沖刺集訓(xùn)2-與全等三角形有關(guān)的幾何探究題

專題訓(xùn)練（2）幾何探究題類型1與全等三角形有關(guān)的幾何探究題1．已知，點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D不與點(diǎn)B，C重合)，∠BAC＝90°，AB＝AC，∠DAE＝90°，AD＝AE，連接CE.(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，求證：①BD⊥CE，②CE＝BC－CD；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，其他條件不變，請(qǐng)直接寫出CE，BC，CD三條線段之間的關(guān)系；(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，且點(diǎn)A，E分別在直線BC的兩側(cè)，點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，連接AF，CF，其他條件不變，請(qǐng)判斷△ACF的形狀，并說(shuō)明理由．2．(1)閱讀理解：如圖1，在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．解決此問(wèn)題可以用如下方法：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E使DE＝AD，再連接BE(或?qū)ⅰ鰽CD繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD)，把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線AD的取值范圍是2<AD<8；(2)問(wèn)題解決：如圖2，在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥DF于點(diǎn)D，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF，求證：BE＋CF>EF；(3)問(wèn)題拓展：如圖3，在四邊形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝140°，以點(diǎn)C為頂點(diǎn)作一個(gè)70°角，角的兩邊分別交AB，AD于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，連接EF，探索線段BE，DF，EF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．4．正方形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)P在線段BC上(不含點(diǎn)B)，∠BPE＝eq\f(1,2)∠ACB，PE交BO于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥PE，垂足為F，交AC于點(diǎn)G.(1)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)(如圖1)．求證：△BOG≌△POE；(2)通過(guò)觀察、測(cè)量、猜想：eq\f(BF,PE)＝eq\f(1,2)，并結(jié)合圖2證明你的猜想；(3)把正方形ABCD改為菱形，其他條件不變(如圖3)，若∠ACB＝α，求eq\f(BF,PE)的值．(用含α的式子表示)解：(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，∴OB＝OP，∠BOC＝∠BOG＝90°.∵PF⊥BG，∴∠PFB＝90°.∴∠GBO＝90°－∠BGO，∠EPO＝90°－∠BGO.∴∠GBO＝∠EPO.∴△BOG≌△POE(ASA)．(2)證明：過(guò)P作PM∥AC交BG于點(diǎn)M，交BO于點(diǎn)N，∴∠PNE＝∠BOC＝90°，∠BPN＝∠OCB.∵∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠NBP＝∠NPB.∴NB＝NP.∵∠MBN＝90°－∠BMN，∠NPE＝90°－∠BMN，∴∠MBN＝∠NPE.∴△BMN≌△PEN(ASA)．∴BM＝PE.∵∠BPE＝eq\f(1,2)∠ACB，∠BPN＝∠ACB.∴∠BPF＝∠MPF.∵PF⊥BM，∴∠BFP＝∠MFP＝90°.又∵PF＝PF，∴△BPF≌△MPF(ASA)．∴BF＝MF，即BF＝eq\f(1,2)BM.∴BF＝eq\f(1,2)PE，即eq\f(BF,PE)＝eq\f(1,2).(3)過(guò)P作PM∥AC交BG于點(diǎn)M，交BO于點(diǎn)N.∴∠BPN＝∠ACB＝α，∠PNE＝∠BOC＝90°.由(2)同理可得BF＝eq\f(1,2)BM，∠MBN＝∠EPN.∵∠BNM＝∠PNE＝90°.∴△BMN∽△PEN.∴eq\f(BM,PE)＝eq\f(BN,PN).在Rt△BNP中，tanα＝eq\f(BN,PN).∴eq\f(BM,PE)＝tanα，即eq\f(2BF,PE)＝tanα.∴eq\f(BF,PE)＝eq\f(1,2)tanα.解：(1)證明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,∠BAD＝∠CAE，,AD＝AE，))∴△ABD≌△ACE(SAS)．∴∠ABD＝∠ACE＝45°，BD＝CE.∴∠ACB＋∠ACE＝90°.∴∠ECB＝90°.∴BD⊥CE，CE＝BC－CD.(2)CE＝BC＋CD.(3)△ACF是等腰三角形．理由：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE.在△ABD和△ACE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,∠BAD＝∠CAE，,AD＝AE，))∴△ABD≌△ACE(SAS)．∴∠ABD＝∠ACE.∵∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠ACE＝∠ABD＝135°.∴∠DCE＝90°.又∵點(diǎn)F是DE中點(diǎn)，∴AF＝CF＝eq\f(1,2)DE.∴△ACF是等腰三角形．解：(2)證明：延長(zhǎng)FD至點(diǎn)M，使DM＝DF，連接BM，EM.由(1)得△BMD≌△CFD(SAS)，∴BM＝CF.∵DE⊥DF，DM＝DF，∴EM＝EF.在△BME中，由三角形的三邊關(guān)系得：BE＋BM>EM，∴BE＋CF>EF.(3)BE＋DF＝EF，理由：延長(zhǎng)AB至點(diǎn)N，使BN＝DF，連接CN.∵∠ABC＋∠D＝180°，∠NBC＋∠ABC＝180°，∴∠NBC＝∠D.在△NBC和△FDC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BN＝DF，,∠NBC＝∠D，,BC＝DC，))∴△NBC≌FDC(SAS)．∴CN＝CF，∠NCB＝∠FCD.∵∠BCD＝140°，∠ECF＝70°，∴∠BCE＋∠FCD＝70°.∴∠ECN＝70°＝∠ECF.在△NCE和△FCE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(CN＝CF，,∠ECN＝∠ECF，,CE＝CE，))∴△NCE≌△FCE(SAS)．∴EN＝EF.∵BE＋BN＝EN，∴BE＋DF＝EF.解：(1)證明：連接OA，OD，則OA＝OD.∵四邊形ABCD是正方形，∴∠AOD＝90°，∠OAM＝∠ODN＝45°.∵∠MON＝90°，∴∠AOD－∠MOD＝∠MON－∠MOD.∴∠AOM＝∠DON.∴△AOM≌△DON(ASA)．∴OM＝ON.(2)△OFG為等腰直角三角形．證明：連接OA，OD，則OA＝OD.∵四邊形ABCD是正方形，∴∠AOD＝90°，∠OAD＝∠ODC＝45°.∵DF⊥AE，∴∠DAE＋∠ADF＝∠ADF＋FDE＝90°.∴∠DAE＝∠FDE.∴∠OAG＝∠ODF.又∵AG＝DF，∴△OAG≌△ODF(SAS)．∴OG＝OF，∠AOG＝∠DOF.∴∠GOF＝∠GOD＋∠DOF＝∠GOD＋∠AOG＝90°.故△OFG為等腰直角三角形．(3)在AE上截取AG＝DF，連接OA，OD，OG，其中O