2021-2022學年江蘇省鹽城市鐘莊中學高三數(shù)學理期末試題含解析

2021-2022學年江蘇省鹽城市鐘莊中學高三數(shù)學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在定義域內遞增的是（

）A． B．C． D．參考答案：AB中函數(shù)非奇非偶，D中函數(shù)是偶函數(shù)，C中函數(shù)是奇函數(shù)，但不在定義域內遞增，只有A中函數(shù)符合題意．2.定積分=（）A．10﹣ln3 B．8﹣ln3 C． D．參考答案：B【考點】定積分．【分析】求出原函數(shù)，即可求出定積分．【解答】解：==8﹣ln3，故選B．3.設函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d有兩個極值點x1，x2，若點P（x1，f（x1））為坐標原點，點Q（x2，f（x2））在圓C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1上運動時，則函數(shù)f（x）圖象的切線斜率的最大值為（）A．3+ B．2+ C．2+ D．3+參考答案：D【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】先求出c=0，d=0，得到x2=﹣＞0，f（x2）=＞0，判斷出a＜0，b＞0，得到kmax=，根據(jù)二次函數(shù)的性質求出的最大值，從而求出k的最大值即可．【解答】解：f′（x）=3ax2+2bx+c，若點P（x1，f（x1））為坐標原點，則f′（0）=0，f（0）=0，故c=0，d=0，∴f′（x）=3ax2+2bx=0，解得：x2=﹣，∴f（x2）=，又Q（x2，f（x2））在圓C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1上，∴x2=﹣＞0，f（x2）=＞0，∴a＜0，b＞0，∴kmax=﹣=，而表示⊙C上的點Q與原點連線的斜率，由，得：（1+k2）x2﹣（6k+4）x+12=0，得：△=0，解得：k=，∴的最大值是2+，∴kmax=3+，故選：D．4.設全集U是實數(shù)集R，M={x|x2＞4}，N={x|1＜x＜3}，則圖中陰影部分所表示的集合是（

）A.{x|-2≤x＜1} B.{x|-2≤x≤2} C.{x|1＜x≤2} D.{x|x＜2}參考答案：C略5.已知集合M={x|x2﹣x=0}，N={﹣1，0}，則M∩N=（）A．{﹣1，0，1}B．{﹣1，1}C．{0}D．φ

參考答案：C考點:交集及其運算．專題:集合．分析:根據(jù)集合的基本運算進行求解即可．解：M={x|x2﹣x=0}={0，1}，N={﹣1，0}，則M∩N={0}，故選：C點評:本題主要考查集合的基本運算，比較基礎．

6.已知函數(shù)的圖象的一條對稱軸是直線，則函數(shù)的單調遞增區(qū)間是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C略7.函數(shù)：①y=x?sinx②y=x?cosx③y=x?|cosx|④y=x?2x的圖象（部）如圖所示，但順序被打亂，則按照從左到右將圖象對應的函數(shù)序號安排正確的一組是（） A．④①②③ B． ①④③② C． ①④②③ D． ③④②①參考答案：C略8.設函數(shù)f（x）=x3﹣4x+a，0＜a＜2．若f（x）的三個零點為x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，則（）A．x1＞﹣1B．x2＜0C．x2＞0D．x3＞2參考答案：C考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值；函數(shù)的零點．專題：函數(shù)的性質及應用．分析：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，利用導數(shù)求函數(shù)的極值，再根據(jù)f（x）的三個零點為x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，求得各個零點所在的區(qū)間，從而得出結論．解答：解：∵函數(shù)f（x）=x3﹣4x+a，0＜a＜2，∴f′（x）=3x2﹣4．令f′（x）=0可得x=．∵當x＜﹣時，f′（x）＞0；在（﹣，）上，f′（x）＜0；在（，+∞）上，f′（x）＞0．故函數(shù)在（∞，﹣）上是增函數(shù)，在（﹣，）上是減函數(shù)，在（，+∞）上是增函數(shù)．故f（﹣）是極大值，f（）是極小值．再由f（x）的三個零點為x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，可得x1＜﹣，﹣＜x2＜，x3＞．根據(jù)f（0）=a＞0，且f（）=a﹣＜0，可得＞x2＞0．故選C．點評：本題主要考查函數(shù)的零點的定義，函數(shù)的零點與方程的根的關系，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，利用導數(shù)求函數(shù)的極值，屬于中檔題．9.已知a＞0且a≠1，函數(shù)在區(qū)間（﹣∞，+∞）上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)，則函數(shù)g（x）=loga|x|﹣b|的圖象是（）A．B．C．D．參考答案：A考點：函數(shù)的圖象；對數(shù)函數(shù)的單調性與特殊點．專題：數(shù)形結合．分析：根據(jù)函數(shù)是一個奇函數(shù)，函數(shù)在原點出有定義，得到函數(shù)的圖象一定過原點，求出b的值，根據(jù)函數(shù)是一個增函數(shù)，看出底數(shù)的范圍，得到結果．解答：解：∵函數(shù)在區(qū)間（﹣∞，+∞）上是奇函數(shù)，∴f（0）=0∴b=1，又∵函數(shù)在區(qū)間（﹣∞，+∞）上是增函數(shù)，所以a＞1，所以g（x）=loga||x|﹣1|定義域為x≠±1，且當x＞1遞增，當0＜x＜1遞減，故選A點評：本題考查函數(shù)奇偶性和單調性，即對數(shù)函數(shù)的性質，本題解題的關鍵是看出題目中所出現(xiàn)的兩個函數(shù)性質的應用．10.已知函數(shù)在點處的切線經(jīng)過原點，則實數(shù)（

）A．1 B．0 C． D．參考答案：A，，切線方程為，故，解，故選A．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知集合，集合，則

．參考答案：略12.某大型超市銷售的乳類商品有四種：純奶、酸奶、嬰幼兒奶粉、成人奶粉，且純奶、酸奶、嬰幼兒奶粉、成人奶粉分別有30種、10種、35種、25種不同的品牌．現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為n的樣本進行三聚氰胺安全檢測，若抽取的嬰幼兒奶粉的品牌數(shù)是7，則n=

．參考答案：20略13.若圓上一點A（2，3）關于直線x+2y＝0的對稱點仍在圓上，且圓與直線x﹣y+1＝0相交的弦長為2則圓的方程是_____．參考答案：(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244.【分析】設出圓的方程為（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，由圓上的點關于直線的對稱點還在圓上得到圓心在這條直線上，設出圓心坐標，代入到x+2y＝0中得到①；把A的坐標代入圓的方程得到②；由圓與直線x﹣y+1＝0相交的弦長為2，利用垂徑定理得到弦的一半，圓的半徑，弦心距成直角三角形，利用勾股定理得到③，三者聯(lián)立即可求出a、b和r的值，得到滿足題意的圓方程．【詳解】設所求圓的圓心為（a，b），半徑為r，∵點A（2，3）關于直線x+2y＝0的對稱點A′仍在這個圓上，∴圓心（a，b）在直線x+2y＝0上，∴a+2b＝0，①（2﹣a）2+（3﹣b）2＝r2．②又直線x﹣y+1＝0截圓所得的弦長為2，圓心（a，b）到直線x﹣y+1＝0的距離為d，則根據(jù)垂徑定理得：r2﹣（）2＝（）2③解由方程①、②、③組成的方程組得：或∴所求圓的方程為（x﹣6）2+（y+3）2＝52或（x﹣14）2+（y+7）2＝244．故答案為：(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244.【點睛】此題要求學生掌握直線與圓的位置關系，靈活運用垂徑定理及對稱知識化簡求值，是一道中檔題．要注意解方程組時不要漏解，滿足題意的圓方程有兩個．14.已知實數(shù)、滿足，則的最大值是__________．參考答案：在坐標系中作出不等式組的可行域，三個頂點分別是，，，由圖可知，當，時，的值最大是．15.閱讀如圖21－5所示的程序框圖，輸出的結果S的值為()圖21－5A．0

B．

C．

D．－參考答案：B16.設函數(shù)，.若存在兩個零點，則的取值范圍是

．參考答案：[－4,－2)17.給出一列三個命題：①函數(shù)為奇函數(shù)的充要條件是；②若函數(shù)的值域是R，則；③若函數(shù)是偶函數(shù)，則函數(shù)的圖象關于直線對稱．其中正確的命題序號是

．參考答案：①②三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）在中，角的對邊分別是，且為銳角，（1）求的最小值；（2）若，求的大小。參考答案：解析：（1）

4分是銳角，，當時，

6分（2）由題意知，又

8分又

9分由正弦定理得

12分19.（本小題滿分12分）如圖，直二面角D—AB—E中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，AE＝EB，點F在CE上，且BF⊥平面ACE.（Ⅰ）求證：AE⊥平面BCE；（Ⅱ）求二面角B—AC—E的正弦值；（Ⅲ）求點D到平面ACE的距離.參考答案：（Ⅰ）∵BF⊥平面AEC，∴BF⊥AE，∵二面角D—AB—E為直二面角，∴平面ABCD⊥平面ABE，又BC⊥AB，∴BC⊥平面ABE，∴BC⊥AE，又BF∩BC＝B，∴AE⊥平面BCE.（Ⅱ）連接BD交AC于點G，連接FG，∵四邊形ABCD為正方形，∴BD⊥AC，∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥AC，又BD∩BF＝B，∴AC⊥平面BFG.∴FG⊥AC，∠FGB為二面角B—AC—E的平面角，由（Ⅰ）可知，AE⊥平面BCE，∴AE⊥EB，又AE＝EB，AB＝2，∴AE＝BE＝，在直角三角形BCE中，CE＝＝，BF＝＝＝，在正方形ABCD中，BG＝，在直角三角形BFG中，sin∠FGB＝＝＝.即二面角B—AC—E的正弦值為.（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，在正方形ABCD中，BG＝DG，點D到平面ACE的距離等于點B到平面ACE的距離，而BF⊥平面ACE，則線段BF的長度就是點B到平面ACE的距離，即為點D到平面ACE的距離.故點D到平面ACE的距離為＝.20.（本小題滿分12分）如圖所示，四邊形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，△PAD是等腰三角形，M、N分別是AB，PC的中點，(1)求直線MN和AD所成角;(2)求證：MN⊥平面PCD.參考答案：證明：（Ⅰ）取PD中點E，連結AE和NE因為M、N分別是AB，PC的中點，△PCD中，NE//CD//AB,且NE=AM所以四邊形AMNE為平行四邊形，所以MN//AＥ-------３分所以直線MN和AD所成角即直線ＡＥ和AD所成角PA⊥平面ABCD，所以PA⊥ＡＤ，△PAD是等腰三角形直線ＡＥ和AD所成角為４５度-------6分（Ⅱ）因為PA⊥平面ABCD，所以面PAD⊥平面ABCD且交于AD，又因為四邊形ABCD是矩形，所以CD⊥AD所以CD⊥平面PAD,所以CD⊥AE-------８分又因為△PAD是等腰三角形,所以PA=AD，所以AE⊥PD所以AE⊥面PCD，又因為MN//AＥ所以MN⊥平面PCD.-------12分21.（本小題滿分13分）為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源消耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層，某棟建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元.該建筑物每年的能源消耗費用(單位:萬元)與隔熱層厚度(單位:)滿足關系：若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元。設為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和。（Ⅰ）求的值及的表達式；（Ⅱ）隔熱層修建多厚時，總費用最小，并求最小值.參考答案：22.（本小題滿分12分）2017年6月深圳地鐵總公司對深圳地鐵1號線30個站的工作人員的服務態(tài)度進行了滿意度調查，其中世界之窗、白石洲、高新園、深大、桃園、大新6個站的得分情況如下：地鐵站世界之窗白石州高新園深大桃園大新滿意度得分7076727072x已知6個站的平均得分為75分.（1）求大新站的滿意度得分x，及這6個站滿意度得分的標準差；（2）從表中前5個站中，隨機地選2個站，求恰有1個站得分在區(qū)間（68，75）中的概率．

參考答案：解：（1）由題意，得，解得.

（2分）（5分）（2）前5個站中隨機選出的2個站，基本事件有（世界之窗，白石洲），（世界之窗，高新園），（世界之窗，深大），（世界之窗，桃園），（白石洲，高新園），（白石