《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》習(xí)題解答

第二章隨機(jī)變量及其分布1、解：設(shè)公司賠付金額為X，則X的可能值為；投保一年內(nèi)因不測(cè)死亡：20萬，概率為0.0002投保一年內(nèi)因其他原因死亡：5萬，概率為0.0010投保一年內(nèi)沒有死亡：0，概率為1-0.0002-0.0010=0.9988因此X的分布律為：25000002、一袋中有5只乒乓球，編號(hào)為1、2、3、4、5，在其中同時(shí)取三只，以X表示取出的三只球中的最大號(hào)碼，寫出隨機(jī)變量X的分布律解：X可以取值3，4，5，分布律為也可列為下表X：3，4，5P：1,3,61010103、設(shè)在15只同種類零件中有2可是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽樣，以X表示取出次品的只數(shù)，（1）求X的分布律，（2）畫出分布律的圖形。解：任取三只，其中新含次品個(gè)數(shù)X可能為0，1，2個(gè)。P(XC21C132121)C15335P(XC22C13112)35C153

P再列為下表，O12x：0，12XP：22,12,1353535p，失敗的概率為q=1－p(0<p<1)4、進(jìn)行重復(fù)獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，設(shè)每次成功的概率為（1）將實(shí)驗(yàn)進(jìn)行到出現(xiàn)一次成功為止，以X表示所需的試驗(yàn)次數(shù)，求X的分布律。（此時(shí)稱X遵從以p為參數(shù)的幾何分布。）（2）將實(shí)驗(yàn)進(jìn)行到出現(xiàn)r次成功為止，以Y表示所需的試驗(yàn)次數(shù)，求Y的分布律。（此時(shí)稱Y遵從以r,p為參數(shù)的巴斯卡分布。）3）一籃球運(yùn)動(dòng)員的投籃命中率為45%，以X表示他首次投中時(shí)累計(jì)已投籃的次數(shù)，寫出X的分布律，并計(jì)算X取偶數(shù)的概率。解：（1）P(X=k)=qk－1pk=1,2,（2）Y=r+n={最后一次實(shí)驗(yàn)前r+n－1次有n次失敗，且最后一次成功}P(Yrn)Crnn1qnpr1pCrnn1qnpr,n0,1,2,,其中q=1－p，或記r+n=k，則P{Y=k}=r1r(1)kr,k,r1,Ck1ppr（3）P(X=k)=(0.55)k－10.45k=1,2P(X取偶數(shù))=P(X2k)(0.55)2k10.4511k1k1315、一房間有3扇同樣大小的窗子，其中只有一扇是打開的。有一只鳥自開著的窗子飛入了房間，它只能從開著的窗子飛出去。鳥在房子里飛來飛去，試圖飛出房間。假定鳥是沒有記憶的，鳥飛向各扇窗子是隨機(jī)的。1）以X表示鳥為了飛出房間試飛的次數(shù)，求X的分布律。2）戶主聲稱，他養(yǎng)的一只鳥，是有記憶的，它飛向任一窗子的試一試不多于一次。以Y表示這只聰穎的鳥為了飛出房間試飛的次數(shù)，如戶主所說是確實(shí)的，試求Y的分布律。3）求試飛次數(shù)X小于Y的概率；求試飛次數(shù)Y小于X的概率。解：（1）X的可能取值為1，2，3，，n，P{}=P{前n－1次飛向了另2扇窗子，第n次飛了出去}X=n=(2)n11，n=1，2，32）Y的可能取值為1，2，3P{Y=1}=P{第1次飛了出去}=1P{Y=2}=P{第13次飛向另2扇窗子中的一扇，第2次飛了出去}=211323{Y=3}=P{第1，2次飛向了另2扇窗子，第3次飛了出去}=2!13!3同上，P{XY}3P{Yk}P{XY|Yk}k138故P{YX}1P{XY}P{XY)6、一大樓裝有581t每個(gè)設(shè)備使用的概率個(gè)同種類的供水設(shè)備，檢查表示在任一時(shí)辰為0.1，問在同一時(shí)辰1）恰有2個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少？2）最少有3個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少？3）至多有3個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少？4）最少有一個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少？7、設(shè)事件A在每一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為0.3，當(dāng)A發(fā)生很多于3次時(shí)，指示燈發(fā)出信號(hào)。（1）進(jìn)行了5次獨(dú)立試驗(yàn)，求指示燈發(fā)出信號(hào)的概率。（2）進(jìn)行了7次獨(dú)立試驗(yàn)，求指示燈發(fā)出信號(hào)的概率解：設(shè)X為A發(fā)生的次數(shù)。則X:B0.3,n.n=5，7B:“指示等發(fā)出信號(hào)“5C5k0.3k0.75k①PBPX30.163k372②PBPX3PXK1PXKk308、甲、乙二人投籃，投中的概率各為0.6,0.7，令各投三次。求1）二人投中次數(shù)相等的概率。記X表甲三次投籃中投中的次數(shù)Y表乙三次投籃中投中的次數(shù)由于甲、乙每次投籃獨(dú)立，且相互投籃也獨(dú)立。P(X=Y)=P(X=0,Y=0)+P(X=2,Y=2)+P(X=3,Y=3)=P(X=0)P(Y=0)+P(X=1)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=2)+P(X=3)P(Y=3)=(0.4)3×(0.3)3+[C310.6(0.4)2][C310.7(0.3)2]（2）甲比乙投中次數(shù)多的概率。P(X>Y)=P(X=1,Y=0)+P(X=2,Y=0)+P(X=2,Y=1)+P(X=3)P(Y=0)+P(X=3)P(Y=1)+P(X=3)P(Y=2)=P(X=1)P(Y=0)+P(X=2,Y=0)+P(X=2,Y=1)+P(X=3)P(Y=0)+P(X=3)P(Y=1)+P(X=3)P(Y=2)=[C310.6(0.4)2](0.3)3[C32(0.6)20.4](0.3)89、有一大批產(chǎn)品，其查收方案以下，先做第一次檢驗(yàn)：從中任取10件，經(jīng)查收無次品接受這批產(chǎn)品，次品數(shù)大于2拒收；否則作第二次檢驗(yàn)，其做法是從中再任取5件，僅當(dāng)5件中無次品時(shí)接受這批產(chǎn)品，若產(chǎn)品的次品率為10%，求1）這批產(chǎn)品經(jīng)第一次檢驗(yàn)就能接受的概率2）需作第二次檢驗(yàn)的概率3）這批產(chǎn)品按第2次檢驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)被接受的概率4）這批產(chǎn)品在第1次檢驗(yàn)未能做決定且第二次檢驗(yàn)時(shí)被經(jīng)過的概率5）這批產(chǎn)品被接受的概率解：X表示10件中次品的個(gè)數(shù)，Y表示5件中次品的個(gè)數(shù)，由于產(chǎn)品總數(shù)很大，故X~B（10，0.1），Y~B（5，0.1）（近似遵從）1）P{X=0}=0.910≈0.349（2）P{X≤2}=P{X=2}+P{X=1}=C1020.120.98C10190.581（3）P{Y=0}=0.95≈0.5904）P{0<X≤2，Y=0}({0<X≤2}與{Y=2}獨(dú)立)P{0<X≤2}P{Y=0}0.581×5）P{X=0}+P{0<X≤2，Y=0}0.349+0.343=0.69210、有甲、乙兩種味道和顏色極為相似的名酒各4杯。若是從中挑4杯，能將甲種酒全部挑出來，算是試驗(yàn)成功一次。（1）某人隨機(jī)地去猜，問他試驗(yàn)成功一次的概率是多少？（2）某人聲稱他經(jīng)過品嘗能區(qū)分兩種酒。他連續(xù)試驗(yàn)10次，成功3次。試問他是猜對(duì)的，還是他確有區(qū)分的能力（設(shè)各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的。）解：（1）P(一次成功)=11C8470（2）P(連續(xù)試驗(yàn)10次，成功3次)=C103(1)3(69)73。此概率太小，按實(shí)質(zhì)推707010000斷原理，就認(rèn)為他確有區(qū)分能力。11.盡管在幾何教科書中已經(jīng)講過用圓規(guī)和直尺三均分一個(gè)任意角是不可以能的。但每年總有一些“發(fā)明者”撰寫關(guān)于用圓規(guī)和直尺將角三均分的文章。設(shè)某地區(qū)每年撰寫此類文章的篇數(shù)X遵從參數(shù)為6的泊松分布。求明年沒有此類文章的概率。解：X~6.612.一電話交換臺(tái)每分鐘收到呼叫的次數(shù)遵從參數(shù)為4的泊松分布。求（1）每分鐘恰有8次呼叫的概率。（2）某一分鐘的呼叫次數(shù)大于3的概率。（1）PXe48e498r!r8r!r9（2）P{X3}P{X4}0.56653013.某一公安局在長(zhǎng)度為t的時(shí)間間隔內(nèi)收到的緊急呼救的次數(shù)X遵從參數(shù)為（1/2）t的泊松分布，而與時(shí)間間隔的起點(diǎn)沒關(guān)（時(shí)間以小時(shí)計(jì)）。（1）求某一天中午12時(shí)至下午3時(shí)沒有收到緊急呼救的概率。（2）求某一天中午12時(shí)至下午5時(shí)最少收到1次緊急呼救的概率。解：tX:233①PX0e20.223122.5ke2.5②5PX21k!0.918k114、解：X~(2t)（1）、t10分鐘時(shí)t1小時(shí)，60.5故2t02t（2）、PX0e0.5t0.34657（小時(shí)）1因此t0.34657*6020.79（分鐘）15、解：n1000,p0.0001,np0.116、解：PX21PX0PX110e1e10.99530.00470!1!17、解：設(shè)X遵從0:1分布，其分布率為PXkpk11k，求X的分布函數(shù)，并p,k0,1作出其圖形。解一：01的分布函數(shù)為：0,a

18．在區(qū)間0,a上任意扔擲一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，以X表示這個(gè)質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)。設(shè)這個(gè)質(zhì)點(diǎn)落在中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度成正比率，試求X的分布函數(shù)。解：①當(dāng)X0時(shí)。Xx是不可以能事件，F(xiàn)XPXx0②當(dāng)0xa時(shí)，P0Xxkx而0Xa是必然事件則

Fx

PX

x

PX

0

P0

X

x

xa19、以

X

③當(dāng)xa時(shí)，Xx是必然事件，有FxPXx1表示某商店從清早開始營(yíng)業(yè)起直到第一顧客到達(dá)的等待時(shí)間（以分計(jì)）

，X的分布函數(shù)是求下述概率：1）P{至多3分鐘}；（2）P{最少4分鐘}；（3）P{3分鐘至4分鐘之間}；4）P{至多3分鐘或最少4分鐘}；（5）P{恰好2.5分鐘}解：（1）P{至多3分鐘}=P{X≤3}=FX(3)1e1.2（2）P{最少4分鐘}P(X≥4)=1FX(4)e1.6（3）P{3分鐘至4分鐘之間}=P{3<X≤4}=FX(4)FX(3)e1.2e1.6（4）P{至多3分鐘或最少4分鐘}=P{至多3分鐘}+P{最少4分鐘}=1e1.2e1.6（5）P{恰好2.5分鐘}=P(X=2.5)=020、設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為FX(x)0,x1,lnx,1xe,，1,xe.求（1）P(X<2),P{0<X≤3},P(2<X<52)；（2）求概率密度fX(x).解：（1）P(≤2)=X(2)=ln2，P(0<≤3)=FX(3)－X(0)=1，XFXF（2）f(x)F'(x)1,1xe,x0,其他21、設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度f(x)為（1）f(x)21x21x10其他（2）f(x)x0x12x1x2其他求X的分布函數(shù)F(x)，并作出（2）中的f(x)與F(x)的圖形。解：（1）當(dāng)－1≤x≤1時(shí)：當(dāng)1<x時(shí)：F(x)1121x2dxx0dx0dx11π1故分布函數(shù)為：解：（2）F(x)P(Xx)xf(t)dtF故分布函數(shù)為2）中的f(x)與F(x)的圖形以下f012x01X2x22、⑴由統(tǒng)計(jì)物理學(xué)知，分子運(yùn)動(dòng)速度的絕對(duì)值遵從邁克斯韋爾(Maxwell)分布，其概率密度為其中bm2kT，k為Boltzmann常數(shù)，T為絕對(duì)溫度，m是分子的質(zhì)量。試確定常數(shù)A。解:①Q(mào)xdx1x2Abx2x2即fxdxAx2ebdx0xebd02b②當(dāng)t0時(shí)，F(xiàn)Ttt0dt0tt1x當(dāng)t0時(shí)，F(xiàn)TtdtFTtfxe241dt02411001001t50100或P50T100tdte241dte241e241f241505023、某種型號(hào)的電子的壽命X（以小時(shí)計(jì)）擁有以下的概率密度：現(xiàn)有一大批此種管子（設(shè)各電子管損壞與否相互獨(dú)立）只壽命大于1500小時(shí)的概率是多少？解：一個(gè)電子管壽命大于1500小時(shí)的概率為

。任取

5只，問其中最少有

2令Y

表示“任取

5只此種電子管中壽命大于

1500

小時(shí)的個(gè)數(shù)”。則

Y~B(5,

2)，3P(Y

2)1P(Y

2)1

P(Y

0)P(Y

1)

1(1)5

C51

(2)(1)43

331

1

5235

1

1123224324324、設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時(shí)間X（以分計(jì)）遵從指數(shù)分布，其概率密度為：某顧客在窗口等待服務(wù)，若高出10分鐘他就走開。他一個(gè)月要到銀行5次。以Y表示一個(gè)月內(nèi)他未等到服務(wù)而走開窗口的次數(shù)，寫出Y的分布律。并求P（Y≥1）。解：該顧客“一次等待服務(wù)未成而走開”的概率為因此Y~B(5,e2).即P(Yk)5e2k(1e2)5k,(k1,2,3,4,5kP(Y1)1P(Y1)1P(Y0)1(1e2)51(11)51(10.1353363)57.38925、設(shè)0.86775110.48330.5167.K在（0，5）上遵從均勻分布，求方程4x24xKK20有實(shí)根的概率∵K的分布密度為：f(K)5100K50其他要方程有根，就是要K滿足(4K)2－4×4×(K+2)≥0。解不等式，得K≥2時(shí)，方程有實(shí)根。∴P(K2)f(x)dx51dx0dx32255526、設(shè)X～N（3.22）1）求P(2<X≤5)，P(－4)<X≤10)，P{|X|>2}，P(X>3)∵若（μ，σ2），則P(α<≤β)=φβμφαμX～NXσσ∴P(2<≤5)=φ53φ23=φ(1)－φ(－0.5)X22=0.8413－0.3085=0.5328P(－4<X≤10)=φ103φ43=φ(3.5)－φ(－3.5)22=0.9998－0.0002=0.9996P(|X|>2)=1－P(|X|<2)=1－P(－2<P<2)=1232322=1－φ(－0.5)+φ(－2.5)=1－0.3085+0.0062=0.6977P(X>3)=1－P(X≤3)=1－φ33=1－0.5=0.522）決定C使得P(X>C)=P(X≤C)∵P(X>C)=1－P(X≤C)=P(X≤C)得P(X≤C)=1=0.52又P(X≤C)=φC30.5,查表可得C30∴C=32227、某地區(qū)18歲的女青年的血壓（縮短區(qū)，以mm-Hg計(jì)）遵從N(110,122)在該地區(qū)任選一18歲女青年，測(cè)量她的血壓X。求（1）P(X≤105)，P(100<X≤120).（2）確定最小的X使P(X>x)≤0.05.解:(1)P(X105)(105110)(0.4167)11228、由某機(jī)器生產(chǎn)的螺栓長(zhǎng)度（cm）遵從參數(shù)為μ=10.05，σ=0.06的正態(tài)分布。規(guī)定長(zhǎng)度在范圍10.05±0.12內(nèi)為合格品，求一螺栓為不合格的概率是多少？設(shè)螺栓長(zhǎng)度為XP{X不屬于(10.05－0.12,10.05+0.12)=1－P(10.05－0.12<X<10.05+0.12)=1－(10.050.12)10.05(10.050.12)10.050.060.06=1－{φ(2)－φ(－2)}=1－{0.9772－0.0228}=0.045629、一工廠生產(chǎn)的電子管的壽命X（以小時(shí)計(jì)）遵從參數(shù)為μ=160，σ(未知)的正態(tài)分布，若要求P(120＜X≤200＝=0.80，贊同σ最大為多少？∵P(120＜X≤200)=20016012016040400.80σσσσ又對(duì)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布有φ(－x)=1－φ(x)∴上式變?yōu)?01400.80σσ解出40便得:400.9σσ再查表，得401.281σ4031.25σ1.28130、解：31、解：Qf(x)0,g(x)0,0a132、解：af(x)(1a)g(x)0且af(x)(1a)g(x)dxaf(x)dx(1a)g(x)dxa(1a)1因此af(x)(1a)g(x)為概率密度函數(shù)33、設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為：X：－2，－1，0，1，3P：1，1，1，1，115651530求Y=X2的分布律∵Y=X2：(－2)2(－1)2(0)2(1)2(3)2：111111P5651530再把X2的取值同樣的合并，并按從小到大排列，就得函數(shù)Y的分布律為：∴Y：0149P：111111561553034、設(shè)隨機(jī)變量X在（0，1）上遵從均勻分布X∵X的分布密度為：f(x)10x10x為其他Y=g(X)=eX是單調(diào)增函數(shù)又X=h(Y)=lnY，反函數(shù)存在且α=min[g(0),g(1)]=min(1,e)=1max[g(0),g(1)]=max(1,e)=e∴Y的分布密度為：f[h(y)]|h'(y)|111yeψ(y)yy為其他0（2）求Y=－2lnX的概率密度。Y=g(X)=－2lnX是單調(diào)減函數(shù)Y又Xh(Y)e2反函數(shù)存在。且α=min[g(0),g(1)]=min(+∞,0)=0β=max[g(0),g(1)]=max(+∞,0)=+∞1ey1∴f[h(y)]|h'(y)|12eY的分布密度為：ψ(y)220

y2

0yy為其他35、設(shè)X～N（0，1）X∵X的概率密度是f(x)1x2e2,x2πY=g(X)=eX是單調(diào)增函數(shù)又X=h(Y)=lnY反函數(shù)存在且α=min[g(－∞),g(+∞)]=min(0,+∞)=0β=[(－∞),g(+∞)]=(0,+∞)=+∞maxgmaxY的分布密度為：（2）求Y=2X2+1的概率密度。在這里，Y=2X2+1在(+∞，－∞)不是單調(diào)函數(shù)，沒有一般的結(jié)論可用。設(shè)Y的分布函數(shù)是FY（y），則FY(y)=P(Y≤y)=P(2X2+1≤y)=y1y1PX22當(dāng)y<1時(shí)：F(y)=0Y當(dāng)y≥1時(shí)：Fy(y)Py1Xy122

y1x221e2dxy12π2故Y的分布密度ψ(y)是：當(dāng)y≤1時(shí)：ψ(y)=[FY(y)]'=(0)'=0y1當(dāng)y>1時(shí)，ψ(y)=[FY(y)]'=2y12=1y1e42π(y1)

x2e2dx（3）求Y=|X|的概率密度?！遈的分布函數(shù)為FY(y)=P(Y≤y)=P(|X|≤y)當(dāng)y<0時(shí)，F(xiàn)Y(y)=0當(dāng)≥0時(shí)，Y(y)=P(|X|≤y)=P(－≤≤y1x2)=e2dxy2πY的概率密度為：當(dāng)y≤0時(shí)：ψ(y)=[FY(y)]'=(0)'=0當(dāng)0時(shí)：ψ()=[Y(yy1x22y2)]'=e2dxe2y2ππ36、（1）設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)，求Y=X3的概率密度。Y=g(X)=X3是X單調(diào)增函數(shù)，1又X=h(Y)=Y3，反函數(shù)存在，且α=min[g(－∞),g(+∞)]=min(0,+∞)=－∞β=max[g(－∞),g(+∞)]=max(0,+∞)=+∞Y的分布密度為：ψ(y)=f[h(h)]·|h'(y)|=112f(y3)y3,y,但y03（2）設(shè)隨機(jī)變量X遵從參數(shù)為1的指數(shù)分布，求Y=X2的概率密度。exx02法一：∵X的分布密度為：f(x)0x0y=xY=x2是非單調(diào)函數(shù)當(dāng)0時(shí)=2反函數(shù)是xyx<yx當(dāng)x<