高一數(shù)學(xué)抽象函數(shù)常見題型解法綜述

1教育網(wǎng)1

百萬(wàn)教學(xué)資源，完全免費(fèi)，無(wú)須注冊(cè)，天天更新！抽象函數(shù)見題型解法述趙春祥抽象函數(shù)是指沒(méi)有給出函數(shù)的具體解析式，只給出了一些體現(xiàn)函數(shù)特征的式子的一類函數(shù)。由于抽象函數(shù)表現(xiàn)形式的抽象性，使得這類問(wèn)題成為函數(shù)內(nèi)容的難點(diǎn)之一。本文就抽象函數(shù)常見題型及解法評(píng)析如下：一定域題例已知函數(shù)

f(2)

的定義域是12］，求f（x）的定義域。解

f(

2

)

的定義域是［，］，是指

x2，所(

2

)中x滿

x

2

4從而函數(shù)fx）定義域是［1，］評(píng)一般地知數(shù)

f

())

的定義域是Ax定義域問(wèn)題當(dāng)已知

fx))中x的值范圍為A據(jù)此求

x)

的值域問(wèn)題。例已知函數(shù)

f(x

的定義域是

[

，求函數(shù)

[log(3)]1

的定義域。2解

f)

的定義域是

[

，意思是凡被

f作用的對(duì)象都在

[

中，由此可得111log(3)()2)x222所以函數(shù)

(3)]1

的定義域是

11[，4

]2評(píng)：類問(wèn)題的一般形式是：已知函數(shù)f（x）的定義域是A求函數(shù)

fx))

的定義域。正確理解函數(shù)符號(hào)及其定義域的含義是求解此類問(wèn)題的關(guān)鍵問(wèn)題實(shí)質(zhì)上相當(dāng)于已知值域且BA，此求x的值范圍。例和例1形上正相反。

x)

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百萬(wàn)教學(xué)資源，完全免費(fèi)，無(wú)須注冊(cè)，天天更新！二求問(wèn)例已知定義域?yàn)?/p>

R

的函數(shù)f（）同時(shí)滿足下列條件：①

ff(6)

15

；②f(f()(y)

，求f（3，f）的值。解取

，y

，得

f(6)(2)(3)因?yàn)橛秩?/p>

f(2)f(6)y

14，所以f55得

f(9)f(3)f

85評(píng)析：通過(guò)觀察已知與未知的聯(lián)系，巧妙地賦值，取

x，y

，這樣便把已知條件f(2)f(6)三值問(wèn)

15

與欲求的f）通了起來(lái)。賦值是解此類問(wèn)題的常用技巧。例設(shè)函數(shù)f（x）定義于實(shí)數(shù)集上對(duì)于任意實(shí)數(shù)、y

f(yf(x)fy

總成立，且存在

xx，使得()f)2

，求函數(shù)

f)

的值域。解令

x

，得

f(0)f

，即有

f(0)0

或

f

。若

f(0)0，則f(x)f(xf(x)(0)0

，對(duì)任意x均成立，這與存在實(shí)數(shù)xx，得(x)fx)2

成立矛盾，故

f(0)0，有(0)

。由于

f(yf(x)fy

對(duì)任意

x、

均成立，因此，對(duì)任意

x

，有xxxf()f()f()f()f()]2222R，fx)0下面來(lái)證明，對(duì)任意

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百萬(wàn)教學(xué)資源，完全免費(fèi)，無(wú)須注冊(cè)，天天更新！設(shè)存在

x0

，使得

f)0

，則

f(0)f(x)fx)()00這與上面已證的f()所以

f(0)0

矛盾，因此，對(duì)任意

R，fx)0評(píng)：處理抽象函數(shù)的問(wèn)題時(shí)，往往需要對(duì)某些變量進(jìn)行適當(dāng)?shù)闹?，這是一般向特殊轉(zhuǎn)化的必要手段。四解式題例設(shè)對(duì)滿足

x，x

的所有實(shí)數(shù)x數(shù)

f)

滿足

xf(x)()x

求（）的解析式。解在

f()(

xx

)

中以

xx

代換其中x，得：f(

x12x)(x

(2)再在（1）中以

1x

代換x，f(

1x)(x)xx

(3)

化簡(jiǎn)得：

fx)

x2x(評(píng)：果把

xx

分別看作兩個(gè)變量怎實(shí)現(xiàn)由個(gè)變量向一個(gè)變量的轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵。通常情況下，給某些變量適當(dāng)賦值，使之在關(guān)系中“消失”，進(jìn)而保留一個(gè)變量，是實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的重要策略。五單性題例設(shè)f（x）定義于實(shí)數(shù)集上，當(dāng)

x

時(shí)，

f()

，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)

x、y，教育網(wǎng)

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百萬(wàn)教學(xué)資源，完全免費(fèi)，無(wú)須注冊(cè)，天天更新！f(y)f(x)(y)

，求證：

f)

在R上為增函數(shù)證：

f(x)x)f()

中取

x

，得

f(0)f

若

f(0)0

，令

，y

，則

f()

，與

f(x)

矛盾所以

f(0)0

，即有

f(0)當(dāng)x0時(shí)f(x)0；0時(shí)，(0而

f(()f(0)所以

f(x)

f()

0又當(dāng)

x

時(shí)，

f(0)所以對(duì)任意

x

，恒有

f()設(shè)

xx，(x)221所以

f(x)f[xx)]f(x)fx)f()所以

fx)

在上增函數(shù)。評(píng)：般地，抽象函數(shù)所滿足的關(guān)系式，應(yīng)看作給定的運(yùn)算法則則變量的賦值或變量及數(shù)值的分解與組合都應(yīng)盡量與已知式或所給關(guān)系式及所求的結(jié)果相關(guān)聯(lián)。六奇性題例已知函數(shù)

f()(，x

對(duì)任意不等于零的實(shí)數(shù)

x、x

都有f(x)()f(x)212

，試判斷函數(shù)f（x）的奇偶性。教育網(wǎng)

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x

得：

f(f(f(1)

，所以

f又取

xx2

得：

ff((

，所以

f(再取

xxf(f(f(x)，()f(x)2因?yàn)?/p>

f)

為非零函數(shù)，所以

f)

為偶函數(shù)。七對(duì)性題例已知函數(shù)

yx)足)f()2002求f

()

的值。解已式即在對(duì)稱關(guān)系式

f(a)f(a)b中取a，b2002

，所以函數(shù)yx)

的圖象關(guān)于點(diǎn)（0）對(duì)稱。根據(jù)原函數(shù)與其反函數(shù)的關(guān)系，知函數(shù)

yf

()

的圖象關(guān)于點(diǎn)20020對(duì)稱。所以

f

(1001)

將上式中的x用

x

代換，得

f()f

)評(píng)：是同一個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱問(wèn)題，在解中使用了下述命題：設(shè)a、b均為常數(shù)函

fx)

對(duì)一切實(shí)數(shù)x滿足

f()f(a)2b

則數(shù)

f(x)

的圖象關(guān)于點(diǎn)（，）成中心對(duì)稱圖形。八網(wǎng)綜問(wèn)例9.定義在R上函數(shù)f（x）足：對(duì)任意實(shí)數(shù)，，總有當(dāng)時(shí)，（x）。（1判斷fx）單調(diào)性；

f(m)f()(n

，且（2設(shè)

{(，)(

2)y2

)f

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，試確定a取值范圍。解：（）

f(m)(m(n)

中，令

n0，得ff(1)(0)

，因?yàn)閒(1)0，所以f(0)

。在

f(m)f()(n

中，令

m，因?yàn)楫?dāng)x時(shí)0)所以當(dāng)

x0

時(shí)

(而

f(()f(0)所以

f()

f()

0又當(dāng)時(shí)

f(0)

，所以，綜上可知，對(duì)于任意

x

，均有

f()

。設(shè)

x

，則

xf(x)21所以

f(x)f[xx)]f()(x)f(x)12111所以

fx)

在上減函數(shù)。（2由于函數(shù)y=f（）在上減函數(shù)，所以

f(2)(y2f(y2f即有

x

2y2

又

(y

2)f(0)

，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，有

由

AB

，所以直線

y

與圓面

x

無(wú)公共點(diǎn)。因