第七講散射一散射截面

（優(yōu)選）第七講散射一散射截面當(dāng)前1頁，總共45頁。故稱q(，)為微分散射截面，簡稱為截面或角分布如果在垂直于入射粒子流的入射方向取面積q(，)，則單位時間內(nèi)通過此截面q(，)的粒子數(shù)恰好散射到(，)方向的單位立體角內(nèi)。 （2）總散射截面： （3）[注]由（2）式知，由于N、可通過實(shí)驗(yàn)測定，故而求得。量子力學(xué)的任務(wù)是從理論上計(jì)算出，以便于同實(shí)驗(yàn)比較，從而反過來研究粒子間的相互作用以及其它問題。當(dāng)前2頁，總共45頁。二、散射振幅

現(xiàn)在考慮量子力學(xué)對散射體系的描述。設(shè)靶粒子的質(zhì)量遠(yuǎn)大于散射粒子的質(zhì)量，在碰撞過程中，靶粒子可視為靜止。取散射中心A為坐標(biāo)原點(diǎn)，散射粒子體系的定態(tài)schr?dinger方程 （4）令方程（4）改寫為

（5）由于實(shí)驗(yàn)觀測是在遠(yuǎn)離靶的地方進(jìn)行的，從微觀角度看，可以認(rèn)為。因此，在計(jì)算時，僅需考慮處的散射粒子的行為，即僅需考慮處的散射體系的波函數(shù)。設(shè)時，，方程（5）變?yōu)?（6）令 （7）當(dāng)前3頁，總共45頁。將（6）式寫成

在的情形下，此方程簡化為

（8）此方程類似一維波動方程，我們知道：對于一維勢壘或勢阱的散射情況

式中為入射波或透射波，為散射波，波只沿一方向散射。對于三維情形，波可沿各方向散射，三維散射時，在處的粒子的波函數(shù)應(yīng)為入射波和散射波之和。方程（8）有兩個特解當(dāng)前4頁，總共45頁。因此，

代表由散射中心向外傳播的球面散射波，代表向散射中心會聚的球面波，不是散射波，應(yīng)略去。在處，散射粒子的波函數(shù)是入射平面波和球面散射波之和。即 （9）為方便起見，取入射平面波的系數(shù)A=1，這表明，入射粒子束單位體積中的粒子數(shù)為1。入射波幾率密度（即入射粒子流密度） （10）散射波的幾率流密度當(dāng)前5頁，總共45頁。 （11）單位時間內(nèi)，在沿方向d立體角內(nèi)出現(xiàn)的粒子數(shù)為

（12）比較（1）式與（12），得到 （13）由此可知，若知道了，即可求得，稱為散射振幅，所以，對于給定能量的入射粒子，速率給定，于是入射粒子流密度N=給定，只要知道了散射振幅，也就能求出微分散射截面，的具體形式通過求schr?dinger方程（5）的解并要求在時具有漸近形式（9）而得出。下面介紹兩種求散射振幅或散射截面的方法——分波法，玻恩近似方法。分波法是準(zhǔn)確的求散射理論問題的方法，即準(zhǔn)確的散射理論。當(dāng)前6頁，總共45頁。三、分波法

討論粒子在中心力場中的散射。粒子在輳力場中的勢能為，狀態(tài)方程

（3-1）取沿粒子入射方向并通過散射中心的軸線為極軸z，顯然與無關(guān)，按照§3.3.的討論，對于具有確定能量的粒子，方程（3-1）的特解為由于現(xiàn)在與無關(guān)(m=0)，所以，方程（1）的特解可寫成

方程（3-1）的通解為所有特解的線性迭加

（3-2）Rl(r)為待定的徑向波函數(shù)，每個特解稱為一個分波，稱為第l個分波，通常稱l=0,1,2,3…的分波分別為s,p,d,f…分波（3-2）代入（3-1），得徑向方程當(dāng)前7頁，總共45頁。 （3-3）令，代入上方程 （3-4）考慮方程（3-4）在情況下的極限解，令方程（3-4）的極限形式由此求得：

（3-5）為了后面的方便起見，這里引入了兩個新的常數(shù)將（3-5）代入（3-2），得到方程（3-1）在情形下通解的漸近形式當(dāng)前8頁，總共45頁。

（3-6）另一方面，按上節(jié)的討論，在遠(yuǎn)離散射中心處，粒子的波函數(shù) （3-7）將平面波按球面波展開 （3-8）式中jl(kr)是球貝塞爾函數(shù) （3-9）利用（3-8），（3-9），可將（3-7）寫成（3-10）

10當(dāng)前9頁，總共45頁。（3-6）和（3-10）兩式右邊應(yīng)相等，即分別比較等式兩邊和前邊的系數(shù)，即得

（3-11）

（3-12）

用乘以（12）式，再對從積分，并利用Legradrer多項(xiàng)式的正交性可以得到

即 （3-13）11當(dāng)前10頁，總共45頁。將此結(jié)果代入（3-11）式 （3-14）可見，求散射振幅f()的問題歸結(jié)為求，求l的具體值關(guān)鍵是解徑向波函數(shù)R(r)的方程（3-3）l的物理意義：

由（3-8），（3-9）知，是入射平面波的第個分波的位相；由（3-6）知，是散射波第l個分波的位相。所以，l是入射波經(jīng)散射后第l個分波的位相移動（相移）。12當(dāng)前11頁，總共45頁。微分散射截面 （3-15）總散射截面即 （3-16）式中 （3-17）是第l個分波的散射截面13當(dāng)前12頁，總共45頁。由上述看們看出：求散射振幅f()的問題歸結(jié)為求相移l，而l的獲得，需要根據(jù)U(r)的具體情況解徑向方程（3-3）求Rl(r)，然后取其漸近解，并寫為即可得到第l個分波的相移，由于每個分波都將產(chǎn)生相移l，所以，必須尋找各個分波的相移來計(jì)算散射截面，這種方法稱為分波法光學(xué)定理（證明見后）分波法的適用范圍：分波法求散射截面是一個無窮級數(shù)的問題，從原則上講，分波法是散射問題的普遍方法。但實(shí)際上，依次計(jì)算級數(shù)中的各項(xiàng)是相當(dāng)復(fù)雜的，有時也是不可能的，所以只能在一定的條件下計(jì)算級數(shù)中的前幾項(xiàng)，達(dá)到一定精確度即可。散射主要發(fā)生在勢場的作用范圍內(nèi)，若以散射中心為心，以a為半徑的球表示這個范圍，則r>a時，散射效果就可以忽略不計(jì)了，由于入射波的第l個分波的徑向函數(shù)jl(kr)的第一極大值位于附近，當(dāng)r較大時，l愈大，14當(dāng)前13頁，總共45頁。

愈快，如果jl(kr)的第一極大值位于，即l>ka時，在r≤a內(nèi)，jl(kr)的值很小。亦即第l個分波受勢場的影響很小，散射影響可以忽略，只有第l個分波之前的各分波必須考慮，所以，我們把分波法適用的條件寫成，而的分波不必考慮，ka愈小，則需計(jì)算的項(xiàng)數(shù)愈小，當(dāng)ka<<1時，l~0，這時僅需計(jì)算一個相移0即足夠了，而ka足夠小，意味著入射粒子的動能較低，所以分波法適用于低能散射，l>ka的分波散射截面可以略去。說明：已知U(r)時，可用分波法求出低能散射的相移和散射截面，在原子核及基本粒子問題中，作用力不清楚，也即不知道U(r)的具體形式，這時，我們可先由實(shí)驗(yàn)測定散射截面和相移，然后確定勢場和力的形式和性質(zhì)，這是研究原子核及基本粒子常用的一種方法。15當(dāng)前14頁，總共45頁。思考題：什么是分波法分波法是說入射平面波eikz按球面波展開展開式中的每一項(xiàng)稱為一個分波，每個分波在中心力場的影響下，各自產(chǎn)生一個相移l。而l的獲得需根據(jù)U(r)的具體形式解徑向方程求出Rl(r)，然后取其漸近解，并寫成即可得到第l個分波的相移，由于每個分波都將產(chǎn)生相移l，所以，計(jì)算散射截面時須尋找各個分波的相移，這種方法稱為分波法。16當(dāng)前15頁，總共45頁。

分波法應(yīng)用舉例

ex.球方勢阱和球方勢壘的低能散射。粒子的勢能U0是勢阱或勢壘的深度或高度，設(shè)入射粒子能量很小，其德布羅意波長比勢場作用范圍大很多（質(zhì)子和中子的低能散射可以近似地歸結(jié)為這種情況），求粒子的散射截面。Solve:

粒子的徑向方程

（1）其中E為粒子的能量，U(r)為粒子在靶粒子中心力場中的勢能。對于球方勢阱U0<0 （2）17當(dāng)前16頁，總共45頁。因粒子波長，所以僅需討論s波的散射（l=0），據(jù)此及（2）式，可將方程（1）寫成

（3）

（4）其中令，則（3），（4）可寫成 （5）

（6）其解為

（7）（8）18當(dāng)前17頁，總共45頁。于是

（10）（9）因在r=0處有限，必須有所以在r=a處，及連續(xù)，因此，及在r=a處連續(xù)由（7），（8）式得由此求得相移

（11）總散射截面 （12）19當(dāng)前18頁，總共45頁。在粒子能量很低的情況下，。利用x<<1時，arctgx

x，有

（13）

（14）對于球方勢壘。這時，用ik0代替以上討論中的k0，在粒子能量很低的情況下，（13）變?yōu)?（15）（14）寫為 （16）

當(dāng)時，由于代入（16）式，得20當(dāng)前19頁，總共45頁。低能粒子經(jīng)無限高勢壘場的散射，其散射截面等于半徑為a的球面面積，它與經(jīng)典情況不同，在經(jīng)典情況下，總散射截面就是作為散射中心的半徑為a的硬球的最大截面面積，它是量子力學(xué)計(jì)算的結(jié)果的。21當(dāng)前20頁，總共45頁。四、玻恩近似

分波法僅適用于討論低能粒子的散射問題，當(dāng)入射粒子的能量很高時，采用分波法計(jì)算散射截面就不恰當(dāng)了，對于高能入射粒子而言，勢能可看作是微擾，體系的哈密頓算符為

其中，是粒子的動能（自由粒子的哈密頓量），其本征函數(shù)取箱歸一化的動量本征函數(shù)

，粒子與散射力場的相互作用能。這里，采用箱歸一化意味著體積L3內(nèi)只有一個粒子。于是，入射粒子流密度

單位時間內(nèi)，散射到方向立體角內(nèi)的粒子數(shù)（1）22當(dāng)前21頁，總共45頁。另一方面，入射粒子由于受到靶粒子力場的微擾作用，從動量為的初態(tài)躍遷到動量的末態(tài)，即對于彈性散射，動能守恒

單位時間內(nèi)，粒子從初態(tài)躍遷到動量大小為，方向?yàn)榈牧Ⅲw角內(nèi)所有末態(tài)上的幾率，即躍遷幾率

（2）躍遷距陣元

（3）為動量大小為，方向角為的末態(tài)數(shù)目（態(tài)密度） （4）23當(dāng)前22頁，總共45頁。將（3）、（4）代入（2）式，得出

（5）此式在數(shù)量上即表示單位時間內(nèi)躍遷到立體角d內(nèi)的粒子數(shù) （6）比較（1），（6）式，并注意到，立即可得

（7）式中絕對值內(nèi)保留負(fù)號是因?yàn)橛酶窳趾瘮?shù)法算出的散射振幅有一負(fù)號。引入矢量θ其中是散射角，是散射引起動量的變化，于是

（8）24當(dāng)前23頁，總共45頁。取的方向?yàn)榍蜃鴺?biāo)的極軸方向，為方位角，則可簡化積分

（9）因而

（10）此式即為玻恩近似表達(dá)式，若勢能U(r)已知，計(jì)算積分后就可以求出微分散射截面，所以，應(yīng)用玻恩近似法計(jì)算微分散射截面時，主要難點(diǎn)在于給出U(r)的具體形式后，如何計(jì)算積分。下面給出幾種常見的較復(fù)雜的作用勢能及對應(yīng)的積分公式。25當(dāng)前24頁，總共45頁。玻恩近似法應(yīng)用舉例：玻恩近似法的適用范圍：

玻恩近似法只適用于粒子的高能散射，它與分波法（適用于低能散射）相互補(bǔ)充，作為解決散射問題的兩種主要近似方法。ex.1計(jì)算高速帶電粒子，被中性原子內(nèi)部的屏蔽庫侖場所散射的散射截面。Solve：高速帶電粒子屬高能粒子，故 （1）26當(dāng)前25頁，總共45頁。其中 （2）當(dāng)入射粒子的能量很大，散射角

較大時

（3）所以上式可近似寫成 （4）此式稱為Rutherford散射公式。首先由盧瑟福用經(jīng)典方法計(jì)算庫侖散射（不考慮屏蔽作用）得出。這說明式（3）是經(jīng)典力學(xué)方法可以適用的條件。式（4）表明要求散射角比較大，能量比較大，這時散射要在原子核附近發(fā)生，即入射粒子深入到原子內(nèi)部，因而核外電子不起屏蔽作用。當(dāng)角很小時，條件（3）不能滿足，Rutherford公式不能成立，此時需用（1）式。

27當(dāng)前26頁，總共45頁。ex.1.粒子受到勢能為的場的散射，求s分波的微分散射截面。[解]

為一般起見，先考慮l分波的相移，再取特殊情況s分波的相移。根據(jù)邊界條件 （1）解徑向Rl(r)滿足的徑向方程令

（2）又令所以（2）式可以寫成28當(dāng)前27頁，總共45頁。 （3）令于是（3）式又可寫成

（4）上式是階貝塞爾方程，其解為因此

但當(dāng)時，所以在r=0附近

由29當(dāng)前28頁，總共45頁。 （5）比較（1）式和（5）式，則有

令將值代入微分散射截面的表達(dá)式立即可得到s分波的微分散射截面30當(dāng)前29頁，總共45頁。

s分波散射截面

31當(dāng)前30頁，總共45頁。ex.2.慢速粒子受到勢能為的場的散射，若，，求散射截面。[解]

由于是慢速粒子散射，對于低能散射只需考慮s分波。由徑向波函數(shù)R(r)所滿足的徑向方程當(dāng)l=0時 （1）令 （2）

（3）

將代入以上方程并令 （4）32當(dāng)前31頁，總共45頁。 （5）

（6）

當(dāng)應(yīng)有限，則要求

在r=a處，R(r)和為連續(xù)33當(dāng)前32頁，總共45頁。兩式相除，得

(7)總散射截面討論：當(dāng)粒子的能量時，

34當(dāng)前33頁，總共45頁。如果粒子能量很低k→0的情況下

如果時，，于是有

在這種情況下，總散射截面等于半徑為a的球面面積。

它與經(jīng)典情況不同，在經(jīng)典情況下，

35當(dāng)前34頁，總共45頁。ex.3.只考慮s分波，求慢速粒子受到勢場的場散射時的散射截面［解］根據(jù)邊界條件

（１）解徑向方程：令則上方程簡寫為：令代入上方程，有36當(dāng)前35頁，總共45頁。只考慮s分波，l=0，由于，，以上方程在時的漸近形式為此為階貝塞爾方程，其解為由于，，所以有限解為于是

比較（1）和（2）兩式，并注意取（1）式中的l等于0，則37當(dāng)前36頁，總共45頁。ex.4.用玻恩近似法求粒子在勢能場中散射的散射截面

[解]

根據(jù)微分散射截面公式于是將代入上式積分

38當(dāng)前37頁，總共45頁。

3