第七章 相似矩陣及二次型

第七章相似矩陣及二次型第一頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日定義1設(shè)有維向量令,則稱為向量與的內(nèi)積。

§7.1標(biāo)準(zhǔn)正交基第二頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日內(nèi)積是向量的一種運(yùn)算，用矩陣記號(hào)表示，當(dāng)與都是列向量時(shí)，有＝內(nèi)積滿足下列運(yùn)算規(guī)律（其中為維向量，為實(shí)數(shù)）i

(ii)(ⅲ)

第三頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日

利用向量的內(nèi)積概念，我們可以定義維向量的長(zhǎng)度.

定義2設(shè)是一個(gè)維實(shí)向量，令

,

稱為維向量的長(zhǎng)度（或范數(shù)）。向量的長(zhǎng)度具有下述性質(zhì)：1、非負(fù)性：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；第四頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日2、齊次性：；3、三角不等式：。當(dāng)時(shí)，稱為單位向量。向量的內(nèi)積滿足，上式稱為Schwarz(施瓦茲)不等式。由此可得（當(dāng)是非零向量時(shí)），于是有下面的定義：當(dāng)時(shí)稱為維向量的夾角.第五頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)時(shí)，稱向量與正交。顯然，若，則與任何向量都正交。定義3如果向量組中任意兩個(gè)向量都是正交，而且每個(gè)都不是零向量，那么這個(gè)向量組就稱為正交向量組。下面證明關(guān)于正交向量組一個(gè)重要性質(zhì)。定理1正交向量組一定是線性無(wú)關(guān)的。證明：設(shè)是一個(gè)正交向量組，如果第六頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日那么以左乘上式兩端，得

因，故，從而必有。類似可證。于是向量組線性無(wú)關(guān)。我們常采用正交向量組作為向量空間的基，稱為向量空間的正交基。顯然任意個(gè)兩兩正交的維非零向量都可以構(gòu)成向量空間的一個(gè)正交基。第七頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日例1已知3維向量空間中的兩個(gè)向量正交，試求一個(gè)非零向量，使兩兩正交。解：記

應(yīng)滿足齊次線性方程組,由

第八頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日得，從而有基礎(chǔ)解系，取即可。

第九頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日定義4設(shè)維向量是向量空間的一個(gè)基，如果兩兩正交，且都是單位向量，則稱是的一個(gè)正交規(guī)范基。例如，，，就是的一個(gè)正交規(guī)范基。第十頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日

若是的一個(gè)正交規(guī)范基，那么中任一向量應(yīng)能由線性表示，設(shè)表示式為為求其中的系數(shù)，可用左乘上式，有即 設(shè)是向量空間的一個(gè)基，要求的一個(gè)正交規(guī)范基。這也就是要找一組兩兩正交的單位向量，使與等價(jià)。這個(gè)問題稱為把這個(gè)基正交規(guī)范化.我們有下面的定理：

第十一頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日定理2設(shè)是一組線性無(wú)關(guān)的向量，那么，可以找到一組正交的向量，使得與等價(jià)。證明只要令第十二頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日

這個(gè)證明過(guò)程給出了求與已知線性無(wú)關(guān)向量組等價(jià)的正交向量組的方法.通常稱為Schimidt（施密特）正交化方法.如果再將所得的正交向量組單位化,即令

,就得到一組與等價(jià)的正交單位向量組 .第十三頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日

例２設(shè)，，，試用Schimidt(施密特)正交化方法把這組向量正交規(guī)范化.

解取

;第十四頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日 .再把它們單位化,取

,, .

即為所求．第十五頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日例３已知,求一組非零向量,使兩兩正交.解應(yīng)滿足方程，即它的基礎(chǔ)解系為，．第十六頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日把基礎(chǔ)解系正交化，即合所求．取 ．其中于是得

第十七頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日定義５如果階方陣滿足

那么稱為正交矩陣．

例如，實(shí)矩陣，和都是正交矩陣。

第十八頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日

正交矩陣有以下一些性質(zhì)：性質(zhì)1．正交矩陣的行列式等于1或證明：設(shè)是正交矩陣，則兩邊取行列式得：于是，由此即得。第十九頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日性質(zhì)2．如果是正交矩陣，則.性質(zhì)3．如果是正交矩陣，則也是正交矩陣。性質(zhì)4.如果是同階正交矩陣，則它們的乘積也是正交矩陣。這些性質(zhì)都可以簡(jiǎn)單地驗(yàn)證。第二十頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)是一個(gè)階正交矩陣，它的行向量為由式，我們易得的元素間的下述關(guān)系式這說(shuō)明：階方陣是正交矩陣的充分必要條件是它的個(gè)行向量恰好是兩兩正交的單位向量組，因而可以構(gòu)成向量空間的一個(gè)正交規(guī)范基。類似地，的個(gè)列向量也構(gòu)成向量空間的一個(gè)正交規(guī)范基.第二十一頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日

例4已知正交單位向量， 。求使是正交單位向量組；求一個(gè)以為第1，2列的正交矩陣。解由于是線性無(wú)關(guān)的，所以可取兩個(gè)向量 ， 使線性無(wú)關(guān)。

第二十二頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日

將正交化得一個(gè)正交向量組： ， ，

第二十三頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日再將這組向量單位化，即得到一個(gè)正交單位向兩組： ，

第二十四頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日

，其中向量即為所求。 （2）以的轉(zhuǎn)置為列作一個(gè)矩陣：這個(gè)矩陣即為所求。第二十五頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日這個(gè)例題表明：正交單位向量與在正交化和單位化的過(guò)程中都不會(huì)改變。這說(shuō)明任意個(gè)維正交的單位向量都可以作為某個(gè)階正交矩陣的個(gè)行（或列）.定義6若為正交矩陣，則線性變換稱為正交變換。設(shè)為正交變換，則有

由于表示向量的長(zhǎng)度，就表示正交變換保持向量的長(zhǎng)度不變。第二十六頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日§7.2實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化

設(shè)復(fù)空間中的向量，稱為的共軛向量，其中表示的共軛復(fù)數(shù)。

定理4實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù).

證明設(shè)復(fù)數(shù)為實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值,復(fù)向量為對(duì)應(yīng)的特征向量,即.

第二十七頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日

用表示的共軛復(fù)數(shù),表示的共軛向量,則=.于是有及兩式相減,得第二十八頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日但因,所以故即，這說(shuō)明是實(shí)數(shù).

顯然,當(dāng)特征值為實(shí)數(shù)時(shí),齊次線性方程組是實(shí)系數(shù)方程組，必有實(shí)的基礎(chǔ)解系，所以對(duì)應(yīng)的特征向量可以取實(shí)向量。第二十九頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日

定理5設(shè)是一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣.那么屬于的不同的特征值的特征向量是正交的．證明設(shè)分別是的屬于不同特征值的實(shí)特征向量:,,.于是第三十頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日而所以但是,所以,即與是正交的．第三十一頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日

定理6設(shè)為階對(duì)稱矩陣,是的特征方程的重根,則方陣的秩

,從而對(duì)應(yīng)特征值恰有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.

這個(gè)定理在這里不予證明.

第三十二頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日

定理7設(shè)為階對(duì)稱矩陣,則必有正交陣,使,其中是以的個(gè)特征值為對(duì)角元素的對(duì)角陣.

證明設(shè)的互不相等的特征值為,它們的重?cái)?shù)依次為.第三十三頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日

根據(jù)定理6及定理7知,對(duì)應(yīng)特征值

,恰有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,把它們正交化并單位化,可得個(gè)單位正交的特征向量.由,知這樣的特征向量共可得個(gè).第三十四頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日

根據(jù)定理5知對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量正交，故這個(gè)單位特征向量?jī)蓛烧?。于是以它們?yōu)榱邢蛄繕?gòu)成正交陣,并有其中對(duì)角陣的對(duì)角元素含個(gè),個(gè),個(gè),恰是的個(gè)特征值。第三十五頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日可按以下步驟求出具體的正交矩陣：1.求出特征多項(xiàng)式的全部根,即的特征值,設(shè)的全部不同的特征值為．2.對(duì)每個(gè)解齊次線性方程組3.找出一個(gè)基礎(chǔ)解系第三十六頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日4.將正交化，單位化，得到一組正交的單位向量．它們是的屬于線性無(wú)關(guān)的特征向量．5.因?yàn)楦鞑幌嗤?向量組仍是正交的單位向量組．它們總共有個(gè)．以這一組向量為列向量，作一個(gè)矩陣，則就是所要求的正交矩陣．第三十七頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日例10設(shè)求一個(gè)正交陣，使為對(duì)角陣．解第三十八頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日故得特征值當(dāng)時(shí)，由

第三十九頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日基礎(chǔ)解系為，單位化得

第四十頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日

當(dāng)時(shí)，由得基礎(chǔ)解系第四十一頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日

由于這兩個(gè)向量正好正交，單位化即得兩個(gè)正交的特征向量于是得正交陣第四十二頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日可以驗(yàn)證知的確有第四十三頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日例11設(shè)求正交矩陣，使為對(duì)角形．第四十四頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日解首先求的特征值．因?yàn)樗缘奶卣髦禐椋保ǎ持兀?，５．第四十五?yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)時(shí)，由求得一個(gè)基礎(chǔ)解系：第四十六頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日把它正交化，得第四十七頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日再單位化，得第四十八頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)時(shí)，由基礎(chǔ)解系為.再將單位化，得

第四十九頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日（一定與正交），是的一組正交的單位特征向量。以它們?yōu)榱?，作一個(gè)矩陣第五十頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日

是一個(gè)正交矩陣，而且有第五十一頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日§7.3實(shí)二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形

二次型的問題起源于化二次曲線和二次曲面為標(biāo)準(zhǔn)型的問題．在解析幾何中，當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)與中心重合時(shí)，有心二次曲線的一般方程是：

（7.6）為便于研究這個(gè)二次曲線的幾何性質(zhì)，可以用適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)旋轉(zhuǎn)變換第五十二頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日把方程化為標(biāo)準(zhǔn)形第五十三頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日式（7.6）左端是一個(gè)二次齊次多項(xiàng)式，從代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)看,化標(biāo)準(zhǔn)形的過(guò)程就是通過(guò)變量的線性變換化簡(jiǎn)一個(gè)二次齊次多項(xiàng)式,使它只含有平方項(xiàng)。這樣一個(gè)問題,不但在幾何中常會(huì)遇到,而且在數(shù)學(xué)的其他分支以及物理，力學(xué)中也常會(huì)遇到。這一節(jié)里我們介紹二次齊次多項(xiàng)式的一些重要性質(zhì)及其化簡(jiǎn)問題。第五十四頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日定義8含有個(gè)變量的二次齊次函數(shù)

(7.7)稱為二次型.

為方便起見，二次型常簡(jiǎn)記為.取,則第五十五頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日于是(7.7)式可以寫成

(５.8)第五十六頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日

由(7.8)式,利用矩陣,二次型可表示為第五十七頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日第五十八頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日記則二次型可記為（7.10）其中為對(duì)稱矩陣．

第五十九頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日例12用矩陣表示二次型解由二次型的矩陣的元素與二次型的系數(shù)的關(guān)系，令第六十頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日得任給一個(gè)二次型，就唯一地確定一個(gè)對(duì)稱陣，反之，任給一個(gè)對(duì)稱陣,也可唯一地確定一個(gè)二次型。這樣,二次型與對(duì)稱矩陣之間存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。第六十一頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日

因此,我們把對(duì)稱陣叫做二次型的矩陣,也把叫做對(duì)稱陣的二次型.對(duì)稱陣的秩就叫做二次型的秩.

容易看出,二次型(7.8)的矩陣的對(duì)角線元素正好就是(7.8)中的系數(shù)；而正好就是的系數(shù)的一半。

第六十二頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日

定義9設(shè)；是兩組變量,則下面一組關(guān)系式

(7.9)稱為由到的一個(gè)線性變換,簡(jiǎn)稱線性變換.

第六十三頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日如果系數(shù)矩陣是可逆的，就稱線性變換(7.9)是可逆的．當(dāng)是正交矩陣時(shí)，就稱(7.9)是正交的。正交的線性變換簡(jiǎn)稱正交變換．第六十四頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日

由此看出,若已知二次型,我們可以容易地寫出它對(duì)應(yīng)的矩陣,反之,已知實(shí)對(duì)稱矩陣,由可以容易地寫出它對(duì)應(yīng)的二次型.

記,把可逆變換(7.9)記作代入(7.8),有第六十五頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日

對(duì)于二次型,我們討論的主要問題是:尋求可逆的線性變換(7.9)使二次型(7.7)能簡(jiǎn)化為只含平方項(xiàng),也就是用(7.9)代入(7.7)時(shí),能使這種只含平方項(xiàng)的二次型,稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形(或法式).第六十六頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日

當(dāng)為復(fù)數(shù)時(shí),稱為復(fù)二次型,當(dāng)為實(shí)數(shù)時(shí),稱為實(shí)二次型。這里，我們只討論實(shí)二次項(xiàng),所求的線性變換(7.9)也限于實(shí)系數(shù)范圍.

在討論二次型時(shí),矩陣是一個(gè)有力的工具,因此我們先把二次型用矩陣來(lái)表示。第六十七頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日

定理10任給可逆矩陣,令,如果為對(duì)稱陣,則也是對(duì)稱陣,且證明為對(duì)稱矩陣,于是有,從而即為對(duì)稱陣。第六十八頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日再證.

因,故因,故.于是.

這定理說(shuō)明經(jīng)可逆變換后,二次型的矩陣由變?yōu)?且二次型的秩不變.

第六十九頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日

如果兩個(gè)矩陣和滿足=,其中是一個(gè)可逆矩陣,則稱與是合同的.要使二次型經(jīng)可逆變換變成標(biāo)準(zhǔn)型,就是要使第七十頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日也就是要使成為對(duì)角陣.因此,我們的主要問題就是:對(duì)于對(duì)稱矩陣,尋求可逆矩陣,使為對(duì)角陣;或者說(shuō)是尋找與合同的對(duì)角陣.第七十一頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日

定理11任給二次型,總存在正交變換,使化為標(biāo)準(zhǔn)形其中是的矩陣的特征值．

證明由第2節(jié)定理９知,任給一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣,總可以找到一個(gè)正交矩陣,使為對(duì)角矩陣第七十二頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日因?yàn)槭钦痪仃?所以,于是

=.

由于一個(gè)二次型經(jīng)可逆線性變換后得到的仍是二次型,且當(dāng)一個(gè)二次型的系數(shù)矩陣是對(duì)角矩陣時(shí),這個(gè)二次型就是平方和的形式。

第七十三頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日例13用正交變換化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形.解的矩陣為第七十四頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日首先求一個(gè)正交矩陣,使為對(duì)角形.

先求的特征多項(xiàng)式：得的特征值是５（２重）和－４．第七十五頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日

當(dāng)時(shí)，由解得基礎(chǔ)解系：

第七十六頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日正交化后，得當(dāng)時(shí)得到的等價(jià)的齊次線性方程組為第七十七頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日得基礎(chǔ)解系：?jiǎn)挝换蟮玫谄呤隧?yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日由組成正交矩陣則二次型經(jīng)正交變換第七十九頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日即化為標(biāo)準(zhǔn)形第八十頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日例14設(shè)二次型通過(guò)正交變換可化為標(biāo)準(zhǔn)形式：求參數(shù)及所用的正交變換。第八十一頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日解對(duì)應(yīng)的矩陣為標(biāo)準(zhǔn)形對(duì)應(yīng)的矩陣為第八十二頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)正交陣使得，兩邊取行列式得，即由，得。因?yàn)?，所以有特征值第八十三?yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日

當(dāng)時(shí)，由基礎(chǔ)解系為，單位化得

第八十四頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日

當(dāng)時(shí)，由基礎(chǔ)解系為，??；第八十五頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日

當(dāng)時(shí)，由基礎(chǔ)解系為，單位化得；第八十六頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日顯然是兩兩正交的單位向量，以為列即得所求的正交矩陣

第八十七頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日

用非退化的線性變換化二次型成標(biāo)準(zhǔn)形

二次型中最簡(jiǎn)單的一種是只包含平方項(xiàng)的形式,即平方和的形式

(5.11)在用正交變換化二次型成標(biāo)準(zhǔn)形時(shí),標(biāo)準(zhǔn)形中各項(xiàng)的系數(shù)恰好是二次型的矩陣的特征值。除了可以用正交變換化二次型為標(biāo)形外,也可以用多個(gè)可逆線性變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形.這里介紹拉格朗日配方法.第八十八頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日例15化二次型成標(biāo)準(zhǔn)形,并求出所用的可逆線性變換.解由于中含有變量平方項(xiàng),故把含的項(xiàng)歸并起來(lái),配方可得第八十九頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日上式右端除第一項(xiàng)外已不再含有,繼續(xù)配方,可得第九十頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日

令即這就把化成標(biāo)準(zhǔn)形,所用的變換矩陣為第九十一頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日例１6化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形.并寫出所用的可逆變換。解作可逆線性變換:第九十二頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日則

第九十三頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日

再令即得也就是將化成了平方和.

第九十四頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日

把上面所作的兩個(gè)線性變換復(fù)合起來(lái)就得到總的線性變換：

=

第九十五頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日所用的線性變換為一般地，任何二次型都可用上面兩例的方法，找到可逆線性變換，把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形。由定理10知，標(biāo)準(zhǔn)形中含有的項(xiàng)數(shù)就是二次型的秩。應(yīng)該注意的是，當(dāng)所用的可逆線性變換不同時(shí)，得到的標(biāo)準(zhǔn)形可能不同。第九十六頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日§7.4實(shí)二次型的規(guī)范形

一個(gè)二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形時(shí),由于所用的可逆線性變換不同,得到的標(biāo)準(zhǔn)形也可能不同.例如,二次型經(jīng)可逆線性變換第九十七頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日化為

;而經(jīng)可逆線性變換化為

第九十八頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日

這就是說(shuō),二次型的標(biāo)準(zhǔn)形不是唯一的,但是一個(gè)二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形后,標(biāo)準(zhǔn)形中的項(xiàng)數(shù)是唯一的(這個(gè)項(xiàng)數(shù)就是二次型的秩).當(dāng)限定二次型的系數(shù)為實(shí)數(shù),且所用的可逆線性變換為實(shí)變換時(shí),標(biāo)準(zhǔn)形中正系數(shù)的個(gè)數(shù)是不變的,從而負(fù)系數(shù)的個(gè)數(shù)也是不變的.

第九十九頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日

設(shè)是一個(gè)實(shí)系數(shù)二次型.經(jīng)過(guò)一個(gè)非退化的線性變換,再適當(dāng)排列變量的次序(這也可看成是作可逆線性變換),可使變成標(biāo)準(zhǔn)形第一百頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日其中,是的秩.因?yàn)閷?shí)數(shù)可以開平方,而且其平方根不等于０,所以可再作一次可逆線性變換第一百零一頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日前面的標(biāo)準(zhǔn)形又變成這個(gè)式子稱為二次型的規(guī)范形.顯然,規(guī)范形由兩個(gè)數(shù)決定.

第一百零二頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日

定理12設(shè)有實(shí)二次型,它的秩為,有兩個(gè)實(shí)的可逆變換使

及

第一百零三頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日則中正數(shù)的個(gè)數(shù)與中正數(shù)的個(gè)數(shù)相等.

這個(gè)定理通常稱為慣性定理.在此不予證明。推論任何一個(gè)實(shí)系數(shù)的二次型都可以通過(guò)的可逆的線性變換變成規(guī)范形.

第一百零四頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日

定義10在實(shí)系數(shù)二次型的規(guī)范形中,正平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)稱為的正慣性指數(shù)；負(fù)平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)稱為的負(fù)慣性指數(shù);它們的差稱為的符號(hào)差.第一百零五頁(yè)，共一百一十九頁(yè)，2022年，8月28日§7.5正定二次型與正定矩陣

定義11設(shè)有實(shí)二次型,如果對(duì)任何,都有,則稱為正定二次型