第三、四節(jié)函數(shù)極限的定義

第三節(jié)函數(shù)極限的定義一、自變量趨向于無窮大時函數(shù)的極限二、自變量趨向于有限值時函數(shù)的極限三、函數(shù)極限的性質一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限播放問題:如何用數(shù)學語言刻劃函數(shù)“無限接近”.通過上面演示實驗的觀察:問題:1.x+時f(x)的極限定義設f(x)在x>a(a>0)有定義,對任意給定的正數(shù),總存在正數(shù)X,當x>X時，恒有|f(x)A|<，則稱常數(shù)A是函數(shù)f(x)當x+時的極限.幾何意義類似的2.x

時f(x)的極限3.x

時f(x)的極限幾何意義(x

時f(x)的極限為A）幾何意義(x時f(x)的極限為A）例2例3例1定理：（自己驗證）判斷函數(shù)f(x)極限是否存在4.水平漸近線

(horizontalasymptote)例如：二、自變量趨向于有限值時函數(shù)的極限問題:如何描述？4.xx0時f(x)的極限定義

若存在常數(shù)A,對任意給定的正數(shù)>0,總存在正數(shù)>0,只要f的定義域中的點x

滿足0<|xx0|<時，恒有

|f(x)A|<，則稱常數(shù)A是函數(shù)f(x)

當xx0時的極限,簡稱A是f(x)在x0處的極限.幾何意義例1例2例3例4類似的重要結論基本初等函數(shù)，在其定義域D內的每點處的極限都存在且等于函數(shù)在該點處的值.（圖形）右極限定義2.單側極限:左極限定義定理判斷函數(shù)f(x)在處極限是否存在左右極限存在但不相等,例1證例2三、極限的性質定理1

若極限(或，)存在，則極限是唯一的.1.極限的唯一性只就的唯一性討論,其它情形類似.定理22.有極限的函數(shù)的局部有界性定理2定理3(局部保號性)3.極限的局部保號性定理3’(收斂數(shù)列的保號性)類似的推論(不等式性質)4.函數(shù)極限的歸并性(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關系)定理函數(shù)極限與數(shù)列極限的關系函數(shù)極限存在的充要條件是它的任何子列的極限都存在,且相等.判別函數(shù)在某點處極限不存在4’.數(shù)列極限的歸并性(子數(shù)列的收斂性)在數(shù)列中任意抽取無窮多項并保持這些項在原數(shù)列中的先后順序,這樣得到的數(shù)列記為,稱為數(shù)列的子數(shù)列.定理如果數(shù)列收斂，則它的任一個子數(shù)列也收斂，且極限相同.判別數(shù)列極限不存在例1例2五、小結函數(shù)極限的統(tǒng)一定義(見下表)過程時刻從此時刻以后過程時刻從此時刻以后思考題思考題解答左極限存在,右極限存在,不存在.一、填空題:練習題練習題答案二、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限二、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限二、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限二、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限二、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限二、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限二、自變量趨向無