5-直線和圓的位置關系-

專題訓練5《直線和圓的位置關系》一、課前預習(5分鐘訓練)1.已知Rt△ABC的斜邊AB=6cm,直角邊AC=3cm.(1)以C為圓心，2cm長為半徑的圓和AB的位置關系是_________；(2)以C為圓心，4cm長為半徑的圓和AB的位置關系是_________；(3)如果以C為圓心的圓和AB相切，則半徑長為_________.2.三角形的內心是三角形_______________的交點.3.⊙O的半徑r=5cm，點P在直線l上，若OP=5cm，則直線l與⊙O的位置關系是()A.相離B.相切C.相交D.相切或相交4.設⊙O的半徑為3，點O到直線l的距離為d，若直線l與⊙O至少有一個公共點，則d應滿足的條件是()=3≤3＜3＞3二、課中強化(10分鐘訓練)1.如圖24－2－2－1,已知∠AOB=30°,M為OA邊上一點,以M為圓心、2cm為半徑作⊙M.若點M在OA邊上運動,則當OM=_______________cm時,⊙M與OB相切.圖24－2－2－12.⊙O的半徑為R，直線l和⊙O有公共點，若圓心到直線l的距離是d，則d與R的大小關系是()＞R＜R≥R≤R3.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，以C為圓心作⊙C和AB相切，則⊙C的半徑長為()內最長弦長為m，直線l與⊙O相離，設點O到l的距離為d，則d與m的關系是()=m＞m＞＜5.以三角形的一邊長為直徑的圓切三角形的另一邊，則該三角形為()A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等邊三角形6.如圖24－2－2－2，PA、PB是⊙O的兩條切線，切點是A、B.如果OP=4，PA=23，那么∠AOB等于()°°°°3.已知如圖24－2－2－7所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，AD＋BC=AB，以AB為直徑作⊙O，求證：⊙O和CD相切.圖24－2－2－74.如圖24－2－2－8所示，已知AB為⊙O的直徑，C、D是直徑AB同側圓周上兩點，且CD=BD，過D作DE⊥AC于點E，求證：DE是⊙O的切線.圖24－2－2－86.如圖24－2－2－10所示，已知AB為半圓O的直徑，直線MN切半圓于點C，AD⊥MN于點D，BE⊥MN于點E，BE交半圓于點F，AD=3cm，BE=7cm，(1)求⊙O的半徑；(2)求線段DE的長.圖24－2－2－107.已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中點，⊙O經過A、D、B三點，CB的延長線交⊙O于點E(如圖24－2－2－3(1)).在滿足上述條件的情況下，當∠CAB的大小變化時，圖形也隨著改變(如圖24－2－2－3(2))，在這個變化過程中，有些線段總保持著相等的關系.圖24－2－2－3觀察上述圖形，連結圖24－2－2－3(2)中已標明字母的某兩點，得到一條新線段，證明它與線段CE相等；連結_____________________________.求證：____________=CE.證明：8.如圖24－2－2－4,延長⊙O的半徑OA到B,使OA=AB,DE是圓的一條切線,E是切點,過點B作DE的垂線,垂足為點C.求證:∠ACB=∠OAC.圖24－2－2－4三、課后鞏固(30分鐘訓練)1.如圖24－2－2－5，已知同心圓O，大圓的弦AB=CD，且AB是小圓的切線，切點為E.求證：CD是小圓的切線.圖24－2－2－52.如圖24－2－2－6，是不倒翁的正視圖，不倒翁的圓形臉恰好與帽子邊沿PA、PB分別相切于點A、B，不倒翁的鼻尖正好是圓心O，若∠OAB=25°，求∠APB的度數.圖24－2－2－63.已知如圖24－2－2－7所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，AD＋BC=AB，以AB為直徑作⊙O，求證：⊙O和CD相切.圖24－2－2－74.如圖24－2－2－8所示，已知AB為⊙O的直徑，C、D是直徑AB同側圓周上兩點，且CD=BD，過D作DE⊥AC于點E，求證：DE是⊙O的切線.圖24－2－2－86.如圖24－2－2－10所示，已知AB為半圓O的直徑，直線MN切半圓于點C，AD⊥MN于點D，BE⊥MN于點E，BE交半圓于點F，AD=3cm，BE=7cm，(1)求⊙O的半徑；(2)求線段DE的長.圖24－2－2－108.在直角坐標系中，⊙O1經過坐標原點O，分別與x軸正半軸、y軸正半軸交于點A、B.(1)如圖24－2－2－12，過點A作⊙O1的切線與y軸交于點C，點O到直線AB的距離為,=，求直線AC的解析式;(2)若⊙O1經過點M(2，2)，設△BOA的內切圓的直徑為d，試判斷d+AB的值是否會發(fā)生變化?如果不變，求出其值;如果變化，求其變化的范圍.圖24－2－2－12參考答案一、課前預習(5分鐘訓練)1.已知Rt△ABC的斜邊AB=6cm,直角邊AC=3cm.(1)以C為圓心，2cm長為半徑的圓和AB的位置關系是_________；(2)以C為圓心，4cm長為半徑的圓和AB的位置關系是_________；(3)如果以C為圓心的圓和AB相切，則半徑長為_________.思路解析：由勾股定理知此直角三角形斜邊上的高是cm，因此當圓與AB相切時，半徑為cm.答案：（1）相離（2）相交（3）cm2.三角形的內心是三角形_______________的交點.思路解析：由三角形的內心即內切圓圓心到三角形三邊相等.答案：三個內角平分線3.⊙O的半徑r=5cm，點P在直線l上，若OP=5cm，則直線l與⊙O的位置關系是()A.相離B.相切C.相交D.相切或相交思路解析：點P也可能不是切點，而是直線與圓的交點.答案：D4.設⊙O的半徑為3，點O到直線l的距離為d，若直線l與⊙O至少有一個公共點，則d應滿足的條件是()=3≤3＜3＞3思路解析：直線l可能和圓相交或相切.答案：B二、課中強化(10分鐘訓練)1.如圖24－2－2－1,已知∠AOB=30°,M為OA邊上一點,以M為圓心、2cm為半徑作⊙M.若點M在OA邊上運動,則當OM=cm時,⊙M與OB相切.圖24－2－2－1思路解析：根據切線的定義,可得OM=2×2=4.答案：42.⊙O的半徑為R，直線l和⊙O有公共點，若圓心到直線l的距離是d，則d與R的大小關系是()＞R＜R≥R≤R思路解析：直線l與⊙O有公共點，則l與直線相切或相交，所以d≤R.答案：D3.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，以C為圓心作⊙C和AB相切，則⊙C的半徑長為()思路解析：作CD⊥AB于D，則CD為⊙C的半徑，BC===8，由面積相等，得AB·CD=AC·BC.∴CD==.答案：D4.⊙O內最長弦長為m，直線l與⊙O相離，設點O到l的距離為d，則d與m的關系是()=m＞m＞＜思路解析：最長弦即為直徑，所以⊙O的半徑為，故d＞.答案：C5.以三角形的一邊長為直徑的圓切三角形的另一邊，則該三角形為()A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等邊三角形思路解析：直徑邊必垂直于相切邊.答案：B6.如圖24－2－2－2，PA、PB是⊙O的兩條切線，切點是A、B.如果OP=4，PA=23，那么∠AOB等于()圖24－2－2－2°°°°思路解析：∵PA、PB是⊙O的兩條切線，切點是A、B,∴PA⊥OA，PB⊥OB.∠APO=∠BPO.∵OP＝4，PA=2，∴OA=2.∴∠APO=∠BPO=30°，即∠APB=60°.∴∠AOB=120°.答案：D7.已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中點，⊙O經過A、D、B三點，CB的延長線交⊙O于點E(如圖24－2－2－3(1)).在滿足上述條件的情況下，當∠CAB的大小變化時，圖形也隨著改變(如圖24－2－2－3(2))，在這個變化過程中，有些線段總保持著相等的關系.圖24－2－2－3觀察上述圖形，連結圖24－2－2－3(2)中已標明字母的某兩點，得到一條新線段，證明它與線段CE相等；連結_____________________________.求證：____________=CE.證明：思路分析：由切線的性質定理和三角形中位線定理和線段垂直平分線性質定理來解決.答案：AEAE證法一：如圖，連結OD,∵∠ABC＝90°，CB的延長線交⊙O于點E,∴∠ABE＝90°.∴AE是⊙O的直徑.∵D是AC的中點，O是AE的中點,∴OD=CE.∵OD=AE,∴AE＝CE.證法二：如圖，連結BD,在Rt△ABC中，∠ABC＝90°,∵D是AC的中點,∴AD＝CD＝BD.∴∠1＝∠2.∵四邊形AEBD內接于⊙O,∴∠1＝∠DAE.∴∠2＝∠DAE.∴AE＝CE.證法三：如圖，連結DE,同證法一，得AE是⊙O的直徑,∴∠ADE＝90°.∵D是AC的中點,∴DE是線段AC的垂直平分線.∴AE＝CE.8.如圖24－2－2－4,延長⊙O的半徑OA到B,使OA=AB,DE是圓的一條切線,E是切點,過點B作DE的垂線,垂足為點C.求證:∠ACB=∠OAC.圖24－2－2－4證明:連結OE、AE,并過點A作AF⊥DE于點F,∵DE是圓的一條切線,E是切點,∴OE⊥DC.又∵BC⊥DE,∴OE∥AF∥BC.∴∠1=∠ACB,∠2=∠3.∵OA=OE,∴∠4=∠3.∴∠4=∠2.又∵點A是OB的中點,∴點F是EC的中點.∴AE=AC.∴∠1=∠2.∴∠4=∠2=∠1,即∠ACB=∠OAC.三、課后鞏固(30分鐘訓練)1.如圖24－2－2－5，已知同心圓O，大圓的弦AB=CD，且AB是小圓的切線，切點為E.求證：CD是小圓的切線.圖24－2－2－5思路分析：證切線的兩種方法是：①作半徑，證垂直；②作垂直，證半徑.本題屬于②，前一個例題屬于①.證明：連結OE，作OF⊥CD于F.∵AB切小圓于E，∴OE⊥AB.∵OF⊥CD，AB=CD，∴OE=OF.∴CD是小圓O的切線.2.如圖24－2－2－6，是不倒翁的正視圖，不倒翁的圓形臉恰好與帽子邊沿PA、PB分別相切于點A、B，不倒翁的鼻尖正好是圓心O，若∠OAB=25°，求∠APB的度數.圖24－2－2－6思路分析：由切線的性質定理和等腰三角形“三線合一”定理解決.解法一：∵PA、PB切⊙O于A、B，∴PA=PB.∴OA⊥PA.∵∠OAB=25°,∴∠PAB=65°.∴∠APB=180－65°×2=50°.解法二：連結OB，如圖(1).∵PA、PB切⊙O于A、B，∴OA⊥PA，OB⊥AB.∴∠OAP+∠OBP=180°.∴∠APB+∠AOB=180°.∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=25°.∴∠AOB=130°.∴∠APB=50°.解法三：連結OP交AB于C，如圖(2).∵PA、PB切⊙O于A、B，∴OA⊥PA，OP⊥AB.OP平分∠APB，∴∠APC=∠OAB=25°.∴∠APB=50°.3.已知如圖24－2－2－7所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，AD＋BC=AB，以AB為直徑作⊙O，求證：⊙O和CD相切.圖24－2－2－7思路分析：要證⊙O與CD相切，只需證明圓心O到CD的距離等于半徑OA(或OB或AB)即可，即在不知道圓與直線是否有公共點的情況下通常過圓心作直線的垂線段，然后證垂線段的長等于半徑(“作垂直，證半徑”)，這是證直線與圓相切的方法之一.證明：過O作OE⊥CD于點E.∵OE⊥CD，∴∠OEC=90°.∵∠D=90°，∴∠OEC=∠D.∴AD∥OE.∵AD∥BC，∴AD∥BC∥OE.[來源:]∵OA=OB,∴CE=DE.∴OE=(AD+BC).∵AD＋BC=AB，∴OE=AB.∴⊙O與CD相切.4.如圖24－2－2－8所示，已知AB為⊙O的直徑，C、D是直徑AB同側圓周上兩點，且CD=BD，過D作DE⊥AC于點E，求證：DE是⊙O的切線.圖24－2－2－8思路分析：要證DE是⊙O的切線，根據切線的判定定理，連結OD，只須證明OD⊥DE即可，即“作半徑，證垂直”這是證明圓的切線的另一方法.證明：連結OD、AD.∵弧CD=弧BD，∴∠1=∠2.∵OA=OD，∴∠2=∠3.∴∠1=∠3.∴AE∥OD.∵AE⊥DE，∴OD⊥DE.∴DE是⊙O的切線.5.如圖24－2－2－9，已知正方形ABCD的邊長為2,點M是BC的中點,P是線段MC上的一個動點,P不運動到M和C,以AB為直徑作⊙O，過點P作⊙O的切線交AD于點F,切點為E.求四邊形CDFP的周長.圖24－2－2－9思路分析：從圓外一點引圓的兩條切線，可證切線長相等，則可將四邊形CDFP的周長轉化為正方形邊長的3倍.解：∵四邊形ABCD是正方形,∴∠A=∠B=90°.∴AF、BP都是⊙O的切線.又∵PF是⊙O的切線,∴FE=FA,PE=PB.∴四邊形CDFP的周長為AD+DC+CB=2×3=6.6.如圖24－2－2－10所示，已知AB為半圓O的直徑，直線MN切半圓于點C，AD⊥MN于點D，BE⊥MN于點E，BE交半圓于點F，AD=3cm，BE=7cm，(1)求⊙O的半徑；(2)求線段DE的長.圖24－2－2－10思路分析：(1)連結OC，證OC為梯形中位線.在解有關圓的切線問題時，常常需要作出過切點的半徑.(2)連結AF，證四邊形ADEF為矩形，從而得到AD=EF，DE=AF，然后在Rt△ABF中運用勾股定理,求AF的長.解：(1)連結OC.∵MN切半圓于點C，∴OC⊥MN.∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴AD∥OC∥BE.∵OA=OB，∴OC為梯形ADEB的中位線.∴OC=(AD＋BE)=5cm.所以⊙O的半徑為5cm.(2)連結AF.∵AB為半圓O的直徑，∴∠AFB=90°.∴∠AFE=90°.又∠ADE=∠DEF=90°，∴四邊形ADEF為矩形.∴DE=AF，AD=EF=3cm.在Rt△ABF中，BF=BE－EF=4cm，AB=2OC=10cm.由勾股定理，得AF===2(cm),∴DE=2cm.7.如圖24－2－2－11,已知⊙A與⊙B外切于點P,BC切⊙A于點C,⊙A與⊙B的內公切線PD交AC于點D,交BC于點M.(1)求證:CD=PB;(2)如果DN∥BC,求證:DN是⊙B的切線.圖24－2－2－11思路分析：證線段相等,一般先證兩三角形全等.證圓的切線可以先作垂直,后證半徑長即可.證明：(1)∵BC切⊙A于點C,DP切⊙A于點P,∴∠DCM=∠BPM=90°,MC=MP.∵∠DMC=∠BMP,∴△DCM≌△BPM.∴CD=PB.(2)過點B作BH⊥DN,垂足為點H.∵HD∥BC,BC⊥CD,∴HD⊥CD.∴∠BCD=∠CDH=∠BHD=90°.∴