2016年廣西桂林市中考數學試卷

2016年廣西桂林市中考數學試卷

一、選擇題：本大題共12小題，每小題3分，共36分

1.（3分）下列實數中小于0的數是（）

A.2016B.-2016C.D.

2.（3分）如圖，直線a〃b,c是截線，N1的度數是（）

A.55°B.75°C.110°D.125°

3.（3分）一組數據7,8,10,12,13的平均數是（）

A.7B.9C.10D.12

4.（3分）下列幾何體的三視圖相同的是（）

圓柱B.

長方體

5.（3分）下列圖形一定是軸對稱圖形的是（）

A.直角三角形B.平行四邊形C.直角梯形D.正方形

6.（3分）計算3-2的結果是（）

A.B.2C.3D.6

7.（3分）下列計算正確的是（)

A.(xy)3=xy3B.x5-rx5=x

C.3X2?5X3=15X5D.5x2y3+2x2y3=10x4y9

8.(3分)如圖，直線y=ax+b過點A(0,2)和點B(-3,0),則方程ax+b=0

的解是()

9.（3分）當x=6,y=3時，代數式（）?的值是（）

A.2B.3C.6D.9

10.（3分）若關于x的一元二次方程（k-1）X2+4X+1=0有兩個不相等的實數根，

則k的取值范圍是（）

A.k<5B.k<5,且kWlC.kW5,且kWlD.k>5

11.（3分）如圖，在RtZXAOB中，NAOB=90。，0A=3,0B=2,將Rt/XAOB繞點

0順時針旋轉90。后得RtAFOE,將線段EF繞點E逆時針旋轉90。后得線段ED,

分別以0，E為圓心，OA、ED長為半徑畫弧AF和弧DF,連接AD,則圖中陰影

部分面積是（）

A.71B.C.3+nD.8-n

12.（3分）已知直線y=-x+3與坐標軸分別交于點A,B,點P在拋物線y=-（x

-）2+4上，能使4ABP為等腰三角形的點P的個數有（）

A.3個B.4個C.5個D.6個

二、填空題：本大題共6小題，每小題3分，共18分

13.（3分）分解因式：X2-36=.

14.（3分）若式子在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是—.

15.（3分）把一副普通撲克牌中的數字2,3,4,5,6,7,8,9,10的9張牌

洗均勻后正面向下放在桌面上，從中隨機抽取一張，抽出的牌上的數恰為3的倍

數的概率是—.

16.（3分）正六邊形的每個外角是度.

17.（3分）如圖，在Rt^ACB中，ZACB=90°,AC=BC=3,CD=1,CH_LBD于H,

點。是AB中點，連接OH,則0H=.

18.（3分）如圖，正方形OABC的邊長為2,以。為圓心，EF為直徑的半圓經

過點A,連接AE,CF相交于點P,將正方形OABC從0A與OF重合的位置開始，

繞著點0逆時針旋轉90°,交點P運動的路徑長是—.

三、解答題：本大題共8小題，共66分

19.（6分）計算：-（-4）+|-5|+-4tan45。.

20.（6分）解不等式組:.

21.（8分）如圖，國ABCD的對角線AC,BD相交于點0,E,F分別是0A,0C

的中點，連接BE,DF

（1）根據題意，補全圖形；

（2）求證：BE=DF.

22.（8分）某校為了解本校九年級男生"引體向上"項目的訓練情況，隨機抽取該

年級部分男生進行了一次測試（滿分15分，成績均記為整數分），并按測試成績

（單位：分）分成四類：A類（12WmW15）,B類（9WmWll）,C類（6WmW

8）,D類（mW5）繪制出以下兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請根據圖中信息解答下列

問題：

（1）本次抽取樣本容量為—，扇形統(tǒng)計圖中A類所對的圓心角是一度；

（2）請補全統(tǒng)計圖；

（3）若該校九年級男生有300名，請估計該校九年級男生“引體向上"項目成績

為C類的有多少名？

23.（8分）已知任意三角形的三邊長，如何求三角形面積？

古希臘的幾何學家海倫解決了這個問題，在他的著作《度量論》一書中給出了計

算公式--海倫公式S=（其中a,b,c是三角形的三邊長，p=,S為三角形的面

積），并給出了證明

例如：在AABC中，a=3,b=4,c=5,那么它的面積可以這樣計算：

Va=3,b=4,c=5

p==6

，S===6

事實上，對于已知三角形的三邊長求三角形面積的問題，還可用我國南宋時期數

學家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解決.

如圖，在AABC中，BC=5,AC=6,AB=9

（1）用海倫公式求△ABC的面積；

（2）求^ABC的內切圓半徑r.

24.（8分）五月初，我市多地遭遇了持續(xù)強降雨的惡劣天氣，造成部分地區(qū)出

現嚴重洪澇災害，某愛心組織緊急籌集了部分資金，計劃購買甲、乙兩種救災物

品共2000件送往災區(qū)，已知每件甲種物品的價格比每件乙種物品的價格貴10

元，用350元購買甲種物品的件數恰好與用300元購買乙種物品的件數相同

（1）求甲、乙兩種救災物品每件的價格各是多少元？

（2）經調查，災區(qū)對乙種物品件數的需求量是甲種物品件數的3倍，若該愛心

組織按照此需求的比例購買這2000件物品，需籌集資金多少元？

25.（10分）如圖,在四邊形ABCD中，AB=6,BC=8,CD=24,AD=26,ZB=90°,

以AD為直徑作圓。，過點D作DE〃AB交圓O于點E

（1）證明點C在圓。上；

（2）求tan/CDE的值；

（3）求圓心O到弦ED的距離.

26.（12分）如圖1,已知開口向下的拋物線y1=ax2-2ax+l過點A（m,1）,與

y軸交于點C,頂點為B,將拋物線yi繞點C旋轉180。后得到拋物線丫2,點A,B

的對應點分別為點D,E.

（1）直接寫出點A,C,D的坐標；

（2）當四邊形ABDE是矩形時，求a的值及拋物線丫2的解析式；

（3）在（2）的條件下，連接DC,線段DC上的動點P從點D出發(fā)，以每秒1

個單位長度的速度運動到點C停止，在點P運動的過程中，過點P作直線llx

軸，將矩形ABDE沿直線I折疊，設矩形折疊后相互重合部分面積為S平方單位，

點P的運動時間為t秒，求S與t的函數關系.

備用圖

2016年廣西桂林市中考數學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共12小題，每小題3分，共36分

1.（3分）（2016?桂林）下列實數中小于0的數是（）

A.2016B.-2016C.D.

【考點】實數大小比較.

【分析】根據正數大于負數0,0大于負數進行選擇即可.

【解答】解：???-2016是負數,

-2016<0,

故選B.

【點評】本題考查了實數的大小比較，掌握在數軸上右邊的數總大于左邊的數.

2.（3分）（2016?桂林）如圖，直線a〃b,c是截線，N1的度數是（）

A.55°B.75°C.110°D.125°

【考點】平行線的性質.

【分析】根據平行線的性質即可得到結論.

【解答】解：?.?直線a〃b,

AZ1=55°,

故選A.

【點評】本題主要考查平行線的性質，掌握平行線的性質和判定是解題的關鍵,

即①兩直線平行0同位角相等，②兩直線平行㈡內錯角相等，③兩直線平行㈡同

旁內角互補，@a〃b,b〃c=>a〃c.

3.（3分）（2016?桂林）一組數據7,8,10,12,13的平均數是（）

A.7B.9C.10D.12

【考點】算術平均數.

【分析】根據平均數的定義：平均數是指在一組數據中所有數據之和再除以數據

的個數進行計算即可.

【解答】解：（7+8+10+12+13）4-5

=504-5

=10

答：一組數據7,8,10,12,13的平均數是10.

故選：C.

【點評】本題考查了平均數的知識，掌握一組數據平均數的求解方法是解題關鍵.

4.（3分）（2016?桂林）下列幾何體的三視圖相同的是（）

長方體

【考點】簡單幾何體的三視圖.

【專題】投影與視圖.

【分析】找出圓柱，球，圓錐，以及長方體的三視圖，即可做出判斷.

【解答】解：A、圓柱的三視圖，如圖所示，不合題意；

B、球的三視圖，如圖所示，符合題意;

的視圖左視圖

C、圓錐的三視圖，如圖所示，不合題意;

便視圖左視圖

D、長方體的三視圖，如圖所示,不合題意;

仰視圖左視圖

O□

故選B

【點評】此題考查了簡單幾何體的三視圖，熟練掌握三視圖的定義是解本題的關

鍵.

5.（3分）（2016?桂林）下列圖形一定是軸對稱圖形的是（）

A.直角三角形B.平行四邊形C.直角梯形D.正方形

【考點】軸對稱圖形.

【分析】根據軸對稱圖形的概念，結合選項求解即可.

【解答】解：A、直角三角形中只有等腰直角三角形為軸對稱圖形，本選項錯誤；

B、平行四邊形不是軸對稱圖形，本選項錯誤；

C、直角梯形不是軸對稱圖形，本選項錯誤；

D、正方形是軸對稱圖形，本選項正確.

故選D.

【點評】本題考查了軸對稱圖形的知識，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形

兩部分折疊后可重合.

6.（3分）（2016?桂林）計算3-2的結果是（）

A.B.2C.3D.6

【考點】二次根式的加減法.

【分析】直接利用二次根式的加減運算法則求出答案.

【解答】解：原式=（3-2）=.

故選:A.

【點評】此題主要考查了二次根式的加減運算，正確掌握運算法則是解題關鍵.

7.（3分）（2016?桂林）下列計算正確的是（）

A.（xy）3=xy3B.x5-rx5=x

C.3X2*5X3=15X5D.5x2y3+2x2y3=10x4y9

【考點】單項式乘單項式；合并同類項；事的乘方與積的乘方；同底數嘉的除法.

【專題】計算題；整式.

【分析】A、原式利用積的乘方運算法則計算得到結果，即可作出判斷；

B、原式利用同底數累的乘法法則計算得到結果，即可作出判斷；

C、原式利用單項式乘單項式法則計算得到結果，即可作出判斷；

D、原式合并同類項得到結果，即可作出判斷.

【解答】解：A、原式=x3y3,錯誤；

B、原式=1,錯誤；

C、原式=15x）正確；

D、原式=7x2y3,錯誤，

故選C

【點評】此題考查了單項式乘單項式，合并同類項，幕的乘方與積的乘方，以及

同底數累的除法，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

8.（3分）（2016?桂林）如圖，直線y=ax+b過點A（0,2）和點B（-3,0）,

則方程ax+b=0的解是（）

V

A.x=2B.x=0C.x=-1D.x=-3

【考點】一次函數與一元一次方程.

【專題】應用題；一次函數及其應用.

【分析】所求方程的解，即為函數y=ax+b圖象與x軸交點橫坐標，確定出解即

可.

【解答】解：方程ax+b=0的解，即為函數丫=2*+13圖象與x軸交點的橫坐標，

,直線y=ax+b過B（-3,0）,

方程ax+b=0的解是x=-3>

故選D

【點評】此題考查了一次函數與一元一次方程，任何一元一次方程都可以轉化為

ax+b=0（a,b為常數，aWO）的形式，所以解一元一次方程可以轉化為：當某

個一次函數的值為0時，求相應的自變量的值.從圖象上看，相當于已知直線

y=ax+b確定它與x軸的交點的橫坐標的值.

9.（3分）（2016?桂林）當x=6,y=3時，代數式。?的值是（）

A.2B.3C.6D.9

【考點】分式的化簡求值.

【專題】探究型.

【分析】先對所求的式子化簡，然后將x=6,y=3代入化簡后的式子即可解答本

題.

【解答】解：（）?

當x=6,y=3時，原式=,

故選C.

【點評】本題考查分式的化簡求值，解題的關鍵是對所求式子進行靈活變化.然

后對分式進行化簡.

10.（3分）（2016?桂林）若關于x的一元二次方程（k-1）x2+4x+l=0有兩個不

相等的實數根，則k的取值范圍是（）

A.k<5B.k<5,且kWlC.kW5,且kWlD.k>5

【考點】根的判別式；一元二次方程的定義.

【分析】根據方程為一元二次方程且有兩個不相等的實數根，結合一元二次方程

的定義以及根的判別式即可得出關于k的一元一次不等式組，解不等式組即可得

出結論.

【解答】解：???關于x的一元二次方程（k-1）X2+4X+1=0有兩個不相等的實數

根，

即，

解得：k<5且kfl.

故選B.

【點評】本題考查了根的判別式以及一元二次方程的定義，解題的關鍵是得出關

于k的一元一次不等式組.本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，根

據方程根的個數結合一元二次方程的定義以及根的判別式得出不等式組是關鍵.

11.（3分）（2016?桂林）如圖，在RtaAOB中，ZAOB=90°,0A=3,0B=2,將

RtAAOB繞點。順時針旋轉90。后得RtAFOE,將線段EF繞點E逆時針旋轉90°

后得線段ED,分別以0,E為圓心，OA、ED長為半徑畫弧AF和弧DF,連接AD,

則圖中陰影部分面積是（）

【考點】扇形面積的計算；旋轉的性質.

【分析】作DHLAE于H,根據勾股定理求出AB,根據陰影部分面積=△ADE的

面積+4E0F的面積+扇形AOF的面積-扇形DEF的面積、利用扇形面積公式計算

即可.

【解答】解：作DH1AE于H,

VZAOB=90°,0A=3,0B=2,

.二AB二二，

由旋轉的性質可知，0E=0B=2,DE=EF=AB=,ADHE^ABOA,

ADH=OB=2,

陰影部分面積二Z^ADE的面積+4EOF的面積+扇形AOF的面積-扇形DEF的面積

=X5X2+X2X3+-

=8-n,

故選：D.

【點評】本題考查的是扇形面積的計算、旋轉的性質、全等三角形的性質，掌握

扇形的面積公式$=和旋轉的性質是解題的關鍵.

12.（3分）（2016?桂林）已知直線y=-x+3與坐標軸分別交于點A,B,點P在

拋物線y=-（x-）2+4上，能使4ABP為等腰三角形的點P的個數有（）

A.3個B.4個C.5個D.6個

【考點】二次函數圖象上點的坐標特征；一次函數圖象上點的坐標特征；等腰三

角形的判定.

【分析】以點B為圓心線段AB長為半徑做圓，交拋物線于點C、M、N點，連

接AC、BC,由直線y=-x+3可求出點A、B的坐標，結合拋物線的解析式可得出

△ABC等邊三角形,再令拋物線解析式中y=0求出拋物線與x軸的兩交點的坐標,

發(fā)現該兩點與M、N重合，結合圖形分三種情況研究4ABP為等腰三角形，由此

即可得出結論.

【解答】解：以點B為圓心線段AB長為半徑做圓，交拋物線于點C、M、N點，

連接AC、BC,如圖所示.

令一次函數y=-x+3中x=0,則y=3,

.?.點A的坐標為（0,3）；

令一次函數y=-x+3中y=0,則-x+3=0,

解得:x=,

.?.點B的坐標為（,0）.

，AB=2.

?.?拋物線的對稱軸為x=,

.?.點C的坐標為（2,3）,

；.AC=2=AB=BC,

...△ABC為等邊三角形.

令y=-（x-）2+4中y=0,貝U-（x-）2+4=0?

解得：x=-,或x=3.

.?.點E的坐標為（-,0）,點F的坐標為（3,0）.

△ABP為等腰三角形分三種情況：

①當AB=BP時，以B點為圓心，AB長度為半徑做圓，與拋物線交于C、M、N

二占.

--*八、、，

②當AB=AP時，以A點為圓心，AB長度為半徑做圓，與拋物線交于C、M兩點，；

③當AP=BP時，作線段AB的垂直平分線，交拋物線交于C、M兩點；

能使4ABP為等腰三角形的點P的個數有3個.

故選A.

【點評】本題考查了二次函數與坐標軸的交點坐標、等腰三角形的判定、一次函

數與坐標軸的交點坐標以及等邊三角形的判定定理，解題的關鍵是依照題意畫出

圖形，利用數形結合來解決問題.本題屬于中檔題，難度不小，本題不需要求出

P點坐標，但在尋找點P的過程中會出現多次點的重合問題，由此給解題帶來了

難度.

二、填空題：本大題共6小題，每小題3分，共18分

13.(3分)(2016?桂林)分解因式：X2-36=(X+6)(X-6).

【考點】因式分解-運用公式法.

【專題】計算題；因式分解.

【分析】原式利用平方差公式分解即可.

【解答】解:原式=(x+6)(x-6),

故答案為：(x+6)(x-6)

【點評】此題考查了因式分解-運用公式法，熟練掌握平方差公式是解本題的關

鍵.

14.(3分)(2016?桂林)若式子在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是X2

1.

【考點】二次根式有意義的條件.

【分析】先根據二次根式有意義的條件列出關于X的不等式，求出X的取值范圍

即可.

【解答】解：?.?式子在實數范圍內有意義，

.,.X-120,

解得x》l.

故答案為：x2l.

【點評】本題考查的是二次根式有意義的條件，即被開方數大于等于0.

15.（3分）（2016?桂林）把一副普通撲克牌中的數字2,3,4,5,6,7,8,9,

10的9張牌洗均勻后正面向下放在桌面上，從中隨機抽取一張，抽出的牌上的

數恰為3的倍數的概率是—.

【考點】概率公式.

【分析】先確定9張撲克牌上的數字為3的倍數的張數，再根據隨機事件A的概

率P（A）=,求解即可.

【解答】解：?.?數字為3的倍數的撲克牌一共有3張，且共有9張撲克牌，

?'?p==.

故答案為：.

【點評】本題考查了概率公式的知識點，正確找出數字為3的倍數的撲克牌的張

數是解答本題的關鍵.

16.（3分）（2016?桂林）正六邊形的每個外角是60度.

【考點】多邊形內角與外角.

【分析】正多邊形的外角和是360度，且每個外角都相等，據此即可求解.

【解答】解：正六邊形的一個外角度數是：360-6=60°.

故答案為：60.

【點評】本題考查了正多邊形的外角的計算，理解外角和是360度，且每個外角

都相等是關鍵.

17.（3分）（2016?桂林）如圖，在RtAACB中，ZACB=90°,AC=BC=3,CD=1,

CH_LBD于H,點。是AB中點，連接OH,則0H=.

C

D//\

B

【考點】相似三角形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；等腰直角三角形.

【分析】在BD上截取BE=CH,連接CO,0E,根據相似三角形的性質得到，求

得CH=,根據等腰直角三角形的性質得到AO=OB=OC,ZA=ZACO=ZBCO=Z

ABC=45。，等量代換得到/OCH=NABD,根據全等三角形的性質得到OE=OH,Z

BOE=ZHOC推出aHOE是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質即可得

到結論.

【解答】解：在BD上截取BE=CH,連接C。，0E,

VZACB=90°,CH1BD,

VAC=BC=3,CD=1,

；.BD=,

.,.△CDH^ABDC,

??，

，CH=,

???△ACB是等腰直角三角形，點。是AB中點，

.*.AO=OB=OC,ZA=ZACO=ZBCO=ZABC=45°,

/.ZOCH+ZDCH=45°,ZABD+ZDBC=45°,

VZDCH=ZCBD,，NOCH=NABD,

在△CHO與△BEO中，，

.'.△CHO四△BEO,

，OE=OH,ZBOE=ZHOC,

VOC±BO,

.,.ZEOH=90°,

即△HOE是等腰直角三角形，

VEH=BD-DH-CH=--=,

；.OH=EHX=,

故答案為：.

【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，全等三

角形的判定和性質，正確的作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵.

18.（3分）（2016?桂林）如圖，正方形OABC的邊長為2,以。為圓心，EF為

直徑的半圓經過點A,連接AE,CF相交于點P,將正方形OABC從OA與OF重

合的位置開始，繞著點。逆時針旋轉90。，交點P運動的路徑長是兀.

【考點】軌跡；正方形的性質；旋轉的性質.

【分析】如圖點P運動的路徑是以G為圓心的弧，在。G上取一點H,連接EH、

FH,只要證明NEGF=90。，求出GE的長即可解決問題.

【解答】解：如圖點P運動的路徑是以G為圓心的弧，在OG上取一點H,連接

EH、FH.

???四邊形AOCB是正方形，

ZAOC=90°,

.,.ZAFP=ZAOC=45°,

；EF是。0直徑,

/.ZEAF=90",

NAPF=NAFP=45°,

.*.ZH=ZAPF=45°,

.?.ZEGF=2ZH=90°,

VEF=4,GE=GF,

，EG=GF=2,

/.的長==H.

故答案為九

H

【點評】本題考查正方形的性質、旋轉的性質、軌跡、圓等知識，解題的關鍵是

正確發(fā)現軌跡的位置，學會添加輔助線，利用圓的有關性質解決問題，屬于中考

填空題中的壓軸題.

三、解答題：本大題共8小題，共66分

19.（6分）（2016?桂林）計算：-（-4）+|-5|+-4tan45。.

【考點】零指數幕；特殊角的三角函數值.

【分析】先去括號、計算絕對值、零指數累、三角函數值，再計算乘法、減法即

可.

【解答】解：原式=4+5+1-4X1=6.

【點評】本題主要考查實數的混合運算，熟練掌握相反數、絕對值的性質及零指

數累、三角函數值的計算是關鍵.

20.（6分）（2016?桂林）解不等式組:.

【考點】解一元一次不等式組.

【分析】首先解每個不等式，兩個不等式的解集的公共部分就是不等式組的解集.

【解答】解：，

解①得：x>2,

解②得x<5.

則不等式組的解集是：2<xW5.

【點評】本題考查了一元一次不等式組的解法：解一元一次不等式組時，一般先

求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，利用數軸可以直觀地表

示不等式組的解集.方法與步驟：①求不等式組中每個不等式的解集；②利用數

軸求公共部分.解集的規(guī)律：同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小

找不到.

21.(8分)(2016?桂林)如圖，I3ABCD的對角線AC、BD相交于點0,E,F分

別是OA,OC的中點，連接BE,DF

(1)根據題意，補全圖形；

(2)求證:BE=DF.

【考點】平行四邊形的性質；全等三角形的判定與性質.

【分析】(1)如圖所示；

(2)由全等三角形的判定定理SAS證得△BEO烏△DFO,得出全等三角形的對應

邊相等即可.

【解答】(1)解：如圖所示：

(2)證明：?.?四邊形ABCD是平行四邊形，對角線AC、BD交于點0,

，0B=0D,0A=0C.

又YE,F分別是OA、0C的中點，

，OE=OA,OF=OC,

.\OE=OF.

?.?在△BEO與△DFO中，,

.,.△BEO^ADFO(SAS),

，BE=DF.

【點評】本題主要考查了全等三角形的判定與性質、平行四邊形的性質的運用;

熟練掌握平行四邊形的性質，證明三角形全等是解決問題的關鍵.

22.（8分）（2016?桂林）某校為了解本校九年級男生"引體向上”項目的訓練情

況,隨機抽取該年級部分男生進行了一次測試（滿分15分，成績均記為整數分），

并按測試成績（單位：分）分成四類：A類（12WmW15）,B類（9WmWll）,

C類（6WmW8）,D類（mW5）繪制出以下兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請根據圖中

信息解答下列問題：

（1）本次抽取樣本容量為50，扇形統(tǒng)計圖中A類所對的圓心角是72度:

（2）請補全統(tǒng)計圖；

（3）若該校九年級男生有300名，請估計該校九年級男生“引體向上"項目成績

為C類的有多少名？

【考點】條形統(tǒng)計圖；總體、個體、樣本、樣本容量；用樣本估計總體；扇形統(tǒng)

計圖.

【專題】統(tǒng)計與概率.

【分析】（1）根據統(tǒng)計圖可以得到抽查的學生數，從而可以求得樣本容量，由扇

形統(tǒng)計圖可以求得扇形圓心角的度數；

（2）根據統(tǒng)計圖可以求得C類學生數和C類與D類所占的百分比，從而可以將

統(tǒng)計圖補充完整；

（3）根據統(tǒng)計圖可以估計該校九年級男生"引體向上”項目成績?yōu)镃類的有多少

名.

【解答】解：（1）由題意可得，

抽取的學生數為：104-20%=50,

扇形統(tǒng)計圖中A類所對的圓心角是：360°X20%=72°,

故答案為：50,72；

（2）C類學生數為:50-10-22-3=15,

C類占抽取樣本的百分比為：154-50X100%=30%,

D類占抽取樣本的百分比為：3+50X100%=6%,

補全的統(tǒng)計圖如右圖所示，

（3）300X30%=90（名）

即該校九年級男生"引體向上”項目成績?yōu)镃類的有90名.

【點評】本題考查條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、用本估計總體，解題的關鍵是明確

題意，利用數形結合的思想解答.

23.（8分）（2016?桂林）已知任意三角形的三邊長，如何求三角形面積？

古希臘的幾何學家海倫解決了這個問題，在他的著作《度量論》一書中給出了計

算公式--海倫公式S=（其中a,b,c是三角形的三邊長，p=,S為三角形的面

積），并給出了證明

例如：在AABC中，a=3,b=4,c=5,那么它的面積可以這樣計算：

Va=3,b=4,c=5

??p=—6

S===6

事實上，對于已知三角形的三邊長求三角形面積的問題，還可用我國南宋時期數

學家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解決.

如圖，在^ABC中，BC=5,AC=6,AB=9

(1)用海倫公式求^ABC的面積；

(2)求aABC的內切圓半徑r.

【考點】三角形的內切圓與內心；二次根式的應用.

【分析】(1)先根據BC、AC、AB的長求出P,再代入到公式$=即可求得S的值；

(2)根據公式S=r(AC+BC+AB),代入可得關于r的方程，解方程得r的值.

【解答】解:(1)VBC=5,AC=6,AB=9,

/.p===10?

.?.s===io；

故AABC的面積10；

(2)VS=r(AC+BC+AB),

A10=r(5+6+9),

解得：r=,

故AABC的內切圓半徑r=.

【點評】本題主要三角形的內切圓與內心、二次根式的應用，熟練掌握三角形的

面積與內切圓半徑間的公式是解題的關鍵.

24.(8分)(2016?桂林)五月初，我市多地遭遇了持續(xù)強降雨的惡劣天氣，造

成部分地區(qū)出現嚴重洪澇災害，某愛心組織緊急籌集了部分資金，計劃購買甲、

乙兩種救災物品共2000件送往災區(qū)，已知每件甲種物品的價格比每件乙種物品

的價格貴10元，用350元購買甲種物品的件數恰好與用300元購買乙種物品的

件數相同

(1)求甲、乙兩種救災物品每件的價格各是多少元？

(2)經調查，災區(qū)對乙種物品件數的需求量是甲種物品件數的3倍，若該愛心

組織按照此需求的比例購買這2000件物品，需籌集資金多少元？

【考點】分式方程的應用；一元一次方程的應用.

【分析】（1）設每件乙種物品的價格是X元，則每件甲種物品的價格是（x+10）

元，根據用350元購買甲種物品的件數恰好與用300元購買乙種物品的件數相同

列出方程，求解即可；

（2）設甲種物品件數為m件，則乙種物品件數為3m件，根據該愛心組織按照

此需求的比例購買這2000件物品列出方程，求解即可.

【解答】解：（1）設每件乙種物品的價格是x元，則每件甲種物品的價格是（x+10）

元，

根據題意得，=,

解得:x=60.

經檢驗，x=60是原方程的解.

答：甲、乙兩種救災物品每件的價格各是70元、60元；

（2）設甲種物品件數為m件，則乙種物品件數為3m件，

根據題意得，m+3m=2000,

解得m=500,

即甲種物品件數為500件，則乙種物品件數為1500件，此時需籌集資金：70X

500+60X1500=125000（元）.

答：若該愛心組織按照此需求的比例購買這2000件物品，需籌集資金125000

元.

【點評】本題考查分式方程、一元一次方程的應用，分析題意，找到合適的等量

關系是解決問題的關鍵.

25.（10分）（2016?桂林）如圖，在四邊形ABCD中，AB=6,BC=8,CD=24,AD=26,

ZB=90°,以AD為直徑作圓0,過點D作DE〃AB交圓。于點E

（1）證明點C在圓。上；

（2）求tanNCDE的值；

（3）求圓心O到弦ED的距離.

BA

【考點】圓的綜合題.

【分析】（1）如圖1，連結CO.先由勾股定理求出AC=10,再利用勾股定理的逆

定理證明4ACD是直角三角形，NC=90。，那么0C為RtZ^ACD斜邊上的中線，

根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出OC=AD=r,即點C在圓。上；

（2）如圖2,延長BC、DE交于點F,ZBFD=90".根據同角的余角相等得出/

CDE=NACB.在RtaABC中，利用正切函數定義求出tan/ACB==，則tanNCDE=tan

NACB=；

（3）如圖3,連結AE,作OG_LED于點G,則。G〃AE,且OG=AE.易證4ABC

-△CFD,根據相似三角形對應邊成比例求出CF=,那么BF=BC+CF=.再證明四

邊形ABFE是矩形，得出AE=BF=,所以OG=AE=.

【解答】（1）證明：如圖1,連結CO.

VAB=6,BC=8,ZB=90°,

.*.AC=10.

XVCD=24,AD=26,102+242=262,

...△ACD是直角三角形，ZC=90".

???AD為。。的直徑，

.*.AO=OD,0C為RtZ\ACD斜邊上的中線，

；.OC=AD=r,

...點C在圓。上；

（2）解：如圖2,延長BC、DE交于點F,ZBFD=90°.

VZBFD=90°,

.,.ZCDE+ZFCD=90°,

又丁ZACD=90°,

AZACB+ZFCD=90°,

，NCDE=NACB.

在RtZ\ABC中,tanZACB==,

tanZCDE=tanZACB=；

(3)解：如圖3,連結AE,作。GJ_ED于點G,則OG〃AE,且OG=AE.

易證△ABCsaCFD,

=,即=,

，CF=,

，BF=BC+CF=8+=.

VZB=ZF=ZAED=90°,

四邊形ABFE是矩形，

，AE=BF=,

/.OG=AE=,

即圓心。到弦ED的距離為.

【點評】本題是圓的綜合題，考查了勾股定理及其逆定理，直角三角形的性質,

余角的性質，銳角三角函數定義，相似三角形的判定與性質，綜合性較強，難度

適中.準確作出輔助線，利用數形結合是解題的關鍵.

26.（12分）（2016?桂林）如圖1,已知開口向下的拋物線yi=ax2-2ax+l過點A

（m,1）,與y軸交于點C,頂點為B,將拋物線yi繞點C旋轉180。后得到拋物

線丫2，點A,B的對應點分別為點D,E.

（1）直接寫出點A,C,D的坐標；

（2）當四邊形ABDE是矩形時，求a的值及拋物線丫2的解析式；

（3）在（2）的條件下，連接DC,線段DC上的動點P從點D出發(fā)，以每秒1

個單位長度的速度運動到點C停止，在點P運動的過程中，過點P作直線l±x

軸，將矩形ABDE沿直線I折疊，設矩形折疊后相互重合部分面積為S平方單位，

點P的運動時間為t秒，求S與t的函數關系.

【考點】二次函數綜合題.

【分析】（1）直接將點A的坐標代入yi=ax2-2ax+l得出m的值，因為由圖象可

知點A在第一象限，所以mWO,則m=2,寫出A,C的坐標，點D與點A關于

點C對稱，由此寫出點D的坐標；

（2）根據頂點坐標公式得出拋物線yi的頂點B的坐標，再由矩形對角線相等且

平分得：BC=CD,在直角ABMC中，由勾股定理列方程求出a的值得出拋物線力

的解析式，由旋轉的性質得出拋物線丫2的解析式；

（3）分兩種情況討論：①當OWtWl時，S=SMHD=SAPDH+SAPDG，作輔助線構建直

AHMD

角三角形，求出PG和PH,利用面積公式計算；②當l<t^2時，S=S--SA

GE，F-SMFM，利用30。角和60。角的直角三角形的性質進行計算得出結論.

【解答】解：（1）由題意得:

將A(m,1)代入yi=ax?-2ax+l得：am2-2am+l=l,

解得：(舍)，

mi=2,m2=0

AA(2,1)、C(0,1)、D(-2,1)；

(2)如圖1,由(1)知：B(1,1-a),過點B作BM_Ly軸，

若四邊形ABDE為矩形，則BC=CD,

.".BM2+CM2=BC2=CD2,

/.12+(-a)2=22,

??a二，

???y】拋物線開口向下，

??a=",

由"繞點旋轉。得到，則頂點

Vy2C180E(-1,1-),

?,?設y2=a(x+1)2+1-,則a=,

2

y2=x+2x+l；

(3)如圖1,當OWtWl時，則DP=t,構建直角△BQD,

得BQ=,DQ=3,貝BD=2,

，NBDQ=30。，

；.PH=,PG=t,

/.S=(PG+PH)XDP=t2,

如圖2,當lVtW2時，

因為矩形ABDE沿直線I折疊，所以延長DE和DF交直線I于同一點，設這一點

為M,

D(-2,1),E(-1,1-),

，DE==2,

AEM=DM-DE=2t-2,

VZEMG=30°,

.?.EG=E'G=(t-1),

在RtAFEM中，ZEMF=2X30°=60°,

，NEFM=30°,

/.FM=2EM=4t-4,

AEZF=FM-E'M=FM-EM=4t-4-(2t-2)=2t-2=2(t-1),

SAGE'F=(t-1)2,

S=SAHMDZ-SAGET-SAGEZM二XtX2t-(t-1)2-X(t-1)X(2t-2),

二一??

綜上所述：S=t2(OWtWl)或s=-(lVtW2).

【點評】本題考查了二次函數的性質，旋轉的性質和矩形對角線的性質，以及三

角函數及特殊角的應用，綜合性較強;善于從已知中挖掘隱藏條件是本題的關鍵:

如此題可以計算矩形的邊長及對角線與邊的夾角，得出30。，以此為突破口，將

需要的邊長用t表示，得出函數關系式；另外本題還運用了分類討論的思想，這

在二次函數中運用較多，應熟練掌握.

考點卡片

1.實數大小比較

實數大小比較

（1）任意兩個實數都可以比較大小.正實數都大于0,負實數都小于0,正實數

大于一切負實數，兩個負實數絕對值大的反而小.

（2）利用數軸也可以比較任意兩個實數的大小，即在數軸上表示的兩個實數，

右邊的總比左邊的大，在原點左側，絕對值大的反而小.

2.合并同類項

（1）定義：把多項式中同類項合成一項，叫做合并同類項.

（2）合并同類項的法則：把同類項的系數相加，所得結果作為系數，字母和字

母的指數不變.

（3）合并同類項時要注意以下三點：

①要掌握同類項的概念，會辨別同類項，并準確地掌握判斷同類項的兩條標準:

帶有相同系數的代數項；字母和字母指數；

②明確合并同類項的含義是把多項式中的同類項合并成一項，經過合并同類項,

式的項數會減少，達到化簡多項式的目的；

③"合并”是指同類項的系數的相加，并把得到的結果作為新的系數，要保持同類

項的字母和字母的指數不變.

3.塞的乘方與積的乘方

（1）幕的乘方法則：底數不變，指數相乘.

（am）n=amn（m,n是正整數）

注意：①基的乘方的底數指的是基的底數；②性質中"指數相乘"指的是累的指數

與乘方的指數相乘，這里注意與同底數幕的乘法中"指數相加”的區(qū)別.

（2）積的乘方法則：把每一個因式分別乘方，再把所得的幕相乘.

（ab）n=a%n（n是正整數）

注意：①因式是三個或三個以上積的乘方，法則仍適用；②運用時數字因數的乘

方應根據乘方的意義，計算出最后的結果.

4.同底數嘉的除法

同底數基的除法法則：底數不變，指數相減.

am4-an=am-n(a^O,m,n是正整數，m>n)

①底數a#0,因為0不能做除數；

②單獨的一個字母，其指數是1,而不是0；

③應用同底數累除法的法則時，底數a可是單項式，也可以是多項式，但必須明

確底數是什么，指數是什么.

5.單項式乘單項式

運算性質：單項式與單項式相乘，把他們的系數，相同字母分別相乘，對于只在

一個單項式里含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式.

注意：①在計算時，應先進行符號運算，積的系數等于各因式系數的積；②注意

按順序運算；③不要丟掉只在一個單項式里含有的字母因式；④此性質對于多個

單項式相乘仍然成立.

6.因式分解-運用公式法

1、如果把乘法公式反過來，就可以把某些多項式分解因式，這種方法叫公式法.

平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)；

完全平方公式:a2±2ab+b2=(a±b)2；

2、概括整合：

①能夠運用平方差公式分解因式的多項式必須是二項式，兩項都能寫成平方的形

式，且符號相反.

②能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式，其中有兩項能寫成兩個

數(或式)的平方和的形式，另一項是這兩個數(或式)的積的2倍.

3、要注意公式的綜合應用，分解到每一個因式都不能再分解為止.

7.分式的化簡求值

先把分式化簡后，再把分式中未知數對應的值代入求出分式的值.

在化簡的過程中要注意運算順序和分式的化簡.化簡的最后結果分子、分母要進

行約分，注意運算的結果要化成最簡分式或整式.

【規(guī)律方法】分式化簡求值時需注意的問題

1.化簡求值，一般是先化簡為最簡分式或整式，再代入求值.化簡時不能跨度

太大，而缺少必要的步驟，代入求值的模式一般為"當…時，原式=，'.

2.代入求值時，有直接代入法，整體代入法等常用方法.解題時可根據題目的

具體條件選擇合適的方法.當未知數的值沒有明確給出時，所選取的未知數的值

必須使原式中的各分式都有意義，且除數不能為0.

8.零指數幕

零指數寨:a°=l(aWO)

由am+am=l,am+am=amm=a°可推出a°=l(aWO)

注意：oVi.

9.二次根式有意義的條件

判斷二次根式有意義的條件：

(1)二次根式的概念.形如a(a20)的式子叫做二次根式.

(2)二次根式中被開方數的取值范圍.二次根式中的被開方數是非負數.

(3)二次根式具有非負性.a(a20)是一個非負數.

學習要求：

能根據二次根式中的被開方數是非負數來確定二次根式被開方數中字母的取值

范圍，并能利用二次根式的非負性解決相關問題.

【規(guī)律方法】二次根式有無意義的條件

1.如果一個式子中含有多個二次根式，那么它們有意義的條件是：各個二次根

式中的被開方數都必須是非負數.

2.如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數為非負數外，還必須保證分

母不為零.

10.二次根式的加減法

（1）法則：二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把被開

方數相同的二次根式進行合并，合并方法為系數相加減，根式不變.

（2）步驟：

①如果有括號，根據去括號法則去掉括號.

②把不是最簡二次根式的二次根式進行化簡.

③合并被開方數相同的二次根式.

（3）合并被開方數相同的二次根式的方法：

二次根式化成最簡二次根式，如果被開方數相同則可以進行合并.合并時，只合

并根式外的因式，即系數相加減，被開方數和根指數不變.

11.二次根式的應用

把二次根式的運算與現實生活相聯系，體現了所學知識之間的聯系，感受所學知

識的整體性，不斷豐富解決問題的策略，提高解決問題的能力.

二次根式的應用主要是在解決實際問題的過程中用到有關二次根式的概念、性質

和運算的方法.

12.一元一次方程的應用

（一）一元一次方程解應用題的類型有：

（1）探索規(guī)律型問題；

（2）數字問題；

（3）銷售問題（利潤=售價-進價，利潤率=利潤進價義100%）;（4）工程問題

（①工作量=人均效率X人數X時間；②如果一件工作分幾個階段完成，那么各

階段的工作量的和=工作總量）；

（5）行程問題（路程=速度X時間）；

（6）等值變換問題；

（7）和，差,倍，分問題；

（8）分配問題；

（9）比賽積分問題；

（10）水流航行問題（順水速度=靜水速度+水流速度；逆水速度=靜水速度-水

流速度）.

（二）利用方程解決實際問題的基本思路如下：首先審題找出題中的未知量和所

有的已知量，直接設要求的未知量或間接設一關鍵的未知量為X,然后用含x的

式子表示相關的量，找出之間的相等關系列方程、求解、作答，即設、歹h解、

答.

列一元一次方程解應用題的五個步驟

1.審：仔細審題，確定已知量和未知量，找出它們之間的等量關系.

2.設：設未知數（x）,根據實際情況，可設直接未知數（問什么設什么），也可

設間接未知數.

3.歹U：根據等量關系列出方程.

4.解：解方程，求得未知數的值.

5.答：檢驗未知數的值是否正確，是否符合題意，完整地寫出答句.

13.一元二次方程的定義

（1）一元二次方程的定義：

只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程叫一元二次方程.

（2）概念解析:

一元二次方程必須同時滿足三個條件：

①整式方程，即等號兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無未知數;

②只含有一個未知數；

③未知數的最高次數是2.

（3）判斷一個方程是否是一元二次方程應注意抓住5個方面："化簡后"；"一個

未知數"；"未知數的最高次數是2"；"二次項的系數不等于0"；"整式方程".

14.根的判別式

利用一元二次方程根的判別式（442-4ac）判斷方程的根的情況.

一元二次方程ax?+bx+c=0（aWO）的根與△山？-4ac有如下關系：

①當時，方程有兩個不相等的兩個實數根；

②當△=（）時，方程有兩個相等的兩個實數根;

③當avo時，方程無實數根.

上面的結論反過來也成立.

15.分式方程的應用

1、列分式方程解應用題的一般步驟：設、歹U、解、驗、答.

必須嚴格按照這5步進行做題，規(guī)范解題步驟，另外還要注意完整性：如設和答

敘述要完整，要寫出單位等.

2、要掌握常見問題中的基本關系，如行程問題：速度=路程時間；工作量問題:

工作效率=工作量工作時間

等等.

列分式方程解應用題一定要審清題意，找相等關系是著眼點，要學會分析題意,

提高理解能力.

16.解一元一次不等式組

（1）一元一次不等式組的解集：幾個一元一次不等式的解集的公共部分，叫做

由它們所組成的不等式組的解集.

（2）解不等式組：求不等式組的解集的過程叫解不等式組.

（3）一元一次不等式組的解法：解一元一次不等式組時，一般先求出其中各不

等式的解集，再求出這些解集的公共部分，利用數軸可以直觀地表示不等式組的

解集.

方法與步驟：①求不等式組中每個不等式的解集；②利用數軸求公共部分.

解集的規(guī)律：同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到.

17.一次函數圖象上點的坐標特征

一次函數丫=10<+13,（kWO,且k,b為常數）的圖象是一條直線.它與X軸的交點

坐標是（-,0）；與y軸的交點坐標是（0,b）.

直線上任意一點的坐標都滿足函數關系式y(tǒng)=kx+b.

18.一次函數與一元一次方程

一次函數與一元一次方程.

19.二次函數圖象上點的坐標特征

二次函數y=ax2+bx+c（aWO）的圖象是拋物線，頂點坐標是（-,

①拋物線是關于對稱軸x=-成軸對稱，所以拋物線上的點關于對稱軸對稱，且

都滿足函數函數關系式.頂點是拋物線的最高點或最低點.

②拋物線與y軸交點的縱坐標是函數解析中的c值.

③拋物線與X軸的兩個交點關于對稱軸對稱，設兩個交點分別是（X】，0）,（X2,

0）,則其對稱軸為x=.

20.二次函數綜合題

（1）二次函數圖象與其他函數圖象相結合問題

解決此類問題時，先根據給定的函數或函數圖象判斷出系數的符號，然后判斷新

的函數關系式中系數的符號，再根據系數與圖象的位置關系判斷出圖象特征，則

符合所有特征的圖象即為正確選項.

（2）二次函數與方程、幾何知識的綜合應用

將函數知識與方程、幾何知識有機地結合在一起.這類試題一般難度較大.解這

類問題關鍵是善于將函數問題轉化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關性質、

定理和二次函數的知識，并注意挖掘題目中的一些隱含條件.

（3）二次函數在實際生活中的應用題

從實際問題中分析變量之間的關系，建立二次函數模型.關鍵在于觀察、分析、

創(chuàng)建，建立直角坐標系下的二次函數圖象，然后數形結合解決問題，需要我們注

意的是自變量及函數的取值范圍要使實際問題有意義.

21.平行線的性質

1、平行線性質定理

定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等.簡單說成：兩直線平

行，同位角相等.

定理2：兩條平行線被地三條直線所截，同旁內角互補..簡單說成：兩直線

平行，同旁內角互補.

定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等.簡單說成：兩直線平

行，內錯角相等.

2、兩條平行線之間的距離處處相等.

22.全等三角形的判定與性質

（1）全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工

具.在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件.

（2）在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時

添加適當輔助線構造三角形.

23.等腰三角形的判定

判定定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等.【簡

稱：等邊對等角】

說明：①等腰三角形是一個軸對稱圖形，它的定義既作為性質，又可作為判定辦

法.

②等腰三角形的判定和性質互逆；

③在判定定理的證明中，可以作未來底邊的高線也可以作未來頂角的角平分線,

但不能作未來底邊的中線；

④判定定理在同一個三角形中才能適用.

24.等腰直角三角形

（1）兩條直角邊相等的直角三角形叫做等腰直角三角形.

（2）等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質，還具備等

腰三角形和直角三角形的所有性質.即：兩個銳角都是45。，斜邊上中線、角平

分線、斜邊上的高，三線合一，等腰直角三角形斜邊上的高為外接圓的半徑R,

而高又為內切圓的直徑（因為等腰直角三角形的兩個小角均為