2020年中考數(shù)學知識點歸類《30圓的基本性質(zhì)》(2019中考原題)

一、選擇題

7.（2019?嘉興）如圖，己知。。上三點4B,C,半徑?jīng)r’=1,NW=30°,切線均交%延長線于點

P,則PA的長為（）

C.V2D.1.

2

【答案】B

【解析】連接OA,因為NABC=30°,所以NAOC=60°,又因為PA為切線，所以NOAP=90°,因為

OC=L所以PA=6.

3.（2019?杭州）如圖，P為。。外一點，PA、PB分別切。。于A、B兩點，若PA=3,則PB=

（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】因為力和P8與。。相切，根據(jù)切線長定理，可知：fi4=P8=3,故選B.

12.（2019?煙臺）如圖，A8是。的直徑，直線QE與。相切于點C,過點A,B分別作

BEIDE,垂足為點O,E,連接AC,BC.若AD=6,CE=3,則AC的長為（).

A,也B.旦C.

33

第12題答圖

【答案】D

【解題過程】連接03

因為ADLOE,BE工DE,

所以ZADC=NCEB=90°

所以ZDAC+ZACD=90°

因為AB是。的直徑,

所以NAC6=90°,

所以ZBCE+ZACD=90°,

所以ZBCE=NZMC,

在△AOC與△CEO,

因為ZA￡>C=NCE8=90。，NBCE=NDAC

所以△AOCs/XCEZ),

所以除二里斗如

ACADy/3

在RtaACB中，sinZZJAC=—=V3,

AC

所以N84C=60°,

又因為。4=OC,

所以△AOC是等邊三角形，

所以NACO=60。，

因為直線。E與。相切于點C,

所以O(shè)C_LOE,

因為ADJ_￡>￡,OCA.DE,

所以AD//OC,

所以NZXC=NACO=60。，

所以NACD=90°-ND4C=30°,

所以AC=2A￡>=26,

所以△AOC是等邊三角形，

所以。4=4。=26，ZAOC=60°,

t,60xx2732G

所以AC的長為'----------=——.

1803

12.(2019?威海)

如圖，。尸與x軸交與點A(—5,0),B(1,0),與y軸的正半軸交于點C,若/AC8=60°,則點C

的縱坐標為

A.\/13+\/3B.2^2+>/3C.4>/2D.2>/2+2

【答案】D

y

【解題過程】連接/M、PB、PC,過點P分別作PF，AB,PE10C,垂足為F,E.

由題意可知：四邊形PFOE為矩形，

:.PE=OF,PF=OE.

'/ZACB=60°,

AZAPB=120°.

.\ZB4B=ZPBA=30°.

9：PFLAB,

：.AF=BF=3.

：.PE=OF=2.

ppA/7

,?*tcin300=-----,cos30°=------，

AFAP

PF—#)^\P=2-$/3.

/.OE—A/3,PC=2^3.

在RT&PEC中，CE=dPC?-PE?=2>/2,

OC=CE+EO=2V2+2.

5.（2019?青島）如圈，結(jié)段AB經(jīng)過。O的圓心，ACBD分別與。。相切于點D.若AC=BD=4,

NA=45°則圓弧CD的長度為

A.〃B.2滅C.2后舞D.4"

【答案】B

【解析】連接CO,DO,因為AC,BD分別與。0相切于C.D,

D

B

所以NACO=NQBO=90°,所以NAOC=/A=45°,所以

C0=AC=4,因為CO=OO,所以△ACO絲△BOO,所以/￡>OB=/AOC=45°,所以NOOC=180°-Z

907rx4

DOB-ZAOC=\SO0-45°-45°=90°,CD=-----------=2"，故選B.

180

9.（2019?益陽）如圖，PA、PB為圓O的切線，切點分別為A、B,PO交AB于點C,PO的延長線交

圓O于點D,下列結(jié)論不一定成立的是（）

A.PA=PBB.ZBPD=ZAPDC.AB±PDD.AB平分PD

第9題圖

【答案】D

【解析】VPA.PB為圓O的切線，切點分別為A、B,PO交AB于點C,PO的延長線交圓。于點D,

；.PA=PB,NBPD=NAPD,故A、B正確；

；PA=PB,NBPD=NAPD,，PDJ_AB,PD平分AB,但AB不一定平分PD,故C正確，D錯誤.

7.（2019?黃岡）如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓?。ˋB）,點。是這段弧所在圓的圓心，AB=40m,

點C是A3的中點，點。是AB的中點，且CQ=10m.則這段彎路所在圓的半徑為（）

A.25mB.24mC.30mD.60m

A

（第7題圖）

【答案】A

【解析】連接O。，由垂徑定理可知O,C,。在同一條直線上，0CJ_4B,設(shè)半徑為r,則OC=OA=r,AD

=20,OD=OA~CD=r-W,在RlAA。。，由勾股定理知：r2=202+（r-10）2,解得r=25.

A

C

D

9.（2019?隴南）如圖，點A,B,S在圓上，若弦AB的長度等于圓半徑的正倍，則N4S3的度數(shù)是（）

A.22.5°B.30°C.45°D.60°

【答案】C

【解析】作AB的垂直平分線，交圓與點C,D,設(shè)圓心為O,CD與AB交于點E,TAB=J^OA,???AE=

1^20p—OA

----OA,sinNAOE------―—----------,NAOE=45°,/?NAOB=90。，

2OAOA2

.\ZASB=45°,

故選：C.

Di

I

1.（2019?濱州）如圖，AB為。。的直徑，C,。為。。上兩點，若NBC￡）=40°,則NA8O的大小為（）

D

A.60°B.50°C.40°D.20°

【答案】B

【解析】如圖，連接AD,TAB為。O的直徑，，NADB=90。.?.?NA和/BCD都是弧BD所對的圓周角,

.\ZA=ZBCD=40°,AZABD=90°-40°=50°.故選B.

D

2.（2019?聊城）如圖,BC是半圓O的直徑,D,E是BC上兩點，連接BD,CE并延長交于點A,連接ODQE,如果

NA=70°,那么/DOE的度數(shù)為

A.35°B.38°C.40°D.42°

【答案】C

【解析】：/A=70°,；.NB+NC=110°,.\ZBOE+ZCOD=220°,AZDOE=ZBOE+ZCOD-180°=

40°,故選C.

3.（2019?濰坊）如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于。0,42為直徑，AD=CD.過點。作。E_LAB于點￡連

3

接AC交。E于點若sin/C4B==，OF=5,則BC的長為（）

A.8B.10C.12D.16

【答案】C

【解析】連接BD

"：AD^CD,：.ZDAC^ZACD.

為直徑，AZADB=ZACB=90Q.：.ZDAB+ZABD=90a.

'.'DELAB,:.NDAB+NADE=90°.:.NADE=NABD.

VZABD=ZACD,：.ZDAC=ZADE,：.AF=DF=5.

EF3

在口△AE尸中，sinZC4B=——=一

AF5

：.EF=3,AE=4.：.DE=3+5=S.

DE?Q2

由DE2=AE*EB,得BE---------=—=16.

AE4

.?.48=16+4=20.

BC3

在RgAABC中，sinZCAB=——=-

AB5

:.BC=12.

4.（2019?涼山）下列命題：①直線外一點到這條直線的垂線段，叫做點到直線的距離；②兩點之間線段

最短；③相等的圓心角所對的弧相等；④平分弦的直徑垂直于弦.其中，真命題的個數(shù)（▲）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離；兩點之間線段最短；在同圓或等

圓中，相等的圓心角所對的弧相等；平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，所以只有①是對的，故選A.

5.（2019?眉山）如圖，。。的直徑A3垂直于弦CD.垂足是點E,ZC4O22.5°,OC=6,

則CO的長為

A.672B.30c.6D.12

【答案】A

【解析】VZA=22.5<,,.,.ZCOE=45°,TG)O的直徑AB垂直于弦CD,OC=6,AZCEO=90",,:

ZCOE=45",：.CE=OE=—OC=3%/2,/.CD=2CE=672,故選D.

2

6.（2019徜州）一塊圓形宣傳標志牌如圖所示，點ABC在。0上,CD垂直平分AB于點D.現(xiàn)測得AB=8dm,

DC=2dm,則圓形標志牌的半徑為（A）

A.6dmB.5dmC.4dmD.3dm

【答案】B

【解析】連接OD,OB,則O,C,D三點在一條直線上，因為CD垂直平分AB,AB=8dm,所以BD=4dm,OD=

（r-2）dm,由勾股定理得42+（r-2）^r2,r=5dm,故選B.

7.（2019?泰安）如圖,Z\ABC是。的內(nèi)接三角形,NA=119°,過點C的圓的切線交BO于點P,則/P的

度數(shù)為

A.32°B.31°C.29°D.61°

【答案】A

【解析】連接CO,CF,：/A=119°,，NBFC=61°,；./BOC=122°,；./COP=58°,；CP與圓相切于點

C,，OCJ_CP,.,.在RtZXOCP中,NP=90°-ZCOP=32°，故選A.

8.

9.

10.

11.

二、填空題

7.（2019?嘉興）如圖，已知。。上三點4B,C,半徑8=1,NA8C=30°,切線為交勿延長線于點

P,則PA的長為（)

A

A.2B.V3C.A/2D.2

2

【答案】B

【解析】連接OA,因為NABC=30°,所以NAOC=60°,又因為PA為切線，所以NOAP=90°,因為

OC=L所以PA=G.

3.（2019?杭州）如圖，P為。。外一點，PA、PB分別切。。于A、B兩點，若PA=3,則PB=

（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】因為布和PB與。O相切，根據(jù)切線長定理，可知：PA^PB^,故選B.

12.（2019?煙臺）如圖，A8是。的直徑，直線。E與。相切于點C,過點A,8分別作

BELDE,垂足為點￡>,E,連接AC,BC.若AD=6,CE=3,則AC的長為（).

B.2

A,也C.

33

第12題答圖

【答案】D

【解題過程】連接OC,

因為AD_L￡>E,BE±DE,

所以ZADC=NCEB=90°

所以ND4C+NACD=90。

因為AB是。的直徑，

所以NACB=9O。，

所以/BCE+ZACD=90°,

所以N5CE=NZMC,

在△4OC與△CED,

因為NA￡>C=NCE5=90。，ABCE=NDAC

所以△AOCS2\CE0,

所以號=咚=2rm

ACADV3

在RtZkAC8中，sinABAC=-----=v3?

AC

所以N84C=60°,

又因為。4=OC,

所以△AOC是等邊三角形，

所以NACO=60。，

因為直線OE與。相切于點C,

所以O(shè)C_LOE,

因為AD，￡>￡,OCLDE,

所以AD//OC,

所以NZMC=NACO=60。，

所以NAC￡>=900-ND4C=30°,

所以AC=2AO=2G,

所以△AOC是等邊三角形，

所以QA=AC=2百，ZAOC=60°,

?,,t,60xx2>/3

所以AC的長為'-----------=——.

1803

12.(2019?威海)

如圖，OP與尤軸交與點A(—5,0),B(1,0),與y軸的正半軸交于點C,若NACB=60°,則點C

的縱坐標為

B.J13+VsB.2V2+5/3C.D.2V2+2

【答案】D

y

【解題過程】連接/M、PB、PC,過點P分別作PF，AB,PE10C,垂足為F,E.

由題意可知：四邊形PFOE為矩形，

:.PE=OF,PF=OE.

'/ZACB=60°,

AZAPB=120°.

.\ZB4B=ZPBA=30°.

9：PFLAB,

：.AF=BF=3.

：.PE=OF=2.

ppA/7

,?*tcin300=-----,cos30°=------，

AFAP

PF—#)^\P=2-$/3.

/.OE—A/3,PC=2^3.

在RT&PEC中，CE=dPC?-PE?=2>/2,

OC=CE+EO=2V2+2.

5.（2019?青島）如圈，結(jié)段AB經(jīng)過。O的圓心，ACBD分別與。。相切于點D.若AC=BD=4,

NA=45°則圓弧CD的長度為

A.〃B.2滅C.2后舞D.4"

【答案】B

【解析】連接CO,DO,因為AC,BD分別與。0相切于C.D,

D

B

所以NACO=NQBO=90°,所以NAOC=/A=45°,所以

C0=AC=4,因為CO=OO,所以△ACO絲△BOO,所以/￡>OB=/AOC=45°,所以NOOC=180°-Z

907rx4

DOB-ZAOC=\SO0-45°-45°=90°,CD=------=2"，故選B.

180

16.（2019嘍底）如圖（9）,C、D兩點在以AB為直徑的圓上,AB=2,NACD=30°,則AD=

【解析】如圖，圖9-1,連結(jié)AD,

?.,由AB為。O的直徑，

.,.ZADB=90°,

又?.?在。0中有/ACD=30°,

.\ZB=ZACD=30o,

AD=-AB=-x2=\.圖(9-1)

22

17.（2019?衡陽）已知圓的半徑是6,則圓內(nèi)接正三角形的邊長是.

【答案】

【解析】如圖，作0￡>_LBC于。，：OB=6,NOBD=33：.BD=LBC=3B：.BC=66,故答案為

2

6石.

BDC

13.（2019?安徽）如圖，z^ABC內(nèi)接于。O,ZCAB=30°,ZCBA=45°,CD_LAB于點D,若。O的

半徑為2,則CD的長為.

【答案】V2

【解析】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是

解題的關(guān)鍵.連接CO并延長交。O于E,連接BE,于是得到NE=/A=30°,ZEBC=90°,解直角三角

形即可得到結(jié)論.連接CO并延長交。0于E,連接BE,

則/E=NA=30°,NEBC=90°,；（DO的半徑為2,；.CE=4,；.BC」CE=2,：CD_LAB,ZCBA=45°,

2

匹

/.CD=—BC-V2,故答案為0.

2

E

16.（2019?株洲）如圖所示，AB為。O的直徑，點C在。O上，且OCJ_AB,過點C的弦CD與線段

OB相交于點E,滿足/AEC=65。，連接AD,貝iJ/BAD=度.

第16題

【答案】20。

【解析】如圖，連接D0,因為CO_LAB,所以NC0B=90°,；NAEC=65°,，NC=25°,

：OD=OC,.?.N0DC=NC=25°,中，ZD0C=130°，：.ZD0B=40°，.\2ZBAD=ZD0B,.\ZBAD=20°。

1.（2019?涼山州）如圖所示，AB是。。的直徑，弦CQ_LAB于，，ZA=30°,CD=2百，則。。的半

徑是.

【答案】2

【解析】連接OC,51lJOA=OC,ZA=ZACO=30°,：.ZCOH=&Q°,'：OB±CD,CQ=2Q,，C”=G

：.0H=\,：.0C=2.

16.（2019?泰州）如圖,OO的半徑為5,點P在。O上，點A在。O內(nèi)，且AP=3,過點A作AP的垂線交于。O

點B、C設(shè)PB=x,PC=y，則y與x的函數(shù)表達式為.

【答案】＞'=-

X

【解析】過點O作ODJ_PC于點D連接OP,OC,因為PC=y，由垂徑定理可得DC=j，因為OP=OC,所以/

11pAHP

COD=-ZPOC,由圓周角定理,/B=/NPOC,所以/COD=/B,所以△CODS^PBA,五=元，即

』=土，整理可得函數(shù)表達式為:y=—.

25'x

2

14.（2019?嘉興）如圖，在。。中，弦/8=1,點。在上移動，連結(jié)。C,過點。作①'交。。于點

。，則。的最大值為

B

D

【答案】-

2

【解析】連接OD,因為CDJLOC,則有CNOU-OC?,根據(jù)題意可知圓半徑一定，故當0C最小

時則有CD最大，故當OCLAB時CD=BC=，最大.

2

14.（2019?鹽城）如圖，點A、B、C、D、E在。。上，且弧AB為50。，則/E+/C=

【答案】155°

【解析】如圖，連結(jié)OA、OB、AE,由弧AB為50。可知，ZAOB=50°,又N4OB和N4EB分別為弧AB

所對的圓心角和圓周角，故NAEB=2N4OB,即NAEB=25。，又四邊形AEQC是?。的內(nèi)接四邊形，所以

2

ZACD+ZAED=\S0°,又NAE8=25°,可得NACD+NBE￡>=180°-25°=155°.

B

三、解答題

22.（2019浙江省溫州市，22,10分）（本題滿分10分）

如圖，在AABC中，NBAC=90°,點E在BC邊上，且CA=CE,過A,C,E三點的。。交AB于另一點F,

作直徑AD,連結(jié)DE并延長交AB于點G,連結(jié)CD,CF.

(1)求證：四邊形DCFG是平行四邊形；

3

(2)當BE=4,CD=-AB時，求。0的直徑長.

8

【解題過程】(1)連接AE.；/BAC=90°,；.CF是。。的直徑.

AC=EC,...CFLAE.；AD為。。的直徑，ZAED=90°,即GD_LAE,；.CF〃DG.

,/AD為。。的直徑，.\ZACD=90°,/.ZACD+ZBAC=180°,AAB//CD,...四邊形DCFG為平行

四邊形；

3

(2)由CD=：AB,可設(shè)CD=3x,AB=8x,/.CD=FG=3x.

8

ZAOF=ZCOD,/.AF=CD=3x,...BG=8x-3x-3x=2x.

GE〃CF,.?.△BGEs/XCDE,——=——=—.

EGGF3

又；BE=4,；.AC=CE=6,；.BC=6+4=10,.,.AB=7102-62=8=8x,；.x=l.

在Rt^ACF中，AF=3,AC=6,.?.CF=>/32+62=3^,即。0的直徑長為3石.

21.(2019年浙江省紹興市，第21題，10分)在屏幕上有如下內(nèi)容：

如圖，△ABC內(nèi)接于圓O,直徑AB的長為2,過點C的切線交AB的延長線于點D.

張老師要求添加條件后，編制一道題目，并解答0

(1)在屏幕內(nèi)容中添加條件/D=30。，求AD的長，請你解答.

(2)以下是小明，小聰?shù)膶υ挘?/p>

小明心…辦出A。怏

小q,我用的*仲*的工NA?30,.連7

參考此對話，在屏幕內(nèi)容中添加條件，編制一道題目(可以添線、添字母)，并解答.

【解題過程】

Z—6。分’

.?CD與0叫鐘

?二

乂彳/八8.30'.

:.oD=toc**=§

二":二:黑我方德19嫁存運用.解警所嬉■■目的答案.

⑶一美,雪聚坦國靖PD.設(shè)BD，.尸。=?求,關(guān)于工的美

如金上三角彩相似.解得所笑，.目的答案?

竟霹力M樣好8ss400a解答%

嚅￡品e照?聚次題目的答,

如，"件/3*60?求成的氏?*答咯.

24.(2019江蘇鹽城卷，24,10)如圖，在RtZ\ABC中，ZACB=90°,CO是斜邊AB上的中線，以CD為

直徑的。。分別交AC、BC于點M、N,過點N作NELAB,垂足為E.

(1)若。。的半徑為2,406,求反V的長;

2

(2)求證：NE與。。相切.

解:(1)：,(9D=OC=|,二CD=5

:?/4。5=90。78是斜邊上的中線

工48=28=10

BD=CD=5

；NC=6

2

???在RtZLLBC中,BC=JAB-AC2=8

>A/\A^IAAAAAA<"W"M"V*Z?▼

連接nv,如圖‘

VCD為直徑

.：^DNC=9Q°

.：N為8c中點（等腰三角形三線合一）

1

.'.BN=-BC=4

2

B

（2）為。。上一點，連結(jié)NO

又?:BD=CD

6=0

OC=ON

C二G

NOIIAB

NELIB

NOINE

NE?與G)o相切

21.（2019?山西）閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)：

萊昂哈德?歐拉（LeonhardEuler）是瑞士數(shù)學家，在數(shù)學上經(jīng)常見到以他的名字命名的重要常數(shù)，公式

和定理，下面就是歐拉發(fā)現(xiàn)的一個定理:在4ABC中,R和r分別為外接圓和內(nèi)切圓的半徑,O和I分別為其外

心和內(nèi)心，則。「=叱-2Rr.

如圖1,00和01分別是4ABC的外接圓和內(nèi)切圓,與AB相切于點F,設(shè)?0的半徑為R,?I的半徑為

r,外心0（三角形三邊垂直平分線的交點）與內(nèi)心I（三角形三條角平分線的交點）之間的距離0I=d，則有

d2^R2-2Rr.

下面是該定理的證明過程（部分）：

延長AI交?0于點D,過點I作。0的直徑MN,連接DM,AN.

?；ND=NN,NDMI=/NAI（同弧所對的圓周角相等），

AAMDI^AANI.AIA2IDIM?IN.①

IAIN

如圖2,在圖1（隱去MD,AN）的基礎(chǔ)上作OO的直徑DE,連接BE,BD,BI,IF.

VDE是DO的直徑,.IZDBE=90°.V?I與AB相切于點F,.\ZAFI=90°，:.ZDBE=ZIFA.

VZBAD=ZE（同弧所對的圓周角相等）:.△AIFSZ\EDB.

1A?BDDE1IF.②

DEBD

任務(wù)：

（1）觀察發(fā)現(xiàn):IM=R+r,IN=（用含R,d的代數(shù)式表示）；

(2)請判斷BD和ID的數(shù)量關(guān)系,并說明理由；

(3)請觀察式子①和式子②，并利用任務(wù)(1),(2)的結(jié)論，按照上面的證明思路，完成該定理證明的剩余

部分；

(4)應(yīng)用:若4ABC的外接圓的半徑為5cm,內(nèi)切圓的半徑為2cm測4ABC的外心與內(nèi)心之間的距離為

DD

圖1圖2

第21題圖

【思路分析】(1)MN是直徑，根據(jù)內(nèi)切圓與外接圓半徑與它的關(guān)系得到IN的代數(shù)式(2)由內(nèi)切圓是三角

形三條角平分線的交點,轉(zhuǎn)化相等的角，再利用同弧所對的圓周角相等轉(zhuǎn)化角，最后得到/BID=NDBI,利用

等角對等邊得證(3)由材料得到的結(jié)論及任務(wù)(1)(2)等量代換得線段等積式,從而得證結(jié)論(4)根據(jù)

結(jié)論直接應(yīng)用求解.

【解題過程】(1)IN=R-d;

(2)BD=ID.理由如下：；點IMAABC的內(nèi)心,二NBAD=NCAD,NCBI=NABI,；NDBC=NCAD,N

BID=ZBAD+ZABI,ZDBI=ZDBC+ZCBI,AZBID=ZDBI.ABD=ID;

(3)由(2)知：BD=ID,IAT!IDDE?IF,又：IA!ID1rM,:.DE?IFIM?IN,：.

2R?r(R+d)?(RJ)R2-d2=2Rr,：.d1=Ri-2Rr-,

(4)由［2=a-2Hr得儲=心-2R.=52-2倉62=5,；d>0,；.d=石.

2.(2019?天津)如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，^ABC的頂點A在格點上，B是小正方

形邊的中點，ZABC=50°,ZBAC=30°,經(jīng)過點A,B的圓的圓心在邊AC上，

(1)線段AB的長等于:

(2)請用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出一個點P,使其滿足NPAC=NPBC=NPCB,并簡

要說明點P的位置是如何找到的(不需要證明)

包

【答案】(1)2(2)如圖，取圓與網(wǎng)格線的交點E,F連接EF與AC相交，得圓心O；AB與網(wǎng)格線

相交于點D,連接DO并延長，交1O于點Q,連接QC并延長，與點BQ的連線BO相交于點P,連

接AP,則點P滿足NPAC=NPBC=/PCB

【解析】（1）如圖，RtA^ABD中，AD=2,BD=，，由勾股定理可得AB=

2

（2）由于點A在格點上，可得直角，根據(jù)圓周角是直角所對的弦是直徑可以作出直徑，又因為圓心在

AC上，所以取圓與網(wǎng)格線的交點E,F連接EF與AC相交，得圓心O；AB與網(wǎng)格線相交于點D,則點

D為AB的中點，連接DO并延長,根據(jù)垂徑定理可得則DO垂直平分AB，連接B0,則ZOAB=ZOBA=30°,

因為NABC=50。，所以NOBC=20。，DO的延長線交：0于點Q,連接QC并延長，與點B,0的連線B0

相交于點P，連接AP,則點P滿足/PAC=/PBC=NPCB.

3.（2019?湖州）己知一條弧所對的圓周角的度數(shù)為15°,則它所對的圓心角的度數(shù)是.

【答案】30。.

【解析】根據(jù)在同圓或等圓中，同弧或等弧所對圓心角的度數(shù)是該弧所對圓周角的度數(shù)的2倍，可知答案

為30。.

4.（2019?臺州）如圖,AC是圓內(nèi)接四邊形ABCD的一條對角線，點D關(guān)于AC的對稱點E在邊BC上，連接

AE,若ZABC=64°,則NBAE的度數(shù)為.

B_____

E

C

D

【答案】52°

【解析】???圓內(nèi)接四邊形ABCD,???NB+ND=180°「??NB=64°,???ND=H60,又???點D關(guān)于AC的對

稱點是點E,???ND=NAEC=116°,又???NAEC=NB+NBAE,???NBAE=52°.

5.

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三、解答題

26.(2019?蘇州，26,12)如圖，A5為。。的直徑，。為。。上一點，。是弧3C的中點，BC與AD、

分別交于點E、F.(1)求證：OO〃AC；(2)求證：DE'DA=DC2；(3)若tanNC4O=1，求sin

2

ZCDA的值.

第26題圖

【解題過程】解：（1），?點。是中點，0。是圓的半徑，...OCBC,是圓的直徑，

=90°,：.AC//OD；

2

(2),:CD=BD,：.ZCAD^ZDCB,：./\DCE^/\DCA,：.CD=DE'DAi

（3）,：tanZCAD=-,；.△￡）（?￡：和△ZMC的相似比為,，設(shè)：DE=a,則CO=2a,40=4”，AE=

22

3a,

AE1

—=3,即△AEC和△￡）￡尸的相似比為3,設(shè)EF=%則CE=34,BC=Sk,tanZCAD=~,：.AC

DE2

3

=6k,AB=10晨：.sinZCDA=-.

5

19.（2019安徽，19題號，10分）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具.如圖1,明朝科學家徐光啟在

《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理.如圖2,筒車盛水桶的運行軌道是以軸心0為圓心的圓.已

知圓心在水面上方,且圓被水面截得的弦AB的長為6米，NOAB=41.3°.若點C為運行軌道的最高點（C,

O的連線垂直于AB）.求點C到弦AB所在直線的距離.

（參考數(shù)據(jù)：sin41.3°=0.66,cos41.3°=0.75,tan41.3°-0.88）

圖1圖2

【解題過程】解：連接CO并延長，交AB于點D,所以CD_LAB,所以D為AB中點，所

求運行軌道的最高點C到弦AB所在直線的距離即為線段CD的長...............2分

在RtZ\AOD中，VAD=-AB=3,ZOAD=41.3°,

2

An3

AOD=AD-tan41.3°?3X0.88=2.64,OA=------------=4,.........8分

cos41.3°0.75

CD=CO+OD=AO+OD2.64+4=6.64...............10分

答：運行軌道的最高點C到弦AB所在直線的距離約為6.64米.

1.(2019?寧波)如圖1,O經(jīng)過等邊三角形ABC的頂點A,C(圓心O在4ABC內(nèi)),分別與AB,CB的延長線

交于點D,E,連接DE,BF，EC交AE于點F.

(1)求證:BD=BE;

(2)當AF:EF=3:2,AC=6時，求AE的長；

(3)設(shè)——=x,tanZDAE=y.

EF

①求y關(guān)于x的函數(shù)表達式；

②如圖2,連接OF,OB,若aAEC的面積是△OFB面積的10倍，求y的值.

解：(口:△ABC為等邊三角形,???NBAC=NC=60°,NDEB=NBAC=60°,/D=NC=60。，NDEB=

ND,BD=BE.

(2)如圖，過點A作AG±EC于點G//AABC為等邊三角形,AC=6,；.BG=」BC=,AC=3,在RtAABG

22

中,AG=有BG=3g,；BF_LEC,ABF#AG,.\—,VAF:EF=3:2,；.BE=2BG=2,，EG=BE+BG

EFEB3

=3+2=5,.,.在RtAAEG中,AE=1AG"+左=2屈;

答圖⑴

⑶①如圖，過點E作EH1AD于點H,：/EBD=/ABC=60,在RtABEH中，空=sin60=3,EH=立

EB22

1ii

BE,BH=-BE,——=——=x,BG=xBE,AB=BC=2BG=2xBE,AH=AB+BH=2xBE+—BE=(2x+—)BE,Rt

2EBEF22

—BE

.EH

△AAHE中,tanEAD=2

2x+^\BE4x+l4x4-1

答圖（2）

A產(chǎn)

②如圖，過點O作OMJ_EC于點M,設(shè)BE=a,V—----=x,CG=BG=xBE=ax,EC=CG+BG+BE=

EBEF

a+2ax,EM=!EC='a+ax,BM=EM一BE=ax-'a,：BF//AG,A△EBFs△EGA,

222

—；AG=GBG=Gax,；.BF='AG=,△OFB的面積=

AGEGa+axl+x1+x1+x

BF?BM1\/3ax(1)._vf工口EC'AG1/r小\??人八―

-----------——x--------1ax—ci|,^A^AEC1的lJM而\=----------x\j3ciXy(Ci4-2tzx^,?^^OFB的面積是aAEC的

22入+1V2)22

面積的10倍,10x；x^^(ax-ga)=gxKar(a+2ar),；.2x2—7x+6=0,解之，得XI=2,X2=；,y=

答圖（3）

2.（2019?自貢）如圖，。0中，弦48與CD相交于點E,AB=CD,連接A。、BC,

第21題圖

求證：（1）而=前；（2）AE=CE.

解：（1）連接AO,BO,CO,DO,

A

；AB=CD,

ZAOB=ZCOD,

：.NAOD=NBOC,

AAD=BC.

(2)VAD=BC,

：.AD=BC,

'：AC=AC,

ZADC=ZABC,

XVNAED=NCEB,

：./\ADE^ACBE,

：.AE=CE.

3.（2019?攀枝花）在平面直角坐標系xO），中，已知A（0,2）,動點P在y=x的圖象上運動（不與

。重合），連接AP,過點尸作PQLAP,交x軸于點Q,連接AQ。

（1）求線段A尸長度的取值范圍；

（2）試問：點P運動過程中，N。4P是否為定值？如果是，求出該值；如果不是，請說明理由。

（3）當AOP。為等腰三角形時，求點。的坐標.

解：(1)作A4_LOP,貝IJA史AH.

A

?.?點P在的圖象上，

：.ZHOQ=30°,ZHOA=60°.

(0,2),.,.A//=AO-sin600=V3.

：.AP>y/3.

（2）/QAP是定值.

法一：（共圓法）

①當點