計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)

計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)1第一頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日2.1

強(qiáng)形式和弱形式1.強(qiáng)形式(StrongFrom)解析方法閉合解級(jí)數(shù)解有限差分法2.弱形式(WeakFrom)瑞利-里茲法加權(quán)殘值法伽遼金法最小二乘法配置法(配點(diǎn)法，子域法）矩量法有限元法邊界元法（？）無(wú)網(wǎng)格法（？）求泛函的極值求解方法數(shù)理方程歐拉方程控制方程泛函積分方程2第二頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日2.1

強(qiáng)形式和弱形式3.解析解齊次方程為：其特征方程為:特征解為:齊次方程的通解為非齊次方程特解為原方程的通解為:利用邊界條件：得到：最終解析解為:得，3第三頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日2.2

有限差分法FiniteDifferenceMethod-FDM直接求解控制方程4第四頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日2.2

有限差分法5第五頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日直接求解變分的積分方程的近似解法，如李茲法、加權(quán)殘值法、有限元法等?！烽_創(chuàng)了彈性力學(xué)問(wèn)題的近似解法

未知函數(shù)y(x)近似由線性組合給出：2.3

瑞利-里茲法直接求解泛函積分方程6第六頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日2.3

瑞利-里茲法—TheRayleigh-RitzMethod求泛函的極值問(wèn)題解設(shè)為基函數(shù)解得從而求出數(shù)值解7第七頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日【例題】【解答】2.3

瑞利-里茲法8第八頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日【例題】【解答】2.3

瑞利-里茲法9第九頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日2.3

瑞利-里茲法10第十頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日2.4

加權(quán)殘數(shù)法Weight-ResidualMethod殘值控制方程泛函積分方程11第十一頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日伽遼金法：配點(diǎn)法：最小二乘法：矩量法：權(quán)函數(shù)取控制方程在加權(quán)意義上的全域積分子域法：12第十二頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日2.4

加權(quán)殘數(shù)法：伽遼金法1）Bubnov-GalerkinMethod13第十三頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日2.4

加權(quán)殘數(shù)法：最小二乘法2）LeastSquaresMethod基函數(shù)14第十四頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日2.4

加權(quán)殘數(shù)法：配置法1）配點(diǎn)法(PointCollectionMethod)3）CollectionMethod一維函數(shù)的主要性質(zhì)15第十五頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日2.4

加權(quán)殘數(shù)法：配置法4）子域法(SubdomainCollectionMethod)ax1b將整個(gè)域V分成n個(gè)子域Vi（i=1,2,…,n）,權(quán)函數(shù)選為16第十六頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日2.4

加權(quán)殘數(shù)法：矩量法5）矩量法：17第十七頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日§2.5伽遼金法和李茲法的關(guān)系1）都是積分方程式；2）伽遼金法是用控制微分方程的誤差的積分，李茲法是本身泛函的積分，前者含有更高階導(dǎo)數(shù)；3）是同一物理現(xiàn)象的不同表現(xiàn)。18第十八頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日§2.6.1平衡條件1）域內(nèi)平衡方程2）在S(力邊界上)的平衡方程§2.6彈性理論變分原理19第十九頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日§2.6.2變形協(xié)調(diào)條件1）域內(nèi)位移連續(xù)條件2）在位移邊界Su上的位移協(xié)調(diào)條件20第二十頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日§2.6.3物理關(guān)系1）應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系21第二十一頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日2.6.4虛功原理笛卡爾坐標(biāo)形式：22第二十二頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日§2.6.4虛功原理分部積分：最小勢(shì)能原理張量形式：前提：位移連續(xù)條件嚴(yán)格滿足，但放松力的平衡條件式23第二十三頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日—虛功原理表示式其定義為：連續(xù)彈性體平衡的必要和充分的條件是對(duì)于任意虛位移，外力所做的虛功等于內(nèi)力所做的虛功，也稱為虛位移原理。24第二十四頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日

最小勢(shì)能原理：在所有滿足幾何邊界條件的位移中，使系統(tǒng)的勢(shì)能為最小的位移，就是能滿足平衡條件的真實(shí)的位移。分別表示彈性體的變形能和外載做功。它是有限元法中位移法的基礎(chǔ)導(dǎo)出單元?jiǎng)偠汝?5第二十五頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日

彈性體在外力作用下變形并處于平衡狀態(tài)，彈性體所具有的總勢(shì)能（或總位能）由三部分組成26第二十六頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日27第二十七頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日§2.6.5余虛功原理最小余能原理28第二十八頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日

最小余能原理：在所有能滿足平衡條件和應(yīng)力邊界條件的應(yīng)力狀態(tài)中，使系統(tǒng)的余能為最小的應(yīng)力狀態(tài)，就是能滿足變形協(xié)調(diào)條件和位移邊界條件的真實(shí)的應(yīng)力狀態(tài)?！?.29第二十九頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日第3章有限元法一）有限元法的基本思路1）

把連續(xù)的彈性體進(jìn)行離散化；

離散原則:幾何近似和物理近似2）建立單個(gè)單元內(nèi)的位移函數(shù)-試函數(shù)；3）利用變分原理建立單元?jiǎng)偠确匠?

單元?jiǎng)偠汝嚭凸?jié)點(diǎn)力向量4）在總體坐標(biāo)系組裝，建立整體剛度陣和力陣，建立有限元法基本方程，求解未知位移；5）求解單元的應(yīng)力，應(yīng)變等。30第三十頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日二）單元類型1）一維單元2）二維單元31第三十一頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日三）三維單元32第三十二頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日1.平面問(wèn)題有限元法1.1結(jié)構(gòu)離散時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題1）單元數(shù)目的確定應(yīng)兼顧精度,經(jīng)濟(jì)性和計(jì)算機(jī)容量的要求；2）在初步分析的基礎(chǔ)上進(jìn)行離散；3）每單元上的各邊邊長(zhǎng)應(yīng)盡量接近，以提高計(jì)算精度。4）除邊界點(diǎn)外，任意一個(gè)單元的角點(diǎn)（頂點(diǎn)或節(jié)點(diǎn)）必須同時(shí)也是相鄰單元的角點(diǎn)，而不能是內(nèi)點(diǎn)。33第三十三頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日3）4）34第三十四頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日1.2.2單元位移函數(shù)1）廣義坐標(biāo)系下單元位移函數(shù)注意項(xiàng)數(shù)的問(wèn)題？35第三十五頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)于三角形單元，有3個(gè)節(jié)點(diǎn)，位移函數(shù)?。簒yi節(jié)點(diǎn):(ui,vi)j節(jié)點(diǎn):(uj,vj)m節(jié)點(diǎn):(um,vm)單元節(jié)點(diǎn)位移列陣：36第三十六頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日綜合位移函數(shù)和3節(jié)點(diǎn)處的位移值，可求得系數(shù)a1,a2,a3,a4,a5,a6代入位移函數(shù)表達(dá)式，并寫成矩陣形式：37第三十七頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日其中，稱為插值函數(shù)插值函數(shù)的性質(zhì)：1）在節(jié)點(diǎn)上插值函數(shù)的值有2）在單元中任一點(diǎn)各插值函數(shù)之和為1，即:Ni+Nj+Nm=1；3）連續(xù)性和完整性以及幾何各向同性。38第三十八頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日1.2.3單元?jiǎng)偠确匠痰耐茖?dǎo)1）幾何關(guān)系39第三十九頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日2）物理關(guān)系A(chǔ))對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題40第四十頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日B)對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題41第四十一頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日3）單元總勢(shì)能I)單元內(nèi)應(yīng)變能密度II)單元內(nèi)總勢(shì)能42第四十二頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日根據(jù)變分原理，總勢(shì)能泛函取得極值的條件是對(duì)未知位移的一階變分為0，即：?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠汝?）單元?jiǎng)偠汝?3第四十三頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日單元?jiǎng)偠汝嚨男再|(zhì)：1）是對(duì)稱矩陣；2）主對(duì)角線元素恒為正；3）是奇異矩陣44第四十四頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日5）結(jié)構(gòu)剛度方程

單元?jiǎng)偠确匠探⒑?，即可按?duì)號(hào)入座原則，組集總體結(jié)構(gòu)剛度矩陣，即直接作用在節(jié)點(diǎn)上的集中外荷向量結(jié)構(gòu)剛度方程：45第四十五頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日6）組裝剛度陣124365節(jié)點(diǎn)和單元編號(hào)I）總體矩陣中的位置之11234自由度編號(hào)(1,2)(3,4)(5,6)(7,8)(9,10)(11,12)123446第四十六頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日II）總體矩陣中的位置之2-（消除被約束自由度的編號(hào)）自由度編號(hào)(1,2)(3,4)(5,6)(7,8)(9,10)(11,12)1234自由度編號(hào)(1,2)(3,4)(5,6)(7,8)123447第四十七頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日II）1單元組裝1ijmi1,i2j1,j2m1,m2自由度編號(hào)(1,2)(3,4)(5,6)(7,8)1234m1m23

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