冪級(jí)數(shù)收斂域和函數(shù)

關(guān)于冪級(jí)數(shù)收斂域和函數(shù)第一頁(yè)，共十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一第三節(jié)冪級(jí)數(shù)一.函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1.定義函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是定義在區(qū)間I上的函數(shù)列在I中任取一點(diǎn),就得到一個(gè)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂,收斂點(diǎn)發(fā)散,發(fā)散點(diǎn)

函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的全體收斂點(diǎn)的集合稱(chēng)為收斂域2.收斂域第二頁(yè)，共十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一3.和函數(shù)：在收斂域內(nèi)，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和依賴(lài)于點(diǎn)x，因此其和是x的函數(shù)，稱(chēng)為和函數(shù)4.余項(xiàng):前n項(xiàng)的部分和在收斂域內(nèi)才有意義,且二.冪級(jí)數(shù)及其收斂性?xún)缂?jí)數(shù)各項(xiàng)都是冪函數(shù)的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一般形式:第三頁(yè)，共十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一特例系數(shù)(1)(2)主要討論(2),因?yàn)?1)可以通過(guò)變量代換化成(2)1.冪級(jí)數(shù)的收斂域x=0時(shí)(2)收斂,一般的,冪級(jí)數(shù)收斂域是一區(qū)間.例由等比級(jí)數(shù)的性質(zhì),時(shí)收斂,時(shí)發(fā)散則收斂域(－1,1)內(nèi)第四頁(yè)，共十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一定理1(阿貝爾定理)如果：1.在點(diǎn)收斂,則當(dāng)時(shí)，它絕對(duì)收斂2.在點(diǎn)發(fā)散,則當(dāng)時(shí)，它發(fā)散.推論設(shè)存在非零的收斂點(diǎn),又存在發(fā)散點(diǎn),則存在R>0,使得當(dāng)|x|<R時(shí)它絕對(duì)收斂,當(dāng)|x|>R時(shí)它發(fā)散注:三種收斂情形:(1)僅在x=0處收斂;(2)在內(nèi)處處收斂;(3)在(－R,R)內(nèi)收斂,端點(diǎn)另外討論收斂區(qū)間R—收斂半徑R=0R=+∞第五頁(yè)，共十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一2.收斂半徑的求法定理2(證明略)例求收斂半徑和收斂域x=1時(shí)收斂；x=－1時(shí)收斂域是(－1，1]發(fā)散第六頁(yè)，共十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一

收斂域是(－∞，∞）僅在x=0

點(diǎn)收斂第七頁(yè)，共十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一設(shè)x－2＝t,由(1)知收斂域是(1,3]收斂域是(－1,1]令t=3時(shí)t=－3時(shí)發(fā)散發(fā)散收斂域是(－3,3)收斂域是第八頁(yè)，共十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一缺少偶次項(xiàng),無(wú)法用公式，可以用比值法求Rρ<1時(shí),收斂.ρ<1時(shí),發(fā)散.則收斂區(qū)間為時(shí),發(fā)散.注:缺少奇次項(xiàng),也可以用此方法.第九頁(yè)，共十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一第十頁(yè)，共十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一三.冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)1.四則運(yùn)算性質(zhì)設(shè)收斂半徑分別為和,記則對(duì)于任意的,有第十一頁(yè)，共十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一利用乘法可以定義除法則注意,商級(jí)數(shù)的收斂半徑可能比原來(lái)要小得多2.分析運(yùn)算性質(zhì)設(shè)收斂半徑為R,則(1)S(x)在收斂域內(nèi)連續(xù);(2)S(x)在(--R,R)內(nèi)可導(dǎo),且第十二頁(yè)，共十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一即冪級(jí)數(shù)在(-R,R)內(nèi)可以逐項(xiàng)求導(dǎo),所得到的冪級(jí)數(shù)收斂半徑不變.可推廣到任意階導(dǎo)數(shù)(3)S(x)在(--R,R)內(nèi)可積,且即冪級(jí)數(shù)在(-R,R)內(nèi)可以逐項(xiàng)積分,所得到的冪級(jí)數(shù)收斂半徑不變.注意:(2),(3)中端點(diǎn)需要另外討論.第十三頁(yè)，共十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一例求和函數(shù)設(shè)和函數(shù)為S(x)(|x|<1)第十四頁(yè)，共十七頁(yè)，編輯于2023年，星期