理論力學(xué)質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)基本方程

理論力學(xué)質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)基本方程第一頁，共四十五頁，2022年，8月28日動力學(xué)引言一.研究對象：二.力學(xué)模型：研究物體的機(jī)械運(yùn)動與作用力之間的關(guān)系2.質(zhì)點(diǎn)系：由有限或無限個有著一定聯(lián)系的質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)。

1.質(zhì)點(diǎn)：具有一定質(zhì)量而不考慮其形狀大小的物體。剛體是一個特殊的質(zhì)點(diǎn)系，由無數(shù)個相互間保持距離不變的質(zhì)點(diǎn)組成。又稱為不變質(zhì)點(diǎn)系。例如：研究衛(wèi)星的軌道時，衛(wèi)星質(zhì)點(diǎn)；剛體作平動時,剛體質(zhì)點(diǎn)。第二頁，共四十五頁，2022年，8月28日動力學(xué)自由質(zhì)點(diǎn)系：質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動不受約束的限制。

非自由質(zhì)點(diǎn)系：質(zhì)點(diǎn)系中的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動受到約束的限制。質(zhì)點(diǎn)系是力學(xué)中最普遍的抽象化模型；包括剛體,彈性體,流體。三.動力學(xué)分類:質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)質(zhì)點(diǎn)系動力學(xué)質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)是質(zhì)點(diǎn)系動力學(xué)的基礎(chǔ)。四.動力學(xué)的基本問題：大體上可分為兩類：

第一類：已知物體的運(yùn)動情況，求作用力；第二類：已知物體的受力情況，求物體的運(yùn)動。

綜合性問題：已知部分力，部分運(yùn)動求另一部分力、部分運(yùn)動。已知主動力，求運(yùn)動，再由運(yùn)動求約束反力。第三頁，共四十五頁，2022年，8月28日第六章質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)理論力學(xué)第四頁，共四十五頁，2022年，8月28日§6–1慣性參考系中的質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)§6–2非慣性參考系中的質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)第六章質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)第五頁，共四十五頁，2022年，8月28日動力學(xué)一.慣性參考系§6-1慣性參考系中的質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)二.牛頓定律1.一般工程問題：固定于地面或相對于地面作勻速直線平動；2.人造衛(wèi)星、洲際導(dǎo)彈問題：地心為原點(diǎn)，三軸指向三個恒星；3.天體運(yùn)動問題：太陽為中心、三軸指向三個恒星。1.第一定律（慣性定律）：2.第二定律（力與加速度之間的關(guān)系定律）：3.第三定律（作用與反作用定律）：第六頁，共四十五頁，2022年，8月28日動力學(xué)

將動力學(xué)基本方程表示為微分形式的方程，稱為質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動微分方程。1.矢量形式2.直角坐標(biāo)形式三.質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動微分方程第七頁，共四十五頁，2022年，8月28日動力學(xué)

3.自然形式

質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程除以上三種基本形式外,還可有極坐標(biāo)形式,柱坐標(biāo)形式等等。應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程，可以求解質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)的兩類問題。第八頁，共四十五頁，2022年，8月28日動力學(xué)

四.質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)的兩類基本問題1.已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律，求作用于質(zhì)點(diǎn)上的力；----求微分問題。2.已知質(zhì)點(diǎn)上所受的力，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律。----按質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的初始條件和力的函數(shù)關(guān)系對運(yùn)動微分方程進(jìn)行求解，從數(shù)學(xué)角度看，是解微分方程或求積分，并確定相應(yīng)的積分常數(shù)的問題。第九頁，共四十五頁，2022年，8月28日例1在曲柄滑槽機(jī)構(gòu)中，活塞和滑槽的質(zhì)量共為50kg。曲柄OA長r=0.3m，繞軸O作勻速轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)速n=120r/min。求滑塊作用在滑槽上的水平力（各處摩擦不計）。第十頁，共四十五頁，2022年，8月28日質(zhì)心ClxyFAF2GF1解：（1）取活塞為研究對象；

（2）受力分析，畫受力圖；（3）運(yùn)動分析，寫出運(yùn)動方程；第十一頁，共四十五頁，2022年，8月28日FAF2GF1求加速度由得第十二頁，共四十五頁，2022年，8月28日

例2：離心式轉(zhuǎn)速計工作原理如圖所示。彈性細(xì)繩ACD系住的小球質(zhì)量為m。彈性細(xì)繩的原長(未受力時的長度)為CD，彈簧常數(shù)為k。設(shè)AB=CB=l，試求轉(zhuǎn)速計穩(wěn)定轉(zhuǎn)動時,其轉(zhuǎn)動軸的角速度ω與偏角θ的關(guān)系以及桿AB所受的力。OABlCyxSmgFaAO第十三頁，共四十五頁，2022年，8月28日

解：取小球A為研究對象，分析受力。

細(xì)繩的彈性力F沿AC線，大小為

列出小球A的運(yùn)動微分方程ABlCyxSmgFaAO求小球的加速度。

第十四頁，共四十五頁，2022年，8月28日如果sinθ≠0，則由第一式可解得故桿AB所受的力的大小為，方向與S相反。

再將S的值代入第二式，注意到三角關(guān)系，可解得系統(tǒng)穩(wěn)定轉(zhuǎn)動時的最小角速度為

即第十五頁，共四十五頁，2022年，8月28日動力學(xué)第一類問題解題步驟和要點(diǎn)：

①正確選擇研究對象（一般選擇聯(lián)系已知量和待求量的質(zhì)點(diǎn)）。

②正確進(jìn)行受力分析,畫出受力圖(應(yīng)在一般位置上進(jìn)行分析)。

③正確進(jìn)行運(yùn)動分析（分析質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的特征量）。

④選擇并列出適當(dāng)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程（建立坐標(biāo)系）。

⑤求解未知量。第十六頁，共四十五頁，2022年，8月28日動力學(xué)解：①選重物(抽象為質(zhì)點(diǎn))為研究對象

②受力分析如圖所示③運(yùn)動分析，沿以O(shè)為圓心,L為半徑的圓弧擺動。課堂練習(xí).

橋式起重機(jī)跑車吊掛一重為G的重物，沿水平橫梁作勻速運(yùn)動，速度為，重物中心至懸掛點(diǎn)距離為L。突然剎車，重物因慣性繞懸掛點(diǎn)O向前擺動，求鋼絲繩的最大拉力。第十七頁，共四十五頁，2022年，8月28日動力學(xué)④列出自然形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微方程⑤求解未知量[注]①減小繩子拉力途徑：減小跑車速度或者增加繩子長度。

②拉力Tmax由兩部分組成,一部分等于物體重量,稱為靜拉力一部分由加速度引起，稱為附加動拉力。全部拉力稱為動拉力。第十八頁，共四十五頁，2022年，8月28日動力學(xué)2.第二類：已知作用在質(zhì)點(diǎn)上的力，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動（積分問題）已知的作用力可能是常力,也可能是變力。變力可能是時間、位置、速度或者同時是上述幾種變量的函數(shù)。

如力是常量或是時間及速度函數(shù)時，可直接分離變量。如力是位置的函數(shù)，需進(jìn)行變量置換第十九頁，共四十五頁，2022年，8月28日動力學(xué)列直角坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程并對其積分運(yùn)算微分方程積分一次再積分一次解：屬于已知力為常量的第二類問題。選擇填充材料M為研究對象，受力如圖所示，M作斜拋運(yùn)動。例3煤礦用填充機(jī)進(jìn)行填充,為保證充填材料拋到距離為S=5米,H=1.5米的頂板A處。求(1)充填材料需有多大的初速度v0

?(2)初速與水平的夾角a0？

第二十頁，共四十五頁，2022年，8月28日動力學(xué)初始條件：第二十一頁，共四十五頁，2022年，8月28日動力學(xué)代入最高點(diǎn)A處值，得：即將到達(dá)A點(diǎn)時的時間t,x=S,y=H代入運(yùn)動方程，得發(fā)射初速度大小與初發(fā)射角為約束條件：第二十二頁，共四十五頁，2022年，8月28日

例4：求質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)M在粘性介質(zhì)中自由下落的運(yùn)動方程。設(shè)質(zhì)點(diǎn)受到的阻尼力Fr=-cv，c稱為粘度系數(shù)，簡稱粘度。初始時質(zhì)點(diǎn)在介質(zhì)表面上被無初速度釋放。第二十三頁，共四十五頁，2022年，8月28日解：取質(zhì)點(diǎn)M為研究對象，作用其上的力有重力和介質(zhì)阻尼力，均為已知，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動，屬于動力學(xué)第二類問題。在任意位置上，有本題中力是速度的函數(shù)，采用變量分離法，考慮運(yùn)動初始條件：t=0，x0=0，v0=0，對上式積分一次或第二十四頁，共四十五頁，2022年，8月28日于是有即分離變量，再積分一次質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程

第二十五頁，共四十五頁，2022年，8月28日質(zhì)點(diǎn)開始做加速運(yùn)動，速度增大，隨著時間的增加，質(zhì)點(diǎn)其與速度方向相同的加速度逐漸減小。當(dāng)t→∞時，速度圖形趨于一漸近線，即質(zhì)點(diǎn)的速度趨于常數(shù)。

此速度為質(zhì)點(diǎn)在阻尼介質(zhì)中運(yùn)動的極限速度。跳傘運(yùn)動員著地時的速度即可由該式求出。第二十六頁，共四十五頁，2022年，8月28日動力學(xué)例5發(fā)射火箭，求脫離地球引力的最小速度。解：屬于已知力是位置的函數(shù)的第二類問題。取火箭(質(zhì)點(diǎn))為研究對象,建立坐標(biāo)如圖示?；鸺谌我馕恢脁處受地球引力F的作用。

則在任意位置時的速度即：第二十七頁，共四十五頁，2022年，8月28日動力學(xué)可見，v隨著x的增加而減小。若則在某一位置x=R+H時速度將減小到零，火箭回落。若時，無論x多大（甚至為∞）,火箭也不會回落。因此脫離地球引力而一去不返時（）的最小初速度（第二宇宙速度）第二十八頁，共四十五頁，2022年，8月28日動力學(xué)第二類問題解題步驟如下：①正確選擇研究對象。②正確進(jìn)行受力分析，畫出受力圖。判斷力是什么性質(zhì)的力（應(yīng)放在一般位置上進(jìn)行分析，對變力建立力的表達(dá)式）。③正確進(jìn)行運(yùn)動分析。

除應(yīng)分析質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動特征外，還要確定出其運(yùn)動初始條件。第二十九頁，共四十五頁，2022年，8月28日動力學(xué)選擇并列出適當(dāng)?shù)馁|(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程。

如力是常量或是時間及速度函數(shù)時，可直接分離變量。

求解未知量。應(yīng)根據(jù)力的函數(shù)形式?jīng)Q定如何積分，并利用運(yùn)動的初始條件，求出質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動。如力是位置的函數(shù)，需進(jìn)行變量置換第三十頁，共四十五頁，2022年，8月28日動力學(xué)一.基本方程§6-2非慣性參考系中的質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)對于動參考系O’x’y’z’

將上式代入牛頓第二定律F=ma=m(ar+ae+aC)或表示為

mar=F-mae–maC

第三十一頁，共四十五頁，2022年，8月28日令：FIe=-mae，F(xiàn)IC=-maC，分別稱為牽連慣性力和科氏慣性力。質(zhì)點(diǎn)相對運(yùn)動微分方程

質(zhì)點(diǎn)相對運(yùn)動的動力學(xué)方程。

第三十二頁，共四十五頁，2022年，8月28日當(dāng)非慣性參考系作平動時，

當(dāng)非慣性參考系作勻速直線平動時，即質(zhì)點(diǎn)的相對運(yùn)動動力學(xué)方程與絕對運(yùn)動動力學(xué)方程完全相同。古典力學(xué)的相對性原理：在一個系統(tǒng)內(nèi)部所做的任何力學(xué)試驗，都不能確定這一系統(tǒng)是靜止的還是在作勻速直線平動。也稱為伽利略、牛頓相對性原理。第三十三頁，共四十五頁，2022年，8月28日當(dāng)質(zhì)點(diǎn)相對于動參考系作勻速直線運(yùn)動時，

當(dāng)質(zhì)點(diǎn)相對于動參考系靜止不動時，第三十四頁，共四十五頁，2022年，8月28日

例6固定在鉛垂桿CD上的直管AB繞軸線以勻角速度ω轉(zhuǎn)動，直管軸線與轉(zhuǎn)動軸成45o角，管內(nèi)有一小球由相對靜止?fàn)顟B(tài)開始運(yùn)動。設(shè)小球的起始位置到O點(diǎn)的距離為a。忽略摩擦，求小球沿直管的運(yùn)動方程。第三十五頁，共四十五頁，2022年，8月28日解：取小球為研究對象

質(zhì)點(diǎn)的相對運(yùn)動動力學(xué)方程在x’方向的投影式為第三十六頁，共四十五頁，2022年，8月28日該微分方程的解可表示為其中x1’為（a）式的齊次方程的解x2’為（a）式的非齊次方程的特解于是

第三十七頁，共四十五頁，2022年，8月28日根據(jù)初始條件t=0,得

解得

故

第三十八頁，共四十五頁，2022年，8月28日二.質(zhì)點(diǎn)相對地球的運(yùn)動

例7北京位于地球表面北緯φ=40o處，在北京的上空h=100m處有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)自由下落，求由于地球自轉(zhuǎn)的影響，落體到達(dá)地面時對