2020屆四川省瀘州市高三第三次教學(xué)質(zhì)量診斷性考試數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

2020屆四川省瀘州市高三第三次教學(xué)質(zhì)量診斷性考試數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．設(shè)集合,,則（）.A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)二次不等式的方法求解集合,再求解即可.【詳解】,故.即.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了交集的基本運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.2．若，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由得出，利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可求得復(fù)數(shù).【詳解】由得出.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的計(jì)算，考查復(fù)數(shù)除法運(yùn)算法則的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.3．展開式中項(xiàng)的系數(shù)為（）A．10 B．5 C． D．【答案】C【解析】由題意利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求得展開式中項(xiàng)的系數(shù)．【詳解】解：展開式的通項(xiàng)公式為，令，可得，故展開式中項(xiàng)的系數(shù)為，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用、二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．4．新冠肺炎疫情暴發(fā)以來，在以習(xí)近平同志為核心的黨中央領(lǐng)導(dǎo)下，全黨全軍全國(guó)各族人民眾志成城，共克時(shí)艱，疫情防控取得了階段性成效，彰顯了中國(guó)特色社會(huì)主義制度的優(yōu)越性.下面的圖表給出了月日至月日全國(guó)疫情每天新增病例的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)情況下列說法中不正確的是（）A．每天新增疑似病例的中位數(shù)為B．在對(duì)新增確診病例的統(tǒng)計(jì)中，樣本容量為C．每天新增確診與新增疑似病例之和不超過例的天數(shù)為天D．在對(duì)新增確診病例的統(tǒng)計(jì)中，樣本是月日至月日【答案】D【解析】求出每天新增疑似病例的中位數(shù)，可判斷A選項(xiàng)的正誤；根據(jù)統(tǒng)計(jì)天數(shù)可判斷B選項(xiàng)的正誤；統(tǒng)計(jì)出每天新增確診與新增疑似病例之和不超過例的天數(shù)，可判斷C選項(xiàng)的正誤；根據(jù)樣本的定義可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，每天新增疑似病例數(shù)由小到大依次為、、、、、、、、、、、、、、、、、，中位數(shù)為，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，由于共統(tǒng)計(jì)了天，則在對(duì)新增確診病例的統(tǒng)計(jì)中，樣本容量為，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，從月日至月日中每天新增確診與新增疑似病例之和分別為、、、、、、、、、、、、、、、、、，其中，每天新增確診與新增疑似病例之和不超過例的天數(shù)為，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，在對(duì)新增確診病例的統(tǒng)計(jì)中，樣本是月日至月日每天新增病例的數(shù)據(jù)，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查利用折線統(tǒng)計(jì)圖的應(yīng)用，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.5．已知曲線（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）在點(diǎn)處的切線為，命題點(diǎn)在直線上，命題點(diǎn)在直線上，則下列命題正確的是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】求出在點(diǎn)處的切線的方程為：；可判斷點(diǎn)在直線上，點(diǎn)不在直線上，從而可知為真命題，為假命題，由此可得正確答案．【詳解】解：由題可知，所以，，所以切線的方程為：；當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)在直線上，所以為真命題；當(dāng)時(shí)，即點(diǎn)不在直線上，所以為假命題，所以為真命題，為假命題，為假命題，為假命題，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考察復(fù)合命題的真假和求函數(shù)在某點(diǎn)處的切線方程，屬于基礎(chǔ)題．6．已知函數(shù)，則該函數(shù)的部分圖象大致是（）.A． B． C． D．【答案】A【解析】運(yùn)用排除法，由函數(shù)的解析式，根據(jù)函數(shù)奇偶性的判斷方法得出函數(shù)的奇偶性，再運(yùn)用特殊點(diǎn)的函數(shù)值的正負(fù)，可排除選項(xiàng)，得出答案.【詳解】因?yàn)?，所以函?shù)是奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以排除C、D選項(xiàng)；根據(jù)x取非常小的正實(shí)數(shù)時(shí)，，排除B選項(xiàng)，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性和函數(shù)值的符號(hào)判定函數(shù)的圖象，屬于基礎(chǔ)題.7．等差數(shù)列的公差不為零，其前項(xiàng)和為，若，則的值為（）.A．15 B．20 C．25 D．40【答案】B【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得,，代入中，可得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列的公差不為零，其前項(xiàng)和為，又,

所以,

故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與等差數(shù)列性質(zhì)的綜合應(yīng)用,是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容，屬于基礎(chǔ)題.8．某高二學(xué)生會(huì)體育部共有5人，現(xiàn)需從體育部選派4人，分別擔(dān)任拔河比賽的裁判、記錄結(jié)果、核查人數(shù)、維持紀(jì)律四項(xiàng)工作，每人只擔(dān)任其中一項(xiàng)工作，其中甲沒有擔(dān)任裁判工作，則不同的工作安排方式共有（）A．120種 B．48種 C．96種 D．60種【答案】C【解析】先把5人隨意安排有種方法，再讓甲擔(dān)任裁判工作有種方法，用間接法相減即可．【詳解】解：從5人中選4人擔(dān)任4項(xiàng)不同工作有種方法．若甲擔(dān)任裁判工作，再?gòu)牧硗?人中選3人擔(dān)任3項(xiàng)不同工作有種方法．則符合題意的工作安排方式共有，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的應(yīng)用，本題運(yùn)用間接法，可以避免討論，簡(jiǎn)化計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．9．正方體中，下列命題中正確的是（）.A．與是相交直線且垂直 B．與是異面直線且垂直C．與是相交直線且垂直 D．與是異面直線且垂直【答案】D【解析】利用異面直線成角的定義可判斷A，B，C，利用線面垂直的判定和性質(zhì)定理即可判斷D.【詳解】連接,則為等邊三角形，則與是相交直線且成角為，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以與是異面直線且成角為，故B錯(cuò)誤；連接，因?yàn)槊?所以,所以與成角為為銳角故C錯(cuò)誤；連接，因?yàn)?，?所以面，則，則與是異面直線且垂直，故D正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查空間中直線與直線的位置關(guān)系的判斷，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.10．定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，則，，的大小關(guān)系正確的是（）.A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可得函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且在上單調(diào)遞增，利用函數(shù)的對(duì)稱性和單調(diào)性比較大小即可.【詳解】，關(guān)于對(duì)稱，又時(shí)，是增函數(shù)，，，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)圖象的對(duì)稱性，并且會(huì)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小.11．已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，與的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，若，則的值等于（）A． B． C． D．【答案】D【解析】先設(shè)出直線的方程，再與拋物線方程聯(lián)立求得與，然后利用與弦長(zhǎng)公式求得．【詳解】解：由題意設(shè)直線，，，，，則，，由聯(lián)立得，則△，①，②．，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，③，由①③可得代入②可整理得：，解得：．又，．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的焦點(diǎn)弦的求法，屬于中檔題．12．已知曲線，把上各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，關(guān)于有下述四個(gè)結(jié)論：（1）函數(shù)在上是減函數(shù)；（2）方程在內(nèi)有2個(gè)根；（3）函數(shù)（其中）的最小值為；（4）當(dāng)，且時(shí)，，則.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】由三角函數(shù)圖象平移法則得出函數(shù)的解析式，再對(duì)題目中的命題分析、判斷真假性即可．【詳解】解：曲線，把上各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得的圖象，所以函數(shù)；對(duì)于（1），當(dāng)，，，上是減函數(shù)，所以（1）正確；對(duì)于（2），方程，得，，；時(shí)，兩函數(shù)圖象沒有交點(diǎn)，所以原方程沒有實(shí)數(shù)根，所以（2）錯(cuò)誤；對(duì)于（3），函數(shù)，則，令，解得或，時(shí)取得最小值為，所以（3）正確；對(duì)于（4），，，；當(dāng)，，，且時(shí)，，則，所以（4）正確．綜上知，其中正確結(jié)論的序號(hào)是（1）、（3）、（4），共3個(gè)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了命題真假的判斷問題，屬于中檔題．二、填空題13．已知平面向量與滿足，且，則________.【答案】3【解析】根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算，直接計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)橄蛄浚瑵M足，，所以，，因此，故答案為：3.【點(diǎn)睛】本題主要考查已知向量數(shù)量積求向量的模，熟記運(yùn)算法則即可，屬于基礎(chǔ)題目.14．已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則該數(shù)列的公比為________.【答案】【解析】首先根據(jù)得到，再根據(jù)得到，解方程即可.【詳解】因?yàn)?，所以，即，整理得：，解得：?因?yàn)?，所?故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，同時(shí)考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬于簡(jiǎn)單題.15．已知雙曲線的焦距為，且它的漸近線與圓有交點(diǎn)，連接所有交點(diǎn)的線段圍成了幾何圖形，則該幾何圖形的面積為________.【答案】16【解析】化雙曲線方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出，結(jié)合已知求得，得到雙曲線的漸近線方程與圓的方程，聯(lián)立漸近線方程與圓的方程求得交點(diǎn)坐標(biāo)，再由三角形面積公式求解幾何圖形的面積．【詳解】解：由雙曲線，得，則，則，得．雙曲線的漸近線方程為，圓化為，如圖：聯(lián)立，解得；聯(lián)立，解得．幾何圖形的面積為．故答案為：16．【點(diǎn)睛】本題考查圓與雙曲線的綜合，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，屬于中檔題．16．已知一塊邊長(zhǎng)為4的正方形鋁板（如圖），請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種裁剪方法，用虛線標(biāo)示在答題卡本題圖中，通過該方案裁剪，可焊接做成一個(gè)密封的正四棱柱（底面是正方形且側(cè)棱垂于底面的四棱柱），且該四棱柱的全面積等于正方形鋁板的面積（要求裁剪的塊數(shù)盡可能少，不計(jì)焊接縫的面積），則該四棱柱外接球的體積為________.【答案】；【解析】將正方形甲按圖中虛線剪開，以兩個(gè)正方形為底面，四個(gè)長(zhǎng)方形為側(cè)面，焊接成一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2，高為1的正四棱柱．該四棱柱外接球的半徑．由此能求出該四棱柱外接球的體積．【詳解】解：將正方形按圖中虛線剪開，以兩個(gè)正方形為底面，四個(gè)長(zhǎng)方形為側(cè)面，焊接成一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2，高為1的正四棱柱．底面為邊長(zhǎng)為2的正方形，該四棱柱外接球的半徑．該四棱柱外接球的體積為：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查四棱柱外接球的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．三、解答題17．某省從2021年開始，高考采用取消文理分科，實(shí)行“”的模式，其中的“1”表示每位學(xué)生必須從物理、歷史中選擇一個(gè)科目且只能選擇一個(gè)科目.某校高一年級(jí)有2000名學(xué)生（其中女生900人）.該校為了解高一年級(jí)學(xué)生對(duì)“1”的選課情況，采用分層抽樣的方法抽取了200名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，下表是根據(jù)調(diào)查結(jié)果得到的列聯(lián)表.性別選擇物理選擇歷史總計(jì)男生________50女生30________總計(jì)________________200（1）求，的值；（2）請(qǐng)你依據(jù)該列聯(lián)表判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為選擇科目與性別有關(guān)？說明你的理由.0.1000.0500.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828附：，其中.【答案】（1）；（2）有99.5%的把握認(rèn)為選擇科目與性別有關(guān)，詳見解析【解析】（1）根據(jù)分層抽樣以及女生由900人，則由求解，進(jìn)而得到n.（2）根據(jù)（1）的數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表，然后代入公式求得，再與臨界表對(duì)比下結(jié)論.【詳解】（1）根據(jù)題意得，解得，所以女生人數(shù)為人；（2）列聯(lián)表如下：性別選擇物理選擇歷史總計(jì)男生6050110女生306090總計(jì)90110200計(jì)算，所以有99.5%的把握認(rèn)為選擇科目與性別有關(guān).【點(diǎn)睛】本題主要考查獨(dú)立性檢驗(yàn)以及分層抽樣，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.18．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且.（1）求；（2）若，邊上的中線的長(zhǎng)為1，求的面積.【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用正弦定理把邊化角，三角化簡(jiǎn)可求值．（2）由三角形中線向量，兩邊平方結(jié)合已知求出邊，進(jìn)而求出面積．【詳解】（1）由正弦定理得，所以，則，又因?yàn)?，所以，，所以；?）由題意知，在中，有，因?yàn)閯t，平方得，所以，即，所以的面積為.【點(diǎn)睛】本題考查三角形的正弦定理和中線向量定理的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．19．如圖,四棱錐的側(cè)面是正三角形,,且,,是中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若平面平面,且,求二面角的余弦值.【答案】（1）見解析；（2）【解析】(1)取的中點(diǎn),連接,再證明四邊形是平行四邊形即可.(2)取中點(diǎn),連接,,根據(jù)線面垂直性質(zhì)計(jì)算可得,再以為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量的方法求解二面角的余弦值即可.【詳解】（1）取的中點(diǎn),連接,因?yàn)槭侵悬c(diǎn),所以,且,又因?yàn)?,所以,,即四邊形是平行四邊形,所以,又因?yàn)槠矫?平面,所以平面；（2）方法一：取中點(diǎn),連接,,因?yàn)槭钦切?所以,因?yàn)槠矫嫫矫?所以平面,平面,所以,故,以為原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,,,所以,,設(shè)平面的法向量為,則,,令得,易知平面的法向量為,則,所以二面角的余弦值為.方法二：過作交于,所以,且平面,過作交于,連接,所以,所以為二面角的平面角,因?yàn)?,因?yàn)槠矫?所以,且,又因?yàn)?所以,,故,所以二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面平行的證明以及線面垂直的判定與性質(zhì)，同時(shí)也考查了建立空間直角坐標(biāo)系求解二面角大小的問題,需要根據(jù)題意確定坐標(biāo)原點(diǎn)，分別求得兩個(gè)面的法向量，再求解二面角夾角的余弦值即可.屬于中檔題.20．在平面直角坐標(biāo)系中，直線交橢圓于兩點(diǎn)，.（1）若，且點(diǎn)滿足，證明：點(diǎn)不在橢圓上；（2）若橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，直線與線段和橢圓的短軸分別交于兩個(gè)不同點(diǎn)，，且，求四邊形面積的最小值.【答案】（1）見解析；（2）【解析】（1）直線的方程與橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及，得出點(diǎn)的坐標(biāo)，最后將點(diǎn)代入橢圓方程，即可得出結(jié)論；（2）直線的方程與橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，求出以及的取值范圍，進(jìn)而得出的值，再由三角形的面積公式以及二次函數(shù)的性質(zhì)得出四邊形面積的最小值.【詳解】設(shè)直線交橢圓于兩點(diǎn)，（1）把代入得所以，因?yàn)樗?，即因?yàn)樗渣c(diǎn)不在橢圓上；（2）由代入得則，又，，因?yàn)?，所以，即所以因?yàn)橹本€與線段及橢圓的短軸分別交于不同兩點(diǎn)所以又，則故，，即因?yàn)椋砸驗(yàn)樗怨十?dāng)或時(shí)，四邊形面積的最小值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了判斷點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系，四邊形的面積問題，屬于中檔題.21．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（2）函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，求整數(shù)的最小值.【答案】（1）見解析；（2）2【解析】（1）求導(dǎo)后，分類討論，解不等式可得結(jié)果；（2）分離參數(shù)后，構(gòu)造函數(shù)，分兩種情況利用導(dǎo)數(shù)可得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，由得，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，由得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；（2）因?yàn)?，即，因?yàn)?，所以，令，?）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，因此，所以只需；?）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，則，所以，因此只需，即，構(gòu)造函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，；當(dāng)時(shí)，，則，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，，則，故不滿足題意；綜上可知，整數(shù)的最小值為2.【點(diǎn)