北師大九下數(shù)學二次函數(shù)所描述的關(guān)系導(dǎo)學案

二次函數(shù)所描述的關(guān)系學習目標、重點、難點【學習目標】1.從實際情景中經(jīng)歷探索和表示兩個變量之間的二次函數(shù)關(guān)系的過程，獲得用二次函數(shù)表示變量之間關(guān)系的體驗。2.會表示簡單變量之間的二次函數(shù)關(guān)系。3.能夠利用嘗試求值的方法解決實際問題。（如猜測增種多少棵橙子樹可以使橙子的總產(chǎn)量最多的問題）?！局攸c難點】1.二次函數(shù)的概念和一般表達式；表示簡單變量之間的二次函數(shù)關(guān)系。2.從實際情景中列出二次函數(shù)關(guān)系式，并考慮函數(shù)的自變量的取值范圍。知識概覽圖新課導(dǎo)引【生活鏈接】一個果園里有100棵橙子樹，每一棵樹平均結(jié)600個橙子，現(xiàn)準備多種一些橙子樹以提高產(chǎn)量，但是如果多種樹，那么樹與樹之間的距離和每一棵樹所接受的陽光就會減少，根據(jù)經(jīng)驗估計，每多種一棵樹，平均每棵樹就會少結(jié)5個橙子．【問題探究】(1)假設(shè)果園增種x棵橙子樹，那么果園共有多少棵橙子樹?這時平均每棵樹結(jié)多少個橙子?(2)如果果園橙子的總產(chǎn)量為y個，那么請你寫出y與x之間的關(guān)系式；(3)在上述問題中，種多少棵橙子樹可以使果園橙子的總產(chǎn)量最多?最多為多少個?【點撥】解這類問題就需要利用二次函數(shù)的有關(guān)知識．教材精華知識點1利用嘗試求值的方法解決實際問題我們利用嘗試求值的方法來解決“新課導(dǎo)讀”中的問題．(1)如果設(shè)果園增種x棵樹，那么果園共有(x＋100)棵橙子樹．因為每增加一棵樹，平均每棵樹少結(jié)5個橙子，所以增種x棵樹，平均每棵樹結(jié)(600－5x)個橙子．(2)由(1)可得果園橙子的總產(chǎn)量y＝(100＋x)(600－5x)＝－5x2＋l00x＋60000．(3)我們得到一個函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝－5x2＋l00x＋60000，它與我們過去學過的y＝kx，y＝kx＋b，y＝(k≠0)有所不同，它的最高次項x2的次數(shù)是2，且x2的系數(shù)為－5，這就是我們要研究的二次函數(shù)的關(guān)系式．果園增種多少棵樹，可以使果園的總產(chǎn)量最多?我們可以試著通過數(shù)值統(tǒng)計的方法逐步去猜想．試著列出下表：x(棵)1234567y(個)60095601806025560320603756042060455x(棵)891011121314y(個)60480604956050060495604806045560420我們看到，增種10棵橙子樹時，橙子的總產(chǎn)量最多，為60500個．下面我們再看一個生活中的問題．銀行的儲蓄利率是隨時間的變化而變化的，也就是說，利率是一個變量．設(shè)人民幣一年定期儲蓄的年利率是x，一年到期后，銀行將本金和利息自動按一年定期儲蓄轉(zhuǎn)存．如果存款額是100元，那么請你寫出兩年后的本息和y(元)的表達式(不考慮利息稅)．一年到期的本息和是100＋100x＝100(1＋x)，第二年轉(zhuǎn)存后到期的本息和為100(1＋x)＋100(1＋x)x＝100(1＋x)2，所以y=100(1＋x)2＝100x2＋200x＋100．若考慮利息稅(利息稅為20％)，每100元的利息稅為20x，則y＝100(1＋2=64x2＋160x＋100．拓展由以上兩個情境我們知道，它們都具有y＝ax2＋bx＋c的形式(a，b，c是常數(shù)，a≠0)．知識點2二次函數(shù)的定義一般地，形如y=ax2＋bx＋c(a，b，c是常數(shù)，a≠0)的函數(shù)叫做x的二次函數(shù)．拓展(1)任何一個二次函數(shù)的解析式，都可以化成y=ax2＋bx＋c(a，b，c是常數(shù)，a≠0)的形式，因此，把y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常數(shù)，a≠0)叫做二次函數(shù)的一般式．(2)在一般式中，只有a≠0時，y=ax2＋bx＋c才是二次函數(shù)；當a=0時，y＝bx＋c，若b≠0，則它是一次函數(shù)，若b＝0，則y=c是一個常函數(shù)．(3)在y=ax2＋bx＋c中，x的取值范圍是全體實數(shù)，且按x的降冪排列．(4)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有密切聯(lián)系，如果將變量y換成一個常數(shù)，那么這個二次函數(shù)就是一個一元二次方程．┃規(guī)律方法小結(jié)┃判斷一個函數(shù)是否是二次函數(shù)，不能只從表面看，而應(yīng)緊扣二次函數(shù)的定義進行類比，若函數(shù)的形式較復(fù)雜，可以進行恒等變形，轉(zhuǎn)化為一般式，再給予判斷．課堂檢測基本概念題1、在下列函數(shù)中，y是x的二次函數(shù)的是()A．x＋y2－1=0B．y＝(x＋1)(x－1)－(x－1)2C．y=2＋D．x2＋3y－2＝02、在下列函數(shù)關(guān)系中，可以看做二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的模型的是()A．在一定距離內(nèi)，汽車行駛的速度與行駛時間的關(guān)系B．某地區(qū)人口自然增長率為l％，這個地區(qū)的人口總數(shù)隨年份變化的關(guān)系C.豎直向上發(fā)射的信號彈，從發(fā)射到落回地面，信號彈的高度與時間的關(guān)系(不計空氣阻力)D．圓的周長與圓的半徑的關(guān)系基礎(chǔ)知識應(yīng)用題3、在半徑為4cm的圓中挖去一個半徑為xcm的圓面，剩下的圓環(huán)面積為ycm2，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為（A．y=πx2－4B．y=π(2－x)2C．y＝－(x2＋4)D．y=－πx2＋16π綜合應(yīng)用題4、如圖2－1所示，矩形的長為4cm，寬為3cm，如果將其長與寬都增加x(cm)，那么面積增加y(cm(1)寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)上述函數(shù)是什么函數(shù)?(3)自變量x的取值范圍是什么?5、如圖2-2所示，已知一個三角形紙片ABC，面積為25，BC邊的長為10，∠B與∠C都為銳角，M為AB邊上的一動點(M與點A，B不重合)，過點M作MN∥BC交AC于點N，設(shè)MN＝x，S△AMN＝y(tǒng)，試求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．探索與創(chuàng)新題6、設(shè)直線y=kx＋b(k≠0)與二次函數(shù)y＝ax2的圖象的兩個交點的橫坐標分別為x1和x2，且直線與x軸交點的橫坐標為x3，求證體驗中考小李想用籬笆圍成一個周長為60米的矩形場地，矩形面積S(單位：平方米)隨矩形一邊長x(單位：米)的變化而變化，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．學后反思 附：課堂檢測及體驗中考答案課堂檢測1、┃分析┃先將函數(shù)式進行變形x轉(zhuǎn)化為用；的代數(shù)式表示y的形式，再類比二次函數(shù)的定義．把A變形為y2＝－x＋1，自變量x的最高次數(shù)不是2，y的次數(shù)不是1，故A不是．把B變形為y＝2x－2，自變量x的最高次數(shù)不是2，故B不是．因為C的右邊是關(guān)于x的無理式，不是整式，故C不是．把D變形為y=－x2＋，符合二次函數(shù)的定義．故選D．【解題策略】要判斷一個函數(shù)是不是二次函數(shù)，應(yīng)先把關(guān)系式化簡整理成y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的形式，再來判斷．判斷時要根據(jù)以下三點：(1)函數(shù)的關(guān)系式是整式；(2)自變量的最高次數(shù)是2；(3)二次項系數(shù)不等于零．要同時具備這三點才是二次函數(shù)．2、┃分析┃A中的速度=，所以速度與時間是反比例關(guān)系．B中人口總數(shù)與年份的關(guān)系很難確定．D中圓的周長C＝2πr，周長與半徑成正比例關(guān)系．故選C.【解題策略】解此題的關(guān)鍵是準確列出各關(guān)系式，再作出判斷．3、┃分析┃剩下的圓環(huán)面積應(yīng)為π(R2－r2)，其中R和r分別為大圓和小圓的半徑．由題意得y＝π(42－x2)=-πx2＋16π.故選D．【解題策略】準確運用圓的面積公式．4、┃分析┃根據(jù)題意建立x與y之間的關(guān)系式，然后用含x的代數(shù)式表示y，使y的系數(shù)為1．解：(1)根據(jù)題意，得y＝(4＋x)(3＋x)－3×4＝12＋7x＋x2－12＝x2＋7x．(2)上述函數(shù)是二次函數(shù)．(3)x≥0．【解題策略】解此題的關(guān)鍵是運用數(shù)形結(jié)合思想．5、┃分析┃本題考查相似三角形的性質(zhì)，即相似三角形的面積比等于相似比的平方，而x的取值范圍應(yīng)根據(jù)MN所處的位置判定．解：∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC，∴．而BC＝10，S△ABC＝25，∴y=x2(0<x<10)．【解題策略】注意相似三角形的面積比等于相似比的平方的正確運用．6、┃分析┃因為兩個函數(shù)圖象的交點是兩個圖象的公共點，交點的坐標是由這兩個函數(shù)解析式聯(lián)立而成的方程組的解，其橫坐標就是由方程組消去y所得的關(guān)于x的一元二次方程的解，不需要解方程，可根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出x1x2，x1＋x2的值．證明：由題意得將①代入②，得ax2－kx－b＝0．∵x1，x2是兩個函數(shù)圖象的交點的橫坐標，∴x1，x2是方程ax2－kx－b＝0的兩個根，∴x1＋x2＝，x1x2＝