2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué) 人教A版2019 選擇性必修第三冊(cè) 6-2-1 排列 課件（ 14張）

6.2排列與組合6.2.1排列在上節(jié)例8中我們看到，用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決這個(gè)問(wèn)題時(shí)，因做了一些重復(fù)性工作而顯得繁瑣.能否對(duì)這一類(lèi)計(jì)數(shù)問(wèn)題給出一種簡(jiǎn)捷的方法呢？為此，先來(lái)分析兩個(gè)具體的問(wèn)題.

問(wèn)題1：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名參加一項(xiàng)活動(dòng)，其中1名同學(xué)參加上午的活動(dòng)，另1名同學(xué)參加下午的活動(dòng)，有幾種不同的選法？

第一步：確定參加上午活動(dòng)的同學(xué),從3人中任選1人,有3種選法;

第二步：確定參加下午活動(dòng)的同學(xué)，當(dāng)參加上午活動(dòng)的同學(xué)確定后,參加下午活動(dòng)的同學(xué)只能從余下的2人中去選，有2種方法.此時(shí),要完成的一件事情是選出2名同學(xué)參加活動(dòng),1名參上午的活動(dòng),另1名參加下午的活動(dòng),可以分兩個(gè)步驟.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,不同選法的種數(shù)為N=3×2=6.

問(wèn)題1：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名參加一項(xiàng)活動(dòng)，其中1名同學(xué)參加上午的活動(dòng)，另1名同學(xué)參加下午的活動(dòng)，有幾種不同的選法？6種選法如圖所示.上午下午相應(yīng)的排法甲乙丙乙甲丙丙甲乙甲丙甲乙乙甲乙丙丙甲丙乙問(wèn)題1中的順序是什么？參加上午的活動(dòng)在前,參加下午的活動(dòng)在后.

如果把上面問(wèn)題中被取出的對(duì)象叫做元素,于是問(wèn)題就可敘述為：

從3個(gè)不同的元素a,b,c中任取2個(gè)，并按一定的順序排成一列，共有多少種不同的排列方法？ab,ac,ba,bc,ca,cb不同的排列方法種數(shù)為3×2=6.所有不同的排列是：

問(wèn)題2

從1，2，3，4這4個(gè)數(shù)字中，每次取出3個(gè)排成一個(gè)三位數(shù)，共可得到多少個(gè)不同的三位數(shù)？顯然,從4個(gè)數(shù)字中,每次取出3個(gè),按“百位”“十位”“個(gè)位”的順序排成一列，就得到一個(gè)三位數(shù).因此，有多少種不同的排列方法就有多少個(gè)不同的三位數(shù).問(wèn)題2

從1，2，3，4這4個(gè)數(shù)字中，每次取出3個(gè)排成一個(gè)三位數(shù)，共可得到多少個(gè)不同的三位數(shù)？可以分三個(gè)步驟來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題：第1步,確定百位上的數(shù)字,在1,2,3,4這4個(gè)數(shù)字中任取1個(gè)，有4種方法；第2步,確定十位上的數(shù)字,當(dāng)百位上的數(shù)字確定后,十位上的數(shù)字只能從余下的3個(gè)數(shù)字中去取,有3種方法；第3步,確定個(gè)位上的數(shù)字,當(dāng)百位、十位上的數(shù)字確定后,個(gè)位的數(shù)字只能從余下的2個(gè)數(shù)字中去取,有2種方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，從1,2,3,4這4個(gè)不同的數(shù)字中，每次取出3個(gè)數(shù)字排成三位數(shù)，不同的排法種數(shù)為4×3×2＝24.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,從1，2，3，4這4個(gè)不同的數(shù)字中，每次取出3數(shù)字,按“百位、十位、個(gè)位”的順序排成一個(gè)三位數(shù)，共可得到24個(gè)不同的三位數(shù)，如圖所示.百位十位個(gè)位123，124，132，134，142，143;213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342;412，413，421，423，431，432。由此可寫(xiě)出所有的三位數(shù)：同樣，問(wèn)題2可以歸結(jié)為：abc,abd,acb,acd,adb,adc;

bac,bad,bca,bcd,bda,bdc;cab,cad,cba,cbd,cda,cdb;

dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.從４個(gè)不同的元素a，b，c，d中任?。硞€(gè)，并按照一定的順序排成一列，共有多少種不同的排列方法？所有不同的排列是不排列方法種數(shù)4×3×2=24

.問(wèn)題2中的順序是什么？百位在前，十位居中，個(gè)位在后.思考?問(wèn)題1、2的共同特點(diǎn)是?你能將它們推廣到一般情形嗎?問(wèn)題1和問(wèn)題2都是研究從一些不同元素中取出部分元素，并按照一定的順序排成一列的方法數(shù).一般地,從n個(gè)不同的元素中取出m(m≤n)個(gè)元素,并按照一定的順序排成一列,叫做從n個(gè)不同的元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.根據(jù)排列的定義，兩個(gè)排列相同的充要條件是:兩個(gè)排列的元素完全相同，且元素的排列順序也相同.例如,在問(wèn)題1中,“甲乙”與“甲丙”的元素不完全相同,它們是不同的排列;“甲乙”與“乙甲”雖然元素完全相同，但元素的排列順序不同，它們也是不同的排列.又如，在問(wèn)題2中，123與134的元素不完全相同，它們是不同的排列；123與132雖然元素完全相同，但元素的排列順序不同，它們也是不同的排列.(1)首先要保證元素?zé)o重復(fù)性，即從n個(gè)不同元素中，取出m(m

≤n)個(gè)不同的元素，否則不是排列問(wèn)題.排列問(wèn)題的判斷方法：(2)要保證元素的有序性，即安排這m個(gè)元素時(shí)是有序的，有序就是排列，無(wú)序則不是排列.

而檢驗(yàn)它是否有序的依據(jù)就是變換元素的位置，看結(jié)果是否發(fā)生變化，有變化是有序，無(wú)變化就是無(wú)序.按分步乘法計(jì)數(shù)原理，每組進(jìn)行的比賽場(chǎng)數(shù)為

例1

某省中學(xué)生足球賽預(yù)選賽每組有6支隊(duì)，每支隊(duì)都要與同組的其他各隊(duì)在主、客場(chǎng)分別比賽1場(chǎng)，那么每組共進(jìn)行多少場(chǎng)比賽？

分析：每組任意2支隊(duì)之間進(jìn)行的1場(chǎng)比賽，可以看作是從該組6支隊(duì)中選取2支，按“主隊(duì)、客隊(duì)”的順序排成的一個(gè)排列.

解：可以先從這6支隊(duì)中選1支為主隊(duì)，然后從剩下的5支隊(duì)中選1支為客隊(duì).6×5=30.

例2(1)一張餐桌上有5盤(pán)不同的菜，甲、乙、丙3名同學(xué)每人從中各取1盤(pán)菜，共有多少種不同的取法？(2)學(xué)校食堂的一個(gè)窗口共賣(mài)5種菜，甲、乙、丙3名同學(xué)每人從中選一種，共有多少種不同的選法？分析：3名同學(xué)每人從5盤(pán)不同的菜中取1盤(pán)菜；可看作是從這5盤(pán)菜中任取3盤(pán)，放在3個(gè)位置（給3名同學(xué)）的一個(gè)排列；解:(1)可以先從這5盤(pán)菜中取1盤(pán)給同學(xué)甲，然后從剩下的4盤(pán)菜中取1盤(pán)給同學(xué)乙，最后從剩下的3盤(pán)菜中取1盤(pán)給同學(xué)丙.5×4×3=60.按分步乘法計(jì)數(shù)原理,不同的取法種數(shù)為：

例2(1)一張餐桌上有5盤(pán)不同的菜，甲、乙、丙3名同學(xué)每人從中各取1盤(pán)菜，共有多少種不同的取法？(2)學(xué)校食堂的一個(gè)窗口共賣(mài)5種菜，甲、乙、丙3名同學(xué)每人從中選一種，共有多少種不同的選法？分析：而3名同學(xué)每人從食堂窗口的5種菜中選1種，每人都有5種選法，不能看成一個(gè)排列.

解:(2)可以先讓同學(xué)甲從5種菜中選1種；有5種選法；再讓同學(xué)乙從5種菜中選1種，也有5種選法；最后讓同學(xué)丙從5種菜中選1種，同樣有5種選法.按分步乘法計(jì)數(shù)原