第十章對策論與極大極小控制

10.1概述

前面各章討論的極值控制（時(shí)間最小，燃料最省等）都由一個(gè)控制方所決定，可稱為單方控制問題。在實(shí)際情況中，往往存在著利害沖突的雙方。如甲方（追逐導(dǎo)彈）要攻擊乙方（飛機(jī)），甲方采取最優(yōu)策略使脫靶量最小，而乙方采取最優(yōu)逃逸策略使脫靶量最大，這是雙方控制問題。討論矛盾沖突活動(dòng)中，局中雙方采取何種合理的策略而使自己處于“優(yōu)越”地位的理論稱為對策論。當(dāng)前1頁，總共120頁。

對策論又稱為博弈論（GameTheory），是由馮?諾依曼（JohnVonNeumann）和奧?摩根斯特思（OskerMorgenstern）于1944年首先創(chuàng)立的，它在經(jīng)濟(jì)競爭、軍事沖突中獲得了廣泛的應(yīng)用。微分對策研究的是動(dòng)態(tài)情況下的對策理論。它是由依蕯克斯（RIsaacs）首先創(chuàng)立的。在二次世界大戰(zhàn)期間，由美國空軍贊助，美國蘭德公司組織了以依蕯克斯博士為首的研究小組開展了對抗雙方都能自由決策行動(dòng)的追逃問題的研究。1965年，依蕯克斯將研究成果整理出版了《微分對策》一書，此書的出版標(biāo)志了微分對策的正式誕生。當(dāng)前2頁，總共120頁。本章將先討論離散對策（又稱矩陣對策，策略取離散值）和連續(xù)對策（策略取連續(xù)值），進(jìn)而討論本章的重點(diǎn)——微分對策（用微分方程描述的動(dòng)態(tài)情況下的對策）。當(dāng)前3頁，總共120頁。

10.2離散對策（矩陣對策）

對策的極小極大值（純策略解）

在對策中雙方必然會(huì)考慮到對方會(huì)使自己的支付最大，所以應(yīng)從最壞的方案著手，去爭取最好的結(jié)果，即對策的雙方都是理智的，他們都考慮對方會(huì)用什么對策。這里我們討論的情況是對方的支付就是自己的贏得，支付與贏得之和為零，故稱零和對策。當(dāng)前4頁，總共120頁。設(shè)厲害沖突雙方

和（局中人）各有一套策略，即和，

，

。與每一對策略(,)相對應(yīng)，產(chǎn)生出一個(gè)支付：。方力圖使支付最大，而方則試圖使之最小。由可構(gòu)成一個(gè)支付矩陣。設(shè)

,一個(gè)支付矩陣的例子如圖10-1所示當(dāng)前5頁，總共120頁。圖10-1離散對策的簡單例子當(dāng)前6頁，總共120頁。假設(shè)（求極大值者）先開局，若選擇策略，這時(shí)的值為，因,故隨后

方會(huì)選擇

使。另一方面，方若選擇

，這時(shí)的值為，。比較的結(jié)果，有，所以方應(yīng)選擇

，這是有“較大極小值”的第二列。這時(shí)不管

方選或，的贏得不會(huì)小于。當(dāng)前7頁，總共120頁。再假設(shè)

先開局，類似地，選

時(shí),選

時(shí),而，故

方應(yīng)選擇策略這是有“較小極大值”7的第一行。這時(shí)不管

方取何策略，

方的贏得不會(huì)大于7。當(dāng)前8頁，總共120頁。這樣不管誰先開局，最優(yōu)對策為，相應(yīng)的支付為。即我們有（先開局）（先開局）（10-1）以及（10-2）這時(shí)，不管誰先開局都存在唯一的最優(yōu)對策解，稱為極小極大解或最優(yōu)純策略解。這是由Nash首先提出的，故又稱為Nash平衡解。當(dāng)前9頁，總共120頁。圖10-2開局先后造成差異的離散對策應(yīng)該注意到，當(dāng)支付矩陣取不同值時(shí)，可能不存在極小極大解，即不滿足（10-1）式。例如，將圖1中的改為11，得到下面的支付矩陣當(dāng)前10頁，總共120頁。即，不存在極小極大解。若

先開局，因選

時(shí),選擇

時(shí),故應(yīng)選

，即具有較大極小值“7”的第二列，隨后

選擇

,得支付為7。若

先開局，同理他應(yīng)選

，即具有較小極大值“9”的第二行，隨后

選擇

,得支付為9。這時(shí)（10-3）（先開局）（先開局）當(dāng)前11頁，總共120頁。10.2.2混合策略當(dāng)不存在最優(yōu)純策略解（極小極大解）時(shí)，可以采用混合策略。這時(shí)局中人分別以不同的概率來混合選取純策略。設(shè)

以概率

使用策略，以概率使用策略

；

以概率使用策略

，以概率使用策略

。仍用圖10-2所示的例子期望支付為

（10-4）當(dāng)前12頁，總共120頁。

（10-5）從上式可見，當(dāng)

先開局，取

時(shí)，

方的最小期望支付為8，他不能期望比這更小的支付，因?yàn)?/p>

方會(huì)取使得

的支付

不小于8，因此8是

方所期望的最小支付。而

的支付就是

的贏得，因此的最大期望贏得也是8，他不能期望有更大的贏得，因?yàn)闀?huì)取

使得

的贏得不大于8，這樣就有這種對策稱為概率的混合對策，而就是最優(yōu)對策解。當(dāng)前13頁，總共120頁。上述求解最優(yōu)對策的過程可以化為求解一組不等式。設(shè)

的期望最小支付（即

的期望最大贏得）為

(上例中

)，于是有（10-6-a）

（固定用，可選）（固定用，可選）（10-6-b）

（固定用，可選）（固定用，可選）（10-6-c）當(dāng)前14頁，總共120頁。用圖形表示上述兩組不等式的求解，如圖10-3所示圖10-3不等式求解示意圖求解的結(jié)果是

。不難發(fā)現(xiàn)，上述一組不等式的求解與線性規(guī)劃理論有緊密聯(lián)系。當(dāng)前15頁，總共120頁。10.2.3矩陣對策存在極小極大解的條件（10-7）設(shè)對策的支付矩陣為，此時(shí)方力圖使支付最大，而方則試圖使之最小。

當(dāng)前16頁，總共120頁。（10-8）對局中人

來講，對

中的每一列取其中的最小值(最壞情況)，再從這些列的最小值中取最大值，得(最壞情況下的最好的結(jié)果)。對局中人

來講，則對

中的每一行取其中的最大值,再從這些行的最大值中取最小值，得。如果當(dāng)前17頁，總共120頁。是對策值，則稱存在極小極大解，對應(yīng)的第行，第

列的對策或簡寫為稱為對策的最優(yōu)解（或稱最優(yōu)純策略）。注意，對策的解不一定唯一，即可能存在多于一個(gè)的

或使（10-8）式成立。下面給出（10-8）式成立的條件。當(dāng)前18頁，總共120頁。引理1

對任一對策（不一定最優(yōu)）都有

上式可以表述為：最小中的最大值不大于最大中的最小值。（10-9）當(dāng)前19頁，總共120頁。證明由極值的定義，都有（10-10）從而有由于（10-10）式左端已與無關(guān)，故有又由于上式的右端與任何都無關(guān)，故有引理1得證。當(dāng)前20頁，總共120頁。定理1零和矩陣對策有極小極大解的充要條件是：存在一個(gè)最優(yōu)對策解使

對一切

都成立。（10-11）當(dāng)前21頁，總共120頁。證明先證充分性。因?yàn)閷σ磺芯泄视校?0-12）而由（10-12）式左邊，可得（10-13）上式右端表示

方先開局已選了

策略，使盡可能大（可能不是保守的），方再選擇策略使盡可能小。當(dāng)前22頁，總共120頁。由（10-12）式右邊，可得從而可得（10-15）（10-14）再結(jié)合引理1，可得這就證明了，滿足條件（10-11）后，即可得到矩陣對策的最優(yōu)解。（10-16）當(dāng)前23頁，總共120頁。而再來證明必要性。既然假設(shè)存在最優(yōu)對策解，則可找到在

時(shí)達(dá)到最小，而在時(shí)達(dá)到最大，即當(dāng)前24頁，總共120頁。從而有這就得出了對一切

成立。定理完全得證。當(dāng)前25頁，總共120頁。例10-1：給定矩陣對策的支付矩陣為當(dāng)前26頁，總共120頁。由于各列中的極小為（5,-1,5,0），其中的最大值為5，故又由于各行中的極大為（8,5,7,5），其中的最小值為5，故當(dāng)前27頁，總共120頁。顯然有即存在極小極大解，而且都是對策解，即由上例可見，對策的值為5這是唯一的，而對策的解卻可以是不唯一的。當(dāng)前28頁，總共120頁。10.3連續(xù)對策若

與

的選擇為連續(xù)值時(shí)（即可有無限個(gè)對策），則有一個(gè)連續(xù)的支付函數(shù)

，而非離散的支付矩陣

現(xiàn)在要找一對最優(yōu)的使得上式表明是

的一個(gè)鞍點(diǎn)，鞍點(diǎn)可用圖10-4表示。

有鞍點(diǎn)的必要條件為(10-17)當(dāng)前29頁，總共120頁。充分條件為（10-18）圖10-4連續(xù)對策的鞍點(diǎn)當(dāng)前30頁，總共120頁。例10-2設(shè)對策的支付函數(shù)為

要選取策略使

最小，而

則要使

最大，求最優(yōu)對策解，即鞍點(diǎn)的值。當(dāng)前31頁，總共120頁。且解：故確實(shí)是的鞍點(diǎn)。并且有當(dāng)前32頁，總共120頁。下面的支付函數(shù)就不存在鞍點(diǎn)，因?yàn)椤＃ù嬖谶@種情形的原因是中存在交叉積項(xiàng)，這使得

不能分成二項(xiàng)，一項(xiàng)僅與

有關(guān)，另一項(xiàng)僅與

有關(guān)。）對于不存在鞍點(diǎn)的情況，可以采用類似于矩陣對策中的概率混合對策。當(dāng)前33頁，總共120頁。10.4微分對策用微分方程描述的動(dòng)態(tài)過程受到雙方對策控制的理論和方法稱為微分對策。20世紀(jì)50年代以來，由于導(dǎo)彈攔截飛行器等軍事上的需要，美國蘭德（Rand）公司在空軍贊助下，以依薩克斯博士為領(lǐng)導(dǎo)開始了這方面的研究，他們將現(xiàn)代控制理論中的一些概念和原理引入到對策論中，取得了重大的進(jìn)展。當(dāng)前34頁，總共120頁?，F(xiàn)在，微分對策已引起世界各國的廣泛關(guān)注，特別是一些軍事強(qiáng)國。在導(dǎo)彈攔截，電子戰(zhàn)，火力配置等軍事領(lǐng)域和商業(yè)競爭，招標(biāo)與投標(biāo)，資源開發(fā)與環(huán)境污染等經(jīng)濟(jì)和社會(huì)領(lǐng)域中，微分對策都可以發(fā)揮其作用。當(dāng)前35頁，總共120頁。10.4.1微分對策的提法及指標(biāo)函數(shù)（類似于前面的支付函數(shù)）終端約束給定動(dòng)態(tài)系統(tǒng)（10-19）（10-20）當(dāng)前36頁，總共120頁。（10-21）對于甲方，選

，使

取最小可能的值；對于乙方，選

，以使

取最大可能的值，亦即尋求對策的最優(yōu)解使是

的鞍點(diǎn)，

和

分別稱為甲、乙的最優(yōu)策略，

稱為（雙方零和）最優(yōu)微分對策值。從微分對策問題的描述和最優(yōu)策略的定義可以看出，微分對策問題和最優(yōu)控制問題緊密相關(guān)，可以想象兩者的處理方法也應(yīng)該十分相似的。當(dāng)前37頁，總共120頁。下面我們將給出微分對策問題最優(yōu)策略所應(yīng)滿足的必要條件，即雙方極值原理；并將證明當(dāng)哈密頓函數(shù)和性能指標(biāo)函數(shù)可分解為兩部分，一部分只與有關(guān)，另一部分只與有關(guān)時(shí)，則這個(gè)必要條件也就是充分條件。當(dāng)前38頁，總共120頁。（10-23）定理2雙方極值原理——最優(yōu)策略的必要條件引入哈密頓函數(shù)和增廣性能指標(biāo)函數(shù)（10-22）當(dāng)前39頁，總共120頁。如果是雙方零和微分對策問題（10-19）～（10-20）的最優(yōu)解，即為鞍點(diǎn)，則

一起滿足（10-25）②（10-24）①當(dāng)前40頁，總共120頁。（10-26）③④（10-27）當(dāng)前41頁，總共120頁。

證明上述雙方極值原理的證明分三步。先給出關(guān)于的極大值原理，再給出關(guān)于的極小值原理，最后將前兩步組合起來，給出雙方極值（極大極?。┰怼?）關(guān)于的極小值原理——最優(yōu)控制問題（一）狀態(tài)方程為終端約束（10-28）當(dāng)前42頁，總共120頁。指標(biāo)函數(shù)（10-29）（10-30）對取極小。即尋求

，使?jié)M足對于上面的最優(yōu)控制問題（一），引入哈密頓函數(shù)（10-31）當(dāng)前43頁，總共120頁。根據(jù)第四章中的極小值原理，知取極小值的必要條件是

和

滿足（10-32）①正則方程②邊界條件（10-33）當(dāng)前44頁，總共120頁。③橫截條件（10-34）④最優(yōu)終端時(shí)刻條件（10-35）⑤在最優(yōu)軌線

和最優(yōu)控制

上，哈密頓函數(shù)取極小值（10-36）當(dāng)前45頁，總共120頁。2）關(guān)于

的極大值原理——最優(yōu)控制問題（二）終端約束狀態(tài)方程為（10-37）指標(biāo)函數(shù)（10-38）對取極大。即尋求，使?jié)M足（10-39）當(dāng)前46頁，總共120頁。對于上面的最優(yōu)控制問題（二），引入哈密頓函數(shù)（10-40）于是取極大值的必要條件是：

和

滿足①正則方程（10-41）②邊界條件（10-42）當(dāng)前47頁，總共120頁。③橫截條件（10-43）④最優(yōu)終端時(shí)刻條件（10-44）⑤在最優(yōu)軌線

和最優(yōu)控制

上，哈密頓函數(shù)取極大值（10-45）當(dāng)前48頁，總共120頁。3）雙方極值（極大極?。┰碛桑?0-19）、（10-20）描述的微分對策問題的哈密頓函數(shù)為（10-46）考察前面極大和極小控制的拉格朗日變量和所滿足的方程（10-32）和（10-41），有

（10-47）當(dāng)前49頁，總共120頁。

（10-48）和由（10-47）、（10-48）可見，和滿足相同的線性非齊次方程，且其終端條件相同。根據(jù)線性非齊次方程的終值問題的唯一性定理知當(dāng)前50頁，總共120頁。令（10-49）再由哈密頓函數(shù)和取極值的表達(dá)式（10-36）和（10-45）可得上式可寫成（10-50）當(dāng)前51頁，總共120頁。類似于（10-13）、（10-14），有（10-51）（10-52）聯(lián)合（10-50）、（10-51）和（10-52），可得（10-53）當(dāng)前52頁，總共120頁。另一方面，將矩陣對策中的引理1——關(guān)于“最小中的最大不大于最大中的最小”的結(jié)論用于，得（10-54）聯(lián)合（10-53）和（10-54），即得（10-55）上式即雙方極值原理最優(yōu)策略的必要條件中的（10-26）式。根據(jù)（10-47）～（10-49）式，可以得到必要條件中的其它幾個(gè)式子。當(dāng)前53頁，總共120頁。注：當(dāng)為開集，關(guān)于變元都是二次連續(xù)可微的，則雙方極值原理中的（10-26）或（10-55）式與下列一組關(guān)系式等價(jià)：（10-56）當(dāng)前54頁，總共120頁。上面所證明的雙方極值原理是先假設(shè)存在最優(yōu)策略所滿足的鞍點(diǎn)條件（10-21），然后將鞍點(diǎn)條件拆成兩個(gè)不等式（10-30）和（10-39），利用極小值原理和極大值原理得到兩個(gè)最優(yōu)解所滿足的必要條件，再將它們結(jié)合起來得到極大極小解（最優(yōu)策略）的必要條件。下面來討論，在什么情況下這些必要條件也是充分條件。當(dāng)前55頁，總共120頁。10.4.2最優(yōu)策略的充分條件當(dāng)狀態(tài)方程和性能指標(biāo)可分解為一部分僅與策略有關(guān)，另一部分僅與策略有關(guān)，則可證明（10-24）～（10-27）所示的最優(yōu)策略的必要條件也是充分條件，也就是可滿足指標(biāo)鞍點(diǎn)條件（10-21）。當(dāng)前56頁，總共120頁。定理3設(shè)狀態(tài)方程為（10-57）性能指標(biāo)為（10-58）其中

對連續(xù)。

是常向量，

固定。

關(guān)于變元

都是連續(xù)的，而關(guān)于都是連續(xù)可微的。當(dāng)前57頁，總共120頁。相應(yīng)于的軌跡為

，它們滿足（10-59）哈密頓函數(shù)為（10-60）若一起滿足條件（10-24）～（10-27），將條件（10-26）寫成則必是對策的最優(yōu)策略。（10-61）當(dāng)前58頁，總共120頁。證明任取

，記狀態(tài)方程（10-57）相對于的解為

，它滿足（10-62）注意到由（10-60）式可得（10-63）當(dāng)前59頁，總共120頁。利用（10-59）、（10-62）和（10-63），可得當(dāng)前60頁，總共120頁。將上式從積分到，且注意到和，可得當(dāng)前61頁，總共120頁。將上式左右積分號下同減得當(dāng)前62頁，總共120頁。將（10-58）與（10-60）代入上式，得（10-63）注意到（10-61）式，可得（10-64）當(dāng)前63頁，總共120頁。同理，若任取

，記狀態(tài)方程相對于的解為

，則可以推得（10-65）式（10-64）和（10-65）說明鞍點(diǎn)條件（10-21）成立，確實(shí)是最優(yōu)策略，充分性得證。當(dāng)前64頁，總共120頁。設(shè)追逐者的控制量是它的加速度

，它垂直于指向逃逸者的初始視線。逃逸者的控制量為它也垂直于初始視線。設(shè)

是垂直于初始視線的追—逃者之間的相對位置，

為其相對速度（見圖10-5）。則相對運(yùn)動(dòng)的微分方程為例10-3加速度有限時(shí)的追—逃問題（10-66）

當(dāng)前65頁，總共120頁。圖10-5追—逃問題示意圖追逐者希望使用（其控制量決策）

使終端脫靶量最??；而逃逸者則希望使用控制量

使得最大。故性能指標(biāo)可選為（10-67）當(dāng)前66頁，總共120頁。下面來尋求最優(yōu)對策解。首先構(gòu)成哈密頓函數(shù)，令追逐者和逃逸者的加速度都有限：（10-68）則（10-69）當(dāng)前67頁，總共120頁。共軛方程為注意到這里哈密頓函數(shù)是控制量

和

的線性函數(shù)。于是，（10-70）而最優(yōu)策略可由（10-69）式所示的哈密頓函數(shù)取極值得到，為（10-71）當(dāng)前68頁，總共120頁。將（10-70）積分，得（10-72）由上式，有（10-73）將（10-73）代入（10-72）和（10-71），并將所得的

和

代入運(yùn)動(dòng)方程（10-66），再積分之，可得其解為：（10-74）當(dāng)前69頁，總共120頁。由上式右端可見，若這表明由初始相對速度引起的位移大于由于機(jī)動(dòng)加速度引起的位移。則從（10-74）可得出解

反之，若則可得出解

。當(dāng)前70頁，總共120頁。于是有（10-75）式中，可將最優(yōu)策略

看成

，

為

；令非最優(yōu)策略為因?yàn)?，由?0-75）可得出所以鞍點(diǎn)條件滿足。即當(dāng)前71頁，總共120頁。（10-74）無解。事實(shí)上，對于（10-76）這樣的初始條件范圍，追逐者總有可能使脫靶量為零。注意，對于（10-76）（10-77）便可做到這一點(diǎn)。這種問題已不是雙方對策問題了。例如，只要選擇

使當(dāng)前72頁，總共120頁。設(shè)A為攔截衛(wèi)星，B為目標(biāo)衛(wèi)星。A欲控制自己，使在給定時(shí)間內(nèi)盡可能接近B；B則控制自己，使在此時(shí)間內(nèi)盡可能遠(yuǎn)離A。例10-4近地圓形軌道上的衛(wèi)星攔截問題A、B兩衛(wèi)星的相對運(yùn)動(dòng)可用下面的狀態(tài)方程表示（10-78）當(dāng)前73頁，總共120頁。式中，

是兩衛(wèi)星之間的相對距離在直角坐標(biāo)系上的投影分量；是衛(wèi)星運(yùn)行的角速率；分別為作用在A、B衛(wèi)星上的單位質(zhì)量所受的推力幅值；

是在直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)方向角；是直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)方向角。性能指標(biāo)是終端時(shí)間的相對距離的平方，即（10-79）對于衛(wèi)星A，將選

使

盡可能??；對B，則將選

使得

盡可能大。當(dāng)前74頁，總共120頁。求解過程如下：哈密頓函數(shù)，共軛方程及其他邊界條件可求得為（10-80）當(dāng)前75頁，總共120頁。（10-81）當(dāng)前76頁，總共120頁。（10-82）當(dāng)前77頁，總共120頁。（10-83）由于對

連續(xù)，雙方極值原理可由（10-56）式給出。因?yàn)楫?dāng)前78頁，總共120頁。由和分別可得由此可得（10-84）或當(dāng)前79頁，總共120頁。由和可分別求得考慮到（10-84）式，又可得或（10-85）當(dāng)前80頁，總共120頁。下面來驗(yàn)證哈密頓函數(shù)對

的二階導(dǎo)數(shù)的符號（10-86）當(dāng)前81頁，總共120頁。當(dāng)

時(shí)，只要（10-87）就給出即滿足鞍點(diǎn)條件，所以在滿足條件（10-84）時(shí)即為雙方極值原理的最優(yōu)策略。當(dāng)前82頁，總共120頁。二者具有相同符號，故不滿足雙方極值原理。當(dāng)

時(shí)，可得到當(dāng)前83頁，總共120頁。10.5線性二次微分對策考慮追逐、逃逸雙方各自的線性狀態(tài)方程為（10-88）（10-89）式中，下標(biāo)

代表追逐者（pursuer）和逃逸者（evader）。追逐者利用控制

力圖捕獲逃逸者，而逃逸者利用控制

力圖避免被捕獲。這就是說，追逐者要使終端脫靶量最小，而逃逸者則要使它最大。當(dāng)前84頁，總共120頁。脫靶量用加權(quán)二次型給出為（10-90）另一方面，設(shè)控制變量服從下面的積分二次約束（10-91）（10-92）當(dāng)前85頁，總共120頁。在追逐—逃逸過程中，雙方都要使用他們能用的一切控制量，因此約束（10-91）、（10-92）應(yīng)取等式。將（10-90）、（10-91）、（10-92）組合起來可得下面的性能指標(biāo)（10-93）其中陣非奇異，。當(dāng)前86頁，總共120頁。方選擇

使

達(dá)到極小，而方選擇

使

達(dá)到極大。上述問題稱為線性二次微分對策問題。為了求解此問題，首先從雙方的狀態(tài)方程獲得它們之間的相對運(yùn)動(dòng)方程。定義相對運(yùn)動(dòng)

為（10-94）當(dāng)前87頁，總共120頁。其中，是性能指標(biāo)中的加權(quán)陣的因子，和分別為和的基本解陣，故滿足（10-95）當(dāng)前88頁，總共120頁。式（10-94）對

求導(dǎo)，并注意到狀態(tài)方程（10-88）和（10-89）以及（10-94），可得（10-96）（10-97）式中于是，性能指標(biāo)可變?yōu)椋?0-98）當(dāng)前89頁，總共120頁。（10-99）下面來求解此線性二次微分對策問題。為此引入哈密頓函數(shù)當(dāng)前90頁，總共120頁。（10-100）由雙方極值原理，知共軛方程和橫截條件為因?yàn)閷?/p>

是二次連續(xù)可微的，最優(yōu)解應(yīng)滿足：當(dāng)前91頁，總共120頁。由上二式可解出（10-101）故使H達(dá)到極大，使達(dá)到極小。確實(shí)為極小極大解。當(dāng)前92頁，總共120頁。由于相對運(yùn)動(dòng)方程（10-96）、共軛方程（10-100）都是線性的，求解和的兩點(diǎn)邊值問題為線性的，可以采用第五章中的掃描法。令（10-102）將上式兩邊對

求導(dǎo)當(dāng)前93頁，總共120頁。因上式左端為零，且對任意的

均成立，故有（10-103）（10-104）由（10-102），和橫截條件，故得出（10-100），當(dāng)前94頁，總共120頁。（10-103）是一個(gè)關(guān)于

的黎卡提型微分方程。由對

連續(xù)和為正定的假設(shè)，帶終端條件（10-104）的黎卡提微分方程（10-103）有唯一解；且由（10-104）知故有。當(dāng)前95頁，總共120頁。下面給出

解的解析式。因?yàn)閷⑸鲜綇?/p>

到積分，并注意，可得當(dāng)前96頁，總共120頁。上式即為的解析解。注意到，于是有（10-105）（10-106）將（10-102）代入（10-101），得這樣，

成為

的函數(shù)，即構(gòu)成了一種反饋控制。當(dāng)前97頁，總共120頁。下面來驗(yàn)證

確實(shí)滿足鞍點(diǎn)條件：為此先求出

的表達(dá)式。注意到（10-96）、（10-103）式當(dāng)前98頁，總共120頁。將上式左右兩端從到積分，并注意到得（10-107）當(dāng)前99頁，總共120頁。顯然，當(dāng)使上式達(dá)到極小，故有當(dāng)時(shí)，有當(dāng)前100頁，總共120頁。另一方面，當(dāng)時(shí)，顯然，當(dāng)時(shí)，上式達(dá)到極大，故有綜合上面二種情況，可知滿足鞍點(diǎn)條件，而且最優(yōu)策略對應(yīng)的性能指標(biāo)為（10-108）當(dāng)前101頁，總共120頁。用導(dǎo)彈（追逐者）攔截空中目標(biāo)（逃逸者）時(shí)，末制導(dǎo)段常用的經(jīng)典導(dǎo)引律是比例導(dǎo)引。這里將用微分對策理論來推出比例導(dǎo)引律。例10-5攔截目標(biāo)的導(dǎo)引律圖10-6攔截問題運(yùn)動(dòng)示意圖當(dāng)前102頁，總共120頁。（10-109）（10-110）設(shè)導(dǎo)彈（

方）與目標(biāo)（

方）的運(yùn)動(dòng)方程分別為式中，分別為導(dǎo)彈與目標(biāo)的位置向量；分別為導(dǎo)彈與目標(biāo)的速度向量；分別為到導(dǎo)彈與目標(biāo)的控制加速度向量；分別為導(dǎo)彈與目標(biāo)的固有加速度，它們是由重力和氣動(dòng)力引起的，通?？烧J(rèn)為。兩維情況下導(dǎo)彈與目標(biāo)的幾何關(guān)系可用圖10-6表示。圖中

連線稱為視線，

稱為視線角。當(dāng)前103頁，總共120頁。這是一個(gè)線性二次微分對策問題?？紤]性能指標(biāo)（10-111）當(dāng)前104頁，總共120頁。

（10-112）因?yàn)槲覀儍H對相對運(yùn)動(dòng)感興趣，故可忽略。定義，由（10-109）、（10-110）可得出系統(tǒng)矩陣和控制矩陣為利用本節(jié)的結(jié)果可求解為下：于是（10-113）當(dāng)前105頁，總共120頁。因?yàn)樾阅苤笜?biāo)（10-108）中故（10-93）式中的。根據(jù)（10-94）式，相對運(yùn)動(dòng)

可表示為當(dāng)前106頁，總共120頁。記相對位置向量和相對速度向量