成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析 第3課時 一元線性回歸模型及其應(yīng)用

.2一元線性回歸模型及其應(yīng)用（3課時，單元教學(xué)設(shè)計）第一課時劉謙（安徽省淮南第一中學(xué)）第二、三課時石偉偉（安徽省壽縣第二中學(xué)）1單元內(nèi)容與內(nèi)容解析1.1內(nèi)容模型評價與改進(jìn)模型應(yīng)用參數(shù)的最小二乘估計一元線性回歸模型模型評價與改進(jìn)模型應(yīng)用參數(shù)的最小二乘估計一元線性回歸模型決定系數(shù)R2殘差分析模型解釋決定系數(shù)R2殘差分析模型解釋模型假設(shè)模型假設(shè)一元線性回歸模型，一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計.第1課時：一元線性回歸模型.第2課時：一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計.第3課時：一元線性回歸模型的應(yīng)用.1.2內(nèi)容解析一元線性回歸模型是描述兩個隨機(jī)變量之間相關(guān)關(guān)系的最簡單的回歸模型.當(dāng)兩個變量具有顯著的線性相關(guān)關(guān)系時，可以建立一元線性回歸模型來刻畫兩個變量間的隨機(jī)關(guān)系，并通過模型進(jìn)行預(yù)測.建立一元線性回歸模型的基礎(chǔ)是對成對樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行相關(guān)性分析.通過散點圖，直觀觀察相關(guān)關(guān)系的類型、方向和強(qiáng)弱；構(gòu)造相關(guān)系數(shù)，定量刻畫兩個變量相關(guān)的正負(fù)性和線性相關(guān)關(guān)系的密切程度.在此基礎(chǔ)上，建立一元線性回歸模型，使用最小二乘法估計參數(shù)，得到經(jīng)驗回歸方程，進(jìn)行預(yù)測.為了評價和改進(jìn)模型，引入殘差和殘差圖，以及決定系數(shù)R2對模型進(jìn)行診斷，使其不斷完善，幫助決策.一元線性回歸模型是統(tǒng)計學(xué)中一種最基礎(chǔ)且重要的模型，許多回歸模型都是以一元線性回歸模型為基礎(chǔ)進(jìn)行研究.其涉及的統(tǒng)計模型的思想、最小二乘思想、方差分析思想（構(gòu)造統(tǒng)計量，評價回歸擬合效果）在統(tǒng)計學(xué)中占有重要的地位.在一元線性回歸模型的建立和應(yīng)用過程中，通過創(chuàng)建回歸方程、估計模型參數(shù)、分析模型有效性、將非線性回歸模型轉(zhuǎn)化為線性回歸模型等內(nèi)容的學(xué)習(xí)，使學(xué)生親力親為、參與其中，體會統(tǒng)計的思想，理解統(tǒng)計的概念，了解統(tǒng)計分析的一般方法，積累數(shù)據(jù)分析的經(jīng)驗，增強(qiáng)應(yīng)用意識.讓學(xué)生感悟到根據(jù)實際情況進(jìn)行科學(xué)決策的必要性和可能性，體會統(tǒng)計思維與確定性思維的差異、歸納推理與演繹證明的差異，夯實“四基”，提高“四能”，全面培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).基于以上分析，確定本單元的教學(xué)重點：（1）一元線性回歸模型的意義；（2）用最小二乘法估計回歸模型參數(shù)的方法；（3）殘差分析和決定系數(shù)R2的意義；（4）一元線性回歸模型的應(yīng)用.2單元目標(biāo)與目標(biāo)解析2.1目標(biāo)（1）結(jié)合具體事例，了解一元線性回歸模型的含義，了解模型參數(shù)的統(tǒng)計意義，了解最小二乘原理.（2）掌握一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計方法，會使用相關(guān)的統(tǒng)計軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)分析.（3）掌握殘差分析的方法，理解決定系數(shù)R2的意義.（4）針對實際問題，會用一元線性回歸模型進(jìn)行預(yù)測.2.2目標(biāo)解析達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：（1）知道線性回歸模型與函數(shù)模型的區(qū)別，知道線性回歸模型中誤差e的含義，知道假設(shè)誤差e滿足E(e（2）能依據(jù)使用距離來刻畫接近程度的數(shù)學(xué)方法了解最小二乘原理，并利用該原理推導(dǎo)參數(shù)估計值的計算公式.（3）會使用統(tǒng)計軟件繪制散點圖，計算樣本相關(guān)系數(shù)、求回歸方程，能用殘差、殘差圖和決定系數(shù)R2對回歸模型進(jìn)行評價等.（4）通過具體案例，理解利用一元線性回歸模型可以刻畫隨機(jī)變量之間的線性相關(guān)關(guān)系，在建立一元線性回歸模型解決實際問題的過程中，提升數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理等素養(yǎng).3單元教學(xué)問題診斷分析“一元線性回歸模型及其應(yīng)用”與“成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關(guān)性”一樣，都是關(guān)于定量變量進(jìn)行的研究.在前一節(jié)“成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關(guān)性”的學(xué)習(xí)中，主要介紹了散點圖和相關(guān)系數(shù)，側(cè)重于考查變量之間相關(guān)的形態(tài)和程度，而“一元線性回歸模型及其應(yīng)用”側(cè)重于考查變量之間的數(shù)量關(guān)系，展示變量之間的具體形態(tài).因此，可以看作是在前一節(jié)基礎(chǔ)上的進(jìn)一步深入刻畫.為了揭示這種數(shù)量關(guān)系，在第一節(jié)里引入回歸模型這一概念，教學(xué)時要注意與函數(shù)模型的區(qū)別，體會統(tǒng)計思維和確定性思維的差異，這也是由于統(tǒng)計學(xué)的學(xué)科特點決定的.統(tǒng)計學(xué)是建立在數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，通過演繹方式，對隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行研究的科學(xué).許多樣本數(shù)據(jù)帶有隨機(jī)性，因此，在構(gòu)建模型時，特地設(shè)置了隨機(jī)誤差項e，反映未列入方程的其它各種因素對Y的影響，并對其均值和方差做了要求.學(xué)生們在學(xué)習(xí)隨機(jī)誤差時可能會存在理解困難.在第二節(jié)里，介紹了利用最小二乘原理尋求最佳擬合直線的方法，讓學(xué)生體會其蘊(yùn)含的最小二乘思想，認(rèn)識到最小二乘法是統(tǒng)計分析中一種常用的數(shù)據(jù)處理方法.利用該方法對模型的參數(shù)做出估計時，學(xué)生們?nèi)菀渍`將參數(shù)的估計值當(dāng)作模型的參數(shù)，對參數(shù)的意義理解不夠準(zhǔn)確，這是由于對樣本的隨機(jī)性了解不夠造成的.教學(xué)設(shè)計時專門設(shè)置解惑環(huán)節(jié)，消除障礙，深化理解.基于以上分析，確定本單元的教學(xué)難點：（1）對隨機(jī)誤差的理解；（2）最小二乘的原理和方法；參數(shù)的意義及參數(shù)估計公式的推導(dǎo)；（4）殘差變量的解釋與分析；（5）模型的應(yīng)用以及優(yōu)度的判斷.4單元教學(xué)支持條件分析一元線性回歸模型主要研究兩個隨機(jī)變量的線性相關(guān)關(guān)系，通過成對樣本數(shù)據(jù)建立模型，尋找數(shù)據(jù)背后隱藏的規(guī)律.在教學(xué)時，由于需要處理大量數(shù)據(jù)，涉及畫散點圖、求回歸方程、畫回歸直線、計算殘差和決定系數(shù)R2以及數(shù)據(jù)變換等等，計算量大.《課標(biāo)（2017年版）》里明確要求“會使用相關(guān)的統(tǒng)計軟件”.因此，在本單元教學(xué)中，需要使用GeoGebra、Excel、圖形計算器等統(tǒng)計軟件幫助處理數(shù)據(jù).利用信息技術(shù)工具輔助教學(xué),不僅僅是教學(xué)的需要，也是現(xiàn)如今大數(shù)據(jù)時代，對于每個受教育者掌握必備的信息技術(shù)提出的要求.借助大數(shù)據(jù)的東風(fēng)，創(chuàng)建信息技術(shù)高效課堂.5課時教學(xué)設(shè)計1第一課時5.1教學(xué)內(nèi)容1.構(gòu)建一元線性回歸模型.2.理解一元線性回歸模型．5.2教學(xué)目標(biāo)1.理解一元線性回歸模型的表達(dá)式及模型中參數(shù)的意義.2.能利用樣本數(shù)據(jù)建立統(tǒng)計模型并會進(jìn)行預(yù)測.3.知道一元線性回歸模型建立的必要性.5.3教學(xué)重點與難點教學(xué)重點：一元線性回歸模型的概念，隨機(jī)誤差的概念,表示與假設(shè).教學(xué)難點：回歸模型與函數(shù)模型的區(qū)別，隨機(jī)誤差產(chǎn)生的原因與影響.5.4教學(xué)過程設(shè)計引言通過前面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)了解到，根據(jù)成對樣本數(shù)據(jù)的散點圖和樣本相關(guān)系數(shù)，可以推斷兩個變量是否存在相關(guān)關(guān)系、是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)，以及線性相關(guān)程度的強(qiáng)弱等.進(jìn)一步地，如果能像建立函數(shù)模型刻畫兩個變量之間的確定性關(guān)系那樣，通過建立適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計模型刻畫兩個隨機(jī)變量的相關(guān)關(guān)系，那么我們就可以利用這個模型研究兩個變量之間的隨機(jī)關(guān)系，并通過模型進(jìn)行預(yù)測.下面我們研究當(dāng)兩個變量線性相關(guān)時，如何利用成對樣本數(shù)據(jù)建立統(tǒng)計模型，并利用模型進(jìn)行預(yù)測的問題.5.4.1復(fù)習(xí)舊知，導(dǎo)入新課問題情境：我們在長大的過程中，經(jīng)常聽到家長囑咐孩子不要在家里打傘，不然會長不高，類似的還有不要站在門框下，不要在橋下走，不要從晾曬的褲子面走過等，這些聽了幾十年的話，長大了自然都知道是因為家長不愿讓孩子調(diào)皮搗蛋才“編造”的?！獜目茖W(xué)角度來看，孩子的身高是由父母共同決定的。但是，孩子的身高并不是完全靠遺傳影響，實際上遺傳因素只占身高的60-70%，剩下的30-40%是受后天因素影響的。所以說兒子的身高與父親的身高有關(guān)。一般來說，父親的身高較高時，兒子的身高通常也較高，但會受到其他因素的影響。為了進(jìn)一步研究兩者之間的關(guān)系，有人調(diào)查了14名男大學(xué)生的身高及其父親的身高，得到數(shù)據(jù)如表所示：5.4.2直觀感知，引入新知問題1：根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，兒子身高和父親身高這兩個變量之間的關(guān)系可以用函數(shù)模型刻畫嗎？師生活動：學(xué)生閱讀教材，回答問題，教師補(bǔ)充——在表中的數(shù)據(jù)，存在父親身高相同而兒子身高不同的情況.例如，第6個和第8個觀測父親的身高均為172cm，而對應(yīng)的兒子的身高為176cm和174cm；同樣在第3，4個觀測中，兒子的身高都是170cm，而父親的身高分別為173cm，169cm.可見兒子的身高不是父親身高的函數(shù)同樣父親的身高也不是兒子身高的函數(shù)，所以不能用函數(shù)模型來刻畫.設(shè)計意圖：通過分析發(fā)現(xiàn)，兩者不滿足函數(shù)關(guān)系，由此引入新的模型來刻畫兩者關(guān)系.5.4.3復(fù)習(xí)舊知，探究新知利用前面表示數(shù)據(jù)的方法，以橫軸表示父親身高、縱軸表示兒子身高建立直角坐標(biāo)系，將表格中的成對樣本數(shù)據(jù)表示為散點圖，如下圖所示：問題2：經(jīng)過剛才的分析，你覺得兒子身高與父親身高的關(guān)系是怎樣的？師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生回憶之前學(xué)過的變量間的相關(guān)關(guān)系的內(nèi)容，給出答案——兒子身高與父親身高不是函數(shù)關(guān)系，而是相關(guān)關(guān)系.追問：兒子身高與父親身高的關(guān)系是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)？是線性相關(guān)還是曲線相關(guān)？師生活動：引導(dǎo)學(xué)生積極討論，給出結(jié)論——散點大致分布在一條直線附近,表明兒子身高和父親身高有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.問題3：能否進(jìn)一步驗證剛才的結(jié)論？師生活動：引導(dǎo)學(xué)生回憶樣本相關(guān)系數(shù)公式計算可得相關(guān)系數(shù),表明兒子身高和父親身高正線性相關(guān)，且相關(guān)程度較強(qiáng).設(shè)計意圖：復(fù)習(xí)樣本相關(guān)系數(shù)公式，進(jìn)一步明確兒子身高和父親身高有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.問題4：除父親身高外，還有哪些因素影響兒子的身高？師生活動：通過組織學(xué)生討論問題，形成以下主要結(jié)論：影響兒子身高的因素，除父親的身高外，還有母親的身高、生活的環(huán)境、飲食習(xí)慣、營養(yǎng)水平、體育鍛煉等隨機(jī)的因素，兒子身高不是父親身高的函數(shù)的原因是存在這些隨機(jī)的因素.設(shè)計意圖：找出父親身高和兒子身高不能用函數(shù)模型刻畫的原因.問題5：如何理解隨機(jī)誤差對兒子身高的影響？師生活動：教師指出，如果用表示父親身高，表示兒子的身高，用表示各種其他隨機(jī)因素影響之和，稱為隨機(jī)誤差，由于兒子身高與父親身高線性相關(guān)，假設(shè)沒有隨機(jī)誤差，則兒子身高只受父親身高影響，則，事實上，相關(guān)系數(shù)，故，也可以記作.設(shè)計意圖：理解影響兒子身高的因素，并用數(shù)學(xué)語言刻畫它們之間的關(guān)系.圖3問題6：隨機(jī)誤差有哪些特征？圖3師生活動：通過組織學(xué)生討論問題，形成以下主要結(jié)論：可取正或取負(fù)，有些無法測量，不可事先設(shè)定，故是一個隨機(jī)變量.由于隨機(jī)誤差表示大量已知和未知的各種影響之和，是隨機(jī)的，即取各種正負(fù)誤差的可能性一樣，他們會相互抵消（如圖3），所以它們均值的理想狀態(tài)應(yīng)該為零.為使問題簡潔，可以假設(shè)隨機(jī)誤差的均值為零，方差為與父親身高無關(guān)的定值.設(shè)計意圖：了解隨機(jī)誤差特征，雖然單個隨機(jī)誤差是無法預(yù)先設(shè)定的，但是隨機(jī)誤差的總體可以定量刻畫.5.4.4形成概念，構(gòu)建模型通過以上分析，我們用類似于函數(shù)的表達(dá)式，構(gòu)建統(tǒng)計模型，來表達(dá)兒子身高與父親身高的關(guān)系。師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生寫出稱(1)式為的一元線性回歸模型（simplelinearregressionmodel）.其中稱為因變量或響應(yīng)變量,稱為自變量或解釋變量，為模型的未知參數(shù)，稱為截距參數(shù)，稱為斜率參數(shù)；是與之間的隨機(jī)誤差；模型中的是隨機(jī)變量，其值雖然不能由變量的值確定，但卻能表示為與的和（疊加），前一部分由唯一確定，后一部分是隨機(jī)的.如果，那么之間的關(guān)系就可以用一元線性函數(shù)模型來描述.設(shè)計意圖：了解隨機(jī)現(xiàn)象，并嘗試用數(shù)學(xué)語言描述隨機(jī)現(xiàn)象.追問1：為什么要假設(shè)而不假設(shè)為某個不為零的常數(shù)？追問2：為什么要假設(shè)方差為與父親身高無關(guān)的定值？師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生分析問題，并適時指出，隨機(jī)誤差通常服從正態(tài)分布，如果隨機(jī)誤差的均值為一個不為零的常數(shù)，則表示存在系統(tǒng)誤差，在實際建模中，也不希望模型有系統(tǒng)誤差，即模型不存在非隨機(jī)誤差.而e為隨機(jī)誤差，跟父親身高無關(guān)，而是跟母親身高、飲食、鍛煉等有關(guān)，所以假設(shè)方差為與父親身高無關(guān)的定值。設(shè)計意圖：理解研究隨機(jī)問題的重要思想，即將一個隨機(jī)變量表示成一個主要的確定性的量與一個次要的隨機(jī)量之和，只要控制次要的隨機(jī)量在一定的范圍之內(nèi)，那么隨機(jī)問題就可以通過研究確定性問題得到理想的結(jié)果.5.4.5模型理解問題7：（1）函數(shù)模型與回歸模型有什么區(qū)別？（2）已知父親身高，能用一元線性回歸模型確定兒子身高嗎？師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生分析問題，并得出結(jié)論：（1）函數(shù)模型刻畫的是變量之間具有的函數(shù)關(guān)系，是一種確定性的關(guān)系?；貧w模型刻畫的是變量之間具有的相關(guān)關(guān)系，不是一種確定性的關(guān)系。即回歸模型刻畫的是兩個變量之間的隨機(jī)關(guān)系。不能，因為隨機(jī)誤差不可事先設(shè)定.追問1：你能結(jié)合父親與兒子身高的實例，說明回歸模型(1)的意義？追問2：對于父親身高為的某一名男大學(xué)生，他的身高一定為嗎？——（1）可以解釋為父親身高為的所有男大學(xué)生身高組成一個子總體，該子總體的均值為，即該子總體的均值與父親的身高是線性函數(shù)關(guān)系.當(dāng)父親身高為，對應(yīng)的兒子身高不是唯一確定的,而是有很多可能的取值，記作，它們的均值為：（2）對于父親身高為的某一名男大學(xué)生，他的身高并不一定為，它僅是該子總體的一個觀測值，這個觀測值與均值有一個誤差項.設(shè)計意圖：通過具體實例，加深學(xué)生對一元線性回歸模型的理解.追問3：你能結(jié)合具體實例解釋產(chǎn)生模型(1)中隨機(jī)誤差項的原因嗎？師生活動：組織學(xué)生展開討論，形成共識，在研究兒子身高與父親身高的關(guān)系時，產(chǎn)生隨機(jī)誤差的原因有：（1）除父親身高外，其他可能影響兒子身高的因素，比如母親身高、生活環(huán)境、飲食習(xí)慣和鍛煉時間等.（2）在測量兒子身高時，由于測量工具、測量精度所產(chǎn)生的測量誤差.（3）實際問題中，我們不知道兒子身高和父親身高的相關(guān)關(guān)系是什么，可以利用一元線性回歸模型來近似這種關(guān)系，這種近似關(guān)系也是產(chǎn)生隨機(jī)誤差的原因.設(shè)計意圖：通過具體實例，加深學(xué)生對隨機(jī)誤差的理解.5.4.6總結(jié)歸納問題8：一元線性回歸模型有何作用?師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生分析問題，并適時指出：當(dāng)父親身高為時可以通過了解兒子身高的總體情況，從而預(yù)測兒子的身高.設(shè)計意圖：通過具體實例，使學(xué)生了解一元線性回歸模型的作用.5.4.7應(yīng)用新知，學(xué)以致用例1、若某地財政收入x與支出y滿足一元線性回歸模型y＝bx＋a＋e(單元：億元)，其中b＝0.7，a＝3，|e|≤0.5，如果今年該地區(qū)財政收入10億元，年支出預(yù)計不會超過多少？解：因為財政收入x與支出y滿足一元線性回歸模型y＝bx＋a＋e，其中b＝0.7，a＝3，所以得到y(tǒng)＝0.7x＋3＋e，當(dāng)x＝10時，得y＝0.7×10＋3＋e＝10＋e，而|e|≤0.5，即－0.5≤e≤0.5，所以9.5≤y≤10.5，所以年支出預(yù)計不會超過10.5億元．師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生分析題意，抓住|e|≤0.5這個關(guān)鍵.學(xué)生動筆，完成整個計算．在刑偵學(xué)領(lǐng)域，腳印專家利用遺留在現(xiàn)場的足跡長度，推測出罪犯的大致身高，這是符合科學(xué)的一種推斷方法。在《犯罪現(xiàn)場分析》一書中就記載了我國成年人的足跡長與身高之間的推算公式，即Y=4.45x+63.7（Y為身高，x為平面赤足足跡長）。那么，參數(shù)4.45的含義是什么？解：因為我國成年人的足跡與身高滿足一元線性回歸模型，參數(shù)4.45的含義可以解釋為解釋變量x對響應(yīng)變量Y的均值的影響，解釋變量x每增加1個單位，響應(yīng)變量Y的均值將增加4.45個單位.即赤足長每增加1厘米，成年人身高的均值增加4.45厘米.追問：4.45和63.7這兩個數(shù)據(jù)是怎么得到的？用什么方法得到的？有沒有什么根據(jù)？推測的結(jié)果準(zhǔn)不準(zhǔn)？——通過一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計來得到的，并借助決定系數(shù)R^2來檢驗?zāi)Ｐ偷臄M合效果，進(jìn)而判斷出推測的結(jié)果是否準(zhǔn)確。師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生分析問題，并指出：赤足長每增加1厘米，成年人身高的均值增加4.45厘米.設(shè)計意圖：通過具體實例，使學(xué)生認(rèn)識一元線性回歸模型中參數(shù)的統(tǒng)計意義。并承上啟下，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為下一節(jié)一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計的引入做好鋪墊。跟蹤訓(xùn)練1思維辨析(對的打“√”，錯的打“×”)（1）兩個變量之間產(chǎn)生隨機(jī)誤差的原因僅僅是因為測量工具產(chǎn)生的誤差()（2）在一元線性回歸模型中，可以假設(shè)隨機(jī)誤差e的均值為某個不為0的常數(shù)()跟蹤訓(xùn)練2某人計算出父親身高與兒子身高的一元線性回歸模型中參數(shù)b=0.839，請說明參數(shù)b的含義是什么？師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生分析問題，并適時指出：父親身高每增加1厘米，兒子身高的均值增加0.839厘米.設(shè)計意圖：通過具體實例，使學(xué)生認(rèn)識一元線性回歸模型中參數(shù)的統(tǒng)計意義.跟蹤訓(xùn)練3將圖8.2-1中的點按父親身高的大小次序用折線連起來，所得到的圖象是一個折線圖，可以用這條折線表示兒子身高和父親身高之間的關(guān)系嗎？師生活動：不能.一是父親的身高與兒子的身高之間