15 隱零點(diǎn)代換-高考數(shù)學(xué)精創(chuàng)資料

.隱零點(diǎn)代換與估計隱零點(diǎn)問題是函數(shù)零點(diǎn)中常見的問題之一，其源于含指對函數(shù)的方程無精確解，這樣我們只能得到存在性之后去估計大致的范圍（數(shù)值計算不再考察之列）.高考中曾多次考察隱零點(diǎn)代換與估計，所以本節(jié)我們做一個專門的分析與討論.一．基本原理第1步：用零點(diǎn)存在性定理判定導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的存在性，列出零點(diǎn)方程，并結(jié)合的單調(diào)性得到零點(diǎn)的范圍；第2步：以零點(diǎn)為分界點(diǎn)，說明導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，進(jìn)而得到的最值表達(dá)式；第3步：將零點(diǎn)方程適當(dāng)變形，整體代入最值式子進(jìn)行化簡，要么消除最值式中的指對項，要么消除其中的參數(shù)項，從而得到最值式的估計.下面我們通過實(shí)例來分析.二．典例分析1.隱零點(diǎn)代換例1.（2015四川卷）已知函數(shù).設(shè)為的導(dǎo)函數(shù)，試討論的單調(diào)性；證明：存在，使得在區(qū)間恒成立，且在內(nèi)有唯一解.分析：第（1）問常規(guī)操作.此處分析第（2）問.對于第二問的分析尤為重要，因?yàn)檫@個題目用常規(guī)的恒成立與零點(diǎn)處理手法很難奏效，畢竟的結(jié)構(gòu)是很復(fù)雜的.若要在區(qū)間恒成立等價于，而同時在內(nèi)有唯一解，這就表現(xiàn)，這才是這個題目的突破點(diǎn).既然要則在區(qū)間必然先減后增，于是函數(shù)的最小值不在端點(diǎn)處出現(xiàn)而是區(qū)間內(nèi)點(diǎn)，這就意味著最小值處導(dǎo)函數(shù)值為零.基于上面的分析，我們便可入手解題.解析：由，得．代入解析式，令,則，．故存在，使得．令，．由知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．所以．即．當(dāng)時，有，．由(1)知，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故當(dāng)時，，從而；當(dāng)時，，從而．所以，當(dāng)時，．綜上所述，存在，使得在區(qū)間內(nèi)恒成立,且在區(qū)間內(nèi)有唯一解．點(diǎn)評：通常我們處理隱零點(diǎn)的策略是代換掉指對項，但此解法利用隱零點(diǎn)代換掉參數(shù)，從而得到不含參數(shù)的表達(dá)式來解決，這個思想值得我們學(xué)習(xí).例2.（2020新高考1卷）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積；（2）若，求的取值范圍.解析：（1）切線方程為,故切線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)分別為,所求三角形面積為.（2）由于,，且.設(shè),則即在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，,∴,∴成立.當(dāng)時，，,∴存在唯一，使得，且當(dāng)時，當(dāng)時，，，因此,故恒成立；當(dāng)時，∴不是恒成立.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.2.隱零點(diǎn)同構(gòu)實(shí)際上，很多隱零點(diǎn)問題產(chǎn)生的原因就是含有指對項，而這類問題由往往具有同構(gòu)特征，所以下面我們看到的這兩個問題，它的隱零點(diǎn)代換則需要同構(gòu)才能做出，否則，我們可能很難找到隱零點(diǎn)合適的代換化簡方向.我們看下面兩例：一類同構(gòu)式在隱零點(diǎn)問題中的應(yīng)用：原理分析例3.已知函數(shù)（，為自然對數(shù)的底數(shù)），.（1）若有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時，對任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解析：（1）有兩個零點(diǎn)關(guān)于的方程有兩個相異實(shí)根，由，知有兩個零點(diǎn)有兩個相異實(shí)根.令，則，由得：，由得：，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，又，當(dāng)時，，當(dāng)時，當(dāng)時，，有兩個零點(diǎn)時，實(shí)數(shù)的取值范圍為；（2）當(dāng)時，，原命題等價于對一切恒成立對一切恒成立.令

，，令，，則，在上單增，又，，使即①，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即在遞減，在遞增，由①知，函數(shù)在單調(diào)遞增，即，，實(shí)數(shù)的取值范圍為.注：本題再次涉及隱零點(diǎn)同構(gòu)，否則的話，很難找到隱零點(diǎn)具體的代換方向！3.隱零點(diǎn)的估計.例4.（2017新課標(biāo)2卷）已知函數(shù)，且．（1）求；（2）證明：存在唯一的極大值點(diǎn)，且QUOTEe-2<f(x0)<2習(xí)題2.解析：（1）．（2）由（1）知，．設(shè)，則．當(dāng)時，；當(dāng)時，．所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．又，，，所以在有唯一零點(diǎn)，在有唯一零點(diǎn)1，且當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，．因此，所以是的唯一極大值點(diǎn)．由得，故．由得，．因?yàn)槭窃诘淖畲笾迭c(diǎn)，由，得．所以．三．習(xí)題演練習(xí)題1（2016年全國2卷）（1）討論函數(shù)的單調(diào)性，并證明當(dāng)時，；（2）證明：當(dāng)時，函數(shù)有最小值．設(shè)的最小值為，求函數(shù)的值域．解析（1）證明：∵當(dāng)時，∴在上單調(diào)遞增∴時，∴（2），由（1）知，單調(diào)遞增，對任意的，，，因此，存在唯一，使得，即.當(dāng)時，，,單調(diào)遞減；當(dāng)時，，,單調(diào)遞增．因此在處取得最小值，最小值為．于是，由，得單調(diào)遞增．所以，由，得，因?yàn)閱握{(diào)遞增，對任意的，存在唯一的，，使得，所以的值域?yàn)椋C上，當(dāng)時，有最小值，的值域?yàn)椋?xí)題2.（2019成都一診理）已知函數(shù).（1）當(dāng)，討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，若恒成立，求的取值范圍.解析：（2）由題意，當(dāng)時，不等式恒成立.即恒成立，即恒成立.設(shè).則.設(shè)，則.當(dāng)時，有.在上單調(diào)遞增，且，.函數(shù)有唯一的零點(diǎn)，且.當(dāng)時，，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，，單調(diào)遞增.即為在定義