最短路徑問題專項五大模型 【5大模型】【核心知識精細(xì)梳理+鞏固提升訓(xùn)練】人教版八年級數(shù)學(xué) 上冊 核心考點精講精練

最短路徑問題專項五大模型模型1：異側(cè)兩定一動模型1．如圖，在直線l上找一點O，使OA+OB的和最短，并給出相應(yīng)的理由．（不寫作圖過程，但保留作圖痕跡）2．如圖，在直線l上找一點P，使得PA+PB的和最?。ú粚懽鞣?，保留作圖痕跡）3．如圖，在l上找一點P，使|PA﹣PB|最大．模型2：同側(cè)兩定一動模型4．著名的“將軍飲馬”問題：有一位將軍騎著馬要從A地走到B地，但途中要到水邊喂馬喝一次水，則將軍怎樣走最近？5．如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點E，若△ABC為等邊三角形，AD⊥AB，AD＝DC＝4．（1）求證：BD垂直平分AC；（2）求BE的長；（3）若點F為BC的中點，請在BD上找出一點P，使PC+PF取得最小值；PC+PF的最小值為6（直接寫出結(jié)果）．6．如圖，ABC在直角坐標(biāo)系中，（1）請寫出ABC三個頂點的坐標(biāo)；（2）在x軸上找一點P，使PA+PB的值最小，請在圖中表示出點P的位置并寫出點P的坐標(biāo)．7．在等邊三角形ABC中，AD是BC邊上的高，E為AC的中點，P為AD上一動點，若AD＝12，試求PC+PE的最小值．8．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC為邊在△ABC外作等邊三角形ACD，過點D作AC的垂線，垂足為F，延長DF交AB于點E，連接CE．（1）求證：CE＝BE．（2）若AB＝15cm，P是直線DE上的一點．則當(dāng)P在何處時，PB+PC最?。坎⑶蟪龃藭rPB+PC的值．9．如圖，A、B兩村在一條小河的同一側(cè)，要在河邊建一水廠向兩村供水．（1）若要使自來水廠到兩村的距離相等，廠址P應(yīng)選在哪個位置；（2）若要使自來水廠到兩村的輸水管用料最省，廠址Q應(yīng)選在哪個位置？（分別在圖上找出點P、點Q，并保留作圖痕跡）模型3：兩動一定模型11．（1）已知：如圖（1），點M在銳角∠AOB的內(nèi)部，在邊OA上求作一點P，在邊OB上求作一點Q，使得△PMQ的周長最??；（2）已知：如圖（2），點M在銳角∠AOB的內(nèi)部，在邊OB上求作一點P，使得點P到點M的距離與點P到邊OA的距離之和最?。?2．如圖，BA、BC是兩條公路，在兩條公路夾角內(nèi)部的點P處有一油庫，若在兩公路上分別建個加油站，并使運油的油罐車從油庫出發(fā)先到一加油站，再到另一加油站，最后回到油庫的路程最短，則加油站應(yīng)如何選址？13．如圖，已知∠AOB和∠AOB內(nèi)一點P，你能在OA和OB邊上各找一點Q和R，使得由P，Q、R三點組成的三角形周長最小嗎？14．如圖，點A位于∠MON的內(nèi)一點，點P，Q分別為OM，ON上的動點，若∠MON＝30°，且OA＝2，當(dāng)△APQ的周長最小時，求△APQ周長的最小值．模型4：兩定兩動模型15．在射線OM、ON分別找兩點P、Q，使得四邊形PQBA的周長最短．16．如圖：要求在l1、l2上找出M，N兩點．使四邊形PQNM的周長最小，在圖上畫出M，N的位置．（不寫畫法，保留作圖痕跡）17．如圖，C為馬，D為帳篷，牧馬人牽馬，先到草地邊牧馬，再到河邊飲馬，然后回到帳篷，請你幫他確定這一天的最短路線．18．如圖，為了做好元旦期間的交通安全工作，自貢市交警執(zhí)勤小隊從A處出發(fā)，先到公路m上設(shè)卡檢查，再到公路n上設(shè)卡檢查，最后再到達(dá)B地執(zhí)行任務(wù)，他們應(yīng)如何走才能使總路程最短？畫出圖形并說明做法．模型5：造橋選址模型19．如圖，A和B兩地之間有兩條平行的河流，現(xiàn)要在兩條河上各造一座橋MN和EF，橋分別建在何處才能使從A到B的路徑最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）20．如圖直線l1，l2表示一條河的兩岸，且l1∥l2，現(xiàn)要在這條河上建一座橋（橋與河的兩岸相互垂直），橋建在何處才能使從村莊A經(jīng)過河到村莊B的路線最短？畫出示意圖，并說明理由．21．如圖，荊州古城河在CC′處直角轉(zhuǎn)彎，河寬均為5米，從A處到達(dá)B處，須經(jīng)兩座橋：DD′，EE′（橋?qū)挷挥嫞O(shè)護城河以及兩座橋都是東西、南北方向的，A、B在東西方向上相距65米，南北方向上相距85米，恰當(dāng)?shù)丶軜蚩墒笰DD′E′EB的路程最短，這個最短路程是多少米？22．如圖，在一條河的同岸有兩個村莊A和B，兩村要在河上合修一座便民橋，橋修在什么地方可以使橋到兩村的距離之和最短？23．如圖，荊州護城河在CC'處直角轉(zhuǎn)彎，河寬相等，從A處到達(dá)B處，需經(jīng)兩座橋（橋?qū)挷挥嫞?，設(shè)護城河以及兩座橋都是東西南北方向的，試問：橋架在何處，才能使從A到B的距離最短？24．如圖，河兩岸有甲、乙兩村莊，現(xiàn)準(zhǔn)備建一座橋，橋必須與河岸垂直，問橋應(yīng)建在何處才能使由甲到乙的路程最短？請作出圖形，并說明理由．25．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，兩個村莊M、N的坐標(biāo)分別是（4，6）、（1，0），兩村莊之間有一條河，河的兩岸線的縱坐標(biāo)分別是2和3，現(xiàn)準(zhǔn)備在河上建一座橋（橋近似看成一條線段），橋垂直于河岸線，再在橋