計(jì)算機(jī)圖形學(xué)第五章曲線曲面生成

計(jì)算機(jī)圖形學(xué)第五章曲線曲面生成第一頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日本章主要內(nèi)容曲線曲面的表示方法規(guī)則曲線的幾種主要形式三次參數(shù)樣條曲線、三次B樣條曲線、三次Bezier曲線Coons曲面、Bezier曲面、B樣條曲面第二頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日

在工程上，曲線曲面的應(yīng)用十分廣泛。如根據(jù)實(shí)驗(yàn)、觀測(cè)或數(shù)值計(jì)算獲得的數(shù)據(jù)來繪制出一條光滑的曲線，以描述事物的各種規(guī)律。在汽車、飛機(jī)、船舶的等產(chǎn)品的外形設(shè)計(jì)中，要用到大量的曲線和曲面來描述其幾何形狀。表示曲線和曲面的基本方法有兩種：參數(shù)法和非參數(shù)法。（1）非參數(shù)法y=f(x)顯函數(shù)(不能表示封閉或多值的曲線）f(x，y)=0隱函數(shù)（方程的根很難求）（2）參數(shù)法x=f(t)y=g(t)求導(dǎo)很方便，不會(huì)出現(xiàn)計(jì)算上的困難曲線曲面第三頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日曲線曲面理論的發(fā)展

1963Ferguson：三次參數(shù)曲線

1964Coons：Coons曲面

1971Bezier:Bezier曲線、曲面

1972DeBoor：B樣條標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算方法

1974Gordon/Risenfeld:B樣條曲線曲面第四頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日工程上常用的曲線可以分為兩類:

規(guī)則曲線不規(guī)則曲線(擬合曲線或自由曲線)。

5.1曲線的生成第五頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日規(guī)則曲線可以用函數(shù)或參數(shù)方程直接表示的曲線。二維平面x=f(t)y=g(t)空間曲線x=f(t)y=g(t)z=h(t)

參數(shù)t在一定區(qū)間變化，可以求得曲線上不同的坐標(biāo)點(diǎn)，連接這些坐標(biāo)點(diǎn)就能在屏幕上畫出曲線，t變化間隔越小，曲線畫得越精細(xì)。例如：橢圓x=acosθ

y=bsinθ

θ=0～360°變化△θ=1°第六頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日規(guī)則曲線圓錐曲線：圓、橢圓、拋物線和雙曲線。漸開線：與圓相切的直線按一定方向在圓周上做滾動(dòng)，該直線上一點(diǎn)P的軌跡擺線：平擺線、外擺線、內(nèi)擺線平擺線：已知圓在X軸上作純滾動(dòng)，圓周上一點(diǎn)P的軌跡外擺線：一個(gè)動(dòng)圓（在基圓外側(cè)）在基圓上作滾動(dòng)時(shí)，該圓上一點(diǎn)P的軌跡內(nèi)擺線:一個(gè)動(dòng)圓（在基圓內(nèi)側(cè)）在基圓內(nèi)部做滾動(dòng)時(shí)，該圓上一點(diǎn)P的軌跡第七頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日

工程中除了用到前述的規(guī)則曲線外，還常常遇到這樣的情況：已知一些計(jì)算值或測(cè)試數(shù)據(jù)，要構(gòu)造一條光滑曲線，通過或貼近這些離散點(diǎn)數(shù)據(jù)，這樣構(gòu)造出來的曲線稱為擬合曲線（自由曲線）。擬合曲線

擬合曲線通常采用二次或三次參數(shù)曲線的形式，我們主要介紹三次擬合曲線。通過離散點(diǎn)貼近離散點(diǎn)第八頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日擬合曲線曲線的擬合：完全通過或比較貼近給定型值點(diǎn)來構(gòu)造曲線的方法。光滑連接：兩條曲線段在連接點(diǎn)出有相同的切線。位置連續(xù)：兩條曲線段有一個(gè)端點(diǎn)位置相同。一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)：在連接點(diǎn)處切線是相同的。二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)：在連接點(diǎn)處有相同的曲率。第九頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日主要三類擬合曲線：

Ferguson曲線（三次參數(shù)樣條曲線段）三次Bezier曲線

B樣條曲線擬合曲線第十頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日參數(shù)三次曲線段可以描述成：

P(t)=At3+Bt2+Ct+D=t3t2t1ABCD=t3t2t1MT0≤t≤1Ferguson曲線

P(t)=P(0)=Q1=P(1)=Q1=P(0)=Q0=P(1)=Q1=3t22t100001111100103210MMMMMQ0Q0Q1Q1。。。。。。。第十一頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日Q0Q1Q0Q1=0001111100113210MQ0Q0Q1=2-211-3-3-2-100101010Q1M。。。。P(t)=t3t2t1Q0Q0Q12-211-3-3-2-100101010Q1。。0≤t≤1Ferguson曲線第十二頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日Ferguson曲線曲線形狀由兩端點(diǎn)的位矢和切矢控制端點(diǎn)的邊界條件發(fā)生變化曲線隨之變化缺少靈活性和直觀性，使用不方便第十三頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日

Ferguson曲線需要知道起點(diǎn)、終點(diǎn)的切矢，這在實(shí)際工作中很難確定，如果將切矢用位矢代替，問題就會(huì)迎刃而解，Bezier就是從這點(diǎn)入手的。三次Bezier曲線的構(gòu)造:Q01=Q0+1/p*Q0Q0=p(Q01-Q0)Q10=Q1+1/p*Q1Q1=p(Q10-Q1)代入上式。。。。Bezier曲線Q0Q0Q1Q1。。Q01Q10。第十四頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日P(t)=

t3t2t12-pp-p2+p-3+2p-2pp3-p

-pp00

1000Q0Q10Q1Q010≤t≤1P(t)=

t3t2t12-211-33-2-1

0010

1000Q0Q1P(Q01-Q0)

P(Q10-Q1)0≤t≤1Bezier曲線第十五頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日由A0(t)+A1(t)+A2(t)+A3(t)＝1A0(t)≥0A1(t)≥0A2(t)≥0A3(t)≥0得出：0≤p≤3p=3時(shí)，逼近性最好?？挛鳁l件:（滿足凸包性要求）＝A0(t)A1(t)A2(t)A3(t)Q0Q10Q11Q01=A0(t)Q0+A1(t)Q01+A2(t)Q10+A3(t)Q1P(t)Bezier曲線第十六頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日Y(t)=

t3t2t1

3-630

-3300

1000Y0Y1Y2Y3-13-310≤t≤1P(t)=

t3t2t1

3-630

-3300

1000Q0Q1Q2Q3-13-310≤t≤1X(t)=

t3t2t1

3-630

-3300

1000X0X1X2X3-13-310≤t≤1Bezier曲線第十七頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日X(t)=A0+A1t+A2t2+A3t3Y(t)=B0+B1t+B2t2+B3t3A0=x0A1=-3x0+3x1A2=3x0-6x1+3x2A3=-x0+3x1-3x2+x3B0～

B3計(jì)算式同上，只要將y0，y1，y2，y3代替x0，x1，x2，x3即可。Q0Q1Q2Q3Bezier曲線第十八頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日Bezier曲線特征多邊形：Q0，Q1，Q2，Q3四個(gè)控制點(diǎn)連成的折線多邊形。曲線形狀由多邊形頂點(diǎn)位置確定，特征多邊形改變曲線則改變。第十九頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日Bezier曲線的連接

Q2，Q3，Q4位于同一條直線才能保證兩Bezier曲線段光滑連接。Bezier曲線不足：特征多邊形的邊數(shù)與曲線的次數(shù)有關(guān)。

Bezier曲線是一個(gè)整體的逼近方案（牽一發(fā)動(dòng)全身）。

Q0Q1Q3Q2Q5Q4Q6第二十頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日

三次B樣條曲線對(duì)三次Bezier曲線進(jìn)行改進(jìn)，它克服了Bezier曲線的不足，同時(shí)保留了Bezier曲線的直觀性和凸包性，是一種工程設(shè)計(jì)中更常用的擬合曲線。三次B樣條曲線的構(gòu)造:

由前面可知，三次參數(shù)曲線可以表示成：

P(t)=A0(t)Q0+A1(t)Q1+A2(t)Q2+A3(t)Q3(1)A0(t)，A1(t)，A2(t)，A3(t)是待定參數(shù)

B樣條曲線P1

由Q0，Q1，Q2，Q3確定P2

由Q1，Q2，Q3，Q4確定Q0Q1Q3Q2Q4P1P2第二十一頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日P1(1)=P2(0)P1(1)=P2(0)P1(1)=P2(0)A0(t)+A1(t)+A2(t)+A3(t)=1A0(t)，A1(t)

，A2(t)，A3(t)≥0確定A0(t)，A1(t)

，A2(t)，A3(t)

代入（1）式P(t)=

t3t2t1

3-630

-3030

1410Q0Q1Q2Q3-13-310≤t≤11/6。。。。。。

對(duì)于B樣條曲線來說，特征多邊形每增加一個(gè)頂點(diǎn)，就相應(yīng)增加一段B樣條曲線。因此，B樣條曲線很好地解決了曲線段的連接問題。B樣條曲線第二十二頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日X(t)=

t3t2t1X0X1X2X30≤t≤1Y(t)=

t3t2t1Y1Y2Y30≤t≤11/61/6X(t)=A0+A1t+A2t2+A3t3Y(t)=B0+B1t+B2t2+B3t3展開：

3-630

-3030

1410-13-31

3-630

-3030

1410-13-31Y0B樣條曲線第二十三頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日其中：A0=(x0+4x1+x2)/6A=-(x0-x2)2A2=(x0-2x1+x2)/2A3=-(x0-3x1+3x2-x3)/6B0～

B3計(jì)算式同上，只要將y0，y1，y2，y3代替x0，x1，x2，x3即可。編程步驟：（a）計(jì)算A0～

A3

，B0～

B3

（b）將t在0～

1之間變化，計(jì)算相應(yīng)X(t),Y(t)

（c）將坐標(biāo)點(diǎn)X(t),Y(t)逐點(diǎn)相連。B樣條曲線第二十四頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日5.2曲面平面曲線：空間曲線：P(t)=P(t)=[x(t),y(t)][x(t),y(t)，z(t)]r(u,w)=x(u,w),y(u,w),z(u,w)參數(shù)t參數(shù)u,w

在汽車、飛機(jī)、船舶的等產(chǎn)品的外形設(shè)計(jì)和放樣工作中，曲面的應(yīng)用非常廣泛，這些部門對(duì)曲面的研究十分重視。從某種意義上講，曲面的表示可以看作是曲線表示方法的延伸和擴(kuò)展。例如：曲面：第二十五頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日常見的擬合曲面有三種：

Coons曲面，

Bezier曲面

B樣條曲面，我們主要介紹三次曲面。擬合曲面第二十六頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日

Coons曲面

Coons曲面是用四個(gè)角點(diǎn)處的位矢、切矢和扭矢等信息來控制的。在描述Coons曲面時(shí)，采用由Coons本人創(chuàng)造的一套記號(hào)，從而使表達(dá)式間接明了。曲面r(u,w)記作uw四角點(diǎn)位矢記作：

00=r(0,0)01=r(0,1)10=r(1,0)11=r(1,1)00011011XYZuw0u1u0w1w[x(u,w),y(u,w),z(u,w)]uw=第二十七頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日00u=

r(u,w)

U=0W=0u01u=

r(u,w)

U=0W=1u10u=

r(u,w)

U=1W=0u11u=

r(u,w)

U=1W=1u四角點(diǎn)沿w方向切矢記作：00w=

r(u,w)

U=0W=0w01w=

r(u,w)

U=0W=1w10w=

r(u,w)

U=1W=0w11w=

r(u,w)

U=1W=1w四角點(diǎn)沿u方向切矢記作：第二十八頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日00uw=

r(u,w)

U=0W=0u01uw=

2r(u,w)

U=0W=1u10uw=

2r(u,w)

u11uw=

2r(u,w)

u四角點(diǎn)處的扭矢記作：U=1W=0U=1W=1十六個(gè)控制信息寫成矩陣：C＝0001

101100u01u

10u11u00uw01uw

10uw11uw

00w01w

10w11w=角點(diǎn)位矢w向切矢u向切矢扭矢wwww第二十九頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日

曲面的形狀、位置與切失、位矢有關(guān)，與扭矢無關(guān)。扭矢只反映曲面的凹凸程度。Coons曲面是雙三次曲面，其方程為：

uw=U?M?C?MT?

WT(0≤u≤1,0≤w≤1)式中：U=u3u2u11W=w3w2w11M=2-211-33-2-100101000TMT=-23001-2101-1002-301

Coons曲面第三十頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日寫成X，Y，Z三個(gè)方向的分量形式:x(u,w)=U?

M?

Cx?

MT?

WTy(u,w)=U?

M?

Cy?

MT?

WT(0≤u≤1,0≤w≤1)z(u,w)=U?

M?

Cz?

MT?

WT

Coons曲面第三十一頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日

Bezier曲面

Coons曲面的扭矢往往不易理解，使用不方便。另外，要構(gòu)造一張曲面，已知條件切矢和扭矢，在工程中也是不太現(xiàn)實(shí)。Bezier曲面很好地克服了這一困難。

Bezier曲面是Bezier曲線的擴(kuò)展，Bezier曲面的邊界線就是由四條Bezier曲線構(gòu)成的。三次Bezier曲線段由四個(gè)控制點(diǎn)確定，三次Bezier曲面片則由４*４控制點(diǎn)確定。16個(gè)控制點(diǎn)組成一個(gè)矩陣：B=Q00Q10Q20Q30

Q01Q11Q21Q31

Q02Q12Q22Q32Q03Q13Q23Q33Q00Q10Q20Q30Q01Q31Q32Q02Q03Q33Q13Q23Q11Q21Q12Q22wu第三十二頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日

曲面的形狀、位置由邊界上的四個(gè)角點(diǎn)決定。中間四個(gè)角點(diǎn)只反映曲面的凹凸程度。v(u,w)=U?

N?B?

NT?

WT(0≤u≤1,0≤w≤1)

Bezier曲面得表達(dá)式：式中U=u3u2u11WT=w3w2w11T

3-630

-3300

1000-13-31N==NT（與Bezier曲線相同）

Bezier曲面第三十三頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日寫成Ｘ，Ｙ，Ｚ三個(gè)方向分量得形式：X(u,w)=U?

N?Bx?

NT