高中數(shù)學專題3函數(shù)導數(shù)的應用-導數(shù)與不等式

1min【煙臺芝罘區(qū)】明老師1min

一中十中校區(qū)：南山路號導數(shù)與不等式1．已知

f)xlnx)

．(1)求函數(shù)

f(

在

[,t2](t0)

上的最小值；(2)對一切(0,

，

2f)g(x)

恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(3)證明：對一切

x

，都有

2

成立．本題是一道函數(shù)導數(shù)與不等式證明的綜合題，主要考查導數(shù)的幾何意義、導數(shù)的求法以及導數(shù)在研究函數(shù)的性質(zhì)和證明不等式等方面的應用考查等價轉(zhuǎn)化分類討論等數(shù)學思想方法以及分析問題與解決問題的能力．對于第（）問，只要運用導數(shù)的方法法研究出函數(shù)f(

的單調(diào)性即可，最值就容易確定了；對于第（2）問，是一個不等式恒成立的問題，可通過分離常數(shù)，將其轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題來處理；對于第（3問，可以通過構造函數(shù)，利用導數(shù)研究其函數(shù)值的正負來實現(xiàn)不等式的證明．解析(1)

f'(x)ln

，當

(0,

，

f'(x)，f(x)

單調(diào)遞減，當,f'(x)f(x)

單調(diào)遞增．①②

，t無解；，即0

時，ff(e

；③

，t時，f(x[,t

上單調(diào)遞增，fx)f(t)lntmin

；所以

1，0f(x)tln，te

e

．(2)

xln，ax

，設

x)xx

，則'()

x3)(

，x

，'(x)

，h()

單調(diào)遞減，x(1,

，'(x)

，()

單調(diào)遞增，所以

(x)

hmin1

1【煙臺芝罘區(qū)】明老師1

一中十中校區(qū)：南山路號因為對一切x

，f()g(x)

恒成立，所以

a()

4min

．（3）問題等價于證明

xx

，由⑴可知

f()lnx(x

的最小值是

，當且僅當時取到．設

xm(x)((0,xe

則m

x

易得mm(1)max

當且僅當x時取到，從而對一切

x

，都有

2

成立．2、已知函數(shù)

f(x)

lne

（k為常數(shù)，線f(x)在點(1,處的切線與x軸平行.（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）求f(x)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）設【答案】

(x)x2)f'(,其中f)為fx)導函數(shù).證明：對任意x(.2

11【煙臺芝罘區(qū)】明老師11

一中十中校區(qū)：南山路號3、已知函數(shù)

f()x其中*為常數(shù))（Ⅰ）當=2時，求函數(shù))的極值；（Ⅱ）當=1時，證明：對任意的正整數(shù)n，當2時，有f(x)x【分析及解）定義域為當2時，

f()x)∴

f

(x(

ax

(x①當0，

f

1(x

3

，∵，(恒成立，即在恒成立，故)x為減函數(shù)，∴f(x無極值。②當a時，由f

得ax，判別式a

2

(a，3

2,【煙臺芝罘區(qū)】明老師2,

一中十中校區(qū)：南山路號∴不等式

2

2ax

2

0

對x(1,成立而f

在x恒成立故f)在x(1,為減函數(shù)，∴f)也無極值。③當>0時，由f

，2ax，判別式0，∴方程ax有兩個不同實根，解之得：x1又x時，(x成立，

22xaa∴當

1

2時，f，當x時，af，故f(x在

(1,1

22上為減函數(shù)，故在x,為增函數(shù)，aa∴f)在

2a

處有極小值為f

2a))a2a綜上所述，=2時，當>0時，f)在

2a

處取得極小值，極小值為f

2a2)(1lna當≤0時，f)無極值.（Ⅱ）證明：當時，

1f())n

ln(

當2時，對任意的正整數(shù)n，恒有

1)

n

1，∴

1(1)

n

ln(

1

ln(

故只需證ln(x即可，下面直接作差構造函數(shù)證明：令()ln(ln(x則

h

1當x2時

故()[2,單調(diào)遞增，因此當2時x)h，1成立4

【煙臺芝罘區(qū)】明老師

一中十中校區(qū)：南山路號故當2時，

有

1(1)

ln(

1即f()x4、已知函數(shù)

f(x)

(c且ck)有一個極大值點和一個極小值點，其中一個是（Ⅰ）求函數(shù)f(x的另一個極值點；（Ⅱ）求函數(shù)f(x的極大值M和小值m，并求時的取值范圍【分析及解）

f

(

x)

,

k∵是函數(shù)f)的一個極值點，∴f

即得

c

2

kck0,∵c0

O

1

c∴ck由此可知k，20得c，即k，由fkc

2

ck

此方程的一個根為x，另一個根由韋達定理容易計算為或

x

2k∴函數(shù)f(x的另一個極值點為（或

x

2k

）（II）由（I）知

k

2c

，現(xiàn)畫一個函數(shù)圖幫助理解，∵c0且，則圖象如圖所示，∴0，①當即0時，當x或x，f當x時，f

0,f()在((1,是增函數(shù)，(上是減函數(shù)，∴

f(

(c2(2)

，f(1)

kkc又M∴

kk2

1，即

k

k

，解之得足。②

0，即時，當或x時，f

0,當x時，f

0,5

，y，即π0，【煙臺芝罘區(qū)】明老師，y，即π0，

一中十中校區(qū)：南山路號∴f(x)在(是減函數(shù)，在(是增函數(shù)，∴

f

2,f(，又，∴22(k

，即

kk

解之得2或k，結合k0，∴綜上可知，所求k的取值范圍([5、已知函數(shù)

f()sin

．（1）設，Q函數(shù)

f(x

圖象上相異的兩點，證明：直線PQ的斜率大于0；（2）求實數(shù)a的取值范圍，使不等式

f≥ax

在

上恒成立．解）由題意，得

f

≥0

．所以函數(shù)

f()sin

在R單調(diào)遞增．設

x

，

Qx

，則有

kPQ

0（2）當a0時，f(x)x≥axcosx

恒成立．當，令g()f(x)cosxsinxg()acosn(1cx

，①當

≥，即0時，g'(x)sinx

，所以

)

在

，

上為單調(diào)增函數(shù)．所以

gx≥sin0

，符合題意．②當

，即a時，令)g'(x)(1)cos

，于是

(x)a1)sin

．因為

，所以

2

，從而

h'(x≥0

．所以

()

在π

上為單調(diào)增函數(shù)．6

【煙臺芝罘區(qū)】明老師

一中十中校區(qū)：南山路號所以

h(0)≤hx≤h

2

2≤)2

，亦即

2x)≤