《選擇性必修三》隨機變量及其分布 正態(tài)分布共1課時

7.5正態(tài)分布（1課時）一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1.內(nèi)容正態(tài)分布.2.內(nèi)容解析（1）內(nèi)容的本質(zhì)：正態(tài)分布是刻畫連續(xù)型隨機變量概率分布規(guī)律的數(shù)學工具,能刻畫很多隨機現(xiàn)象,是概率論與統(tǒng)計學的重要內(nèi)容.由中心極限定理可知一個隨機變量如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結(jié)果之和,它就服從正態(tài)分布.（2）蘊含的數(shù)學思想和方法：根據(jù)頻率與概率的關(guān)系,從頻率分布直方圖過渡到分布密度曲線,用分布密度函數(shù)刻畫正態(tài)分布的概率分布,完成正態(tài)分布模型的構(gòu)建過程.體會從特殊到一般、由經(jīng)驗分布模型建立理論模型的思想方法.（3）知識的上下位關(guān)系：本節(jié)《正態(tài)分布》位于選擇性必修三第七章隨機變量及其分布的最后一節(jié),在學習了離散型隨機變量之后安排刻畫連續(xù)型隨機變量分布情況的正態(tài)分布,既是對前面內(nèi)容的補充及拓展,對本章知識體系的一個完善,也是對必修二概率知識的后續(xù)延展.育人價值：正態(tài)分布作為現(xiàn)實中存在最為廣泛的隨機變量分布,在溝通數(shù)學與現(xiàn)實關(guān)系上具有得天獨厚的優(yōu)勢,通過對正態(tài)分布模型的抽象和推導過程,落實數(shù)學抽象、數(shù)學直觀和數(shù)學建模的核心素養(yǎng).（5）教學重點：正態(tài)分布的特征,概率的表示,正態(tài)分布的均值、方差及其含義.二、目標和目標解析1.目標1.通過誤差模型，了解服從正態(tài)分布的隨機變量；了解正態(tài)分布的均值、方差及其含義.2.通過具體實例，借助頻率分布直方圖的幾何直觀，了解正態(tài)分布的特征；了解3σ原則.2.目標解析達成上述目標的標志是：1.掌握正態(tài)分布的概念、特征以及參數(shù)的意義,以及正態(tài)曲線的性質(zhì)，知道參數(shù)對密度曲線的影響以及正態(tài)分布均值、方差及其含義,學會用用函數(shù)的觀點理解正態(tài)分布.2.能根據(jù)對稱性求正態(tài)分布的概率問題,從具體情景中識別正態(tài)分布,用模型解決實際中的問題.三、教學問題診斷分析在必修二的學習中,學生已經(jīng)掌握了統(tǒng)計等知識,這為學生理解利用頻率分布直方圖來研究誤差分布規(guī)律奠定了基礎(chǔ).但正態(tài)分布是高中學習的唯一的連續(xù)性隨機變量,正態(tài)分布的密度函數(shù)表達式較為復雜抽象,抽象性強、性質(zhì)比較多,學生理解比較困難.基于以上分析：本單元的難點為描述正態(tài)分布隨機變量的概率分布.四、教學支持條件分析正態(tài)分布是概率論中最重要的連續(xù)性隨機變量,但是正態(tài)分布的性質(zhì)多,抽象性強,在教學中可引導學生體會正態(tài)分布的知識背景,通過不同實例讓學生感受到正態(tài)分布存在的普遍性,采用信息技術(shù)軟件作圖,直觀呈現(xiàn)正態(tài)密度曲線的形成過程,加深學生的印象.五、課時教學設(shè)計一、問題引入創(chuàng)設(shè)情境：PPT展示德國10馬克紙幣的圖片，介紹高斯是近代數(shù)學奠基者之一，被認為是歷史上最重要的數(shù)學家之一，并享有“數(shù)學王子”之稱.以“高斯”命名的成果達110個，德國的10馬克紙幣上印有高斯的頭像和正態(tài)分布的曲線，傳達了一個信息：在高斯的科學貢獻中，對人類文明影響最大的是正態(tài)分布，引入課題正態(tài)分布.設(shè)計意圖：通過德國10馬克紙幣的圖片激發(fā)學生的學習興趣，體會數(shù)學的趣味性；同時，介紹高斯的相關(guān)背景，豐富學生的數(shù)學史，體會數(shù)學學習的樂趣.問題1：自動流水線包裝的食鹽，每袋標準質(zhì)量為400g.由于各種不可控制的因素，任意抽取一袋食鹽，它的質(zhì)量與標準質(zhì)量之間或多或少會存在一定的誤差（實際質(zhì)量減去標準質(zhì)量）.用隨機變量X表示這種誤差，X是離散型隨機變量嗎？如果不是，請說明理由.師生活動：學生回答，自動流水線上的食鹽，誤差的可能取值不是有限個，也不能被一一列舉,所以不符合離散型隨機變量的定義.現(xiàn)實中有大量問題的隨機變量不是離散型的,它們的取值往往充滿某個區(qū)間甚至整個實軸,但取一點的概率為0,我們稱這類隨機變量為連續(xù)型隨機變量.過渡:離散型隨機變量可以用分布列描述分布情況，那么對于連續(xù)型隨機變量呢？此時需構(gòu)建新的概率模型來刻畫誤差的分布.追問：1、連續(xù)型隨機變量和離散型隨機變量有何區(qū)別？離散型隨機變量的取值有限個或能一一列舉,連續(xù)型隨機變量在一定區(qū)間內(nèi),甚至整個實軸,數(shù)值是連續(xù)不斷的.2、生活中還有哪些隨機變量也是連續(xù)型隨機變量？某人在站臺等車的時間Ｘ是連續(xù)型隨機變量；某種無線電元件的壽命；某一地區(qū)同齡人群的身高、體重、肺活量等都是連續(xù)型隨機變量.二、新課教學（一）新舊銜接，引出正態(tài)分布概念問題2：檢測人員在一次產(chǎn)品檢驗中，隨機抽取了100袋食鹽，獲得誤差X（單位：g）的觀測值如下.-0.6-1.4-0.73.3-2.9-5.21.40.14.40.9-2.6-3.4-0.7-3.2-1.72.90.61.72.91.20.5-3.72.71.1-3.0-2.6-1.91.72.60.42.6-2.0-0.21.8-0.7-1.3-0.5-1.30.2-2.12.4-1.5-0.43.8-0.11.50.3-1.80.02.53.5-4.2-1.0-0.20.10.91.12.20.9-0.6-4.4-1.13.9-1.0-0.61.70.3-2.4-0.1-1.7-0.5-0.81.71.44.41.2-1.8-3.1-2.1-1.62.20.34.8-0.8-3.5-2.73.81.4-3.5-0.9-2.2-0.7-1.31.5-1.5-2.21.01.31.7-0.9追問1：如何研究這100個樣本誤差數(shù)據(jù)?師生活動：可研究樣本誤差數(shù)據(jù)的最值、均值、方差等；也可以繪制頻率分布直方圖直觀分析數(shù)據(jù).追問2：頻率分布直方圖的步驟如何？師生活動：引導學生回憶頻率分布直方圖的作圖步驟（求極差、確定組數(shù)和組距、確定區(qū)間分點將數(shù)據(jù)分組、列出頻率分布表、畫出頻率分布直方圖），展示學生繪制的圖象，教師利用geogebra作圖（圖1）.頻率分布直方圖中每個小矩形的面積表示誤差落在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)的頻率,所有小矩形的面積之和為1.圖1誤差有正有負并大致對稱地分布在的兩側(cè)圖1設(shè)計意圖：頻率分布直方圖雖然是學生在必修二中學習過的內(nèi)容，但相隔的時間比較久，大部分學生可能對這部分的知識產(chǎn)生遺忘，教師引導學生回憶，可以加強新舊聯(lián)系，為后面正態(tài)曲線概念的獲得做鋪墊.（二）由離散到連續(xù)，獲得正態(tài)曲線概念追問3：隨著樣本數(shù)樣本數(shù)據(jù)量越來越大時（即讓分組越來越多,組距越來越?。?，頻率分布直方圖的輪廓如何？師生活動：教師利用信息技術(shù)展示在樣本數(shù)據(jù)量越來越大時，頻率分布直方圖的輪廓越來越穩(wěn)定，接近一條光滑的鐘形曲線.由頻率分布直方圖得到鐘型曲線,鐘型曲線下可以看成無數(shù)個小矩形,所以鐘形曲線與水平軸的面積為1.追問4：根據(jù)頻率與概率的關(guān)系，如何用鐘形曲線描述袋裝食鹽質(zhì)量誤差的概率分布？師生活動：可用圖中的鐘形曲線來描述袋裝食鹽質(zhì)量誤差的概率分布，任意抽取一袋食鹽，誤差落在[-2,-1]內(nèi)的概率，可用圖2中陰影部分的面積表示.圖2設(shè)計意圖：從學生熟悉的頻率分布直方圖入手，層層遞進，過渡到概率密度曲線（鐘型曲線），引出正態(tài)密度函數(shù)，體會從有限到無限的思想，讓學生了解可用鐘型曲線刻畫概率分布，為下面引出正態(tài)分布的概念做鋪墊.問題3：上圖的鐘形曲線是函數(shù)圖象嗎？如果是，這個函數(shù)是否存在解析式呢？師生活動：由學生回憶函數(shù)的概念，設(shè)A，B為兩個為非空數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)與之對應(yīng)，那么就稱f：A→B為集合A到集合B的一個函數(shù).記作y=f(x)，x∈A.因為鐘形曲線滿足這種對應(yīng)關(guān)系，所以可以看做函數(shù).正態(tài)函數(shù)的解析式比較復雜，棣莫弗在求二項分布的漸進公式時，找到了鐘型曲線的解析式，但只是作為一個數(shù)學表達式，高斯提出“正態(tài)分布”的理論之后，正態(tài)密度曲線才取得“概率分布”的身份.，其中，為參數(shù)對任意的它的圖象在軸的上方，我們稱為正態(tài)密度函數(shù)，稱它的圖象為正態(tài)密度曲線，簡稱正態(tài)曲線.若隨機變量X的概率分布密度函數(shù)為,則稱隨機變量服從正態(tài)分布(normaldistribution),記為.特別地,當時,稱隨機變量服從標準正態(tài)分布.教師補充：可以適當補充正態(tài)分布解析式的探究史，棣莫弗曾稱正態(tài)密度曲線為神之曲線，正態(tài)密度函數(shù)雖然復雜，但也十分優(yōu)美，解析式中包含了圓周率π及自然對數(shù)底數(shù)e這兩大常數(shù)、最小質(zhì)數(shù)的算術(shù)平方根、還有兩個參數(shù)，增強學生的學習興趣.（三）正態(tài)分布的性質(zhì)探究通過上述學習，若，則如圖3所示，X取值不超過x的概率P(X≤x)為區(qū)域A的面積，而P(a≤X≤b)為區(qū)域B的面積.結(jié)合之前對函數(shù)的研究，在學習了函數(shù)的概念、解析式、圖象之后，我們需要繼續(xù)研究函數(shù)的性質(zhì).圖3追問1：可以從哪些方面研究正態(tài)密度函數(shù)的性質(zhì)？師生活動：回憶必修1中函數(shù)性質(zhì)（定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、對稱性、）的推導，可以結(jié)合圖象觀察和解析式推導.追問2：從形的角度研究正態(tài)分布，觀察正態(tài)曲線，你能發(fā)現(xiàn)正態(tài)曲線的哪些特點？師生活動：通過觀察正態(tài)密度函數(shù)，可以直觀觀察到正態(tài)分布的性質(zhì)(1)對任意的x∈R，圖象在x軸上方；(2)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x=μ對稱；(3)曲線在x=μ處達到峰值；(4)當|x|無限增大時，曲線無限接近x軸.追問3：從數(shù)的角度研究正態(tài)分布，觀察正態(tài)密度函數(shù)，驗證正態(tài)曲線的特點？小組討論，并請小組代表發(fā)言：x>0時所以f(x)>0恒成立..因為有成立，所以曲線關(guān)于對稱3、,所以x=μ取到最大值f(μ)=；4、當|x|趨向于+∞時,趨向于-∞,則趨向于0，f(μ)趨向于0,所以曲線無限接近x軸.設(shè)計意圖：“數(shù)”與“形”反映了事物兩個方面的屬性，從“形”上觀察圖象得出性質(zhì)，從“數(shù)”上證明性質(zhì)，“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”相結(jié)合，可以使復雜簡單問題簡單化，體會數(shù)形結(jié)合的便捷.（四）參數(shù)和對正態(tài)分布曲線的影響問題4：一個正態(tài)分布由參數(shù)和完全確定，這兩個參數(shù)對正態(tài)曲線的形狀有何影響？反映正態(tài)分布的哪些特征？師生活動：教師引導學生從函數(shù)的角度思考問題.先利用GGB直觀展現(xiàn)結(jié)果（圖4和圖5），再給出嚴謹推導.圖4圖5當參數(shù)取固定值時，正態(tài)曲線的位置由確定，且隨著的變化而沿軸平移.如圖4所示.當取固定值時，因為正態(tài)曲線的峰值與成反比，而且對任意的，正態(tài)曲線與軸之間的區(qū)域的面積總為1.因此，當較小時，峰值高，正態(tài)曲線“瘦高”，表示隨機變量的分布比較集中；當較大時，峰值低，正態(tài)曲線“矮胖”，表示隨機變量的分布比較分散，如圖5所示.觀察圖4和圖5可以發(fā)現(xiàn)，參數(shù)反映正態(tài)分布的集中位置，反映了隨機變量分布相對于均值的離散程度.實際上，我們有若,則,.設(shè)計意圖：通過觀察正態(tài)密度曲線的特征,了解密度函數(shù)中參數(shù)的變化對曲線的影響,以及服從正態(tài)分布的變量的均值和方差,先從圖象觀察變化,再從解析式驗證,進一步體現(xiàn)數(shù)學結(jié)合的思想.追問1：試舉例，生活中還有哪些隨機變量服從或近似服從正態(tài)分布？師生活動：正態(tài)分布在概率和統(tǒng)計中占有重要地位,廣泛存在于自然界、生產(chǎn)及生活實踐中,很多隨機變量都服從或近似服從正態(tài)分布.在生產(chǎn)中,在正常生產(chǎn)條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標;在生物學中,同一群體的某一特征(身高、體重等);在氣象中,某地每年七月的平均氣溫、平均濕度、降雨量等…正因為正態(tài)分布在現(xiàn)實生活中的廣泛存在,正態(tài)分布是宇宙的天條法規(guī)也是萬物的運行規(guī)律.過渡：在食鹽產(chǎn)商抽取食鹽,若連續(xù)兩次的誤差超過100g,就可以認為這批食鹽不符合規(guī)定,其中蘊含的正是正態(tài)分布的背景.圖6假設(shè)X~N(μ,σ2)，可以證明:對給定的k∈N*，P(μ-kσ≤X≤μ+kσ)是一個只與k有關(guān)的定值.，，.在一次試驗中，X的取值幾乎總是落在區(qū)間內(nèi)，而在此區(qū)間以外取值的概率大約只有0.0027，通常認為這種情況幾乎不可能發(fā)生.在實際應(yīng)用中，通常認為服從于正態(tài)分布的隨機變量X只取中的值，這在統(tǒng)計學中稱為原則.設(shè)計意圖：質(zhì)量檢測中，如若沒有外力干預，在檢測的產(chǎn)品為極端產(chǎn)品（誤差過大，出現(xiàn)小概率事件）時，此批產(chǎn)品則認為不合格，其中蘊含的數(shù)學道理即為正態(tài)分布的3σ原則.三、例題精講例1給出下列兩個正態(tài)分布的函數(shù)表達式，請找出其μ和σ解：正態(tài)密度函數(shù)為則第一小題中μ=0，σ=1；第二小題中μ=1，σ=2練習1：設(shè)兩個正態(tài)分布和的密度函數(shù)圖象如圖7所示，則有（）圖7設(shè)計意圖：這兩題為基礎(chǔ)題，旨在讓學生掌握正態(tài)分布函數(shù)的形式，此題要求所有學生掌握.例2李明上學有時坐公交車，有時騎自行車.他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到：坐公交車平均用時30min，樣本方差為36；騎自行車平均用時34min，樣本方差為4.假設(shè)坐公交車用時X和騎自行車用時Y都服從正態(tài)分布.（1）估計X，Y的分布中的參數(shù)；（2）根據(jù)（1）中的估計結(jié)果，利用信息技術(shù)工具畫出X和Y的分布密度曲線；（3）如果某天有38min可用，李明應(yīng)選擇哪種交通工具？如果某天只有34min可用，又應(yīng)該選擇哪種交通工具？請說明理由.師生活動：教