廣東省廣州市八區(qū)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

第1頁(yè)/共1頁(yè)2021學(xué)年第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)高一數(shù)學(xué)試題本試卷共22小題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知條件，由交集的定義即可求解.【詳解】解：因?yàn)榧?，，所以，即，故選：B.2.已知是第三象限角，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由是第三象限角可判斷，利用平方關(guān)系即可求解.【詳解】解：因?yàn)槭堑谌笙藿?，且，所以，故選：A.3.已知指數(shù)函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則（）A. B. C.2 D.4【答案】C【解析】【分析】由指數(shù)函數(shù)過(guò)點(diǎn)代入求出，計(jì)算對(duì)數(shù)值即可.【詳解】因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，所以，即，所以，故選：C4.已知，若，則（）A.或 B.3或5 C.或5 D.3【答案】D【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的定義，分與兩種情況討論即可求解.【詳解】解：由題意，當(dāng)時(shí)，，解得或（舍去）；當(dāng)，，解得（舍去）；綜上，.故選：D.5.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】解不等式，，即可得答案.【詳解】解：函數(shù)，由，，得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，故選：A.6.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，命題為奇函數(shù)，命題，那么是的（）A.充分必要條件 B.既不充分也不必要條件 C.充分不必要條件 D.必要不充分條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)及命題充分必要性的概念直接判斷.【詳解】為奇函數(shù),則，但，無(wú)法得函數(shù)為奇函數(shù)，例如，滿足，但是為偶函數(shù)，所以是的充分不必要條件，故選：C.7.某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過(guò)濾后排放，過(guò)濾過(guò)程中廢氣的污染物含量P（單位：）與時(shí)間t（單位：h）間的關(guān)系為，其中，k是常數(shù)．已知當(dāng)時(shí)，污染物含量降為過(guò)濾前的，那么（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意列出指數(shù)式方程，利用指數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算公式求出的值.【詳解】由題意得：，即，兩邊取對(duì)數(shù)，，解得：.故選：C8.設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分別求出選項(xiàng)的函數(shù)解析式，再利用奇函數(shù)的定義即可得選項(xiàng).【詳解】由題意可得，對(duì)于A，是奇函數(shù)，故A正確；對(duì)于B，不是奇函數(shù)，故B不正確；對(duì)于C，，其定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以不是奇函數(shù)，故C不正確；對(duì)于D，，其定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不是奇函數(shù)，故D不正確.故選：A.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.以下滿足的集合A有（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】直接寫(xiě)出符合題意要求的所有集合A，再去選項(xiàng)中選正確答案.【詳解】由題意可知，集合A包含集合，同時(shí)又是集合的真子集，則所有符合條件的集合A為,,.選項(xiàng)BD均不符合要求，排除.故選：AC10.下列命題正確的有（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】BD【解析】【分析】利用不等式的性質(zhì)、特值法和基本不等式逐個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判定即可.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，滿足，但是，故A不正確；對(duì)于B選項(xiàng)，根據(jù)不等式性質(zhì)可知準(zhǔn)確，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，滿足，但是，故C不正確；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)椋?，，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故D正確；故選：BD.11.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞增的函數(shù)有（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】由函數(shù)奇偶性的定義及指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】解：對(duì)A：，定義域?yàn)镽，因?yàn)?，所以為偶函?shù)，且時(shí)，，由冪函數(shù)性質(zhì)知函數(shù)在上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)A正確；對(duì)B：，定義域?yàn)镽，因?yàn)?，所以為奇函?shù)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)C：，定義域?yàn)镽，因?yàn)?，所以函?shù)為偶函數(shù)，且時(shí)，，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知函數(shù)在上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)C正確；對(duì)D：，定義域?yàn)镽，因?yàn)?，且，所以函?shù)不具有奇偶性，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AC.12.如圖，對(duì)于任意正數(shù)．記曲線與直線所圍成的曲邊梯形面積為，并約定和．已知，則以下命題正確的有（）A. B.C.對(duì)任意正數(shù)k和，有 D.對(duì)任意正數(shù)k和，有【答案】BCD【解析】【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)題意，得到，再進(jìn)行求解即可；同樣的方法使用與BCD選項(xiàng).【詳解】，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；，，，B選項(xiàng)正確；對(duì)任意正數(shù)k和，，，故，C正確；對(duì)任意正數(shù)k和，有，D正確.故選：BCD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】真數(shù)大于0求定義域.【詳解】由題意得：，解得：，所以定義域?yàn)?故答案為：14.已知，則___________．【答案】2【解析】【分析】將齊次式弦化切即可求解.【詳解】解：因?yàn)椋?，故答案為?.15.已知命題：，都有是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】由于，都有，所以，從而可求出實(shí)數(shù)的取值范圍【詳解】解：因?yàn)槊}：，都有是真命題，所以，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，故答案為：16.已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)分別為a，b，則取值范圍是_____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)可轉(zhuǎn)化為有2個(gè)不等的根，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，由均值不等式求解即可.【詳解】不妨設(shè)，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)分別為a，b，所以，所以，即，且，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)不滿足題意，，即，故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知函數(shù)（，且）．（1）若函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，求b的值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上的最大值比最小值大，求a的值．【答案】（1）1（2）或【解析】【分析】（1）將點(diǎn)坐標(biāo)代入求出b的值；（2）分與兩種情況，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性表達(dá)出最大值和最小值，列出方程，求解a的值.【小問(wèn)1詳解】，解得.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，此時(shí)，，所以，解得：或0（舍去）；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時(shí)，，所以，解得：或0（舍去）.綜上：或18.在①兩個(gè)相鄰對(duì)稱中心的距離為，②兩條相鄰對(duì)稱軸的距離為，③兩個(gè)相鄰最高點(diǎn)的距離為，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并對(duì)其求解．問(wèn)題：函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，且滿足__________．當(dāng)時(shí)，，求的值．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】選①②③，答案相同，均為【解析】【分析】選①②可以得到最小正周期，從而得到，結(jié)合圖象過(guò)的點(diǎn)，可求出，從而得到，進(jìn)而得到，接下來(lái)用湊角法求出的值；選③，可以直接得到最小正周期，接下來(lái)過(guò)程與選①②相同.【詳解】選①②：由題意得：的最小正周期，則，結(jié)合，解得：，因?yàn)閳D象過(guò)點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，；選③：由題意得：的最小正周期，則，結(jié)合，解得：，因?yàn)閳D象過(guò)點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，所以，?9.已知函數(shù)．（1）證明：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；（2）已知，試比較三個(gè)數(shù)a，b，c的大小，并說(shuō)明理由．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明；（2）先比較三個(gè)數(shù)的大小，再利用函數(shù)的單調(diào)性即可比較a，b，c的大小.【小問(wèn)1詳解】證明：函數(shù)，任取，且，則，因?yàn)椋?，所以，，所以，即，所以函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；【小問(wèn)2詳解】解：由（1）可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，，所以，所以，?20.已知函數(shù)的最小值為0．（1）求a的值：（2）若在區(qū)間上的最大值為4，求m的最小值．【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)輔助角公式化簡(jiǎn)，由正弦型函數(shù)的最值求解即可；（2）由所給自變量的范圍及函數(shù)由最大值4，確定即可求解.【小問(wèn)1詳解】，，解得.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，當(dāng)時(shí)，，，，解得，.21.筒車是我國(guó)古代發(fā)明一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用，現(xiàn)有一個(gè)筒車按逆時(shí)針?lè)较騽蛩俎D(zhuǎn)動(dòng)．每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)5圈，如圖，將該筒車抽象為圓O，筒車上的盛水桶抽象為圓O上的點(diǎn)P，已知圓O的半徑為，圓心O距離水面，且當(dāng)圓O上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)（圖中點(diǎn)）開(kāi)始計(jì)算時(shí)間．（1）根據(jù)如圖所示直角坐標(biāo)系，將點(diǎn)P到水面的距離h（單位：m，在水面下，h為負(fù)數(shù)）表示為時(shí)間t（單位：s）的函數(shù)，并求時(shí)，點(diǎn)P到水面的距離；（2）在點(diǎn)P從開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)的一圈內(nèi)，點(diǎn)P到水面的距離不低于的時(shí)間有多長(zhǎng)？【答案】（1），m（2）4s【解析】【分析】（1）根據(jù)題意先求出筒車轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，從而求出h關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)，和時(shí)的函數(shù)值；（2）先確定定義域，再求解不等式，得到，從而求出答案.【小問(wèn)1詳解】筒車按逆時(shí)針?lè)较騽蛩俎D(zhuǎn)動(dòng)．每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)5圈，故筒車每秒轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為，故，當(dāng)時(shí)，，故點(diǎn)P到水面的距離為m【小問(wèn)2詳解】點(diǎn)P從開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)的一圈，所用時(shí)間，令，其中，解得：，則，故點(diǎn)P到水面的距離不低于的時(shí)間為4s.22.已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍：（2）若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，求a的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）結(jié)合函數(shù)圖象，分四種情況