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第四章球函數(shù)及其性質(zhì)第一頁,共三十五頁,2022年,8月28日拉普拉斯方程第二頁,共三十五頁,2022年,8月28日(一)球坐標(biāo)中的拉普拉斯算子利用該關(guān)系式直接將直角坐標(biāo)系中的拉普拉斯算子化算在球坐標(biāo)系中,運(yùn)算比較麻煩,這里我們利用來推導(dǎo)拉普斯算子在球坐標(biāo)中的表達(dá)式。如圖4-1所示,取一微六面體ABCDEFGH,球坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的關(guān)系是第三頁,共三十五頁,2022年,8月28日?qǐng)D4-1第四頁,共三十五頁,2022年,8月28日將用于該微六面體,得其中r為微六面體的體積,i=1,2,…,6表示微六面體的6個(gè)面。表示在第i個(gè)面上的值,i為第i個(gè)面的面積。
在AEHD上,n與p增加的方向反向,所以有該面的面積為,所以第五頁,共三十五頁,2022年,8月28日所以有,在AEFB上,n的方向與增加的方向相反,由于沿增加方
向的線元長度為d,所以,同理有,所以有,第六頁,共三十五頁,2022年,8月28日在ABCD上,n的方向與增加的方向相反,由于沿增加方向的線元長度為sind,所以該面的面積為dd,所以得綜合以上幾式,得拉普拉斯算子在球坐標(biāo)中的表達(dá)式:第七頁,共三十五頁,2022年,8月28日(二)分離變量法令上式等于零,然后兩邊同乘以平方,得球坐標(biāo)中的拉普拉
斯方程分離變量法就是將方程的解分解為依賴于不同自變量的函數(shù)
之積。令第八頁,共三十五頁,2022年,8月28日得兩邊同除以移項(xiàng)得:等號(hào)兩邊必然等于同一常數(shù),所以第九頁,共三十五頁,2022年,8月28日進(jìn)一步對(duì)第二個(gè)方程作變量分離,令有:移項(xiàng),并令兩邊同等于
,整理得:令將上式進(jìn)行改化,得連帶勒讓德方程:第十頁,共三十五頁,2022年,8月28日當(dāng)=0時(shí)簡化為稱為勒讓德方程。第十一頁,共三十五頁,2022年,8月28日4.2勒讓得函數(shù)(一)勒讓得方程的級(jí)數(shù)解勒讓得函數(shù)是勒讓得方程在[一1,1]中有界條件下的特征函數(shù)。勒讓得方程還可以寫成令其級(jí)數(shù)解為得第十二頁,共三十五頁,2022年,8月28日將第一項(xiàng)更換指標(biāo),得顯然,要使原級(jí)數(shù)為勒讓得方程的解,上式中x'的系數(shù)必須等于零,即得遞推公式得到兩個(gè)解第十三頁,共三十五頁,2022年,8月28日(二)級(jí)數(shù)解的收斂性對(duì)于上式中的兩個(gè)級(jí)數(shù)來說,我們可以將看成是x平方的幕級(jí)數(shù),將看成是x與-x2的幕級(jí)數(shù)之積。對(duì)于這兩個(gè)幕級(jí)數(shù)來說,由于它們具有相同的遞推公式,收斂半徑也必然相等,有:就是說,當(dāng)x在(-1,1)中時(shí),前面的兩個(gè)級(jí)數(shù)解都是收教的,表明這兩個(gè)解都有界。當(dāng)x=士1時(shí),兩個(gè)級(jí)數(shù)解均無界。第十四頁,共三十五頁,2022年,8月28日(三)勒讓得函數(shù)為了解決方程的兩個(gè)幕級(jí)數(shù)解在(-1,1)中有界而在x=士1時(shí)均無界的矛盾,令的值為n(n+1),其中n為大于等于零的整數(shù),則系數(shù)的遞推公式變?yōu)?由這個(gè)遞推公式,使那兩個(gè)無窮級(jí)數(shù)中有一個(gè)變?yōu)槎囗?xiàng)式。當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),變?yōu)槎囗?xiàng)式,仍為無窮級(jí)數(shù),當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),仍為無窮級(jí)數(shù),變?yōu)槎囗?xiàng)式。兩個(gè)多項(xiàng)式都在[一1,1]中有界,
兩個(gè)無窮級(jí)數(shù)則都在(一1,1)中有界,在x=士1時(shí)無界。因而勒
讓得方程在[一1,1]中有界條件下的特征值是n(n十1),對(duì)應(yīng)的特
征函數(shù)為相應(yīng)的多項(xiàng)式。第十五頁,共三十五頁,2022年,8月28日我們把上述多項(xiàng)式最高次項(xiàng)的系數(shù)規(guī)定為此時(shí)該多項(xiàng)式稱為n階勒讓得函數(shù),并且表示。在上述遞推公式中令i=n-2,可以得到:以此類推,可以得到:,….歸納可以得到:第十六頁,共三十五頁,2022年,8月28日因此,得到勒讓德函數(shù)的具體表達(dá)式:(四)羅巨格公式勒讓得函數(shù)的另一個(gè)表達(dá)形式是稱為羅巨格公式。第十七頁,共三十五頁,2022年,8月28日4.3連帶勒讓得函數(shù)(一)連帶勒讓得方程與勒讓得方程的關(guān)系連帶勒讓得函數(shù)是連帶勒讓得方程在【-1,1】中有界條件下
的特征函數(shù)。還可以寫成:做變量代換,可以求得:第十八頁,共三十五頁,2022年,8月28日將前三式代入連帶勒讓德方程,整理得:求導(dǎo)并整理得:得:可見,連帶勒讓得方程兩個(gè)線性無關(guān)的解可由勒讓得方程兩個(gè)線性無關(guān)的解確定。第十九頁,共三十五頁,2022年,8月28日(二)連帶勒讓得方程的級(jí)數(shù)解由上式可以求出連帶勒讓得方程兩個(gè)線性無關(guān)的解,(三)級(jí)數(shù)解的收斂性當(dāng)k為偶數(shù)時(shí),將上式中的求和指標(biāo)i換成i+K/2,得
第二十頁,共三十五頁,2022年,8月28日當(dāng)i足夠大時(shí),考慮到B1(x)中的級(jí)數(shù)為x2的級(jí)數(shù),B2(x)中的級(jí)數(shù)為x與一個(gè)x2的級(jí)數(shù)之積,所以這兩上級(jí)數(shù)均可被當(dāng)作正項(xiàng)級(jí)數(shù)處理,由于級(jí)數(shù)的前面有限項(xiàng)并不影響級(jí)數(shù)的收斂性,所以只要分別無界,B1,B2也無界??梢宰C明,當(dāng)x趨于士1時(shí),y1(x)和y2(x)分別趨于無窮,也就
是說,y1(x)和y2(x)在x=士1時(shí)無界,因而B1(x)和B2(x)在x
=士1時(shí)無界。第二十一頁,共三十五頁,2022年,8月28日(四)連帶勒讓得函數(shù)為了得到[1,1]中的有界解,我們?nèi)匀蝗=n(n+1),其中n為大于等于零的整數(shù),此時(shí)顯然,若n為偶數(shù),則B1(x)中的無窮級(jí)數(shù)變成多項(xiàng)式,B2(x)中的無窮級(jí)數(shù)保持為無窮級(jí)數(shù);若n為奇數(shù),則B1(x)中的無窮級(jí)數(shù)保持為無窮級(jí)數(shù),B2(x)中的無窮級(jí)數(shù)變成多項(xiàng)式。這兩個(gè)多項(xiàng)式都在[一1,1]中有界,因而由它們得到的B1(x)或B2(x)也有界。則連帶勒讓得方程在[-1,1]中的有界解為將Pn的表達(dá)式代入,得第二十二頁,共三十五頁,2022年,8月28日得第二十三頁,共三十五頁,2022年,8月28日經(jīng)度方向方程的求解第二十四頁,共三十五頁,2022年,8月28日3.4球函數(shù)在第一節(jié)中,我們將球坐標(biāo)中的拉普拉斯方程的解分解成
了三個(gè)函數(shù)的積,并解出:最后,我們來求解當(dāng)趨于零時(shí),。所以,適用于研究內(nèi)部有界的調(diào)和函數(shù)。,適用于研究外部有界的調(diào)和函數(shù)。
第二十五頁,共三十五頁,2022年,8月28日由分離變童法求得的拉普拉斯方程最一般的解為所有可能的乘積的線性組合。設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)在某一閉合曲面的內(nèi)部,則在該曲面內(nèi)部拉普拉斯方程分離變量有限解的一般形式為第二十六頁,共三十五頁,2022年,8月28日4.5球函數(shù)的幾何意義(一)勒讓得函數(shù)的零點(diǎn)第二十七頁,共三十五頁,2022年,8月28日球函數(shù)的幾何意義(二)面球函教的幾何意義當(dāng)k=0時(shí),面球函數(shù)退化成P(cos),由于它在0<0<之
間有,n個(gè)零點(diǎn),并且每經(jīng)過一次零點(diǎn)改變一次正負(fù)號(hào),所以,
(cos)由緯線將球面分成n十1個(gè)正負(fù)相間的條帶,叫帶球函
數(shù),是P3(cos)的示意圖,零點(diǎn)為50.8,90和129.2第二十八頁,共三十五頁,2022年,8月28日球函數(shù)的幾何意義第二十九頁,共三十五頁,2022年,8月28日球函數(shù)的幾何意義第三
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