高中數(shù)學(xué)專題3函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用-導(dǎo)數(shù)與不等式_第1頁(yè)
高中數(shù)學(xué)專題3函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用-導(dǎo)數(shù)與不等式_第2頁(yè)
高中數(shù)學(xué)專題3函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用-導(dǎo)數(shù)與不等式_第3頁(yè)
高中數(shù)學(xué)專題3函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用-導(dǎo)數(shù)與不等式_第4頁(yè)
高中數(shù)學(xué)專題3函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用-導(dǎo)數(shù)與不等式_第5頁(yè)
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文檔簡(jiǎn)介

1min【煙臺(tái)芝罘區(qū)】明老師1min

一中十中校區(qū):南山路號(hào)導(dǎo)數(shù)與不等式1.已知

f)xlnx)

.(1)求函數(shù)

f(

[,t2](t0)

上的最小值;(2)對(duì)一切(0,

,

2f)g(x)

恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(3)證明:對(duì)一切

x

,都有

2

成立.本題是一道函數(shù)導(dǎo)數(shù)與不等式證明的綜合題,主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的求法以及導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的性質(zhì)和證明不等式等方面的應(yīng)用考查等價(jià)轉(zhuǎn)化分類討論等數(shù)學(xué)思想方法以及分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力.對(duì)于第()問(wèn),只要運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的方法法研究出函數(shù)f(

的單調(diào)性即可,最值就容易確定了;對(duì)于第(2)問(wèn),是一個(gè)不等式恒成立的問(wèn)題,可通過(guò)分離常數(shù),將其轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)處理;對(duì)于第(3問(wèn),可以通過(guò)構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究其函數(shù)值的正負(fù)來(lái)實(shí)現(xiàn)不等式的證明.解析(1)

f'(x)ln

,當(dāng)

(0,

,

f'(x),f(x)

單調(diào)遞減,當(dāng),f'(x)f(x)

單調(diào)遞增.①②

,t無(wú)解;,即0

時(shí),ff(e

;③

,t時(shí),f(x[,t

上單調(diào)遞增,fx)f(t)lntmin

;所以

1,0f(x)tln,te

e

.(2)

xln,ax

,設(shè)

x)xx

,則'()

x3)(

,x

,'(x)

,h()

單調(diào)遞減,x(1,

,'(x)

,()

單調(diào)遞增,所以

(x)

hmin1

1【煙臺(tái)芝罘區(qū)】明老師1

一中十中校區(qū):南山路號(hào)因?yàn)閷?duì)一切x

,f()g(x)

恒成立,所以

a()

4min

.(3)問(wèn)題等價(jià)于證明

xx

,由⑴可知

f()lnx(x

的最小值是

,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到.設(shè)

xm(x)((0,xe

則m

x

易得mm(1)max

當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)取到,從而對(duì)一切

x

,都有

2

成立.2、已知函數(shù)

f(x)

lne

(k為常數(shù),線f(x)在點(diǎn)(1,處的切線與x軸平行.(Ⅰ)求k的值;(Ⅱ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅲ)設(shè)【答案】

(x)x2)f'(,其中f)為fx)導(dǎo)函數(shù).證明:對(duì)任意x(.2

11【煙臺(tái)芝罘區(qū)】明老師11

一中十中校區(qū):南山路號(hào)3、已知函數(shù)

f()x其中*為常數(shù))(Ⅰ)當(dāng)=2時(shí),求函數(shù))的極值;(Ⅱ)當(dāng)=1時(shí),證明:對(duì)任意的正整數(shù)n,當(dāng)2時(shí),有f(x)x【分析及解)定義域?yàn)楫?dāng)2時(shí),

f()x)∴

f

(x(

ax

(x①當(dāng)0,

f

1(x

3

,∵,(恒成立,即在恒成立,故)x為減函數(shù),∴f(x無(wú)極值。②當(dāng)a時(shí),由f

得ax,判別式a

2

(a,3

2,【煙臺(tái)芝罘區(qū)】明老師2,

一中十中校區(qū):南山路號(hào)∴不等式

2

2ax

2

0

對(duì)x(1,成立而f

在x恒成立故f)在x(1,為減函數(shù),∴f)也無(wú)極值。③當(dāng)>0時(shí),由f

,2ax,判別式0,∴方程ax有兩個(gè)不同實(shí)根,解之得:x1又x時(shí),(x成立,

22xaa∴當(dāng)

1

2時(shí),f,當(dāng)x時(shí),af,故f(x在

(1,1

22上為減函數(shù),故在x,為增函數(shù),aa∴f)在

2a

處有極小值為f

2a))a2a綜上所述,=2時(shí),當(dāng)>0時(shí),f)在

2a

處取得極小值,極小值為f

2a2)(1lna當(dāng)≤0時(shí),f)無(wú)極值.(Ⅱ)證明:當(dāng)時(shí),

1f())n

ln(

當(dāng)2時(shí),對(duì)任意的正整數(shù)n,恒有

1)

n

1,∴

1(1)

n

ln(

1

ln(

故只需證ln(x即可,下面直接作差構(gòu)造函數(shù)證明:令()ln(ln(x則

h

1當(dāng)x2時(shí)

故()[2,單調(diào)遞增,因此當(dāng)2時(shí)x)h,1成立4

【煙臺(tái)芝罘區(qū)】明老師

一中十中校區(qū):南山路號(hào)故當(dāng)2時(shí),

1(1)

ln(

1即f()x4、已知函數(shù)

f(x)

(c且ck)有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn),其中一個(gè)是(Ⅰ)求函數(shù)f(x的另一個(gè)極值點(diǎn);(Ⅱ)求函數(shù)f(x的極大值M和小值m,并求時(shí)的取值范圍【分析及解)

f

(

x)

,

k∵是函數(shù)f)的一個(gè)極值點(diǎn),∴f

即得

c

2

kck0,∵c0

O

1

c∴ck由此可知k,20得c,即k,由fkc

2

ck

此方程的一個(gè)根為x,另一個(gè)根由韋達(dá)定理容易計(jì)算為或

x

2k∴函數(shù)f(x的另一個(gè)極值點(diǎn)為(或

x

2k

)(II)由(I)知

k

2c

,現(xiàn)畫(huà)一個(gè)函數(shù)圖幫助理解,∵c0且,則圖象如圖所示,∴0,①當(dāng)即0時(shí),當(dāng)x或x,f當(dāng)x時(shí),f

0,f()在((1,是增函數(shù),(上是減函數(shù),∴

f(

(c2(2)

,f(1)

kkc又M∴

kk2

1,即

k

k

,解之得足。②

0,即時(shí),當(dāng)或x時(shí),f

0,當(dāng)x時(shí),f

0,5

,y,即π0,【煙臺(tái)芝罘區(qū)】明老師,y,即π0,

一中十中校區(qū):南山路號(hào)∴f(x)在(是減函數(shù),在(是增函數(shù),∴

f

2,f(,又,∴22(k

,即

kk

解之得2或k,結(jié)合k0,∴綜上可知,所求k的取值范圍([5、已知函數(shù)

f()sin

.(1)設(shè),Q函數(shù)

f(x

圖象上相異的兩點(diǎn),證明:直線PQ的斜率大于0;(2)求實(shí)數(shù)a的取值范圍,使不等式

f≥ax

上恒成立.解)由題意,得

f

≥0

.所以函數(shù)

f()sin

在R單調(diào)遞增.設(shè)

x

,

Qx

,則有

kPQ

0(2)當(dāng)a0時(shí),f(x)x≥axcosx

恒成立.當(dāng),令g()f(x)cosxsinxg()acosn(1cx

,①當(dāng)

≥,即0時(shí),g'(x)sinx

,所以

)

,

上為單調(diào)增函數(shù).所以

gx≥sin0

,符合題意.②當(dāng)

,即a時(shí),令)g'(x)(1)cos

,于是

(x)a1)sin

.因?yàn)?/p>

,所以

2

,從而

h'(x≥0

.所以

()

在π

上為單調(diào)增函數(shù).6

【煙臺(tái)芝罘區(qū)】明老師

一中十中校區(qū):南山路號(hào)所以

h(0)≤hx≤h

2

2≤)2

,亦即

2x)≤

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