第二章多項式

第二章多項式第一頁，共二十一頁，2022年，8月28日在多項式（1）中，叫做零次項或者常數(shù)項，叫做一次項，一般，叫做i次項，叫做i次項的系數(shù).§2.1一元多項式的定義和運算先討論R上一元多項式.定義1數(shù)環(huán)R上一個文字x的多項式或一元多項式指的是形式表達式（1）第二頁，共二十一頁，2022年，8月28日定義2

若是數(shù)環(huán)R上兩個一元多項式f(x)和g(x)有完全相同的項，或者只差一些系數(shù)為零的項，那么f(x)和g(x)說是相等：F(x)=G(x)定義3叫做多項式（2）的最高次項，非負整數(shù)n叫做多項式（2）的次數(shù)第三頁，共二十一頁，2022年，8月28日多項式的加法和乘法滿足以下運算規(guī)則：1.加法交換律：2.加法結合律：3.乘法交換律：4.乘法結合律：5.乘法對加法的分配律：第四頁，共二十一頁，2022年，8月28日定理2.1.1設和是數(shù)環(huán)R上兩個多項式，并且那么f(x)g(x)=0必要且只要f(x)和g(x)中至少有一個是零多項式.推論1若是f(x)g(x)=f(x)h(x),且，那么f(x)=h(x).推論2第五頁，共二十一頁，2022年，8月28日§2.2多項式的整除性定義

令f(x)和g(x)是數(shù)域F上多項式環(huán)F[x]的兩個多項式.如果存在F[x]的多項式h(x),使g(x)=f(x)h(x)我們就說，f(x)整除（能除盡）g(x).由上面定義我們可以直接推出關于多項式整除性的一些基本性質：1)

如果f(x)|g(x),g(x)|h(x),那么f(x)|h(x).2)如果h(x)|f(x),h(x)|g(x),那么h(x)|(f(x)±g(x)).第六頁，共二十一頁，2022年，8月28日3)如果h(x)|f(x),那么對于F[x]中任意多項式g(x)來說，h(x)|f(x)g(x)4）如果那么對F（X）中任意|5）零次多項式，也就是F中不等于零的數(shù)，整除任一多項式.6）每一個多項式f(x)都能被cf(x)整除，這里c是F中任一不等于零的數(shù)，事實上，7）如果f(x)|g(x),g(x)|f(x),那么f(x)=cg(x),這里c是F中一個不等于零的數(shù)。第七頁，共二十一頁，2022年，8月28日定理2.2.1設f(x)和g(x)是F[X]的任意兩個多項式，并且g(x)不等于零.那么在F[X]中可以找到多項式q(x)和r(x)，使f(x)=g(x)q(x)+r(x),（3）這里或者r(x)=0,或者r(x)的次數(shù)小于g(x)的次數(shù).滿足以上條件的多項式q(x)和r(x)只有一對.注意：如果（3）中q(x)和r(x)不是唯一的，那么我們不能如上的定義商式和余式的概念，也不能利用帶余除法來判斷一個多項式g(x)是否能夠整除另一個多項式f(x).第八頁，共二十一頁，2022年，8月28日§2.3多項式的最大公因式定義1

令f(x)和g(x)是數(shù)域F上多項式環(huán)F[x]的兩個多項式.若是F[x]的一個多項式h(x)同時整除f(x)和g(x),那么h(x)叫做f(x)與g(x)的一個公因式.定義2設d(x)是多項式f(x)與g(x)的一個公因式.若是d(x)能被f(x)與g(x)的每一個公因式整除，那么d(x)叫做f(x)與g(x)的一個最大公因式.第九頁，共二十一頁，2022年，8月28日定理2.3.1F(X)的任意兩個多項式f(x)與g(x)一定有最大公因式.除一個零次因式外，f(x)與g(x)的最大公因式是唯一確定的，這就是說，若是d(x)是f(x)與g(x)的一個最大公因式，那么數(shù)域F的任何一個不為零的數(shù)c與的乘積cd(x)，而且只有這樣的乘積是f(x)與g(x)最大公因式.我們也看到，兩個零多項式的最大公因式就是0，它是唯一確定的.兩個不全為零的多項式的最大公因式總是非零解多項式，在這一情形我們約定，最大公因式指的是最高次項系數(shù)是1的那個.這樣，兩個多項式f(x)與g(x)的最大公因式就都唯一確定了.第十頁，共二十一頁，2022年，8月28日定理2.3.2若d(x)是F(X)的多項式f(x)與g(x)的最大公因式，那么在F(X)里可以求得多項式u(x)與v(x)，使以下等式成立：f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x)注意：定理2.3.2的逆命題不成立.但是當（2）式成立，而d(x)是f(x)與g(x)的一個公因式時，d(x)一定是f(x)與g(x)的一個最大公因式.定義3F[X]的兩個多項式f(x)與g(x)互素的充分必要條件是：在F[X]中可以求得多項式u(x)與v(x)，使f(x)u(x)+g(x)v(x)=1第十一頁，共二十一頁，2022年，8月28日最大公因式的定義可以推廣到n（n>2）個多項式的情形：若是多項式h(x)整除多項式中的每一個，那么h(x)叫做這n個多項式的一個公因式.若是的公因式d(x)能被這n多個多項式的每一個公因式整除，那么d(x)叫做的一個最大公因式。

容易推出：若是多項式的一個最大公因式那么與多項式f(x)的最大公因式也是多項式的最大公因式。

第十二頁，共二十一頁，2022年，8月28日§2.4多項式的分解我們知道，給了F(X)的任何一個多項式f(x)，那么的任何不為零的元素c都是f(x)的因式.另一方面，c與f(x)的成績cf(x)也總是f(x)的因式.我們f(x)把的這樣的因式叫做他的平凡因式.定義令f(x)是F[X]的一個次數(shù)大于零的多項式.若是f(x)在F[X]中只有平凡因式，f(x)就是說在數(shù)域F上不可約.若f(x)除平凡飲食外，在F[X]中還有其它因式，f(x)就是說在F上可約。對于零多項式與零次多項式我們既不能說它們是可約的，也不能說它們是不可約的。在任一多項式環(huán)F[X]中都存在不可約多項式，因為F[X]的任何一個一次多項式總是不可約的.注意：我們只能對給定的數(shù)域來談論多項式可約或不可約第十三頁，共二十一頁，2022年，8月28日定理2.4.1定理2.4.2F[x]的每一個n（n>0）次多項式f(x)都可以分解成F[x]的不可約多項式的乘積。令是的一個次數(shù)大于零的多項式，并且此處Ci是F的不為零的元素.換句話說，如果不計零次因式的差異，多項式f(x)分解成不可約飲食乘積的分解式是唯一的.第十四頁，共二十一頁，2022年，8月28日根據(jù)定理2.4.2，我們可以得到f(x)的一個唯一確定的分解：分解式（5）中的不可約多項式，不一定都不相同.若是在分解式（5）中不可約因式p(x)出現(xiàn)K次并且只出現(xiàn)k次，那么p(x)叫做的f(x)一個k重因式.一重因式叫做單因式.重數(shù)大于1的因式叫做重因式.若不可約因式在p(x)在f(x)的分解式（5）中不出現(xiàn)，我們就說p(x)是f(x)的一個零重因式。(5)將（5）改寫成以下形狀：（6）等式（6）叫做多項式f(x)的典型分解式.每一個多項式的典型分解式都是唯一確定的.第十五頁，共二十一頁，2022年，8月28日一階導數(shù)的導數(shù)叫二階導數(shù)，記作，,f(x)的k階導數(shù)也記作§2.5重因式判斷一個多項式有沒有重因式，就要用到多項式的導數(shù)這個概念.定義F（x）的多項式的導數(shù)或一階導數(shù)指的是F（x）的多項式第十六頁，共二十一頁，2022年，8月28日定理2.5.1設p(x)是多項式f(x)的一個k(k>1)重因式。那么p(x)是f(x)的導數(shù)的一個k-1重因式.特別，多項式f(x)的單因式不是f(x)的導數(shù)的因式。定理2.5.1多項式f(x)沒有重因式的充分且必要條件是f(x)與它的導數(shù)互素.由定理2.5.2我們還得出以下結論：若是多項式f(x)在F[x]中沒有重因式，那么f(x)把看成含F(xiàn)的某一數(shù)域上的多項式時,f(x)也沒有重因式.第十七頁，共二十一頁，2022年，8月28日§2.6多項式函數(shù)多項式的根設給R[x]定的一個多項式和一個數(shù)c，那么在f(x)的表示式里，把x用c來代替，就得到R的一個數(shù)這個數(shù)叫做當x=c時f(x)的值，并且用f(c)來表示.這樣，對于R的每一個數(shù)c，R中唯一確定的數(shù)f(c)與它對應，于是就得到R到R的一個映射，這個映射是由多項式f(x)所確定，叫做上一個多項式函數(shù)。第十八頁，共二十一頁，2022年，8月28日定理2.6.1我們把方程f(x)=0的根叫做多項式的根，確切的說，有以下定義：令f(x)是R[X]的一個多項式而c是R的一個數(shù)，若是當x=c時F(x)=0，那么c叫作f(x)在數(shù)環(huán)R中的一個根.定理2.6.2數(shù)c是多項式f(x)的根的充分必要條件是f(x)能被x-c整除.由余式定理我們立刻得到重要的第十九頁，共二十一頁，2022年，8月28日定理2.6.3設f(x)是R[x]中一個次多項式.那么f(x)在R中至多有n個不同的根。這一定理對零多項式不能應用，因為零多項式?jīng)]有次數(shù).事實上，數(shù)環(huán)R的每一個數(shù)都是零多項式的根.由定理2.6.3可以得出定理2