H=9.00m的過程中拉力--所做的功.（井和管在水面以

上及水面以下的部分都足夠長.不計活塞質(zhì)量，不計摩擦，重力加速度）