晶體的對(duì)稱性

關(guān)于晶體的對(duì)稱性第一頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一對(duì)稱操作所依賴的幾何要素。1.對(duì)稱操作與線性變換經(jīng)過(guò)某一對(duì)稱操作，把晶體中任一點(diǎn)變?yōu)榭梢杂镁€性變換來(lái)表示。1對(duì)稱性與對(duì)稱操作對(duì)稱性：經(jīng)過(guò)某種動(dòng)作后，晶體能夠自身重合的特性。對(duì)稱操作：使晶體自身重合的動(dòng)作。對(duì)稱素：第二頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一操作前后，兩點(diǎn)間的距離保持不變，Ox1x3x2O點(diǎn)和X點(diǎn)間距與O點(diǎn)和點(diǎn)間距相等。第三頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一I為單位矩陣，即：或者說(shuō)A為正交矩陣，其矩陣行列式。2.簡(jiǎn)單對(duì)稱操作(旋轉(zhuǎn)對(duì)稱、中心反映、鏡象、旋轉(zhuǎn)反演對(duì)稱)(1)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(Cn,對(duì)稱素為線)若晶體繞某一固定軸轉(zhuǎn)以后自身重合，則此軸稱為n次(度)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸。下面我們計(jì)算與轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的變換矩陣。第四頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一當(dāng)OX繞Ox1轉(zhuǎn)動(dòng)角度時(shí)，圖中若OX在Ox2x3平面上投影的長(zhǎng)度為R，則Ox1x3x2第五頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一晶體中允許有幾度旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸呢?設(shè)B1ABA1是晶體中某一晶面上的一個(gè)晶列，AB為這一晶列上相鄰的兩個(gè)格點(diǎn)。A1ABB1第六頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一若晶體繞通過(guò)格點(diǎn)A并垂直于紙面的u軸順時(shí)針轉(zhuǎn)角后能自身重合，則由于晶體的周期性，通過(guò)格點(diǎn)B也有一轉(zhuǎn)軸u。是的整數(shù)倍，A1ABB1相反若逆時(shí)針轉(zhuǎn)'角后能自身重合，則A1ABB1是的整數(shù)倍，第七頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一晶體中允許的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸只能是1，2，3，4，6度軸。綜合上述證明得：12346第八頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一正五邊形沿豎直軸每旋轉(zhuǎn)720恢復(fù)原狀，但它不能重復(fù)排列充滿一個(gè)平面而不出現(xiàn)空隙。因此晶體的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸中不存在五次軸，只有1，2，3，4，6度旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸。(2)中心反演(i，對(duì)稱素為點(diǎn))取中心為原點(diǎn)，經(jīng)過(guò)中心反映后，圖形中任一點(diǎn)變?yōu)榈诰彭?yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一(3)鏡象(m，對(duì)稱素為面)如以x3=0面作為對(duì)稱面，鏡象是將圖形的任何一點(diǎn)變?yōu)?4)旋轉(zhuǎn)--反演對(duì)稱若晶體繞某一固定軸轉(zhuǎn)以后，再經(jīng)過(guò)中心反演,晶體自身重合，則此軸稱為n次(度)旋轉(zhuǎn)--反演對(duì)稱軸。第十頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一

旋轉(zhuǎn)--反演對(duì)稱軸只能有1，2，3，4，6度軸。旋轉(zhuǎn)--反演對(duì)稱軸用表示。旋轉(zhuǎn)--反演對(duì)稱軸并不都是獨(dú)立的基本對(duì)稱素。如：1212345612第十一頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一ABDCEFGH正四面體既無(wú)四度軸也無(wú)對(duì)稱心6=3+m1234566'1234第十二頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一1，2，3，4，6度旋轉(zhuǎn)對(duì)稱操作。1，2，3，4，6度旋轉(zhuǎn)反演對(duì)稱操作。(3)中心反映：i。(4)鏡象反映：m。

C1，C2，C3，C4，C6

（用熊夫利符號(hào)表示）S1，S2，S3，S4，S6（用熊夫利符號(hào)表示）點(diǎn)對(duì)稱操作：(2)旋轉(zhuǎn)反演對(duì)稱操作：(1)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱操作：

獨(dú)立的對(duì)稱操作有8種,即1，2，3，4，6，i，m，?；駽1，C2，C3，C4，C6

，Ci，Cs，S4。第十三頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一立方體對(duì)稱性(1)立方軸C4：3個(gè)立方軸；4個(gè)3度軸；(2)體對(duì)角線C3：(3)面對(duì)角線C2：6個(gè)2度軸；第十四頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一與4度軸正交的對(duì)稱面與2度軸正交的對(duì)稱面第十五頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一所有點(diǎn)對(duì)稱操作都可由這8種操作或它們的組合來(lái)完成。一個(gè)晶體的全部對(duì)稱操作構(gòu)成一個(gè)群，每個(gè)操作都是群的一個(gè)元素。對(duì)稱性不同的晶體屬于不同的群。由旋轉(zhuǎn)、中心反演、鏡象和旋轉(zhuǎn)--反演點(diǎn)對(duì)稱操作構(gòu)成的群，稱作點(diǎn)群。理論證明，所有晶體只有32種點(diǎn)群，即只有32種不同的點(diǎn)對(duì)稱操作類型。這種對(duì)稱性在宏觀上表現(xiàn)為晶體外形的對(duì)稱及物理性質(zhì)在不同方向上的對(duì)稱性。所以又稱宏觀對(duì)稱性。如果考慮平移，還有兩種情況，即螺旋軸和滑移反映面。第十六頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一

（5）n度螺旋軸：若繞軸旋轉(zhuǎn)2/n角以后，再沿軸方向平移l(T/n)，晶體能自身重合，則稱此軸為n度螺旋軸。其中T是軸方向的周期，l是小于n的整數(shù)。n只能取1、2、3、4、6。（6）滑移反映面：若經(jīng)過(guò)某面進(jìn)行鏡象操作后，再沿平行于該面的某個(gè)方向平移T/n后，晶體能自身重合，則稱此面為滑移反映面。T是平行方向的周期，n可取2或4。點(diǎn)對(duì)稱操作加上平移操作構(gòu)成空間群。全部晶體構(gòu)有230種空間群，即有230種對(duì)稱類型。第十七頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一2晶系和布喇菲原胞根據(jù)不同的點(diǎn)對(duì)稱性，將晶體分為7大晶系，14種布喇菲晶格。為布喇菲原胞三個(gè)基矢，分別為取間的夾角。7大晶系的特征及布喇菲晶格如下所述：第十八頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一1.三斜晶系：2.單斜晶系：3.三角晶系：簡(jiǎn)單三斜(1)簡(jiǎn)單單斜(2)底心單斜(3)三角(4)4.正交晶系：簡(jiǎn)單正交(5)，底心正交(6)體心正交(7)，面心正交(8)5.四角系：(正方晶系)簡(jiǎn)單四角(9)，體心四角(10)6.六角晶系：六角(11)7.立方晶系：簡(jiǎn)立方(12)，體心立方(13)，面心立方(14)第十九頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一簡(jiǎn)單三斜(1)簡(jiǎn)單單斜(2)底心單斜(3)1.三斜晶系：2.單斜晶系：3.三角晶系：三角(4)第二十頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一4.正交晶系：簡(jiǎn)單正交(5)底心正交(6)體心正交(7)面心正交(8)5.四角系：(正方晶系)體心四角(10)簡(jiǎn)單四角(9)第二十一頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一6.六角晶系：六角(11)7.立方晶系：簡(jiǎn)立方(12)體心立方(13)面心立方(14)第二十二頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一第二十三頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一3點(diǎn)群的表示符號(hào)通用的點(diǎn)群符號(hào)有兩種:一是傳統(tǒng)的熊夫利(Schonflis或熊夫里斯)符號(hào);二是赫曼-莫吉恩(Hermann-Mauguin)符號(hào)：扼要地概括了點(diǎn)群中對(duì)稱元素的配置情況,包含信息較多,已為國(guó)際晶體學(xué)界所采用，故通稱為國(guó)際符號(hào)。獨(dú)立的8種對(duì)稱操作：熊夫利符號(hào)：C1，C2，C3，C4，C6，Ci，Cs，S4國(guó)際符號(hào)：1，2，3，4，6，i，m

，。第二十四頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一32個(gè)晶體學(xué)點(diǎn)群由上述的8種獨(dú)立的宏觀對(duì)稱元素按一定的規(guī)則（即對(duì)稱元素至少要通過(guò)一個(gè)公共點(diǎn)；組合時(shí)不能出現(xiàn)5次軸及大于6的對(duì)稱軸）進(jìn)行組合，總共有32種組合形式，稱為32個(gè)晶體學(xué)點(diǎn)群。晶體的宏觀外形不論形狀如何，必屬于這32個(gè)晶體學(xué)點(diǎn)群中的某一個(gè)。第二十五頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一對(duì)稱性的高低晶系特征對(duì)稱元素晶胞類型點(diǎn)群對(duì)稱元素序號(hào)熊夫里斯記號(hào)國(guó)際記號(hào)低三斜無(wú)12單斜

或m345

2/m

正交兩個(gè)互相垂直的m或三個(gè)互相垂的67

8中四方910

11

127個(gè)晶系和32種晶體學(xué)點(diǎn)群的劃分第二十六頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一對(duì)稱性的高低晶系特征對(duì)稱元素晶胞類型點(diǎn)群對(duì)稱元素序號(hào)熊夫里斯記號(hào)國(guó)際記號(hào)中四方131415三方菱面體晶胞161718六方晶胞1920續(xù)表：第二十七頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一對(duì)稱性的高低晶系特征對(duì)稱元素晶胞類型點(diǎn)群對(duì)稱元素序號(hào)熊夫里斯記號(hào)國(guó)際記號(hào)中六方21222324622252627高立方在立方的體對(duì)角線方向2829303132續(xù)表：第二十八頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一晶體點(diǎn)群的記號(hào)晶系123立方Cubicaa＋b＋ca＋b六方hexagonalca2a＋b四方tetragonalcaa＋b三方rhombohetrona＋b＋ca－b――正交orthorhombicabc單斜monoclinicb――――三斜anorthic第二十九頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一舉例簡(jiǎn)單立方體的表示：432正四方體(c>a=b)的表示：422或4mm正三方的表示：32第三十頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一D2h－PmnlD2h是點(diǎn)群的熊夫利記號(hào);國(guó)際記號(hào)：P為簡(jiǎn)單點(diǎn)陣;mnl表示晶體中3個(gè)方向的對(duì)稱性。討論鈦酸鋇在各種溫度下的結(jié)構(gòu)及其表示：第三十一頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一附錄國(guó)際符號(hào)根據(jù)各種晶類的對(duì)稱性可以是三項(xiàng)、或二項(xiàng)、或一項(xiàng)符號(hào)組成，它分別表示晶體某三個(gè)、或二個(gè)、或一個(gè)方向上的對(duì)稱元素。如果在某一個(gè)方向上，同時(shí)具有對(duì)稱軸和垂直于此軸的對(duì)稱面，則寫成分?jǐn)?shù)形式。如2/m,4/m。第三十二頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一熊夫利斯（Sch?enfles）符號(hào)Cn：字母表示旋轉(zhuǎn)的意思，組標(biāo)n表示旋轉(zhuǎn)的次數(shù)，n=1、2、3、4、6。例如C2代表二次旋轉(zhuǎn)軸。Cnh：表示除了n次旋轉(zhuǎn)軸外，還包括一個(gè)與此軸垂直的對(duì)稱面。（2/m）Cnv：表示除了n次旋轉(zhuǎn)軸外，還包括一個(gè)與此軸重合（即平行）的對(duì)稱面。Cni：表示除了n次旋轉(zhuǎn)軸外，還包括一個(gè)對(duì)稱中心。第三十三頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一Ci：表示有一個(gè)對(duì)稱中心。S4：表示有一個(gè)四次旋轉(zhuǎn)倒反軸。Dn：表示除了n次主旋轉(zhuǎn)軸外，還包括n個(gè)與之軸垂直的二次旋轉(zhuǎn)軸。Dnh：表示除了Dn的對(duì)稱性外，還包括一個(gè)與主旋轉(zhuǎn)軸垂直的對(duì)稱面，和n個(gè)與二次旋轉(zhuǎn)軸重合（即平行）的對(duì)稱面。Dnd：表示除了Dn的對(duì)稱性外，還包括n個(gè)平分兩個(gè)二次旋轉(zhuǎn)軸夾角的對(duì)稱面。第三十四頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一T：除了四個(gè)三次旋轉(zhuǎn)軸外，還包括三個(gè)正交的二次旋轉(zhuǎn)軸。Th：除了T的對(duì)稱性外，還包括與二次旋轉(zhuǎn)軸垂直的三個(gè)對(duì)稱面。Td：除了T的對(duì)稱性外，還包括六個(gè)平分兩個(gè)二次旋轉(zhuǎn)軸夾角的對(duì)稱面。O：包括三個(gè)互相垂直的四次旋轉(zhuǎn)軸，六個(gè)二次旋轉(zhuǎn)軸，和四個(gè)三次旋轉(zhuǎn)軸。Oh：除了O的對(duì)稱性外，還包括Td與Th的對(duì)稱面。第三十五頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一國(guó)際符號(hào)由兩部分組成空間群的國(guó)際符號(hào)由兩部分組成:第一部分為大寫字母：P：原始格子、O：心，A：100、B：010、C：001I：體心、F：面心、R：菱面體第二部分為對(duì)稱類型的國(guó)際符號(hào)第三十六頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一部分規(guī)則符號(hào)：/m:表示反映面與主軸垂直。如3/m:表示垂直于3重旋轉(zhuǎn)軸的面；m:表示反映面與主軸平行。此時(shí)c2與m等價(jià)。體心立方的長(zhǎng)方體：選擇參量是c,a,a+b對(duì)應(yīng)的是4,2,2。第三十七頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一極射球的對(duì)稱操作黑點(diǎn)表示平面外面點(diǎn)，圓圈表示平面里面點(diǎn)在平面的投影上橫線表示投射i：點(diǎn)變圓圈；m表示面，在分子時(shí)面與軸平行，在分母時(shí)表示面與軸垂直，用一條黑線（直徑）表示。旋轉(zhuǎn)軸的表示也有兩種，中心點(diǎn)的符號(hào)與紅線加兩端的符號(hào)表示。

第三十八頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一第三十九頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一BaTiO3的XRD衍射圖四方tetragonal結(jié)構(gòu)的軸：caa＋bP4mm4mm第四