第四章正弦交流電路

第四章正弦交流電路第一頁，共五十三頁，2022年，8月28日§４.1正弦電壓與電流◆在正弦電源激勵下，電路中電壓和電流均按正弦規(guī)律變化，這樣的電路稱為正弦交流電路?！粽译妷夯螂娏髌浯笮∨c方向均隨時間而周期性變化，如右圖所示。

u(i)t(a)正弦波形+★正弦波的特征表現(xiàn)在變化的快慢、大小及初始值三個方面，因此，正弦交流電包含三個要素，即頻率、幅值和初相位。

第二頁，共五十三頁，2022年，8月28日1、正弦交流電的三要素

以交流電流為例：i

：

電流幅值（最大值）

：

角頻率（弧度/秒）

：

初相角三要素()jw+=tIim

sin第三頁，共五十三頁，2022年，8月28日描述正弦量變化快慢的幾種方法：1.周期T：變化一周所需的時間（單位：秒、毫秒）正弦交流電三要素之一

——頻率與周期3.角頻率ω：每秒變化的弧度（單位：弧度/秒）2.頻率f：每秒變化的次數(shù)（單位：赫茲、千赫茲iTTf1=fTπ2π2

==w相互間關(guān)系：第四頁，共五十三頁，2022年，8月28日★常用的頻率范圍：●我國電力的標準頻率為50Hz；美、日等國采用標準為60Hz?！裰蓄l電爐的工作頻率為500—8000Hz；●高頻電爐的工作頻率為200—300kHz；●無線電工程的頻率為104—30×1010Hz?！竦皖l電子工程的頻率為20—20×103Hz。第五頁，共五十三頁，2022年，8月28日為正弦電流的最大值★用儀表測得的交流電壓、電流值，就是被測物理量的有效值。標準電壓220V，也是指供電電壓的有效值。最大值表示方法電量名稱必須大寫,下標加m正弦交流電三要素之二

——幅值與有效值第六頁，共五十三頁，2022年，8月28日★有效值是從電流的熱效應相等來定義的。★在同一周期時間內(nèi)，正弦交流電流i和直流電流I對同一電阻具有相同的熱效應，就用I表示i的有效值。有效值交流電流直流電流即：對正弦交流電流則有：ò=TtiTI02d12mI=第七頁，共五十三頁，2022年，8月28日：t=0時的相位，稱為初相位或初相角。i：正弦波的相位角或相位。正弦交流電三要素之三

——初相位()jw+=tIi

sin2初相位

：給出了觀察正弦波的起點或參考點j第八頁，共五十三頁，2022年，8月28日兩個同頻率正弦量間的相位相比較(初相位差)ti當

=(1–

2)

>0

時，稱i1

與i2越前角；當

=(1–

2)

<0

時，稱i1

與i2滯后角；當

=(1–

2)

=0

時，稱i1

與i2

同相。第九頁，共五十三頁，2022年，8月28日i①波形圖正弦量的表示方法：§４.2正弦量的相量表示法②瞬時值表達式須小寫I.U.③相量（難點）

大寫并加“.”第十頁，共五十三頁，2022年，8月28日★正弦交流量不僅有大小而且有相位參數(shù),要同時表示出這二個參數(shù)必須采用矢量或復數(shù)。正弦量的相量表示法：★正弦周期量才能用相量表示，非正弦周期量不能用相量表示。且只有同頻率的正弦量才能畫在一張相量圖上?！镎伊坑孟嗔勘硎究珊喕医涣麟娐返姆治雠c計算。相量表示：一個正弦量的瞬時值可以用一個旋轉(zhuǎn)的有向線段在縱軸上的投影值來表示?！镏话蹬c初相位兩個要素。第十一頁，共五十三頁，2022年，8月28日jyx0Ay設(shè)在復平面上(直角坐標系OX為實軸、OY為虛軸)復數(shù)A(a,b)可表示為:A=a+jb在極坐標系中則表示為.A=r/變換關(guān)系為：或：22bar+=abarctg=yy=cosray=sinrb∴A=r(cos

+jsin

)又由歐拉公式得：A=re

j第十二頁，共五十三頁，2022年，8月28日注:相量與正弦量只存在對應關(guān)系,而不是相等關(guān)系)sin(y+w=tUum求表示i，u的相量

，及相位差

，并作出相量圖。已知正弦電流、正弦電壓分別為例第十三頁，共五十三頁，2022年，8月28日解：i超前u900.在相量圖上可以很直觀地看出相互之間的相位關(guān)系。向量圖+j+16p3p·U·I第十四頁，共五十三頁，2022年，8月28日波形圖瞬時值相量圖復數(shù)形式正弦波的四種表示法

TiU.I.jjDT=+=UUbaUjej.第十五頁，共五十三頁，2022年，8月28日1、電阻元件的交流電路uiR根據(jù)歐姆定律:

設(shè):則:§４.3單一參數(shù)的交流電路iRu=電阻電路中電流、電壓的關(guān)系:1.頻率相同2.相位相同3.有效值關(guān)系：4.相量關(guān)系：設(shè)o0D=U.UI.U.第十六頁，共五十三頁，2022年，8月28日電阻電路中功率的計算◆瞬時功率p(p小寫)：瞬時電壓與瞬時電流的乘積RuiRiu/22==pR=uiR(1)（耗能元件）(2)隨時間變化(3)與成比例ωtuipωt++第十七頁，共五十三頁，2022年，8月28日◆平均功率（有功功率）P(P大寫)：一個周期內(nèi)的瞬時功率平均值P∴RURIIU/22===第十八頁，共五十三頁，2022年，8月28日基本關(guān)系式：設(shè)則2、電感元件的交流電路iueLL電感電路中電流、電壓的關(guān)系:(1)頻率相同(2)相位相差90°（u領(lǐng)先i90

°）UIILIw..(3)有效值LXI=(4)相量關(guān)系LIUw=第十九頁，共五十三頁，2022年，8月28日電感電路中功率的計算◆瞬時功率p(p小寫)：瞬時電壓與瞬時電流的乘積iueLLtUIttUIuipwww2sincossin2==×=當u與i的瞬時值為同號時，p0，電感元件取用功率(為負載)，磁能增加；當u與

i的瞬時值為同號時，p0，電感元件發(fā)出功率(相當于電源)，電感元件的磁能減少。第二十頁，共五十三頁，2022年，8月28日★純電感不消耗能量，只和電源進行能量交換（能量的吞吐）。能量交換的規(guī)模，用無功功率Q來衡量?！羝骄β剩ㄓ泄β剩㏄(P大寫)：一個周期內(nèi)的瞬時功率平均值0d)2(sin1d100===òòttUITtpTPTTw第二十一頁，共五十三頁，2022年，8月28日無功功率Q的單位是乏(Var)或千(kVar)?！魺o功功率Q

：用以衡量電感電路中能量交換的規(guī)模LLXUXIIUQ22===電感瞬時功率所能達到的最大值。第二十二頁，共五十三頁，2022年，8月28日把一個0.1H的電感元件接到頻率為50Hz、電壓有效值為10V的正弦電源上，問電流是多少？如保持電壓值不變，而電源頻率改變?yōu)?000Hz，這時電流為多少？解：當f=50Hz時，當f=5000Hz時，例第二十三頁，共五十三頁，2022年，8月28日基本關(guān)系式:設(shè)：uiC則：３、電容元件的交流電路)90sin(2cos2ddo+===tCUtUCtuCiwwww電容電路中電流、電壓的關(guān)系（１）頻率相同（２）相位相差90°（u落后i90°

）（３）有效值或CUI

w=ICUw1=（４）相量關(guān)系．IU．第二十四頁，共五十三頁，2022年，8月28日電容電路中功率的計算◆瞬時功率p(p小寫)：瞬時電壓與瞬時電流的乘積uiC◆平均功率（有功功率）P(P大寫)：一個周期內(nèi)的瞬時功率平均值Tòò=-==TTttIUtPTP000d2sin1d1w第二十五頁，共五十三頁，2022年，8月28日（電容性無功取負值）◆無功功率Q

：用以衡量電感電路中能量交換的規(guī)模電感瞬時功率所能達到的最大值。第二十六頁，共五十三頁，2022年，8月28日解：當f=50Hz時，可見，在電壓值一定時，頻率愈高，通過電容元件的電流愈大。當f=5000Hz時，把一個的電容元件接到頻率為50Hz、電壓有效值為10V的正弦電源上，問電流是多少？如果保持電壓值不變，而電源頻率改為5000Hz，這時電流將為多少？例第二十七頁，共五十三頁，2022年，8月28日◆電流、電壓的關(guān)系uRLCi§４.４電阻、電感與電容串聯(lián)交流電路或?qū)懗?/p>

j·LU·RU·CU·CU·U+·LU·CU·I第二十八頁，共五十三頁，2022年，8月28日以電流為相位參考，故總電壓的有效值幅值：令則或應注意幾點：1.在分析與計算交流電路時必須時刻具有交流的概念，特別是相位的概念。上述電阻、電容與電感的串聯(lián)，總的電壓應等于三個元件上電壓的相量和，如果直接寫成

那就不對了。２.復數(shù)阻抗的實部為“阻”，虛部為“抗”，它表示了串聯(lián)電路的電壓與電流之間的關(guān)系，模

|Z|反映大小關(guān)系，輻角反映相位關(guān)系。第二十九頁，共五十三頁，2022年，8月28日對于復阻抗Ｚ的討論IUXXRzCL=-+=22)(★|Z|也具有對電流起阻礙作用的性質(zhì)，其單位也是歐姆，稱之為電路的阻抗。|Z|、R、(XL–XC)三者之間的數(shù)值關(guān)系可以用一個直角三角形來表示——稱為阻抗三角形。|Z|RXL–XC

電壓三角形與阻抗三角形是相似形，/

就是總電壓與電流之間的相位差。阻抗角的計算：RXXarctgUUUarctgCLRCL-=-=j是一個復數(shù)，但并不是正弦交流量，上面不能加點。Z在方程式中只是一個運算工具?！颶第三十頁，共五十三頁，2022年，8月28日★

Z和總電流、總電壓的關(guān)系由復數(shù)形式的歐姆定律可得：ZIU=iuiuIUZIUIUZjjjjj-D=D=DD==····iujjj-=IUZ=（Ｚ的模為電路總電壓和總電流有效值之比）（Ｚ的幅角則為總電壓和總電流的相位差）第三十一頁，共五十三頁，2022年，8月28日★

Z和電路性質(zhì)的關(guān)系當時，表示u領(lǐng)先i－－電路呈感性當時，表示u、i同相－－電路呈電阻性當時，表示u落后i－－電路呈容性RXXCLiu-=-=-1tanjjj一定時，電路性質(zhì)由參數(shù)決定第三十二頁，共五十三頁，2022年，8月28日★

阻抗三角形和電壓三角形的關(guān)系電壓三角形阻抗三角形相似|Z|RXL–XC

第三十三頁，共五十三頁，2022年，8月28日●瞬時功率p

●平均功率P（有功功率）

◆電路中的功率計算其中：jcosUIP=（Ｕ：總電壓Ｉ：總電流j：總電壓與總電流的夾角）cosj：功率因素第三十四頁，共五十三頁，2022年，8月28日電路中存在能量吞吐，吞吐的規(guī)模用無功功率來表示●無功功率QjsinIUIUUIUIUQQQCLCLCL=-=-+=+=）（）（●視在功率S電路中總電壓與總電流有效值的乘積單位：伏安、千伏安UIS=●功率三角形PQS第三十五頁，共五十三頁，2022年，8月28日

RLC串聯(lián)電路，已知R=30,L=127mH,C=40F,電源電壓u=220(sin314t+20o)V求:(1)電路的感抗、容抗和阻抗；(2)電流有效值及瞬時值的表達式；(3)各部分電壓有效值及瞬時值的表達式；(4)作相量圖；(5)電路的功率P和Q。2例解(1)感抗容抗阻抗(2)電流有效值相位差角W=′′=w=-40101273143LXLW=-+=50)(22CLXXRZW=′′=w=--80)1040314(/116CXCAZUI4.450/220/===)(53電容性°-=-=jRXXarctgCL第三十六頁，共五十三頁，2022年，8月28日電流瞬時值(3)電阻端電壓電感端電壓電容端電壓顯然：只有：)5320314sin(24.4°+°+=tiAt)73314sin(24.4°+=VRIUR132304.4===VtuR)73314sin(2132°+=VXIULL176404.4==×=VtuL)163314sin(2176°+=VXIUCC352804.4===VtuC)17314sin(2352°-=CLRUUUU++1××CLRUUUU++=第三十七頁，共五十三頁，2022年，8月28日(4)相量圖如右所示：20o(5)電路的功率電路的無功功率視在功率j=cosUIP)53cos(4.4220°-=W8.580=j=sinUIQ)53sin(4.4220°-=Var4.774-=VAUIS9684.4220===×××第三十八頁，共五十三頁，2022年，8月28日§４.5阻抗的串聯(lián)與并聯(lián)１.阻抗的串聯(lián)根據(jù)電壓定律的相量形式式中稱為串聯(lián)電路的等效復數(shù)阻抗?！ぁ?UI·1U·U2Z1Z(a)阻抗的串聯(lián)(b)等效電路·UZ·I第三十九頁，共五十三頁，2022年，8月28日其中，２.阻抗的并聯(lián)根據(jù)電流定律的相量形式·(b)等效電路·UZI·I·U2Z1Z(a)阻抗的并聯(lián)·1I·2I第四十頁，共五十三頁，2022年，8月28日令稱為等效復數(shù)導納，式中

Z是并聯(lián)電路的等效復數(shù)阻抗。則

第四十一頁，共五十三頁，2022年，8月28日響應與頻率的關(guān)系稱為電路的頻率特性或頻率響應。在頻率領(lǐng)域內(nèi)對電路進行分析，稱為頻域分析?！欤?４交流電路的頻率特性★在具有電感和電容元件的電路中，電路兩端的電壓與其中的電流一般是相位不同的。如果調(diào)節(jié)電路的參數(shù)或調(diào)節(jié)電源的頻率而使兩者相位相同，電路中就會發(fā)生諧振現(xiàn)象?！镏C振可分為串聯(lián)諧振和并聯(lián)諧振兩種情況。諧振串聯(lián)諧振：L與C串聯(lián)時u、i同相并聯(lián)諧振：L與C并聯(lián)時u、i同相第四十二頁，共五十三頁，2022年，8月28日在R、L、C元件的串聯(lián)電路中，當或則電壓u與電流i同相，這時電路發(fā)生了串聯(lián)諧振。RLCuiCLXX=fCfLpp212=0=-=RXXarctgCLj發(fā)生串聯(lián)諧振時，電源的頻率與電路f的固有頻率f0相同，有LCffp210==★

L與C串聯(lián)時發(fā)生諧振的條件：１、串聯(lián)諧振第四十三頁，共五十三頁，2022年，8月28日(1)電路的阻抗為最小值，電路的電流為最大值。★串聯(lián)諧振的特點(2)諧振電路呈現(xiàn)電阻性。電源不與電路進行能量互換，能量的互換只發(fā)生在電感線圈和電容器之間。(３)U、I

同相RUII==0RXXRZCL=-+=22)((４)當時RXXCL??=

電容及電感的端電壓可能比電源電壓高出許多倍，亦稱之為電壓諧振。第四十四頁，共五十三頁，2022年，8月28日★

諧振電路的品質(zhì)因數(shù)RLCRUUUUQCL001w=w===★LC電路的諧振特性在無線電工程中被用來選擇有用頻率的信號，而盡量地抑制干擾。

顯然，Q值越大，選擇性越好。第四十五頁，共五十三頁，2022年，8月28日電容器與線圈的并聯(lián)電路，其等效阻抗為RLCuiiCi1通常要求電阻很小，諧振時一般有L>>R，則上式為上式分母中虛部為零時產(chǎn)生諧振，可得諧振頻率為即與串聯(lián)諧振頻率近似相等。２、并聯(lián)諧振LCRCjLjRLjRCjLjRCjZ21)(1)(1w-w+w+=w++ww+w=)1(112LCjLRCLCRCjLjZw-w+=w-w+w?LCLC101000?w?w-w或LCffp?=210第四十六頁，共五十三頁，2022年，8月28日(1)諧振時電路的阻抗為達到最大值，比非諧振時要大。在電源電壓一定的情況下，電路中的諧振電流有最小值。即(2)電路的總電壓與電流相位相同(=0)，呈現(xiàn)電阻性。(3)各并聯(lián)支路電流為★并聯(lián)諧振的特點及品質(zhì)因數(shù)RCLLRCZ==)(1000)(ZULRCUII===及而LfULfRUI020212)2(p?p+=CfUIC021p=RLRLfCfRLfRCLZ2020000)()2()2(2w=p?pp==第四十七頁，共五十三頁，2022年，8月28日當時，即：因此，并聯(lián)諧振也稱電流諧振。IC或I1與總電流I0的比值為并聯(lián)諧振電路的品質(zhì)因數(shù)CRRLRLfIIQ0000112w=w=p==01IIIC>>?RLRLfCfLf202000)()2(212w=p<<p?pRLf>>p02第四十八頁，共五十三頁，2022年，8月28日在直流電路中，功率僅與電流和電壓的乘積有關(guān)；上式中的cos是電路中的功率因數(shù)。其大小決定于電路（負載）的參數(shù)。對純阻負載功率因數(shù)為1。對其他負載來說，其功率因數(shù)均介于0和1之間。１、提高功率因數(shù)的意義在交流電路中，功率不僅與電流和電壓的乘積有關(guān)，而且還與電壓與電流之間的相位差有關(guān)；P=UIP=UIcos§４.４功率因數(shù)的提高即：即：第四十九頁，共五十三頁，202