初中數(shù)學中考復習 第11講 勾股定理與銳角三角函數(shù)（壓軸題組）（原卷版）-2022年中考數(shù)學大復習（知識點·易錯點·題型訓練·壓軸題組）

第11講勾股定理與銳角三角函數(shù)（壓軸題組）1．（2021·廣東佛山·九年級期中）如圖1，有一張矩形紙條，邊、的長分別是方程的兩個根，為上一點，．（1）連接，，試說明．（2）如圖2，為邊上一個動點，將四邊形沿折疊，使點，分別落在點，上，邊與邊交于點．①如圖3，當點與點重合時，求到的距離．②在點從點運動到點的過程中，求點相應運動的路徑長（路程）．2．（2021·上海市奉賢區(qū)育秀實驗學校九年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，AD是BC邊上的高，點E、F分別是AB邊和AC邊上的動點，且∠EDF＝90°．（1）（圖1）求DE：DF的值；（2）（圖2）連結EF，射線DF與射線BA相交于點G，當△EFG是等腰三角形時，求CF的長度；（3）（圖3）連結EF，設點B與點E間的距離為x，△DEF的面積為y，求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍．3．（2021·北京師范大學實驗華夏女子中學九年級期中）在平面直角坐標系中，⊙O的半徑為1，給出如下定義：記線段AB的中點為，當點不在⊙O上時，平移線段，使點落在⊙O上，得到線段（分別為點的對應點）．線段長度的最小值稱為線段到的“平移距離”．（1）已知點的坐標為（－1，0），點在x軸上．①若點與原點重合，則線段到⊙O的“平移距離”為________；②若線段到⊙O的“平移距離”為2，則點B的坐標為________；（2）若點都在直線上，＝2，記線段到⊙O的“平移距離”為，求的最小值；（3）若點的坐標為（－4，－2），AB＝2，記線段到⊙O的“平移距離”為，直接寫出的取值范圍．4．（2021·吉林·長春市凈月實驗中學九年級期中）在△ABC中，AB＝BC＝5，AD⊥BC于D，AD＝4．動點P從點B出發(fā)，沿折線BA→AC運動（點P不與B、C重合），點P在邊BA上運動的速度為2.5個單位長度，在邊AC上的運動速度為個單位長度，過P作PQ⊥BC于點Q，以PQ為邊向右作矩形PQFE，使PQ＝2PE，點F在線段BC上，設點P運動的時間為t．（1）點P在BA上時，則PQ＝；（用含t代數(shù)式表示）（2）點P在AC上時，則PQ＝；（用含t代數(shù)式表示）（3）連結DE，當△DEF與△ADC相似時，求t的值．（4）設矩形PQFE的對角線相交于點O，當點O在△ACD邊上時，直接寫出t的取值范圍．5．（2021·黑龍江龍沙·九年級期中）綜合與實踐動手操作：某數(shù)學課外活動小組利用圖形的旋轉(zhuǎn)探究圖形變換中蘊含的數(shù)學奧秘．如圖1，△ACB是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，將邊AB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段A′B，連接A′C，過點A′作A′D⊥CB交CB延長線于點D．思考探索：（1）在圖1中：①CD＝；②△A′BC的面積為；拓展延伸：（2）如圖2，若△ACB為任意直角三角形，∠ACB＝90°．將邊AB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段A′B，連接A′C，過點A′作A′D⊥CB交CB延長線于點D．猜想三條線段AC、CD、A′D的數(shù)量關系，并證明．（3）如圖3，在△ACB中，AB＝AC＝5，BC＝6，將邊AB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段A′B，連接A′C．①△A′BC的面積為．②若點D是△ACB的邊BC的高線上的一動點，連接A′D、DB，則A′D+DB的最小值是．6．如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A與點B的坐標分別是（1，0），（7，0）．（1）對于坐標平面內(nèi)的一點P，給出如下定義：如果∠APB＝45°，則稱點P為線段AB的“等角點”．顯然，線段AB的“等角點”有無數(shù)個，且A、B、P三點共圓．①設A、B、P三點所在圓的圓心為C，直接寫出點C的坐標和⊙C的半徑；②y軸正半軸上是否有線段AB的“等角點”？如果有，求出“等角點”的坐標；如果沒有，請說明理由；（2）當點P在y軸正半軸上運動時，∠APB是否有最大值？如果有，說明此時∠APB最大的理由，并求出點P的坐標；如果沒有請說明理由．7．（2021·四川·成都實外九年級期中）在平面直角坐標系中，已知點A（0，3），點B在線段AO上，且AB＝2BO，若點P在x軸的負半軸上，連接BP，過點P作PQ⊥PB．（1）如圖1，點E是射線PQ上一點，過點E作EC⊥x軸，垂足為點C．①求點B的坐標；②求證：△BOP∽△PCE．（2）在（1）的條件下，如圖2，若點C坐標為（﹣4，0）．過點A作DA⊥y軸，且和CE的延長線交于點D，若點C關于直線PQ的對稱點C′正好落在線段AD上，連接PC′，求點P的坐標．（3）如圖3，若∠BPO＝60°，點E在直線PQ上，EC⊥x軸，垂足為點C，若以點E，P，C為頂點的三角形和△BPE相似，請直接寫出點E的坐標．8．（2021·上海交通大學附屬第二中學九年級期中）如圖，在△ABC中，AB＝15，BC＝40，cos∠ABC＝，射線CM//AB，D為線段BC上的一動點且和B、C不重合，連接DA，過D作DE⊥DA交射線CM于E，聯(lián)結AE，作EC＝EF，交BC的延長線于F，設x＝BD．（1）當AD∥EF，求BD；（2）若y＝CE，求y關于的數(shù)解析式，并寫出定義域；（3）作∠BDG＝∠AEF，交AE于G，若△DGE與△CDE相似，求BD的長．9．（2021·浙江臺州·九年級期中）如圖1，矩形中，，將矩形繞著點順時針旋轉(zhuǎn)，得到矩形．（1）當點落在上時，則線段的長度等于；（2）如圖2，當點落在上吋，則的面積為；（3）如圖3，連接，判斷與的位置關系并說明理由；（4）在旋轉(zhuǎn)過程中，求出的最大值．10．（2021·江蘇錫山·九年級期中）如圖1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，點P從點B出發(fā)，沿AB邊向終點A以每秒1cm的速度運動，同時點Q從點C出發(fā)沿C→B→A向終點A以每秒3cm的速度運動，P、Q其中一點到達終點時，另一點隨之停止運動．設運動時間為