第四章控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

第四章控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析第一頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日一．概述1.穩(wěn)定性是系統(tǒng)性能研究的首要問(wèn)題

2.古典控制理論對(duì)穩(wěn)定性描述存在一定的局限性

(1)局限于研究線(xiàn)性系統(tǒng)；

(2)局限于對(duì)系統(tǒng)外部穩(wěn)定性的描述。3.古典控制理論的穩(wěn)定性判別是Routh和Nyquist判據(jù)

4.現(xiàn)代控制理論采用的穩(wěn)定判別是李亞普諾夫穩(wěn)定判據(jù)

(1)穩(wěn)定判據(jù)可用于線(xiàn)性或非線(xiàn)性系統(tǒng)；

(2)可以研究系統(tǒng)的外部穩(wěn)定性也可以研究系統(tǒng)的內(nèi)部穩(wěn)定性；

(3)能夠反映系統(tǒng)穩(wěn)定的本質(zhì)特征。

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第二頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日1.線(xiàn)性系統(tǒng)外部穩(wěn)定的定義

零初始條件下，對(duì)于任意一個(gè)有界輸入，若系統(tǒng)所產(chǎn)生的相應(yīng)輸出也是有界的，稱(chēng)該系統(tǒng)是外部穩(wěn)定的，簡(jiǎn)稱(chēng)BIBO穩(wěn)定。

2.狀態(tài)空間表達(dá)式所描述的系統(tǒng)的外部穩(wěn)定性系統(tǒng)外部穩(wěn)定的充分必要條件是輸入與輸出之間的傳遞函數(shù)矩陣中的所有元素的極點(diǎn)全部位于S平面的左半部。

返回二．線(xiàn)性控制系統(tǒng)的外部穩(wěn)定性（輸出穩(wěn)定）第三頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日三．動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的內(nèi)部穩(wěn)定性

（研究系統(tǒng)狀態(tài)的穩(wěn)定性——李亞普諾夫穩(wěn)定性）

1.基本概念

2.李亞普諾夫穩(wěn)定性定義

3.穩(wěn)定的范圍

4.內(nèi)部穩(wěn)定與外部穩(wěn)定的關(guān)系

返回第四頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日

1.基本概念

(1)平衡狀態(tài)的定義設(shè)不受外力的系統(tǒng)狀態(tài)方程為，x（t），f（x，t）是n維狀態(tài)向量函數(shù)。若系統(tǒng)存在一個(gè)狀態(tài)xe對(duì)任意時(shí)間t都有則稱(chēng)狀態(tài)xe是系統(tǒng)的一個(gè)平衡點(diǎn)。平衡點(diǎn)的物理意義可以解釋為所有狀態(tài)的變化速度為零，即是靜止?fàn)顟B(tài)故稱(chēng)平衡點(diǎn)。

(2)平衡狀態(tài)的計(jì)算

平衡狀態(tài)即為代數(shù)方程組的解。

線(xiàn)性定常系統(tǒng)的平衡狀態(tài)：當(dāng)A是非奇異時(shí)，則Ax=0，所以平衡狀態(tài)是唯一的且在原點(diǎn)。非線(xiàn)性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)：可能存在一個(gè)或多個(gè)平衡狀態(tài)。第五頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日(3)狀態(tài)向量x的范數(shù)在

n維狀態(tài)空間，向量x的長(zhǎng)度稱(chēng)為向量x的范數(shù)，表示為：。狀態(tài)向量x到平衡點(diǎn)xe的范數(shù)：當(dāng)范數(shù)限制在某一范圍之內(nèi)時(shí)，可以表示為。且具有明確的幾何意義。用此概念來(lái)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

返回第六頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日2.李亞普諾夫穩(wěn)定性定義用狀態(tài)向量到平衡點(diǎn)的范數(shù)來(lái)表示系統(tǒng)在n維空間運(yùn)動(dòng)過(guò)程中隨時(shí)間推移狀態(tài)向量與平衡點(diǎn)之間的距離變化，存在以下三種情況：

(1)漸近穩(wěn)定

(2)李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定

(3)不穩(wěn)定

返回第七頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日

對(duì)于系統(tǒng)

,若任意給定實(shí)數(shù)，都存在另一實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí),從任意初始狀態(tài)出發(fā)的解滿(mǎn)足且對(duì)于任意小量，總有，則稱(chēng)系統(tǒng)在平衡狀態(tài)xe是漸近穩(wěn)定。

幾何意義：初始狀態(tài)有界，隨時(shí)間推移解向量X（t）距平衡點(diǎn)距離可以無(wú)限接近，直至到達(dá)平衡點(diǎn)后停止運(yùn)動(dòng)。

返回(1)漸近穩(wěn)定第八頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日

對(duì)于系統(tǒng)，若任意給定實(shí)數(shù)，都存在另一實(shí)數(shù),

使得當(dāng)時(shí)，從任意初始狀態(tài)出發(fā)的解滿(mǎn)足,則稱(chēng)系統(tǒng)在平衡狀態(tài)是李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定。

幾何意義：初始狀態(tài)有界，隨時(shí)間推移解向量X（t）距平衡點(diǎn)的距離可以維持在一個(gè)確定的數(shù)值內(nèi)，而到達(dá)不了平衡點(diǎn)。即二維空間運(yùn)動(dòng)軌跡在直徑為有限值的圓內(nèi)，三維空間運(yùn)動(dòng)軌跡在直徑為有限值的球面內(nèi)。

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(2)李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定第九頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日

(3)不穩(wěn)定

如果對(duì)于某個(gè)實(shí)數(shù)和任一實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，總存在一個(gè)初始狀態(tài)x0使得，則稱(chēng)平衡狀態(tài)不穩(wěn)定。

幾何意義：初始狀態(tài)有界，隨時(shí)間推移解向量X（t）距平衡點(diǎn)的距離越來(lái)越遠(yuǎn)。

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第十頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日

3.穩(wěn)定的范圍（1）漸近穩(wěn)定：當(dāng)系統(tǒng)初始狀態(tài)在平衡點(diǎn)附近的有限區(qū)域內(nèi)時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定。（2）大范圍漸近穩(wěn)定：系統(tǒng)狀態(tài)在整個(gè)狀態(tài)空間時(shí)系統(tǒng)狀態(tài)都穩(wěn)定。即穩(wěn)定性與初始條件無(wú)關(guān)。線(xiàn)性系統(tǒng)漸近穩(wěn)定即大范圍漸近穩(wěn)定。

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第十一頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日

4.內(nèi)部穩(wěn)定與外部穩(wěn)定的關(guān)系(1)內(nèi)部穩(wěn)定的系統(tǒng)外部一定穩(wěn)定；(2)外部穩(wěn)定的系統(tǒng)不能保證內(nèi)部穩(wěn)定；(3)完全能控和能觀(guān)系統(tǒng)，則外部穩(wěn)定與內(nèi)部穩(wěn)定等價(jià)；

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第十二頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日四．李亞普諾夫穩(wěn)定性的判別定理1、二次型函數(shù)的引出及一般概念（1-3）2、李亞普諾夫第二方法分析系統(tǒng)穩(wěn)定性3、李亞普諾夫第二方法應(yīng)用舉例

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第十三頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日1.二次型函數(shù)的一般概念(1)定義：代數(shù)式中一種多項(xiàng)式函數(shù)，每一項(xiàng)的次數(shù)都是二次，則稱(chēng)該函數(shù)為二次型函數(shù)（標(biāo)量函數(shù)）。(2)二次型函數(shù)的表示形式（以三階系統(tǒng)為例）代數(shù)式：矩陣形式：

標(biāo)準(zhǔn)二次型：第十四頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日(3)二次型函數(shù)的符號(hào)性質(zhì)返回正定：當(dāng)時(shí)，即系數(shù)矩陣P的各階主子行列式均大于零，即則函數(shù)正定。半正定：當(dāng)時(shí)，即系數(shù)矩陣P的各階主子行列式均大于或等于零，即，則函數(shù)半正定。負(fù)定：當(dāng)時(shí)，即系數(shù)矩陣P的各階主子行列式均滿(mǎn)足下列條件，即，則函數(shù)負(fù)定。半負(fù)定：當(dāng)時(shí)，即系數(shù)矩陣P的各階主子行列式均滿(mǎn)足下列條件，即，則函數(shù)半負(fù)定。不定：不滿(mǎn)足上述任何一種條件的二次型函數(shù)，即可正也可負(fù)。

第十五頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日2.李亞普諾夫第二方法（研究平衡點(diǎn)在原點(diǎn)的穩(wěn)定性）李亞普諾夫函數(shù)（能量函數(shù)）：系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)需要能量，系統(tǒng)在非零初始狀態(tài)作用下的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若能量隨著時(shí)間的推移在逐漸的減小以至最終消失，則這種系統(tǒng)一定是穩(wěn)定的。反之，系統(tǒng)則不穩(wěn)定，若能量在其運(yùn)動(dòng)過(guò)程中即不減也不增，則為李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定。任選一個(gè)正定的能量函數(shù)v（x），即滿(mǎn)足：的條件，稱(chēng)為李亞普諾夫函數(shù)，然后依據(jù)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程（狀態(tài)方程）來(lái)考察能量函數(shù)v（x）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的變化規(guī)律，從而獲得系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)。

第十六頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日(2)李亞普諾夫穩(wěn)定性判別定理取標(biāo)量（能量）函數(shù)v（x），滿(mǎn)足正定；連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)

存在；則有下列結(jié)論存在：李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定：半負(fù)定，且在時(shí)，有存在。漸近穩(wěn)定：負(fù)定；或半負(fù)定，且在時(shí)，不衡為零。大范圍漸近穩(wěn)定：系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的同時(shí)，滿(mǎn)足當(dāng)時(shí)，有，則此系統(tǒng)為大范圍漸近穩(wěn)定。不穩(wěn)定：正定。系統(tǒng)穩(wěn)定性無(wú)法確定：不存在上述規(guī)律。注意：能量函數(shù)的非唯一性。返回第十七頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日3.應(yīng)用舉例[例1]：已知線(xiàn)性系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣，判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解(1)：線(xiàn)性系統(tǒng)因狀態(tài)矩陣的逆存在，所以系統(tǒng)只存在一個(gè)在原點(diǎn)處的平衡點(diǎn)；取能量函數(shù)，滿(mǎn)足條件；計(jì)算該系統(tǒng)能量的變化量：顯然，能量的變化量函數(shù)正定。結(jié)論：此系統(tǒng)不穩(wěn)定。第十八頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日解(2)：線(xiàn)性系統(tǒng)因狀態(tài)矩陣的逆存在，所以只存在一個(gè)在原點(diǎn)處的平衡點(diǎn)；取能量函數(shù)

，滿(mǎn)足條件；

計(jì)算該系統(tǒng)的能量的變化量：

顯然，能量的變化量函數(shù)半負(fù)定。需要進(jìn)一步確定在非平衡點(diǎn)處是否衡等于零：

令

代入狀態(tài)方程得

所以當(dāng)時(shí)，必有不衡為零。

結(jié)論：此系統(tǒng)穩(wěn)定，又有線(xiàn)性系統(tǒng)穩(wěn)定則為大范圍穩(wěn)定。

重新選擇能量函數(shù)，得負(fù)定，結(jié)論相同。第十九頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日[例2]：已知非線(xiàn)性系統(tǒng)的狀態(tài)方程，判斷系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處的穩(wěn)定性。解：求平衡點(diǎn)：；取能量函數(shù)，滿(mǎn)足條件；

，結(jié)論：系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處穩(wěn)定，當(dāng)時(shí)，有，則此系統(tǒng)為大范圍漸近穩(wěn)定。返回

第二十頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日五．線(xiàn)性系統(tǒng)李亞普諾夫穩(wěn)定性分析方法1.李亞普諾夫第一方法（間接法）

(1)定理：線(xiàn)性系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定的充分必要條件是狀態(tài)矩陣A的所有特征值都具有負(fù)實(shí)部。

(2)判別方法：求特征方程的特征值。

2.李亞普諾夫第二方法（直接法）

(1)理論依據(jù)：已知系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為

，設(shè)標(biāo)量函數(shù)，且正定，得，把狀態(tài)方程代入得

顯然，系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是負(fù)定，即Q，P都為正定實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣。第二十一頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日定義為李亞普諾夫方程。（2）判別方法（充分條件）：取矩陣Q=I，則負(fù)定，由李亞普諾夫方程

反推P正定，則系統(tǒng)在原點(diǎn)處漸近穩(wěn)定，且大范圍漸近穩(wěn)定。為計(jì)算簡(jiǎn)便，可選半負(fù)定，即Q半正定，由李亞普諾夫方程反推P正定，然后再確定在時(shí)，有

不衡等于零存在。則系統(tǒng)在原點(diǎn)處漸近穩(wěn)定，且大范圍漸近穩(wěn)定。其中：P167例4-8[例3]P167例4-9[例4]3.線(xiàn)性時(shí)變系統(tǒng)的穩(wěn)定性（自學(xué)）4.線(xiàn)性定常離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性（自學(xué)）返回第二十二頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日六．非線(xiàn)性系統(tǒng)李亞普諾夫穩(wěn)定性分析1.李亞普諾夫第一方法（線(xiàn)性化法）已知系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為，定義雅克比矩陣。則有（1）若A的特征值都具有負(fù)實(shí)部，系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處漸近穩(wěn)定；

（2）若A的特征值至少有一個(gè)有正實(shí)部，系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處不穩(wěn)定；

（3）若A的特征值有純虛根，其它根都是負(fù)實(shí)部，則系統(tǒng)在平衡點(diǎn)穩(wěn)定性不能確定。[例5]：P183舉例。第二十三頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日2.李亞普諾夫第二方法（克拉索夫斯基法）

理論依據(jù)：已知系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為，設(shè)標(biāo)量函數(shù)，選擇系數(shù)矩陣P使正定，

則

設(shè)，

顯然，系統(tǒng)在平衡點(diǎn)原點(diǎn)穩(wěn)定的充分條件是Q（x）正定。

定義：為雅可比方程。

第二十四頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日

判別方法：根據(jù)狀態(tài)方程，求雅可比矩陣；選擇一個(gè)正定的系數(shù)陣P，一般取為單位陣，則

通過(guò)雅可比方程計(jì)算Q（x），若正定，則系統(tǒng)在原點(diǎn)漸近穩(wěn)定；系統(tǒng)的能量函數(shù)為，確定系統(tǒng)是否大范圍漸近穩(wěn)定:說(shuō)明：判據(jù)所產(chǎn)生的條件是充分的，不是必要的。P185例4-14[例6]：

P185例4-15[例7]：

返回第二十五頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日例3系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：，其平衡狀態(tài)在原點(diǎn)，試判斷其穩(wěn)定性。解：因?yàn)槿?，則對(duì)于實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣P由矩陣由下式確定：即

可解出而由可知P正定。第二十六頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日可知所以系統(tǒng)在原點(diǎn)處是漸近穩(wěn)定的，因?yàn)槭蔷€(xiàn)性定常系統(tǒng)，所以又是大范圍漸近穩(wěn)定的。返回第二十七頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022