材料力學(xué)梁的彎曲問題

第十五章梁的彎曲問題當(dāng)前1頁，總共161頁。15.1工程實際中的彎曲問題

梁在垂直于其軸線的荷載作用下要變彎，其軸線由原來的直線變成曲線，這種變形叫做彎曲變形。產(chǎn)生彎曲變形的構(gòu)件稱為受彎構(gòu)件。AB一、平面彎曲的基本概念F2F1M當(dāng)前2頁，總共161頁。●工程實例

建筑工程中的各類梁、火車軸、水壓作用下的水槽壁等?；疖囕S廠房吊車梁當(dāng)前3頁，總共161頁。

平面彎曲：梁的軸線在變形后仍保持在同一平面(荷載作用面)內(nèi)，即梁的軸線成為一條平面曲線。(a)ABF2F1(c)●對稱（平面）彎曲(Planarbending)

對稱平面F2F1(b)當(dāng)前4頁，總共161頁。梁的荷載和支座反力

一、梁的荷載

1集中力：作用在微小局部上的橫向力；

2集中力偶：作用在通過梁軸線的平面（或與該面平行的平面）內(nèi)的力偶。MeF當(dāng)前5頁，總共161頁。3分布荷載：沿梁長連續(xù)分布的橫向力。荷載集度：用q(x)表示

分布荷載的大小

均布荷載非均布荷載q(x)q(x)=C當(dāng)前6頁，總共161頁。二、梁的支座及支座反力●支座形式1固定鉸約束2可動鉸約束3固定支座當(dāng)前7頁，總共161頁。

●計算簡圖確定梁的“計算簡圖”包含：

⑴以梁的軸線經(jīng)代替實際的梁；

⑵以簡化后的支座代替實際的支座；實際支承→理想支承

⑶以簡化后的荷載代替實際的荷載。當(dāng)前8頁，總共161頁。

三、梁的分類

●按支座情況

⑴簡支梁：一端固定鉸，一端可動鉸⑵外伸梁：一端或兩端向外伸出的簡支梁⑶懸臂梁：一端固定支座，另一端自由當(dāng)前9頁，總共161頁。

●按支座反力的求解方法

⑴靜定梁：用平衡方程可求出未知反力的梁；ABAMAFAzFAxFAyFAxFB當(dāng)前10頁，總共161頁。⑵超靜定梁：僅用平衡方程不能求出全部未知反力的梁。FF當(dāng)前11頁，總共161頁。

●按梁的橫截面

⑴等截面梁：橫截面沿梁的長度沒有變化；

⑵變截面梁：橫截面沿梁的長度有變化。汽車鋼板彈簧魚腹梁當(dāng)前12頁，總共161頁。15.2梁的內(nèi)力及其求法

一、求梁的內(nèi)力的方法——截面法●內(nèi)力的形式及名稱剪力彎矩N或kNN·m或kN·m11MFQFRAaAAFRAFRBlaF1F2當(dāng)前13頁，總共161頁?！駜?nèi)力的求法BF1FRAF2FQM?MFQFRAaA當(dāng)前14頁，總共161頁?！駜?nèi)力的正負(fù)號⑴剪力⑵彎矩MMMMFQFQ左上右下為正左下右上為負(fù)向上凹變形為正向上凸變形為負(fù)FQFQ當(dāng)前15頁，總共161頁。

例1

圖示簡支梁受兩個集中力作用，已知F1=12kN，F(xiàn)2=10kN，試計算指定截面1-1、2-2的內(nèi)力。解：(1)求支座反力BAF111FRAFRB3m1mF2221m1.5m0.5m當(dāng)前16頁，總共161頁。(2)求1-1截面上的內(nèi)力

FRAAFQ1M11mF10.5mBAF111FRAFRB3m1mF2221m1.5m0.5m當(dāng)前17頁，總共161頁。

(3)求2-2截面上的內(nèi)力

F2F1AM2FQ2FRABAF111FRAFRB3m1mF2221m1.5m0.5m當(dāng)前18頁，總共161頁。

結(jié)論：

1梁的任一橫截面上的剪力在數(shù)值上等于該截面左側(cè)（或右側(cè)）所有豎向力（包括斜向外力的豎向分力、約束反力）的代數(shù)和；且截面左邊向上（右邊向下）的外力使截面產(chǎn)生正號的剪力。2梁的任一橫截面上的彎矩在數(shù)值上等于該截面左側(cè)（或右側(cè)）所有豎向力對該截面形心力矩的代數(shù)和（包括外力偶、約束反力偶）；且截面左邊順時針（右邊逆時針）的力矩使截面產(chǎn)生正號的彎矩。F2F1M2FQ2FRAMFQ當(dāng)前19頁，總共161頁。

例2試?yán)蒙鲜鼋Y(jié)論寫出圖示梁1-1截面上的剪力和彎矩的表達式。qF1FRBlbcMeF2dαe11fMFQ當(dāng)前20頁，總共161頁。

例3

求圖示簡支梁1-1與2-2截面的剪力和彎矩。FRB解：(1)求支座反力FRABq=12kN/mAF=8kN113m2m221.5m1.5m當(dāng)前21頁，總共161頁。(2)求1-1截面的剪力FQ1、彎矩M1根據(jù)1-1截面左側(cè)的外力計算可得：根據(jù)1-1截面右側(cè)的外力計算可得可見計算結(jié)果完全相同。FRBFRABq=12kN/mAF=8kN113m2m221.5m1.5m當(dāng)前22頁，總共161頁。

(3)求2-2截面的剪力FQ2、彎矩M2

根據(jù)2-2截面右側(cè)的外力計算可得：FRBFRABq=12kN/mAF=8kN113m2m221.5m1.5m當(dāng)前23頁，總共161頁。15.3內(nèi)力圖──剪力圖和彎矩圖

為了形象地看到內(nèi)力的變化規(guī)律，通常將剪力、彎矩沿梁長的變化情況用圖形表示出來，這種表示剪力和彎矩變化規(guī)律的圖形分別稱為剪力圖和彎矩圖。

具體作法是：剪力方程：彎矩方程：當(dāng)前24頁，總共161頁。

例4

求作圖示受均布荷載作用的簡支梁的剪力圖和彎矩圖。

解：(1)求支座反力(2)列出剪力方程和彎矩方程

取距左端為x處的任一截面，此截面的剪力和彎矩表達式分別為:xFRAFRBBqlA當(dāng)前25頁，總共161頁。(3)畫剪力圖、彎矩圖，標(biāo)出特征值FQ圖ql/2ql/2ql2/8M圖xFRAFRBBqlA當(dāng)前26頁，總共161頁。

例5

簡支梁受一集中力F=9ql和一集中力偶Me=ql2作用，試作出其剪力圖和彎矩圖。

分析：

1-1、2-2截面上的剪力

結(jié)論：當(dāng)梁中間受力較復(fù)雜時，剪力方程和彎矩方程不可能用一個統(tǒng)一的函數(shù)式來表達，必須分段

列出其表達式。

分段是以集中力、集中力偶的作用位置及分布荷載的起點和終點為界(分段點如何確定？)1122（?）3344BA(O)lCDFMel/3l/3當(dāng)前27頁，總共161頁。

解：(1)求支座反力

(2)分三段AC、CD、DB列出剪力方程和彎矩方程

AC段FRAFRBBA(O)lCDFMel/3l/3當(dāng)前28頁，總共161頁。CD段DB段

FRAFRBBA(O)lCDFMel/3l/3當(dāng)前29頁，總共161頁。(3)畫剪力圖、彎矩圖，標(biāo)出特征值

FQ圖M圖1122BA(O)CDFRAFRBlFMel/3l/3當(dāng)前30頁，總共161頁。

結(jié)論：

●當(dāng)梁上荷載有變化時，剪力方程和彎矩方程不可能用一個統(tǒng)一的函數(shù)式來表達，必須分段列出其表達式。分段是以集中力、集中力偶的作用位置及分布荷載的起點和終點為界。●剪力圖和彎矩圖一般是連續(xù)的

。在集中力作用處剪力圖發(fā)生突變，突變的數(shù)值等于集中力的大小，方向與集中力的方向相同；在有集中力偶作用的地方彎矩圖發(fā)生突變，突變的數(shù)值等于集中力偶的大小，方向為“順下逆上”。當(dāng)前31頁，總共161頁。15.4彎矩、剪力、荷載集度之間的關(guān)系

一、彎矩、剪力、荷載集度之間的關(guān)系

BA(O)CDlFMel/3l/3當(dāng)前32頁，總共161頁。

二、剪力圖、彎矩圖的規(guī)律q<0FQ直線段FQ=0>0<0>0>0<0<0=0>0MM當(dāng)前33頁，總共161頁。

★結(jié)論（規(guī)律）：

(2)當(dāng)梁的支承情況對稱，荷載反對稱時，則彎矩圖永為反對稱圖形，剪力圖永為對稱圖形。

(1)當(dāng)梁的支承情況對稱，荷載也對稱時，則彎矩圖永為對稱圖形，剪力圖永為反對稱圖形；FQ圖M圖CBAq/2EIlABCEIlq/2q/2當(dāng)前34頁，總共161頁。

例7

圖示左端外伸梁，外伸端A作用一集中力偶Me=qa2，BA段所受荷載的分布集度為q，試?yán)梦⒎株P(guān)系作梁的剪力圖、彎矩圖。解：(1)求支座反力三、畫剪力圖、彎矩圖的簡便方法Bq3aAMeCaFRAFRB當(dāng)前35頁，總共161頁。(2)作剪力圖(3)作彎矩圖x7/6qa11/6qa=121/72qa2FQ圖M圖MeMmaxBq3aAMeCaFRAFRB當(dāng)前36頁，總共161頁。2m2m2mFRA=5kNFRB=4kNP=3kNM1=2kNmM2=6kNmq=1kN/m2mBA++466683222FQ(kN)M(kNm)例8

作梁的內(nèi)力圖當(dāng)前37頁，總共161頁。當(dāng)前38頁，總共161頁。當(dāng)前39頁，總共161頁。

結(jié)論：q、F、Me共同作用時產(chǎn)生的內(nèi)力等于q、F、Me分別單獨作用時產(chǎn)生的內(nèi)力之和。

因此，當(dāng)梁上有幾種（或幾個）荷載作用時，可以先分別計算每種（或每個）荷載單獨作用時的梁的反力和內(nèi)力，然后將這些分別計算所得的結(jié)果代數(shù)相加得梁的反力和內(nèi)力。這種方法稱為疊加法。15.5疊加法作剪力圖和彎矩圖BqACMeDlbaF當(dāng)前40頁，總共161頁。

線彈性，位移可以疊加Δ1F1F1+F2ΔF2Δ2FΔOFΔOFΔOΔ2Δ1當(dāng)前41頁，總共161頁。FΔOFΔOFΔO

非線性彈性，位移不可以疊加F1Δ1F2Δ2F1+F2ΔΔ2當(dāng)前42頁，總共161頁。疊加原理成立的前提條件：（1）小變形（2）材料滿足虎克定理（線性本構(gòu)關(guān)系）當(dāng)前43頁，總共161頁。當(dāng)變形為微小時，可采用變形前尺寸進行計算。1、疊加原理：當(dāng)梁在各項荷載作用下某一橫截面上的彎矩等于各荷載單獨作用下同一橫截面上的彎矩的代數(shù)和。2、區(qū)段疊加法作彎矩圖：

設(shè)簡支梁同時承受跨間荷載q與端部力矩MA、MB的作用。其彎矩圖可由簡支梁受端部力矩作用下的直線彎矩圖與跨間荷載單獨作用下簡支梁彎矩圖疊加得到。即：+MAMBM0++MAMBM0彎曲內(nèi)力BMAAqMBlB當(dāng)前44頁，總共161頁。1

q(x)=0

結(jié)論:彎矩圖為一水平直線。FQM+lABMe當(dāng)前45頁，總共161頁。

結(jié)論:剪力圖為一水平直線，彎矩圖為斜率的絕對值等于FS一斜直線（＼）。lFABFQFMFl-當(dāng)前46頁，總共161頁。lFABFQF-MFl+

結(jié)論:剪力圖為一水平直線，彎矩圖為斜率的絕對值等于FS一斜直線（／）。當(dāng)前47頁，總共161頁。

2

q(x)>0

結(jié)論:剪力圖為斜率等于q的

一斜直線（／），彎矩圖為拋物線（開口向下）。BqlAM圖FQ圖ql/2ql/2當(dāng)前48頁，總共161頁。

3

q(x)<0

結(jié)論:剪力圖為斜率等于q的

一斜直線（＼），彎矩圖為拋物線（開口向上）。qBlAxFQ圖ql/2ql/2ql2/8M圖當(dāng)前49頁，總共161頁。

4集中力F作用處

結(jié)論:在集中力作用處剪力圖發(fā)生突變(彎矩不變)，突變的數(shù)值等于集中力的大小，方向與剪力的方向相同。1FQ圖M圖FRAFRBlFaAB當(dāng)前50頁，總共161頁。

5集中力偶Me作用處

結(jié)論:在有集中力偶作用的地方彎矩圖發(fā)生突變(剪力不變)，突變的數(shù)值等于集中力偶的大小，方向為“順下逆上”。

lMebxFQ圖M圖FRAFRB當(dāng)前51頁，總共161頁。

例9

試判斷圖示各題的FQ、M圖是否正確，如有錯請指出并加以改正。lFABMxFl-MeABlMx+Me當(dāng)前52頁，總共161頁。3mAq=20kN/mBF=70kN1mCFQxMx++60kN50kN60kN.m當(dāng)前53頁，總共161頁。

23.6kN.m144.2kN.mM+x36.4kNFQ+23.6kNx4m1mCDq=15kN/mA5.5mBMe=10kN.mFRA=36.4kNFRB=23.6kN當(dāng)前54頁，總共161頁。

由圖可知，在梁的AC、DB兩段內(nèi)，各橫截面上既有剪力又有彎矩，這種彎曲稱為剪切彎曲(或橫力彎曲)。在梁的CD段內(nèi)，各橫截面上只有彎矩而無剪力，這種彎曲稱為純彎曲。15.6梁橫截面上的正應(yīng)力計算當(dāng)前55頁，總共161頁。1、剪切彎曲內(nèi)力剪力Q

切應(yīng)力t彎矩M正應(yīng)力σ2、純彎曲

內(nèi)力：彎矩M正應(yīng)力σ由以上定義可得：當(dāng)前56頁，總共161頁。1.純彎曲實驗

①橫向線(ab、cd）變形后仍為直線，但有轉(zhuǎn)動（一）梁的純彎曲實驗縱向?qū)ΨQ面bdacabcdMM

②縱向線變?yōu)橥膱A弧曲線，且上縮下伸

③橫向線與縱向線變形后仍正交。④橫截面高度不變。純彎曲梁上正應(yīng)力的確定當(dāng)前57頁，總共161頁。（2）縱向纖維間無擠壓、只受軸向拉伸和壓縮。

（1）平面假設(shè)：橫截面變形后仍為平面，只是繞中性軸發(fā)生轉(zhuǎn)動，并垂直于變形后梁的軸線。中性層縱向?qū)ΨQ面中性軸（橫截面上只有正應(yīng)力）2.根據(jù)上述的表面變形現(xiàn)象，由表及里地推斷梁內(nèi)部的變形，作出如下的兩點假設(shè)：當(dāng)前58頁，總共161頁。3.兩個概念①中性層：梁內(nèi)一層纖維既不伸長也不縮短，因而纖維不受拉應(yīng)力和壓應(yīng)力，此層纖維稱中性層。②中性軸：中性層與橫截面的交線。中性層縱向?qū)ΨQ面中性軸當(dāng)前59頁，總共161頁。M—橫截面上的彎矩y—所計算點到中性軸的距離Iz—截面對中性軸的慣性矩4.正應(yīng)力公式不僅適用于純彎曲，也適用于剪力彎曲；適用于所有截面。5.應(yīng)力正負(fù)號確定M為正時,中性軸上部截面受壓

下部截面受拉;M為負(fù)時,中性軸上部截面受拉

下部截面受壓.在拉區(qū)為正,壓區(qū)為負(fù)當(dāng)前60頁，總共161頁。最大正應(yīng)力危險截面:最大彎矩所在截面Mma危險點：距中性軸最遠(yuǎn)邊緣點ymax

令

則一般截面，最大正應(yīng)力發(fā)生在彎矩絕對值最大的截面的上下邊緣上；5.最大正應(yīng)力當(dāng)前61頁，總共161頁。DdDd=abhdWz—抗彎截面模量當(dāng)前62頁，總共161頁。1、正應(yīng)力強度條件：

矩形和工字形截面梁正應(yīng)力

max=M/WzWz=Iz/(h/2)

特點：max+=max-

T形截面梁的正應(yīng)力

max+

=M/W1W1

=Iz/y1

max-

=M/W2W2

=Iz/y2

特點：

max+

max-

15.7梁的正應(yīng)力強度計算當(dāng)前63頁，總共161頁。2、強度條件應(yīng)用：依此強度準(zhǔn)則可進行三種強度計算、校核強度：校核強度：設(shè)計截面尺寸：確定許可載荷：當(dāng)前64頁，總共161頁。例10受均布載荷作用的簡支梁如圖所示試求：（1）1—1截面上1、2兩點的正應(yīng)力（2）此截面上的最大正應(yīng)力（3）全梁的最大正應(yīng)力（4）已知E=200GPa，求1—1截面的曲率半徑。Q=60kN/mAB1m2m11x+MM1Mmax12120180zy解：畫M圖求截面彎矩30當(dāng)前65頁，總共161頁。Q=60kN/mAB1m2m11M1Mmax12120zy求應(yīng)力18030x+M當(dāng)前66頁，總共161頁。求曲率半徑Q=60kN/mAB1m2m11M1Mmax1212018030x+M當(dāng)前67頁，總共161頁。y1y2GA1A2A3A4解：畫彎矩圖并求危面內(nèi)力例11

T字形截面的鑄鐵梁受力如圖，鑄鐵的[L]=30MPa，[y]=60MPa，其截面形心位于G點，y1=52mm，y2=88mm，

Iz=763cm4，試校核此梁的強度。并說明T字梁怎樣放置更合理？畫危面應(yīng)力分布圖，找危險點P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDx-4kNm2.5kNmM當(dāng)前68頁，總共161頁。校核強度T字頭在上面合理。彎曲應(yīng)力y1y2GA1A2y1y2GA3A4A3A4x-4kNm2.5kNmM當(dāng)前69頁，總共161頁。一、矩形截面梁橫截面上的切應(yīng)力dxxQ(x)+dQ(x)M(x)yM(x)+dM(x)Q(x)dx圖a圖bzs1xys2t1tb圖cSz*為面積A*對橫截面中性軸的靜矩.

15.8梁橫截面上的切應(yīng)力及強度當(dāng)前70頁，總共161頁。zy式中:--所求切應(yīng)力面上的剪力.IZ--整個截面對中性軸的慣性矩.Sz*--過所求應(yīng)力點橫線以外部分面積對中性軸的靜矩.b--所求應(yīng)力點處截面寬度.yA*yc*當(dāng)前71頁，總共161頁。Qt方向：與橫截面上剪力方向相同

；t大小：沿截面寬度均勻分布，沿高度h分布為拋物線。中性軸上有最大切應(yīng)力.為平均切應(yīng)力的1.5倍。當(dāng)前72頁，總共161頁。其它截面梁橫截面上的切應(yīng)力

工字形截面梁剪應(yīng)力分布假設(shè)仍然適用—橫截面上剪力；Iz—整個工字型截面對中性軸的慣性矩；b1—腹板寬度；Sz*—陰影線部分面積A*對中性軸的靜矩最大剪應(yīng)力：當(dāng)前73頁，總共161頁。Iz—圓形截面對中性軸的慣性矩；b—截面中性軸處的寬度；Sz*—中性軸一側(cè)半個圓形截面對中性軸的靜矩

圓形截面梁最大剪應(yīng)力仍發(fā)生在中性軸上:

圓環(huán)截面梁

當(dāng)前74頁，總共161頁。1、危險面與危險點分析：最大切應(yīng)力發(fā)生在剪力絕對值最大的截面的中性軸處。QttQt當(dāng)前75頁，總共161頁。2、切應(yīng)力強度條件：3、需要校核切應(yīng)力的幾種特殊情況：鉚接或焊接的組合截面，其腹板的厚度與高度比小于型鋼的相應(yīng)比值時，要校核切應(yīng)力。梁的跨度較短，M較小，而FS較大時，要校核切應(yīng)力。各向異性材料（如木材）的抗剪能力較差，要校核切應(yīng)力。當(dāng)前76頁，總共161頁。注意事項設(shè)計梁時必須同時滿足正應(yīng)力和剪應(yīng)力的強度條件。對細(xì)長梁，彎曲正應(yīng)力強度條件是主要的，一般按正應(yīng)力強度條件設(shè)計，不需要校核剪應(yīng)力強度，只有在個別特殊情況下才需要校核剪應(yīng)力強度。當(dāng)前77頁，總共161頁。彎曲強度計算的步驟

畫出梁的剪力圖和彎矩圖,確定|FS|max和|M|max及其所在截面的位置，即確定危險截面。注意兩者不一定在同一截面；根據(jù)截面上的應(yīng)力分布規(guī)律，判斷危險截面上的危險點的位置，分別計算危險點的應(yīng)力，即max和max（二者不一定在同一截面，更不在同一點）；對max和max分別采用正應(yīng)力強度條件和剪應(yīng)力強度條件進行強度計算，即滿足max

,max當(dāng)前78頁，總共161頁。解：畫內(nèi)力圖求危面內(nèi)力例12

矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如圖，[]=7MPa，[]=0.9MPa，試求最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力之比,并校核梁的強度。q=3.6kN/mABL=3mQ–+xx+qL2/8M當(dāng)前79頁，總共161頁。求最大應(yīng)力并校核強度應(yīng)力之比q=3.6kN/mQ–+xx+qL2/8M當(dāng)前80頁，總共161頁。作彎矩圖，尋找需要校核的截面要同時滿足分析：非對稱截面，要尋找中性軸位置T型截面鑄鐵梁，截面尺寸如圖示。試校核梁的強度。例13當(dāng)前81頁，總共161頁。（2）求截面對中性軸z的慣性矩（1）求截面形心z1yz52解：當(dāng)前82頁，總共161頁。（4）B截面校核（3）作彎矩圖-4kNm2.5kNmMP1=9kN1m1m1mP2=4kNABCD當(dāng)前83頁，總共161頁。（5）C截面要不要校核？（4）B截面校核（3）作彎矩圖P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCD-4kNm2.5kNmM當(dāng)前84頁，總共161頁。

彎曲正應(yīng)力是控制梁彎曲強度的主要因素，故彎曲正應(yīng)力的強度條件：要提高梁的承載承力，應(yīng)從兩方面考慮：一方面是合理安排梁的受力情況，以降低Mmax的值；另一方面是采用合理的截面形狀，以提高W的數(shù)值，充分利用材料的性能。

15.9提高梁強度的措施當(dāng)前85頁，總共161頁。一、合理安排梁的受力情況

合理布置梁的支座當(dāng)前86頁，總共161頁。qlABql2/8M圖+q3l/5ABl/5l/5M圖+--ql2/40ql2/50ql2/50

左邊梁的最大彎矩值是右邊梁的最大彎矩值的5倍。因此，右邊梁上的載荷還要提高四倍，才能使得其最大彎矩值同左邊的相同。因而，右邊梁的承載能力要比左邊高四倍，因此說來，合理的布置梁的支座，對提高梁的彎曲強度是十分必要的。當(dāng)前87頁，總共161頁。門式起重機的大梁當(dāng)前88頁，總共161頁。

適當(dāng)增加梁的支座當(dāng)前89頁，總共161頁。合理的布置載荷。比較下列兩種布置方法：Pl/2ABl/2CPl/4ABl/4l/4l/4D+Pl/4M圖+Pl/8M圖Pl/8當(dāng)前90頁，總共161頁。改善荷載的布置情況MM當(dāng)前91頁，總共161頁。二、提高抗彎截面系數(shù)選擇合理的截面形狀當(dāng)前92頁，總共161頁。

在確定梁的截面形狀與尺寸時，除應(yīng)考慮彎曲正應(yīng)力強度條件外，還應(yīng)考慮彎曲切應(yīng)力強度條件。因此，在設(shè)計工字形、箱形、T字形與槽型等薄壁截面梁時，也應(yīng)注意使腹板具有一定的厚度。zz當(dāng)前93頁，總共161頁。合理選擇截面形狀，盡量增大Wz值當(dāng)前94頁，總共161頁。—單位面積抗彎截面模量當(dāng)前95頁，總共161頁。bhhhhhd0.167h0.125h0.205h(0.27~0.31)

h(0.29~0.31)hd=0.8h常見截面的Wz/A值比較:

從表中可以看出，材料遠(yuǎn)離中性軸的截面較經(jīng)濟合理。

工程中的吊車梁、橋梁常采用工字形、槽形或箱形截面，房屋建筑中的樓板采用空心圓孔板，道理就在于此。當(dāng)前96頁，總共161頁。從彎曲強度考慮，比較合理的截面形狀，是使用較小的截面面積，卻能獲得較大抗彎能力的截面。在一般截面中，抗彎能力與截面高度的平方成正比。因此，當(dāng)截面面積一定時，宜將較多材料放置在遠(yuǎn)離中性軸的部位。因此，面積相同時：工字形優(yōu)于矩形，矩形優(yōu)于正方形；環(huán)形優(yōu)于圓形。同時應(yīng)盡量使拉、壓應(yīng)力同時達到最大值。smaxsmin當(dāng)前97頁，總共161頁。根據(jù)材料特性選擇截面對于抗拉和抗壓不相同的脆性材料最好選用關(guān)于中性軸不對稱的截面當(dāng)前98頁，總共161頁。

拉壓性能不一的材料如鑄鐵，宜用不對稱的截面，使中性軸靠近拉的一側(cè)h2Zch1Zc變截面梁1)b不變，中間h加大Zc當(dāng)前99頁，總共161頁。xMPl/4xb(x)bmin2)h不變，中間b隨x與彎矩M（x）同規(guī)律變化，如上圖3)b不變，中間h隨x與彎矩M（x）規(guī)律變化，如右圖搖臂鉆床的搖臂。ABPl/2l當(dāng)前100頁，總共161頁。等強度梁階梯梁漁腹梁（工藝上簡化）當(dāng)前101頁，總共161頁。當(dāng)前102頁，總共161頁。日本巖大橋雨蓬梁板◆實例：當(dāng)前103頁，總共161頁。預(yù)應(yīng)力鋼筋以上的措施僅僅考慮提高梁的強度方面，事實上，梁的合理使用應(yīng)綜合考慮強度與剛度、穩(wěn)定性等問題。這正是工程構(gòu)件力學(xué)分析的核心內(nèi)容。當(dāng)前104頁，總共161頁。彎曲構(gòu)件除了要滿足強度條件外,還需滿足剛度條件。如車床主軸的過大彎曲引起加工零件的誤差。15.10

梁的變形概念當(dāng)前105頁，總共161頁。當(dāng)前106頁，總共161頁。當(dāng)前107頁，總共161頁。但在另外一些情況下，有時卻要求構(gòu)件具有較大的彈性變形，以滿足特定的工作需要。例如，車輛上的板彈簧，要求有足夠大的變形，以緩解車輛受到的沖擊和振動作用。當(dāng)前108頁，總共161頁。當(dāng)前109頁，總共161頁。撓度(w):任一橫截面形心(即軸線上的點)在垂直于x軸方向的線位移,稱為該截面的撓度。取梁的左端點為坐標(biāo)原點,梁變形前的軸線為x軸,橫截面的鉛垂對稱軸為y軸,xy平面為縱向?qū)ΨQ平面。BAB'CC1撓度w

yx當(dāng)前110頁，總共161頁。x

BAB'CC1轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角():橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度（或角位移）,稱為該截面的轉(zhuǎn)角

，也即撓曲線在該截面處的切線與x軸的夾角。y當(dāng)前111頁，總共161頁。撓度和轉(zhuǎn)角符號的規(guī)定：撓度：在圖示坐標(biāo)系中,向下為正,向上為負(fù)。轉(zhuǎn)角：順時針轉(zhuǎn)向為正,逆時針轉(zhuǎn)向為負(fù)。yxABCw(撓度)C1q(轉(zhuǎn)角)F當(dāng)前112頁，總共161頁。必須注意:梁軸線彎曲成曲線后,在x軸方向也有線位移。yxABCw(撓度)C1q(轉(zhuǎn)角)F但在小變形情況下,梁的撓度遠(yuǎn)小于跨長,這種位移與撓度相比很小，可略去不計。當(dāng)前113頁，總共161頁。撓曲線：梁變形后的軸線稱為撓曲線。撓曲線方程:式中,x為梁變形前軸線上任一點的橫坐標(biāo),w為該點的撓度。yxABCw(撓度)C1q(轉(zhuǎn)角)撓曲線F當(dāng)前114頁，總共161頁。撓度與轉(zhuǎn)角的關(guān)系：yxABCw(撓度)C1qq(轉(zhuǎn)角)F當(dāng)前115頁，總共161頁。此式稱為梁的撓曲線近似微分方程。當(dāng)前116頁，總共161頁。再積分一次,得撓度方程上式積分一次得轉(zhuǎn)角方程若為等截面直梁,其抗彎剛度EI為一常量,上式可改寫成式中：積分常數(shù)C1、C2可通過梁撓曲線的邊界條件和變形的連續(xù)性條件來確定。15.11梁的變形計算

積分法求彎曲變形當(dāng)前117頁，總共161頁。簡支梁懸臂梁邊界條件ABwA＝0wB＝0ABwA＝0qA＝0ABAB連續(xù)性條件在撓曲線的任一點上,有唯一的撓度和轉(zhuǎn)角。如:不可能不可能c當(dāng)前118頁，總共161頁。

討論：

①適用于小變形、線彈性、細(xì)長構(gòu)件的平面彎曲②用于求解承受各種載荷的等截面或變截面梁的位移③積分常數(shù)由撓曲線變形邊界條件確定

④優(yōu)點：使用范圍廣，直接求出較精確；

缺點：計算較繁當(dāng)前119頁，總共161頁。例14圖示一抗彎剛度為EI的懸臂梁,在自由端受一集中力F作用。試求梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程,并確定其最大撓度wmax和最大轉(zhuǎn)角max。ABlx解：以梁左端A為原點,取直角坐標(biāo)系,令x軸向右,y軸向下為正。(1)列彎矩方程F(2)列撓曲線近似微分方程并積分當(dāng)前120頁，總共161頁。(3)確定積分常數(shù)代入式(a)和(b),得：C1＝0,C2＝0在x＝0處,w＝0在x＝0處,q＝0--當(dāng)前121頁，總共161頁。ABlxxyF(4)建立轉(zhuǎn)角方程和撓度方程將求得的積分常數(shù)C1和C2代入式(a)和(b),得梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程分別為：(5)求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度自由端B處的轉(zhuǎn)角和撓度絕對值最大。wmaxqmax所得的撓度為正值,說明B點向下移動;轉(zhuǎn)角為正值,說明橫截面B沿順時針轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)動。當(dāng)前122頁，總共161頁。例15：一簡支梁受均布荷載作用，求梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，并確定最大撓度和A、B截面的轉(zhuǎn)角。設(shè)梁的抗彎剛度為EI。ABlq當(dāng)前123頁，總共161頁。解:1°

建立坐標(biāo)系。求支座反力。列彎矩方程：xylABq當(dāng)前124頁，總共161頁。邊界條件得:xylABqθBθAwmax當(dāng)前125頁，總共161頁。例16：已知F、EI，求梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程及wmax

。xyABFlxabCD解:1°

建立坐標(biāo)系。求支座反力。2°分段求出彎矩方程及w′、w。當(dāng)前126頁，總共161頁。xyABFlxabCD當(dāng)前127頁，總共161頁。邊界條件：x=0，w1=0。x=l，w2=0。連續(xù)條件：x=a，w1′=w2′，w1=w2

由連續(xù)條件，得：C1=C2，D1=D2再由邊界條件，得：C1=C2=Fb（l2-b2）/6lD1=D2=0因此，梁各段的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程為：xyABFlxabCD當(dāng)前128頁，總共161頁。xyABFlxabCD當(dāng)前129頁，總共161頁。因此，受任意荷載的簡支梁，只要撓曲線上沒有拐點，均可近似地將梁中點的撓度作為最大撓度。xyABFlxabCD當(dāng)前130頁，總共161頁。條件：由于梁的變形微小,梁變形后其跨長的改變可略去不計,且梁的材料在線彈性范圍內(nèi)工作,因而,梁的撓度和轉(zhuǎn)角均與作用在梁上的載荷成線性關(guān)系。在這種情況下,梁在幾項載荷(如集中力、集中力偶或分布力)同時作用下某一橫截面的撓度和轉(zhuǎn)角,就分別等于每項載荷單獨作用下該截面的撓度和轉(zhuǎn)角的疊加。此即為疊加原理。15.11梁的變形計算

疊加法求彎曲變形當(dāng)前131頁，總共161頁。例17：簡支梁所受荷載如圖示。用疊加法求梁中點撓度和左端截面的轉(zhuǎn)角。設(shè)梁抗彎剛度為EI。ml/2qABCl/2當(dāng)前132頁，總共161頁。解:qABCBmACml/2qABCl/2當(dāng)前133頁，總共161頁。+=例18簡支梁的EI已知，用疊加法求梁跨中截面的位移和兩端截面的轉(zhuǎn)角。載荷分解如圖對稱均布載荷單獨作用時集中力偶單獨作用時xxx當(dāng)前134頁，總共161頁。疊加當(dāng)前135頁，總共161頁。例19：一階梯形懸臂梁，在左端受集中力作用。試求左端的撓度。FABCaaEI2EI當(dāng)前136頁，總共161頁。ABCFaaEI2EI解：FBAwA1θA1采用逐段剛化法1、令BC剛化，AB為懸臂梁。2、令A(yù)B剛化，BC為懸臂梁。FBAwBCM=Fa當(dāng)前137頁，總共161頁。FBAwA1θA1FBAwBCBAwBCM=FaEI2EI2EI當(dāng)前138頁，總共161頁。ABCFaaEI2EI累加得到總的結(jié)果：當(dāng)前139頁，總共161頁。例20：已知F、q、EI。求θc和wc。qABF=qaaaaCxy（a）當(dāng)前140頁，總共161頁。CxqABF=qaaaay（a）wC(F)ABFC（b）θB(F)Θc(F)當(dāng)前141頁，總共161頁。CqAB（c）CqABM=qa2/2CqABM=qa2/2CABM=qa2/2當(dāng)前142頁，總共161頁。CqAB（c）CqB（d）ABC（e）qa2/2當(dāng)前143頁，總共161頁?！@種疊加法又稱為逐段（級）剛化法。CqB（d）ABC（e）qa2/2ABFC（b）當(dāng)前144頁，總共161頁。例21用逐段剛性法求解簡支外伸梁的撓度把未變形B