注冊環(huán)保工程師基礎(chǔ)高等數(shù)學(xué)

第九章重積分二重積分的概念念與性質(zhì)教學(xué)目的：深刻刻理解二重積積分的概念、性性質(zhì)、方法和和基本技巧教學(xué)重點：利用用二重積分的的性質(zhì)計算教學(xué)難點：二重重積分的幾何何意義教學(xué)內(nèi)容：一、二重積分的的概念1.曲頂柱體體的體積設(shè)有一空間立體體,它的底是面上上的有界區(qū)域域,它的側(cè)面是是以的邊界曲曲線為準線,而母線平行行于軸的柱面,它的頂是曲曲面。當時,在上連續(xù)續(xù)且,以后稱這種種立體為曲頂頂柱體。曲頂柱體的體積積可以這樣來來計算:(1)用任意一一組曲線網(wǎng)將將區(qū)域分成個小區(qū)域域，，，，以這些小小區(qū)域的邊界界曲線為準線線,作母線平行行于軸的柱面,這些柱面將將原來的曲頂頂柱體分劃成成個小曲頂柱柱體，，，。（假設(shè)所對應(yīng)的的小曲頂柱體體為,這里既代表第第個小區(qū)域,又表示它的的面積值,既代表第個小小曲頂柱體,又代表它的的體積值。)圖9-1-1從而(將化整為為零)(2)由于連連續(xù),對于同一個個小區(qū)域來說說,函數(shù)值的變變化不大。因因此,可以將小曲頂頂柱體近似地地看作小平頂頂柱體,于是(以不變之高代代替變高,求的近似值)(3)整個曲曲頂柱體的體體積近似值為為(4)為得到到的精確值,只需讓這個小小區(qū)域越來越越小,即讓每個小小區(qū)域向某點點收縮。為此此,我們引入?yún)^(qū)區(qū)域直徑的概概念:一個閉區(qū)域的直直徑是指區(qū)域域上任意兩點點距離的最大大者。所謂讓區(qū)域向一一點收縮性地地變小,意指讓區(qū)域域的直徑趨向向于零。設(shè)個小區(qū)域直徑徑中的最大者者為,則2.平面薄片的的質(zhì)量設(shè)有一平面薄片片占有面上的的區(qū)域,它在處的面密密度為,這里,而且在上連續(xù),現(xiàn)計算該平平面薄片的質(zhì)質(zhì)量。圖9-1-2將分成個小區(qū)域域，，，，用記的直徑,既代表第第個小區(qū)域又又代表它的面面積。當很小時,由于于連續(xù),每小片區(qū)域域的質(zhì)量可近近似地看作是是均勻的,那么第小塊區(qū)區(qū)域的近似質(zhì)質(zhì)量可取為于是兩種實際意義完完全不同的問問題,最終都歸結(jié)結(jié)同一形式的的極限問題。因因此,有必要撇開開這類極限問問題的實際背背景,給出一個更更廣泛、更抽抽象的數(shù)學(xué)概概念,即二重積分。3.二重積分分的定義設(shè)是閉區(qū)域上的的有界函數(shù),將區(qū)域分成個個小區(qū)域,其中,既表示第第個小區(qū)域,也表示它的的面積,表示它的直直徑。作乘積作和式若極限存在,,則稱此極限限值為函數(shù)在在區(qū)域上的二二重積分,記作。即其中:稱之為為被積函數(shù),稱之為被積積表達式,稱之為面積積元素,稱之為積分變量量,稱之為積分分區(qū)域,稱之為積分分和式。4.幾個事實實(1)二重積積分的存在定定理若在閉區(qū)域上連連續(xù),則在上的二重積積分存在。聲明:在以后的的討論中,我們總假定定在閉區(qū)域上上的二重積分分存在。(2)中的面積積元素象征著著積分和式中中的。圖9-1-3由于二重積分的的定義中對區(qū)區(qū)域的劃分是是任意的,若用一組平平行于坐標軸軸的直線來劃劃分區(qū)域,那么除了靠靠近邊界曲線線的一些小區(qū)區(qū)域之外,絕大多數(shù)的的小區(qū)域都是是矩形,因此,可以將記作(并稱為直角坐坐標系下的面面積元素),二重積分也也可表示成為為。(3)若,二二重積分表示示以為曲頂,以為底的曲頂頂柱體的體積積。二、二重積分的的性質(zhì)二重積分與定積積分有相類似似的性質(zhì)1.線性性其中:是常數(shù)。2.對區(qū)域的的可加性若區(qū)域分為兩個個部分區(qū)域,,則3.若在上,,,為區(qū)域的面積,則幾何意義:高為為1的平頂柱體體的體積在數(shù)數(shù)值上等于柱柱體的底面積積。4.若在上,,,則有不等式式特別地,由于，有有5.估值不等等式設(shè)與分別是在閉閉區(qū)域上最大大值和最小值值,是的面積,則6.二重積分分的中值定理理設(shè)函數(shù)在閉區(qū)域域上連續(xù),是的面積,則在上至少存存在一點,使得例1估計二重重積分的值,是圓域。解求被積函數(shù)數(shù)在區(qū)域上可能能的最值是駐點,且；在邊界上,,,于是有小結(jié)：二重積分的定義義（和式的極極限）二重積分的幾何何意義（曲頂頂柱體的體積積）二重積分的性質(zhì)質(zhì)作業(yè)：作業(yè)卡p22二重積分的計算算法教學(xué)目的：深刻刻理解二重積積分的計算方方法和基本技技巧教學(xué)重點：熟練練掌握二重積積分計算教學(xué)難點：二重重積分在極坐坐標下的計算算教學(xué)內(nèi)容：利用二重積分的的定義來計算算二重積分顯顯然是不實際際的,二重積分的的計算是通過過兩個定積分分的計算(即二次積分)來實現(xiàn)的。一、利用直角坐坐標計算二重重積分我們用幾何觀點點來討論二重重積分的計算算問題。討論中,我們假假定；假定積分區(qū)域可可用不等式表表示,其中在上連續(xù)。圖9-2-11圖9-2-22據(jù)二重積分的幾幾何意義可知知,的值等于以以為底,以曲面為頂?shù)牡那斨w的體體積。圖9-2-3在區(qū)間上任意取取定一個點,,作平行于面的的平面,這平面截曲曲頂柱體所得得截面是一個個以區(qū)間為底,曲線為曲邊的的曲邊梯形,其面積為一般地,過區(qū)間間上任一點且平平行于面的平平面截曲頂柱柱體所得截面面的面積為利用計算平行截截面面積為已已知的立體之之體積的方法法,該曲頂柱體體的體積為從而有((1)上述積分叫做先先對,后對的二次積積分,即先把看作常常數(shù),只看作的函數(shù),對計算從到的定積分,然后把所得得的結(jié)果(它是的函數(shù))再對從到計算定積分分。這個先對,后后對的二次積積分也常記作作在上述討論中,,假定了，利用用二重積分的的幾何意義,導(dǎo)出了二重重積分的計算算公式(1)。但實際上,公式(1)并不受此條條件限制,對一般的(在上連續(xù)),公式(1)總是成立的的。例1計算解類似地,如果積積分區(qū)域可以以用下述不等等式表示,且函數(shù),,在上連續(xù),在上連續(xù),則((2)圖9-2-44圖9-2-55顯然,(2)式式是先對,后對的二次積積分。二重積分化二次次積分時應(yīng)注注意的問題1.積分區(qū)域域的形狀前面所畫的兩類類積分區(qū)域的的形狀具有一一個共同點::對于I型(或III型)區(qū)域,用平行于軸(軸)的直線穿過過區(qū)域內(nèi)部,直線與區(qū)域域的邊界相交交不多于兩點點。如果積分區(qū)域不不滿足這一條條件時,可對區(qū)域進進行剖分,化歸為I型(或II型)區(qū)域的并集集。2.積分限的的確定二重積分化二次次積分,確定兩個定定積分的限是是關(guān)鍵。這里里,我們介紹配配置二次積分分限的方法--幾何法。畫出積分區(qū)域的的圖形(假設(shè)的圖形形如下)圖9-2-6在上任取一點,,過作平行于軸的的直線,該直線穿過過區(qū)域,與區(qū)域的邊界界有兩個交點點與,這里的、就是將,看作常數(shù)而而對積分時的的下限和上限限；又因是在在區(qū)間上任意意取的,所以再將看作作變量而對積積分時,積分的下限限為、上限為為。例2計算,其中是由拋物物線及直線所圍成成的區(qū)域。解積分區(qū)域域可用下列不不等式表示例3求由曲面面及所圍成的立立體的體積。解1.作出該立立體的簡圖,并確定它在在面上的投影影區(qū)域圖9-2-7消去變量得一垂垂直于面的柱柱面,立體鑲嵌在在其中,立體在面的投投影區(qū)域就是是該柱面在面面上所圍成的的區(qū)域2.列出體積積計算的表達達式3.配置積分分限,化二重積分分為二次積分分并作定積分分計算圖9-2-8而由的對稱性有所求立體的體積積為二、利用極坐標標計算二重積積分1.變換公式式按照二重積分的的定義有圖9-2-9現(xiàn)研究這一和式式極限在極坐坐標中的形式式。用以極點0為中中心的一族同同心圓常數(shù)以及從極點點出發(fā)的一族族射線常數(shù),將剖分成個小小閉區(qū)域。除了包含邊界點點的一些小閉閉區(qū)域外,小閉區(qū)域的面面積可如下計計算其中,表示相鄰鄰兩圓弧半徑徑的平均值。在小區(qū)域上取點點,設(shè)該點直角角坐標為,據(jù)直角坐標標與極坐標的的關(guān)系有于是即由于也常記作,,因此,上述變換公公式也可以寫寫成更富有啟啟發(fā)性的形式式((1)(1)式稱之為為二重積分由由直角坐標變變量變換成極極坐標變量的的變換公式,其中,就是極坐標標中的面積元元素。(1)式的記憶憶方法:2.極坐標下下的二重積分分計算法極坐標系中的二二重積分,同樣可以化化歸為二次積積分來計算。(1)積分區(qū)域域可表示成下下述形式其中函數(shù),在上上連續(xù)。圖9-2-100則(2)積分區(qū)區(qū)域為下述形形式圖9-2-111顯然,這只是((1)的特殊形式式(即極點在積積分區(qū)域的邊邊界上)。故(3)積分區(qū)區(qū)域為下述形形式圖9-2-122顯然,這類區(qū)域域又是情形二二的一種變形形(極點包圍在在積分區(qū)域的的內(nèi)部),可剖分分成與,而故則由上面的討論不不難發(fā)現(xiàn),將二重積分分化為極坐標標形式進行計計算,其關(guān)鍵之處處在于:將積分區(qū)域域用極坐標變變量表示成如如下形式3.使用極坐坐標變換計算算二重積分的的原則(1)積分區(qū)區(qū)域的邊界曲曲線易于用極極坐標方程表表示(含圓弧,直線段)；(2)被積函函數(shù)表示式用用極坐標變量量表示較簡單單(含,為實數(shù))。例4計算解此積分區(qū)域域為區(qū)域的簡圖為圖9-2-133該區(qū)域在極坐標標下的表示形形式為小結(jié)：二重積分計算公公式直角坐標系下X—型Y—型極坐標系下作業(yè)：作業(yè)卡p23--24二重積分的應(yīng)用用教學(xué)目的：掌握握二重積分的的幾何和物理理方面的應(yīng)用用教學(xué)重點：利用用二重積分的的解決實際問問題教學(xué)難點：二重重積分的思想想如何用于實實際問題教學(xué)內(nèi)容：定積分應(yīng)用的元元素法也可推推廣到二重積積分,使用該方法法需滿足以下下條件：1.所要計算算的某個量對對于閉區(qū)域具具有可加性(即:當閉區(qū)域分成成許多小閉區(qū)區(qū)域時,所求量相應(yīng)地地分成許多部部分量,且。2.在內(nèi)任取取一個直徑充充分小的小閉閉區(qū)域時,相應(yīng)的部分分量可近似地地表示為,其中,稱為所求量的元元素,并記作。3.所求量可可表示成積分分形式一、曲面的面積積設(shè)曲面由方程給給出,為曲面在面上的投影影區(qū)域,函數(shù)在上具有連續(xù)續(xù)偏導(dǎo)數(shù)和,現(xiàn)計算曲面面的面積。圖9-3-1在閉區(qū)域上任取取一直徑很小小的閉區(qū)域(它的面積也也記作),在內(nèi)取一點,對應(yīng)著曲面面上一點,曲面在點處的切平平面設(shè)為。以小區(qū)域的邊邊界為準線作作母線平行于于軸的柱面,該柱面在曲曲面上截下一一小片曲面,在切平面上截截下一小片平平面,由于的直徑很很小,那一小片平平面面積近似似地等于那一一小片曲面面面積。曲面在點處的法法線向量(指向朝上的的那個)為它與軸正向所成成夾角的方向向余弦為而所以這就是曲面的面面積元素,故即例1求球面含含在柱面()內(nèi)部的面面積。解所求曲面在在面的投影區(qū)區(qū)域圖9-3-2曲面方程應(yīng)取為為,則,曲面在面上的投投影區(qū)域為圖9-3-3據(jù)曲面的對稱性性,有若曲面的方程為為或,可分別將曲曲面投影到面面或面,設(shè)所得到的的投影區(qū)域分分別為或,類似地有或二、平面薄片的的質(zhì)心1.平面上的的質(zhì)點系的質(zhì)質(zhì)心設(shè)在平面上有個個質(zhì)點,它們分別位位于點處,質(zhì)量分別為為.由力學(xué)知道,該質(zhì)點系的的質(zhì)點的坐標標為,2.平面薄片片的質(zhì)心設(shè)有一平面薄片片,占有面上的閉閉區(qū)域,在點處的面密密度為,假定在上連續(xù),如何確定該該薄片的質(zhì)心心坐標。在閉區(qū)域上任取取一直徑很小小的閉區(qū)域,,是這小閉區(qū)區(qū)域內(nèi)的一點點,由于的直徑很很小,且在上連續(xù),所以薄片中中相應(yīng)于的部部分的質(zhì)量近近似等于,于是靜矩元元素為又平面薄片的總總質(zhì)量為從而,薄片的質(zhì)質(zhì)心坐標為特別地,如果薄薄片是均勻的的,即面密度為為常量,則這時薄片的質(zhì)心心稱為該平面面薄片所占平平面圖形的形形心。例2設(shè)薄片所所占的閉區(qū)域域為介于兩個個圓,()之間的閉區(qū)區(qū)域,且面密度均均勻,求此均勻薄薄片的質(zhì)心(形心)。圖9-3-4解由的對稱性性可知:所以三、平面薄片的的轉(zhuǎn)動慣量1.平面質(zhì)點點系對坐標軸軸的轉(zhuǎn)動慣量量設(shè)平面上有個質(zhì)質(zhì)點,它們分別位位于點處,質(zhì)量分別為為。設(shè)質(zhì)點系對于軸軸以及對于軸軸的轉(zhuǎn)動慣量量依次為2.平面薄片片對于坐標軸軸的轉(zhuǎn)動慣量量設(shè)有一薄片,占占有面上的閉閉區(qū)域,在點處的面密密度為,假定在上連續(xù)?，F(xiàn)現(xiàn)要求該薄片片對于軸、軸的轉(zhuǎn)動動慣量,。與平面薄片對坐坐標軸的力矩矩相類似,轉(zhuǎn)動慣量元元素為以這些元素為被被積表達式,在閉區(qū)域上積積分,便得例3求由拋拋物線及直線線所圍成的均均勻薄片(面密度為常常數(shù))對于直線的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動慣量。圖9-3-5解轉(zhuǎn)動慣量量元素為四、平面薄片對對質(zhì)點的引力力設(shè)有一平面薄片片,占有面上的閉閉區(qū)域,在點處的面密密度為,假定在上連續(xù),現(xiàn)計算該薄薄片對位于軸軸上點處的單單位質(zhì)量質(zhì)點點的引力。在閉區(qū)域上任取取一個小的閉閉區(qū)域,是內(nèi)的任一點,他的質(zhì)量近近似等于,于是薄片對對質(zhì)點的引力力近似值為,,引力的方向向于向量一致,其中,為引力常數(shù).于是,薄片對質(zhì)點點的引力元素素在三個坐標標軸上的分量量為,,故小結(jié)：幾何應(yīng)用：曲面面的面積物理應(yīng)用：重心心、轉(zhuǎn)動慣量量、平面薄片片對質(zhì)點的引引力作業(yè)：作業(yè)卡25第四節(jié)三重積分分的概念及其其計算法教學(xué)目的：深刻刻理解三重積積分的概念、計計算方法教學(xué)重點：熟練練掌握三重積積分的計算教學(xué)難點：計算算三重積分時時坐標系的選選擇教學(xué)內(nèi)容：一、三重積分的的定義設(shè)是空間閉區(qū)域域上的有界函函數(shù),將任意地分劃劃成個小區(qū)域域，其中表示第第個小區(qū)域,也表示它的的體積。在每每個小區(qū)域上上任取一點,,作乘積，作和和式，以記這個小區(qū)域域直徑的最大大者,若極限存在,則稱此極限限值為函數(shù)在在區(qū)域上的三三重積分,記作,即=.其中叫體積元素素。自然地,體積元元素在直角坐坐標系下也可可記作成。二、三重積分的的存在定理若函數(shù)在區(qū)域上上連續(xù),則三重積分分存在。三、三重積分的的物理意義如果表示某物體體在處的質(zhì)量量密度,是該物體所所占有的空間間區(qū)域,且在上連續(xù),則和式就是物物體質(zhì)量的近近似值,該和式當時的的極限值就是是該物體的質(zhì)質(zhì)量。故=特別地,當==1時,的體積.四、三重積分的的計算法假設(shè)積分區(qū)域的的形狀如下圖圖所示.在面上的投影區(qū)區(qū)域為,過上任意一點,作平行于軸的的直線穿過內(nèi)部,與邊界界曲面相交不不多于兩點。亦即,的邊界曲面面可分為上、下下兩片部分曲曲面。,其中,在上連連續(xù),并且。圖9-4-1如何計算三重積積分呢?不妨先考慮特殊殊情況=1,則即一般情況下,類類似地有顯然積分只是把把看作的函數(shù)在在區(qū)間上對求定積分,因此,其結(jié)果應(yīng)是是的函數(shù),記那么如上圖所示,區(qū)域可表示為為從而綜上討論,若若積分區(qū)域可可表示成則這就是三重積分分的計算公式式,它將三重積積分化成先對對積分變量,,次對,最后對的三次次積分。如果平行于軸且且穿過內(nèi)部的的直線與邊界界曲面的交點點多于兩個,可仿照二重重積分計算中中所采用的方方法,將剖分成若干干個部分,(如),使在上的三重重積分化為各各部分區(qū)域()上的三重積積分,當然各部分分區(qū)域()應(yīng)適合對對區(qū)域的要求求。例1計算,其中為球面及三坐坐標面所圍成成的位于第一一卦限的立體體。解(1)畫出出立體的簡圖圖圖9-4-2(2)找出立立體在某坐標標面上的投影影區(qū)域并畫出出簡圖在面上的投影區(qū)區(qū)域為(3)確定另另一積分變量量的變化范圍圍在內(nèi)任取一點,,作一過此點點且平行于軸軸的直線穿過過區(qū)域,則此直線與與邊界曲面的的兩交點之豎豎坐標即為的的變化范圍。即即(4)選擇一一種次序,化三重積分分為三次積分分小結(jié)：三重積分的定義義和計算（化化三重積分為為三次積分）直角坐標系下下的體積元素素作業(yè)：作業(yè)卡p26--27第五節(jié)利用柱面面坐標和球面面坐標計算三三重積分教學(xué)目的：掌握握三重積分的的計算教學(xué)重點：熟練練掌握三重積積分在柱面坐坐標和球面坐坐標下的計算算教學(xué)難點：計算算時選擇坐標標系教學(xué)內(nèi)容：對于某些三重積積分,由于積分區(qū)區(qū)域和被積函函數(shù)的特點,往往要利用用柱面坐標和和球面坐標來來計算。一、利用柱面坐坐標計算三重重積分1.柱面坐標標設(shè)為空間的一點點,該點在面上的的投影為,點的極坐標標為,則三個數(shù)稱作作點的柱面坐坐標。圖9-5-1規(guī)定的取值范圍圍是，，柱面坐標系的三三組坐標面分分別為=常數(shù),即以軸軸為軸的圓柱柱面；=常數(shù),即過軸軸的半平面；；=常數(shù),即與面面平行的平面面。點的直角坐標與與柱面坐標之之間有關(guān)系式式(1)2.三重積分在在柱面坐標系系中的計算公公式圖9-5-2用三組坐標面==常數(shù),=常數(shù),=常數(shù),將分割成許多多小區(qū)域,除了含的邊界界點的一些不不規(guī)則小區(qū)域域外,這種小閉區(qū)區(qū)域都是柱體體?？疾煊筛魅〉梦⑽⑿≡隽克沙傻闹w,該柱體是底底面積為,高為的柱體,其體積為這便便是柱面坐標標系下的體積積元素,并注意到(1)式有(2)(2)式就是三三重積分由直直角坐標變量量變換成柱面面坐標變量的的計算公式。(2)式右端的的三重積分計計算,也可化為關(guān)關(guān)于積分變量量的三次積分,其積分限要要由在中的變化情情況來確定。3.用柱面坐坐標表示積分分區(qū)域的方法法(1)找出在在面上的投影影區(qū)域,并用極坐坐標變量表示示之；(2)在內(nèi)任取取一點,過此點作作平行于軸的的直線穿過區(qū)區(qū)域,此直線與邊界界曲面的兩交交點之豎坐標標(將此豎坐標標表示成的函函數(shù))即為的變化范范圍。例1用柱坐標標計算三重積積分,其中是球體位于第第一卦限內(nèi)的的部分。解二、利用球坐標標計算三重積積分1.球面坐標標如圖所示,空間間任意一點也也可用三個數(shù)數(shù)唯一表示。圖9-5-3其中：為原點到點的距距離；為有向線段與軸軸正向所成夾夾角；為從正軸來看自自軸依逆時針針方向轉(zhuǎn)到有有向線段的角角度,而點是點在面上的投影影點。規(guī)定的取值范圍圍為,,不難看出,點的的直角坐標與與球面坐標間間的關(guān)系為(