精編版必修5-第一章-正弦定理和余弦定理-知識(shí)點(diǎn)及典型例題

5定理和余弦定理-知識(shí)點(diǎn)及典型例題-如有最新好資料推薦-如有最新好資料推薦侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除-如有精品-如有精品好資料侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除正弦定理和余弦定理要點(diǎn)梳理a b c正弦定理

A B C

2R其中 R是 三角形外接圓的半徑．由正弦定理可以變形為：∶∶＝sin∶nB∶nC；a＝2Rsin，b＝2RsinB，＝2Rsin；sin＝ a，sinB＝ b，sin＝

等形式，以解決不同的三角形問題．2R 2R三角形面積公式S△AB＝1 1

2R1 abc 12absin可由此計(jì)算 R、r.

bcsin

2acsin

4R

2a＋b＋r(r是三角形內(nèi)切圓的半徑，并余弦定理：BC.余弦定理可以變形為：b2c2a2

a2c2b2

a2b2c2sA＝

2bc

，cosB＝

2ac

，cosC＝

2ab .在解三角形時(shí)，正弦定理可解決兩類問題：已知兩角及任一邊，求其它邊或角；(2)已知兩邊及一邊的對(duì)角，求其它邊或角．情況(2)中結(jié)果可能有一解、二解、無解，應(yīng)注意區(qū)分．余弦定理可解決兩類問題：已知兩邊及夾角或兩邊及一邊對(duì)角的問題；(2)已知三邊問題．基礎(chǔ)自測(cè)31．在△ABC中，若 ＝1，＝ 3，＝2π，則 a＝ 1 .3CCb26＝ 10在△C中，若 B＝ 5，＝5，且sC＝ 9，則 B＝ 4或5.10222c6 2( C )222222

．821 C32C.已知兩邊及一對(duì)角或已知兩角一，可利用正弦定理解這個(gè)三角形，但要注意解的判斷．a(chǎn): 由正弦定理得

＝ b ， 3＝ 2 ，sinA

sinB

sin

sin45°3∴sin3

2.∵a>b，∴A＝60°或A＝120°.nC 2°°nB2 ；nC 2°°°nB2 .(1)兩可第這樣只需直代入即可．(2)兩和時(shí)另時(shí)要注意討論這是難點(diǎn)應(yīng)引起注意．1c是CC3＋A＝6∵A＋C＝2B，∴B＝π. 由正弦定理知 sinA＝asin3 b 2.二 余

bcosB 2 CcC且s2a（1）B大??；3＋C

c.由余弦定理知：sa2＋b2－

2＋2－b22ac ，s＝－ b 得：cos

2ab .將上式代入cosC

2a＋ca2＋2－b22ac ·

2ab ＝－ b ，＋b－ca2 2 2

2a＋c整理得：a

＋c－b＝－

a2＋2－b2 －c1sB＝ ＝12 2

∴ 2ac 2ac＝－2.3∵B為，∴＝2π.32＝)將＝ 3，＝，＝3π入＝2＋2－2s得2＝＋2－a－2acos，1＝16＝1－＝－2a 1，a＝3∴S1－＝

B 3 3. 2

△ABC 2 4A練2知、、C△ABC的三個(gè)內(nèi)角，其所對(duì)的邊分別為、、且 2 .(1)求角A的值； 若a＝2 求△ABC的面積．A 1..

2cos2

s0，得 ＋sA＋sA＝0，即sA＝－2 23∵0<A<π，∴A＝2π.(2)由余弦定理得，3a2＝b2＋－2s，＝2π，則a2＝＋－，又a＝2 3，b＋＝4，3nA＝ 有＝－b，則b＝，故△nA＝ 2三 正、余弦定理的綜合應(yīng)用例 3.在中，abc分別是角ABC的對(duì)邊知2

A2C)(aB,2△ABC外接圓半徑為 .2（1）求角 C的大?。?（2）求△ABC面積的最大值.解:（1）∵△ABC外接圓半徑為 22 2A2C)(ab)sinB,(2 2

2

(2 2C)2

(ab)2 2B

a2c2

(ab)b,即a2b2c2ab,由余弦定理得：

C

a2b2c2

ab 1C0,)C.33S 33

2ab

2ab 2 3（2） 23CC.2 π

b3CnAn2C3＝，＝，3由余弦定理 2＝a＋b－2bsC得 a2＋b－＝.又C的面積為 3，1 a2＋b2－＝，bn＝ 3，b＝.聯(lián)立方程組

解得 a＝2，b＝2.2 b＝，由 n＋－A＝n2，得 A＋B＋－A＝nsA，即 nBsA＝nAsA，sAnA－nB＝0，s＝0或 nA－n＝0，當(dāng) sA＝0時(shí)，A，＝，C為直角三角形；2當(dāng) n－nB＝0時(shí)，得 nB＝nA，由正弦定理得 a＝b，即C為等腰三角形．C為等腰三角形或直角三角形．思想方法 感悟提高正、余弦定理和三角形面積公式是本節(jié)課的重點(diǎn)，利用三角形內(nèi)角和、邊、角之間的關(guān)系，三角函數(shù)的變形公式去判斷三角形的形狀，求解三角形，以及利用它們解決一些實(shí)際問題．應(yīng)熟練掌握和運(yùn)用內(nèi)角和定理：A＋B＋C＝π，A＋B＋C＝π中互補(bǔ)和互余的情況，結(jié)合誘導(dǎo)公式可以減少角的種數(shù)．

2 2 2 2正余定理的公式應(yīng)運(yùn)用，正余定理結(jié)合得n2A＝n2B＋nC－nB·nC·A，可以．根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑：(1)化邊為角；(2)()定理實(shí)施邊、角轉(zhuǎn)換．與防范在利用正弦定理解已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而求出其他的邊和角時(shí)，有時(shí)可能出現(xiàn)一解、兩解或無解，所以要進(jìn)行分類討論．過關(guān)精練1△C，＝°，＝4 ，＝4 2則B于( )°或° ° ° 3△ABC中，若則角C的度數(shù)是( ° °或° ° °3在

，bc20,S 5ABC

的外接圓半徑為

，則a

（ ）3．1 ．2 ．3 ． 332在

中，已知b

2,c1,B45,則a等于（ ）66 2262262

1 D． 322在 22

BA

A等于（ ）．0° B．0° C．0° D．0°在

中， a:b:c3:5:7， 則這個(gè)三角形的最大角為（ ）． 3

90

．12

． 6在△ABC中,已知三邊之比a:b:c2:3:4，則

A

B（ ）．1 B ．2 C． 2 D． 12

sin2C

中，邊a

,b,

的角為 A、B、C，且

a3b， （ ）21 2

1 3

2 D． 33 4二、填空題在△ABC中,已知2sinAcosB=sinC,那么△ABC的形狀是 三角形在角△C中，a，b，c為角 A，，C的，且 3a＝2sinA，則角 C＝ .在△ABC中，邊a，b，c的對(duì)角分別為A、B、C，且2B= 。三、解答題

A2C

A

B。則角12．(12分)已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，A