彈性力學之平面問題的極坐標解答

第四章平面問題的極坐標解答第一節(jié)極坐標中的平衡微分方程第二節(jié)極坐標中的幾何方程及物理方程第三節(jié)極坐標中的應力函數(shù)與相容方程第四節(jié)應力分量的坐標變換式第五節(jié)軸對稱應力和相應的位移第四章平面問題的極坐標解答第六節(jié)圓環(huán)或圓筒受均布壓力第八節(jié)圓孔的孔口應力集中第九節(jié)半平面體在邊界上受集中力第十節(jié)半平面體在邊界上受分布力例題第七節(jié)壓力隧洞區(qū)別:直角坐標中,

x和y坐標線都是直線,有固定的方向,x和y的量綱均為L。

極坐標中,坐標線（=常數(shù)）和坐標線（=常數(shù)）在不同點有不同的方向;相同:兩者都是正交坐標系。直角坐標(x,y)與極坐標比較：坐標線為直線,坐標線為圓弧曲線;的量綱為L,的量綱為1。這些區(qū)別將引起彈性力學基本方程的區(qū)別。對于圓形，弧形，扇形及由徑向線和環(huán)向圍成的物體，宜用極坐標求解。用極坐標表示邊界簡單，使邊界條件簡化。應用§4－1極坐標中的平衡微分方程在A內(nèi)任一點（，）取出一個微分體，考慮其平衡條件。微分體--由夾角為的兩徑向線和距離為的兩環(huán)向線圍成。兩面不平行，夾角為；兩面面積不等，分別為，。從原點出發(fā)為正，從x

軸向y軸方向轉(zhuǎn)動為正。注意：平衡條件：平衡條件考慮通過微分體形心C的向及矩的平衡，列出3個平衡條件:注意：

--通過形心C的力矩為0，當考慮到二階微量時，得--通過形心C的向合力為0，整理，略去三階微量，得同理，由通過形心C的向合力為0可得：極坐標下的平衡微分方程：幾何方程--表示微分線段上形變和位移之間的的幾何關系式。?！?－2幾何方方程及物理方程極坐標系中的幾何何方程可以通過微微元變形分析直接接推得，也可以采采用坐標變換的方方法得到。下面討討論后一種方法。。根據(jù)直角坐標與與極坐標之間的關關系，有注意：可求得根據(jù)張量的坐標變變換公式對平面問題：幾何方程由此可得比較可知極坐標中的物理方方程直角坐標中的物理理方程是代數(shù)方程程，且x與y為正交，故物理方程形式相相似。物理方程極坐標中的物理方方程也是代數(shù)方程程,且與為正交，平面應力問題的物物理方程：物理方程對于平面應變問題，只須作如下同樣樣變換，邊界條件--應用極坐標時，彈彈性體的邊界面通通常均為坐標面，，即：邊界條件故邊界條件形式簡簡單。以下建立直角坐標標系與極坐標系的的變換關系，用于于：§4－3極坐標中的應力函函數(shù)與與相相容方程1、物理量的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)換;2、從直角坐標系系中的方程導出極極坐標系中的方程。函數(shù)的變換：將式或或代入入，坐標變量的變換：反之1.從直角坐標系系到極坐標系的變變換坐標變換或矢量的變換：位移坐標變換將對的的導數(shù)，變換為為對的的導數(shù)：可看成是，，而又又是的的函數(shù)，即是是通過中中間變量，，為的的復合合函數(shù)。有:坐標變換導數(shù)的變換：而代入，即得一階導數(shù)的變換公公式,一階導數(shù)，。展開即得：二階導數(shù)的變換公式，可以從式(e)導出。例如二階導數(shù)拉普拉斯算子的變換：由式（f）得二階導數(shù)3.極坐標中應力力用應力函數(shù)表表示示可考慮幾種導出方方法：2.極坐標中的相相容方程從平衡微分方程直直接導出（類似于于直角坐標系中方法法）。相容方程應力公式(2)應用特殊關系系式，即當x軸轉(zhuǎn)動到與軸重合時，有:(3)應用應應力變換公式（下下節(jié)）應力公式(4)應用應應力變換公式（下下節(jié)），而代入式(f)，得出的的公式。比較兩式的的的系數(shù)，便便得出的的公式。。應力公式當不計體力時應力力用應力函數(shù)表示示的公式應力公式4.極坐標系中按按應力函數(shù)求求解，應滿足：(1)A內(nèi)相容方程(2)上上的應力邊界界條件（設全部為為應力邊界條件）。(3)多連體中的位移單單值條件。按求解應力分量不僅具有有方向性，還與其其作用面有關。應力分量的坐標變換關系：：§4－4應力分分量的坐標變換式式1、已知，，求。。（含））的三角形微分體，厚度為1，如下下圖A，考慮其平衡條件。。取出一個包含x、y面(含)和面得同理，由得類似地取出包含x面,y面和面的三角角形微分體，厚度度為1，如圖B，考慮其平衡條件，，得應用相似的方法，，可得到2、已知，，求3、可以用前面得得到的求一點應力力狀態(tài)的公式推出出。也可以用應力坐標標變換公式得到軸對稱，即繞軸對稱，凡凡通過此軸的任何何面均為對稱面。。軸對稱應力問題：：§4－5軸對稱稱應力和相應的位位移軸對稱應力問題應力數(shù)值軸對稱--僅為的函數(shù)數(shù)，應力方向軸對稱--展開為相應的應力函數(shù)，，所以應力公式為：（1）相容方程的通解這是一個典型的歐拉方程，引入變量，則。則原方程變?yōu)?/p>

此方程解的形式為代入整理得特征方程為

由此可得應力函數(shù)的通解為

（4-10）(2)

應力通解：（4-11）將應變代入幾何方程，對應第一、二式分別積分，應變通解：將應力代入物理方程，得對應的應變分量的通解。應變也為軸對稱。(4)求對應的位移：分開變量，兩邊均均應等于同一常量F,將代代入第三式，由兩個常微分方程程，其中代入，，得軸對稱應力對應的的位移通解，I，K—為x、y向的剛體平移，H—為繞o點的剛體轉(zhuǎn)動角度度。位移通解（4-12）說明（2）在軸對稱應力條件下，形變變也是軸對稱的,但位移不是軸軸對稱的。（3）實現(xiàn)軸對稱稱應力的條件是，，物體形狀、體力和面力應為軸軸對稱。（1）在軸對稱應力條件下，(4-10、11、、12),為應力函數(shù)、應力力和位移的通解，，適用于任何軸對稱稱應力問題。說明(4)軸對稱應應力及對應的位移移的通解已滿足相相容方程，它們還還必須滿足邊界條條件及多連體中的的位移單值條件，，并由此求出其系系數(shù)A、B及C。說明(5)軸對稱應應力及位移的通解解，可以用于求解解應力或位移邊界界條件下的任何軸軸對稱問題。(6)對于平面面應變問題，只須須將換換為圓環(huán)(平面應力問問題)和圓筒(平平面應變問題)受受內(nèi)外均布壓力，，屬于軸對稱應力問題，可以引用軸對稱應應力問題的通解。。§4－6圓環(huán)環(huán)或圓筒受均布壓壓力問題問題邊界條件是邊界條件考察多連體中的位移單單值條件：圓環(huán)或圓筒，是有有兩個連續(xù)邊界的的多連體。而在位位移解答中，式(b)中的條條件是自然滿足的的，而其余兩個條條件還不足以完全全確定應力解答(a)。單值條件是一個多值函數(shù)：：對于和和是是同一點，，但式(c)卻得出兩個位移值值。由于同一點的的位移只能為單值值，因此B=0。單值條件由B=0和邊界條件(b)，便可得出拉梅解答，單值條件(4-13)解答的應用：（1）只有內(nèi)壓力力（2）只有內(nèi)壓力力且且，，成為具有圓孔的無限大大薄板（彈性體））。（3）只有外壓力力單值條件單值條件的說明：：（1）多連體中的的位移單值條件，，實質(zhì)上就是物體的連連續(xù)性條條件（即位移移連續(xù)性性條件）。。（2）在在連續(xù)體體中，應應力、形形變和位位移都應為單值值。單值條件件按位移求求解時：：取位移移為單值值，求形形變（幾幾何方程程）也為為單值，，求應力力（物理理方程））也為單單值。按應力求求解時：取應力力為單值值，求形形變（物物理方程程）也為為單值，，求位移移（由幾幾何方程程積分）），常常常會出現(xiàn)現(xiàn)多值項項。所以，按按應力求求解時，，對于多多連體須須要校核核位移的的單值條條件。單值條件件對于單連連體，通通過校核核邊界條條件等，，位移單單值條件件往往已已自然滿滿足；對于多連連體，應應校核位位移單值值條件，，并使之之滿足。?！?－7壓壓力隧洞洞本題是兩兩個圓筒筒的接觸問題題，兩個均均為軸對對稱問題題（平面面應變問問題）。。1.壓力力隧洞--圓筒埋在在無限大大彈性體體中，受受有均布布內(nèi)壓力力。圓筒筒和無限限大彈性性體的彈彈性常數(shù)數(shù)分別為為壓力隧洞洞因為不符符合均勻勻性假定定，必須須分別采采用兩個個軸對稱稱解答：：圓筒無限大彈彈性體壓力隧洞洞應考慮的的條件：：（1）位位移單值值條件：：（2）圓圓筒內(nèi)邊邊界條件件：（3）無無限遠處處條件，，由圣維維南原理理,壓力隧洞洞由（1））—（4）條件件，解出出解答（（書中式式（4-16））。。（4）的的接觸條件件，當變形形后兩彈彈性體保持連續(xù)續(xù)時，有有壓力隧洞洞2.一般般的接觸觸問題。。(1)完全接觸觸：變形后兩兩彈性體體在s上仍然保保持連續(xù)續(xù)。這時時的接觸觸條件為為：在s上當兩個彈彈性體，，變形前前在s上互相接接觸，變變形后的的接觸條件件可分為幾幾種情況況：接觸問題題(2)有摩阻力力的滑動動接觸：變形后后在S上法向保保持連續(xù)續(xù)，而切切向產(chǎn)生生有摩阻阻力的相相對滑移移，則在在S上的接觸觸條件為為其中C為凝聚力力。接觸問題題(4)局部脫離離：變形后后某一部部分邊界界上兩彈彈性體脫脫開，則則原接觸觸面成了了自由面面。在此此部分脫脫開的邊邊界上，，有(3)光滑接觸觸：變形后后法向保保持連續(xù)續(xù)，但切切向產(chǎn)生生無摩阻阻力的光光滑移動動，則在在s上的接觸觸條件為為接觸問題題在工程上上，有許許多接觸觸問題的的實際例例子。如如機械中中軸與軸軸承的接接觸，基基礎結構構與地基基的接觸觸，壩體體分縫處處的接觸觸等等。。一般在在接觸邊邊界的各各部分，，常常有有不同的的接觸條條件，難難以用理理論解表表示。我我們可以以應用有有限單元元法進行行仔細和和深入的的分析。。接觸問題題3.有有限值條條件圖（a）設圖（a）中半徑為為r的圓盤受受法向均均布壓力力q作用，試求其解解答。有限值條條件引用軸對對稱問題題的解答答，并考考慮邊界界上上的的條件，，上述問問題還是是難以得得出解答答。這時時，我們們可以考考慮所謂有限值條條件，即除了了應力集集中點外外，彈性性體上的的應力應應為有限限值。而書中式式(4-11)的應力力表達式式中，當當時時，和和中中的第一一、二項項均趨于于無限大大，這是是不可能能的。按按照有限限值條件件，當當時時，必須須有A=B=0。有限值條條件在彈性力力學問題題中，我我們是在在區(qū)域內(nèi)內(nèi)和邊界界上分別別考慮靜靜力條件件、幾何何條件和和物理條條件后，，建立基基本方程程及其邊邊界條件件來進行行求解的的。一般地說說，單值值條件和和有限值值條件也也是應該該滿足的的，但是是這些條條件常常常是自然然滿足的的。而在在下列的情情形下須要進行校核核：(1)按應力求求解時，，多連體體中的位位移單值值條件。有限值條條件在彈性力力學的復復變函數(shù)數(shù)解法中中，首先先排除不不符合單單值條件件和有限限值條件件的復變變函數(shù)，，從而縮縮小求解解函數(shù)的的范圍，，然后再再根據(jù)其其他條件件進行求求解。(2)無應力集集中現(xiàn)象象時，和和，，或或處的應力的有有限值條條件(因為正正、負冪冪函數(shù)在在這些點點會成為為無限大大)。有限值條條件工程結構構中常開開設孔口口最簡單單的為圓圓孔。本節(jié)研究究‘小孔口問問題’，應符符合（1）孔孔口尺寸寸＜＜彈彈性體尺尺寸，孔口引起起的應力力擾動局局限于小小范圍內(nèi)內(nèi)?！?－8圓孔孔的孔口口應力集集中小孔口問問題（2）孔孔邊距邊邊界較遠遠（＞1.5倍孔孔口尺寸寸）孔口與邊邊界不相相互干擾擾。當彈性體體開孔時時，在小小孔口附附近，將將發(fā)生應力集中中現(xiàn)象。小孔口問問題1.帶小小圓孔的的矩形板板，四邊受均均布拉力力q，圖(a)。雙向受拉拉內(nèi)邊界條條件為，，將外邊界界改造成成為圓邊邊界，作作則有利用圓環(huán)環(huán)的軸對對稱解答答，取且R＞＞r，得應力解答答：雙向受拉拉（4-17）2.帶帶小圓孔孔的矩形形板，x,y向分別受受拉壓力力，圖(b)。所以應力力集中系系數(shù)為2。內(nèi)邊界條條件為最大應力力發(fā)生在在孔邊，，作圓圓，，求出外外邊界條條件為雙向受拉拉壓應用半逆解法法求解（非非軸對稱稱問題））:由邊界條條件，假假設設代入相容容方程，，由~關關系，，假設，，所所以設雙向受拉拉壓除去，，為典典型歐拉拉方程，，通過與與前面§4－5相同的處處理方式式，可以以得解然后代回回式（d),即可求出出應力。。雙向受拉拉壓校核邊界界條件(b),(c)，，求出A,B,C,D，得應力解答答：在孔邊，，，，最大大、最小小應力為為，，應應力集中中系數(shù)為為。。雙向受拉拉壓（4-18）3.帶小小圓孔的的矩形板板，只受x向均布拉拉力q。單向受拉拉應用圖示示疊加原原理（此此時令））得應力解答答:單向受拉拉（4-19）討論：（1）孔孔邊應力力，最大應力力3q，最小應力力-q。單向受拉拉（2)y軸上上應應力，可見，距距孔邊1.5D處，，由于于孔口引引起的應應力擾動動<5%。單向受拉拉（3）x軸上上應應力，同樣，距距孔邊1.5D處，，由于于孔口引引起的應應力擾動動<5%。單向受拉拉4.小孔孔口的應應力集中中現(xiàn)象（1）集中性--孔口附近近應力>>遠處處的應力力，孔口附近近應力>>無孔孔時的應應力。（2）局部性--應力集中中區(qū)域很很小，約約在距孔孔邊1.5倍倍孔徑（（D）范圍內(nèi)。。此區(qū)域域外的應應力擾動動，一般般<5%。應力集中中現(xiàn)象（3）凹角的角角點應力力高度集集中，曲率半半徑愈小小，應力力愈大。。因此，工工程上應應盡量避避免接近近直交的的凹角出出現(xiàn)。如正方孔孔的的角點，，角點曲率率半徑應力集中中現(xiàn)象5.一般般小孔口口問題的的分析：：（1）假假設無孔孔，求出出結構在在孔心處處的、、、。。（2）求求出孔心心處主應應力（3）在在遠處的的均勻應應力場作作用下，，求出孔口口附近的的應力。。小孔口解解法當然，對對于左右右邊界受受均勻拉拉力作用用帶孔平平板的應應力集中中問題，，還可以以用如下下方法求求解單向受拉拉對于無孔孔板，板板中的應應力為與之相應應的應力力函數(shù)為為轉(zhuǎn)為極坐坐標表示示為單向受拉拉現(xiàn)參照上上述無孔孔板的應應力函數(shù)數(shù)來選取取一個應應力函數(shù)數(shù)，使它它適用于于有孔板板。即代入相容容方程得得：解得：單向受拉拉由此求得得應力分分量為：：解得：單向受拉拉應力分量量為：應用彈性性力學問問題的復變函數(shù)數(shù)解法，已經(jīng)解出許多多各種形形狀的小小孔口問問題的解解答。復變函數(shù)解法法是一種種求解彈彈性力學學解答的的解析方方法，它將復變變函數(shù)的的實部和和虛部(均為實實函數(shù))分別表示彈性性力學的的物理量量，將彈彈性力學學的相容容方程(重調(diào)調(diào)和方程程)也也化為復復變函數(shù)數(shù)方程，，并結合合邊界條件件進行求求解。6.其其他小孔孔口問題題的解答答為了了解解小孔口口應力集集中現(xiàn)象象的特性性和便于工程上上的應用用，我們們把遠處處為(壓應力場)作作用下，，橢圓類類孔口、、矩形類類孔口和和廊道孔口的應應力解答答表示在在下圖中中，它們們的應力力分布情況如如下。-43/2ba11-2.2312/3-1101-311.00-2.5-1.35（1）在(壓應力場場)下，孔孔口的最大拉應力發(fā)生于孔頂頂和孔底。。橢圓類孔孔口均為,矩形類孔孔口的~,標準廊道孔口為為0.90和0.92q。1.8r-1.7(c)標準廊道孔孔口r0.900.92（2）在（（壓應力場場）下，孔孔口的最大壓應力力發(fā)生在孔側(cè)側(cè)。橢圓類類孔口（垂垂直半軸為為b，水平半軸為為a）中，當成成為一一條裂縫時，；；當；；當，，~。矩形類孔口口從從，，越小，則壓壓應力集中中系數(shù)越接接近1。標標準廊道左左右。半平面體在在邊界上受受集中力作作用如圖。。它是下圖所所示問題當?shù)奶厥馇闆r況。§4－9半平面體在在邊界上受受集中力半逆解法用半逆解法求解。（1）假設設應力：F為單位寬度度上的力，，按量綱分分析，應力力應為:半逆解法（2）推測測應應為（3）代入入，，得得求出f之解，代入入，，其中前兩項項即Ax+By，與應力無關關，刪去。。則取應力函函數(shù)為（5）考慮慮邊界條件件,因有集中力力作用于原原點，故邊界條件件應考慮兩兩部分：（4）由求求應力,(b)在原點O附近，我們們可以看成成是一段小邊界。在在此小邊界界附近，有有面力的作作用,而面力可以以向原點o簡化為作用用于O點的主矢量量F，和主矩為0的情形。將小邊界上上的應力邊邊界條件應應用圣維南原理來進行處理理。圣維南原理理的應用可以有兩種方方式：(a)不包含原點點O，則在顯然這條件件是滿足的的。即,(1)在同一小邊邊界上，使應力的的主矢量和和主矩,分分別等于對對應面力的的主矢量和和主矩(數(shù)值相等等，方向一一致)，共共有3個