2020秋高中數(shù)學(xué)人教版2-2學(xué)案：1.7定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精2020秋高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-2學(xué)案：1.7定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用含解析1。7定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用自主預(yù)習(xí)·探新知情景引入大家都可以想象到天女散花的情景--左手提著一籃嬌艷美麗的鮮花，右手把一朵鮮花散落，一片片花瓣飄蕩在空中，隨后落在人間,讓人產(chǎn)生無(wú)盡的遐想．一片花瓣的圖形可以看成兩條美麗的曲線相交而成．由前面學(xué)習(xí)的定積分的知識(shí)，我們可以計(jì)算出該圖形的面積，即一片花瓣平鋪的面積．新知導(dǎo)學(xué)1．求平面圖形的面積(1)求由一條曲線y＝f（x)和直線x＝a、x＝b(a<b)及y＝0所圍成平面圖形的面積S.圖①中，f(x）>0,eq\i\in（a,b,）f(x)dx〉0，因此面積S＝__eq\i\in（a，b，)f(x）dx__;圖②中,f(x）<0，eq\i\in(a，b,）f（x）dx<0，因此面積S＝｜eq\i\in（a，b，）f（x)dx|＝__－eq\i\in(a,b，）f(x）dx__；圖③中，當(dāng)a≤x<c時(shí),f（x）〈0，當(dāng)c〈x≤b時(shí)，f（x）〉0，因此面積S＝eq\i\in（a，b，)｜f(x)|dx＝__－eq\i\in（a,c,)f(x)dx＋eq\i\in（c,b,）f(x)dx__。（2)求由兩條曲線f(x）和g(x），直線x＝a、x＝b(a〈b）所圍成平面圖形的面積S。圖④中，f(x)>g（x)>0，面積S＝__eq\i\in（a，b，)［f（x）－g（x)]dx__；圖⑤中,f（x）〉0，g（x）〈0,面積S＝__eq\i\in(a，b,）［f(x）－g（x）］dx__.2．變速直線運(yùn)動(dòng)的路程做變速直線運(yùn)動(dòng)的物體所經(jīng)過(guò)的路程s，等于其速度函數(shù)v＝v（t)（v（t）≥0）在時(shí)間區(qū)間［a，b］上的定積分，即s＝__eq\i\in(a,b，）v(t）dt__.3．變力做功一物體在恒力F(單位：N）的作用下做直線運(yùn)動(dòng),如果物體沿著與F相同的方向移動(dòng)了sm，則力F所做的功為W＝Fs.如果物體在變力F（x）的作用下沿著與F(x）相同的方向從x＝a移動(dòng)到x＝b。則變力F（x）做的功W＝__eq\i\in(a,b,）F(x）dx__.預(yù)習(xí)自測(cè)1．由直線x＝0、x＝eq\f（2π,3)、y＝0與曲線y＝2sinx所圍成的圖形的面積等于（A)A．3 B．eq\f（3，2）C．1 D．eq\f(1，2）［解析]所求面積S＝eq\i\in（0,eq\f（2π,3),）2sinxdx＝－2cosxeq\b\lc\｜\rc\（\a\vs4\al\co1（eq\f(2π，3），0，)）＝－2（－eq\f(1，2)－1）＝3。2．已知自由落體的速率v＝gt，則落體從t＝0到t＝t0所走的路程為(C)A．eq\f（1，3）gteq\o\al(2，0） B．gteq\o\al(2,0)C．eq\f（1,2）gteq\o\al(2，0) D．eq\f(1，6)gteq\o\al(2，0)[解析]如果變速直線運(yùn)動(dòng)的速度為v＝v(t）（v(t）≥0）,那么從時(shí)刻t＝a到t＝b所經(jīng)過(guò)的路程是eq\i\in(a，b,)v(t）dt，∴eq\a\vs4\al(\i\in(0，t0，）)gtdt＝eq\f(1,2)gt2eq\b\lc\｜\rc\（\a\vs2\al\co1(t0，0）)＝eq\f(1,2）g(teq\o\al（2,0）－0)＝eq\f(1，2）gteq\o\al（2,0）.故應(yīng)選C．3．若兩曲線y＝x2與y＝cx3(c＞0)圍成的圖形的面積是eq\f（2,3），則c＝__eq\f（1，2）__.[解析］曲線y＝x2與y＝cx3的交點(diǎn)為eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1,c），\f(1,c2）)).由題意知eq\i\in(0，eq\f（1,c），)(x2－cx3）dx＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3）x3－\f(c,4）x4）)eq\b\lc\｜\rc\（\a\vs4\al\co1（eq\f(1,c）,0，))＝eq\f（1,12c3）＝eq\f(2,3)?！郼＝eq\f（1,2)。4．(2020·黃岡質(zhì)量檢測(cè))設(shè)f（x）是一次函數(shù)，且eq\i\in(0,1,）f（x）dx＝5，eq\i\in(0，1,)xf（x)dx＝eq\f(17,6），則f（x）的解析式為_(kāi)_4x＋3__。[解析]∵f（x）是一次函數(shù)，設(shè)f(x)＝ax＋b（a≠0），則eq\i\in(0,1，）f(x)dx＝eq\i\in(0，1,）（ax＋b)dx＝eq\i\in(0，1,）axdx＋eq\i\in（0，1，）bdx＝eq\f（1,2）a＋b＝5，eq\i\in（0，1,)xf(x）dx＝eq\i\in(0，1，)x（ax＋b）dx＝eq\i\in（0，1，)(ax2)dx＋eq\i\in(0，1，)bxdx＝eq\f(1，3）ax3｜eq\o\al(1，0）＋eq\f(1，2)bx2｜eq\o\al(1,0）＝eq\f（1，3)a＋eq\f（1,2)b＝eq\f（17,6).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2）a＋b＝5，,\f（1,3)a＋\f（1,2）b＝\f(17，6)，））解得a＝4,b＝3,故f（x)＝4x＋3.互動(dòng)探究·攻重難互動(dòng)探究解疑命題方向?不需分割圖形面積的求解典例1計(jì)算由直線y＝x＋3，曲線y＝x2－6x＋13所圍圖形的面積S.［思路分析］先畫(huà)出圖形，再求出兩曲線的交點(diǎn)，然后結(jié)合圖形利用定積分寫(xiě)出面積表達(dá)式，最后利用微積分基本定理求解．[解析]作出直線y＝x＋3，曲線y＝x2－6x＋13的草圖，所求面積為圖中陰影部分的面積．解方程組eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(y＝x2－6x＋13，,y＝x＋3，）)得交點(diǎn)坐標(biāo)為A(2,5)和B(5,8）．因此所求圖形的面積S＝eq\i\in（2，5，）(x＋3)dx－eq\i\in（2，5，)(x2－6x＋13）dx＝eq\i\in（2,5,)（－x2＋7x－10)dx＝（－eq\f（1，3）x3＋eq\f(7,2）x2－10x）|eq\o\al（5，2)＝eq\f（9,2）?！阂?guī)律總結(jié)』利用定積分求平面圖形的面積的步驟(1)畫(huà)出草圖，在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出曲線或直線的大致圖象．（2）將平面圖形分割成曲邊梯形，并分清在x軸上方與下方的部分．(3)借助圖形確定出被積函數(shù)．(4）求出交點(diǎn)坐標(biāo)，確定積分的上、下限．（5）求出各部分的定積分，并將面積表達(dá)為定積分的代數(shù)和（定積分為負(fù)的部分求面積時(shí)要改變符號(hào)處理為正),求出面積．┃┃跟蹤練習(xí)1__■（1）如圖,已知點(diǎn)Aeq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f（1,4)）），點(diǎn)P（x0,y0)（x0〉0）在曲線y＝x2上，若陰影部分面積與△OAP面積相等,則x0＝__eq\f（\r(6)，4)。(2）(2020·安陽(yáng)高二檢測(cè))如圖是函數(shù)y＝cos（2x－eq\f（5π,6))在一個(gè)周期內(nèi)的圖象，則陰影部分的面積是（B）A．eq\f（1,2） B．eq\f（5,4)C．eq\f（3,2） D．eq\f(3，2)－eq\f（\r（3），4)[解析］(1）S陰＝eq\a\vs4\al（\i\in（0,x0，)）x2dx＝eq\f(1，3）xeq\o\al(3，0）－eq\f(1，3)×03＝eq\f（1，3）xeq\o\al(3，0），S△OAP＝eq\f（1，2)×eq\f（1，4）×x0＝eq\f（1,8）x0，由題意知eq\f（1，3）xeq\o\al（3，0）＝eq\f（1,8）x0,因?yàn)閤0>0，所以x0＝eq\f(\r(6）,4）.（2)由已知函數(shù)y＝cos（2x－eq\f(5π，6））的周期為T(mén)＝π，知圖中陰影的最右的端點(diǎn)坐標(biāo)為（eq\f（2π,3）,0)，故陰影部分的面積S＝－eq\i\in（0，eq\f（π，6)，)cos(2x－eq\f（5π,6)）dx＋eq\i\in（eq\f（π，6）,eq\f(2π，3),)cos（2x－eq\f(5π,6）)dx＝－［eq\f(1，2)sin（2x－eq\f（5π，6）)］eq\b\lc\|\rc\（\a\vs4\al\co1（eq\f(π，6）,0,))＋[eq\f（1,2）sin（2x－eq\f(5π，6）)］eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(eq\f(2π,3），eq\f（π，6)，))＝－[eq\f（1,2)sin(－eq\f(π，2))－eq\f(1，2)sin（－eq\f(5π,6））]＋［eq\f（1,2）sineq\f(π,2）－eq\f（1,2)sin（－eq\f(π，2）)］＝eq\f（1，4)＋1＝eq\f（5,4).命題方向?分割型平面圖形面積的求解典例2求由曲線y＝eq\r（x)、y＝2－x、y＝－eq\f（1，3)x所圍成圖形的面積．[思路分析]畫(huà)出三條曲(直)線，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，將平面圖形按交點(diǎn)分割成可求積分的幾部分再求解．［解析］解法1:畫(huà)出草圖，如圖所示．解方程組eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(x)，，x＋y＝2。））、eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(y＝\r（x），，y＝－\f(1，3)x.）)及eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＋y＝2，,y＝－\f(1,3)x。))得交點(diǎn)分別為(1，1)，（0，0），（3，－1)．所以S＝eq\i\in(0,1，)[eq\r（x）－（－eq\f（1，3)x)]dx＋eq\i\in（1,3，）［（2－x)－(－eq\f（1，3）x）］dx＝eq\i\in(0,1,）(eq\r(x)＋eq\f（1，3）x）dx＋eq\i\in（1,3，）(2－eq\f（2,3）x)dx＝(eq\f(2，3）xeq\f（3，2）＋eq\f（1，6）x2)｜eq\o\al(1，0）＋（2x－eq\f(1,3）x2)|eq\o\al(3,1)＝eq\f（2,3)＋eq\f(1，6)＋［（2×3－eq\f(1，3)×32）－（2－eq\f(1,3））]＝eq\f（13，6).解法2：若選積分變量為y，則三個(gè)函數(shù)分別為x＝y(tǒng)2，x＝2－y，x＝－3y。因?yàn)樗鼈兊慕稽c(diǎn)分別為(1,1)，(0，0），（3，－1）．所以S＝eq\i\in(－1,0，)［（2－y)－（－3y)］dy＋eq\i\in（0,1，）[（2－y）－y2］dy＝eq\i\in（－1，0,)（2＋2y)dy＋eq\i\in(0,1,)(2－y－y2)dy＝（2y＋y2）｜eq\o\al(0,－1)＋(2y－eq\f（1，2）y2－eq\f（1,3)y3)｜eq\o\al（1，0)＝－（－2＋1）＋2－eq\f(1,2)－eq\f（1，3)＝eq\f（13,6）?！阂?guī)律總結(jié)』由兩條或兩條以上的曲線圍成的較為復(fù)雜的圖形，在不同的區(qū)段內(nèi)位于上方和下方的函數(shù)有所變化，通過(guò)解方程組求出曲線的各交點(diǎn)坐標(biāo),可以將積分區(qū)間細(xì)化區(qū)段，然后根據(jù)圖象對(duì)各個(gè)區(qū)段分別求面積進(jìn)而求和，在每個(gè)區(qū)段上被積函數(shù)均是由上減下;若積分變量選取x運(yùn)算較為復(fù)雜,可以選y為積分變量，同時(shí)更改積分的上下限為y的對(duì)應(yīng)值．被積函數(shù)也相應(yīng)的改變．┃┃跟蹤練習(xí)2__■求由拋物線y2＝eq\f(x,5），y2＝x－1所圍成圖形的面積．［解析]在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系上畫(huà)出兩個(gè)拋物線的大致圖形，如圖所示．方法一：以x為積分變量．由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（y2＝\f（x，5）,,y2＝x－1))得兩個(gè)拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(eq\f(5,4）,eq\f（1，2))，B（eq\f（5,4），－eq\f（1，2)）．設(shè)點(diǎn)P(1,0)，則所求面積S＝2(eq\i\in(0，eq\f（5,4)，）eq\r（\f（x，5))dx－eq\i\in(1，eq\f(5，4），)eq\r(x－1）dx)＝2［eq\f（2\r(5），15）xeq\s\up7(\f（3，2))eq\b\lc\|\rc\（\a\vs4\al\co1（eq\f(5,4)，0，）)－eq\f(2,3)（x－1)eq\f（3,2)eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(eq\f（5,4),1,)）］＝eq\f(2,3）.方法二：以y為積分變量．由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（y2＝\f（x，5),，y2＝x－1)）得兩個(gè)拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(eq\f（5,4)，eq\f（1，2)）,B（eq\f（5，4)，－eq\f(1,2））．設(shè)點(diǎn)P（1,0），則所求面積S＝2eq\i\in(0,eq\f(1,2),）(y2＋1－5y2）dy＝2（y－eq\f(4,3）y3）eq\b\lc\|\rc\（\a\vs4\al\co1(eq\f（1，2)，0，）)＝eq\f（2,3）。命題方向?變速直線運(yùn)動(dòng)的路程、位移問(wèn)題典例3有一動(dòng)點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā)沿x軸運(yùn)動(dòng)，在時(shí)刻為t時(shí)的速度為v（t）＝8t－2t2（速度的正方向與x軸正方向一致）．求：（1)t＝6時(shí)，點(diǎn)P離開(kāi)原點(diǎn)后運(yùn)動(dòng)的路程和點(diǎn)P的位移;(2）經(jīng)過(guò)時(shí)間t后又返回原點(diǎn)時(shí)的t值．[思路分析](1）eq\x(解不等式vt>0或vt<0）→eq\x(確定積分區(qū)間)→eq\x(求t＝6時(shí)的路程以及位移)(2)eq\x（求定積分\i\in（0,t,）vtdt)→eq\x(令\i\in（0，t,)vtdt＝0求t）[解析](1)由v（t)＝8t－2t2≥0得0≤t≤4，即當(dāng)0≤t≤4時(shí)，P點(diǎn)沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)t>4時(shí),P點(diǎn)向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)．故t＝6時(shí)，點(diǎn)P離開(kāi)原點(diǎn)后運(yùn)動(dòng)的路程s1＝eq\i\in（0,4，）（8t－2t2)dt－eq\i\in（4，6，)(8t－2t2）dt＝（4t2－eq\f(2,3)t3)｜eq\o\al（4，0）－(4t2－eq\f（2,3)t3)|eq\o\al（6,4)＝eq\f（128,3).當(dāng)t＝6時(shí),點(diǎn)P的位移為eq\i\in（0，6，）（8t－2t2)dt＝（4t2－eq\f(2,3）t3）｜eq\o\al(6,0）＝0.（2）依題意eq\i\in（0，t，）（8t－2t2)dt＝0，即4t2－eq\f（2，3)t3＝0,解得t＝0或t＝6，t＝0對(duì)應(yīng)于P點(diǎn)剛開(kāi)始從原點(diǎn)出發(fā)的情況，t＝6是所求的值．『規(guī)律總結(jié)』1。沿直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，路程是位移的絕對(duì)值之和,從時(shí)刻t＝a到時(shí)刻t＝b所經(jīng)過(guò)的路程s和位移s′情況如下:（1)若v（t）≥0,則s＝eq\i\in（a，b，)v（t）dt；s′＝eq\i\in(a,b，)v（t)dt。(2）若v(t)≤0,則s＝－eq\i\in（a，b,）v(t）dt；s′＝eq\i\in（a,b,）v（t）dt。（3)若在區(qū)間[a，c]上v(t）≥0，在區(qū)間［c，b]上v（t)〈0,則s＝eq\i\in（a,c，)v（t）dt－eq\i\in(c,b,)v（t)dt，s′＝eq\i\in(a,b，）v(t）dt.所以求路程時(shí)要先求得速度的正負(fù)區(qū)間．2．用定積分解決簡(jiǎn)單的物理問(wèn)題，關(guān)鍵是要結(jié)合物理學(xué)中相關(guān)的內(nèi)容，將物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為定積分解決．┃┃跟蹤練習(xí)3__■列車(chē)以72km/h的速度行駛，當(dāng)制動(dòng)時(shí)列車(chē)獲得加速度a＝－0.4［解析］已知列車(chē)速度v0＝72km/h＝20m/s，列車(chē)制動(dòng)時(shí)獲得加速度a設(shè)列車(chē)由開(kāi)始制動(dòng)經(jīng)過(guò)ts后的速度為v，則v＝v0＋at＝20－0。4t.令v＝0，得t＝50（s）．設(shè)列車(chē)由開(kāi)始制動(dòng)到停止時(shí)所走的路程為s,則s＝eq\i\in（0,50,）vdt＝eq\i\in(0，50,）(20－0。4t）dt＝500（m）．所以列車(chē)應(yīng)在進(jìn)站前50s，離車(chē)站500m學(xué)科核心素養(yǎng)求變力做功用定積分解決此類(lèi)變力做功問(wèn)題，要明確變力是在其方向上的位移之和，再用定積分求解．典例4一物體在變力F(x）＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（2x＋40≤x≤2，x2＋2x2≤x≤5））(x的單位：m，F(xiàn)的單位：N）的作用下，沿著與力F相同的方向從x＝0運(yùn)動(dòng)到x＝5處，求變力所做的功．[解析]變力F(x)所做的功為W＝eq\i\in（0，2，)（2x＋4）dx＋eq\i\in(2，5，）(x2＋2x)dx＝(x2＋4x）|eq\o\al(2，0)＋(eq\f（1，3)x3＋x2）｜eq\o\al（5，2）＝12＋60＝72（J)．『規(guī)律總結(jié)』1。對(duì)于給出物體在變力作用下沿與力相同方向運(yùn)動(dòng)的變力做功問(wèn)題，可直接用定積分求解，計(jì)算公式W＝eq\i\in（a,b，)F(x)dx。2．注意必須將力與位移的單位換算為牛頓與米，功的單位才為焦耳．┃┃跟蹤練習(xí)4__■設(shè)有一長(zhǎng)25cm的彈簧,若加以100N的力，則彈簧伸長(zhǎng)到30cm,求使彈簧由25[解析]設(shè)x表示彈簧伸長(zhǎng)的長(zhǎng)度（單位：厘米），F(xiàn)（x）表示加在彈簧上的力，設(shè)F（x)＝kx，依題意得x＝5時(shí)F(x）＝100,所以k＝20，x＝40－25＝15，所做的功為：Weq\i\in（0，15,)20xdx＝10x2eq\b\lc\｜\rc\（\a\vs2\al\co1（15,0））＝2250（N·cm）＝22。5（J)．易混易錯(cuò)警示因被積函數(shù)和積分上下限確定不準(zhǔn)致誤典例5由拋物線y2＝8x(y〉0）與直線x＋y－6＝0及y＝0所圍成圖形的面積為（C)A．16－eq\f（32\r(2）,3) B．16＋eq\f(32\r（2）,3）C．eq\f（40,3) D．eq\f（14,3）[錯(cuò)解］選D．由y2＝8x（y〉0)得y＝eq\r(8x），由x＋y－6＝0得y＝6－x，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（y2＝8x,，x＋y－6＝0,)）得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2,,y＝4.）)或eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝18，,y＝－12。）)(舍去)．∴所求面積S＝eq\i\in(0，2,）