高中數(shù)學解題思想方法+物理所有基礎(chǔ)知識

目錄

前言...........................................2

第一章高中數(shù)學解題基本方法..................3

一、酉己方法........................................3

二、換元法..................................7

三、待定系數(shù)法............................14

四、定義法.................................19

五、數(shù)學歸納法............................23

六、參數(shù)法.................................28

七、反證法................................32

八、消去法...............................

九、分析與綜合法.........................

十、特殊與一般法.........................

十一、類比與歸納法....................

十二、觀察與實驗法....................

第二章高中數(shù)學常用的數(shù)學思想...............35

一、數(shù)形結(jié)合思想.........................35

二、分類討論思想.........................41

三、函數(shù)與方程思想.......................47

四、轉(zhuǎn)化（化歸）思想.....................54

第三章高考熱點問題和解題策略...............59

一、應(yīng)用問題.............................59

二、探索性問題............................65

三、選擇題解答策略........................71

四、填空題解答策略........................77

附錄...........................................

一、高考數(shù)學試卷分析.....................

二、兩套高考模擬試卷.....................

三、參考答案............................

前言

美國著名數(shù)學教育家波利亞說過，掌握數(shù)學就意味著要善于解題。而當我們解題時遇

到一個新問題，總想用熟悉的題型去“套”，這只是滿足于解出來，只有對數(shù)學思想、數(shù)

學方法理解透徹及融會貫通時，才能提出新看法、巧解法.高考試題十分重視對于數(shù)學思

想方法的考查，特別是突出考查能力的試題，其解答過程都蘊含著重要的數(shù)學思想方法。

我們要有意識地應(yīng)用數(shù)學思想方法去分析問題解決問題，形成能力，提高數(shù)學素質(zhì)，使自

己具有數(shù)學頭腦和眼光。

高考試題主要從以下幾個方面對數(shù)學思想方法進行考查：

①常用數(shù)學方法：配方法、換元法、待定系數(shù)法、數(shù)學歸納法、參數(shù)法、消去法等；

②數(shù)學邏輯方法：分析法、綜合法、反證法、歸納法、演繹法等；

2

③數(shù)學思維方法：觀察與分析、概括與抽象、分析與綜合、特殊與一般、類比、歸納

和演繹等;

④常用數(shù)學思想：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化(化歸)思

想等.

數(shù)學思想方法與數(shù)學基礎(chǔ)知識相比較，它有較高的地位和層次。數(shù)學知識是數(shù)學內(nèi)容,

可以用文字和符號來記錄和描述，隨著時間的推移，記憶力的減退，將來可能忘記。而數(shù)

學思想方法則是一種數(shù)學意識，只能夠領(lǐng)會和運用，屬于思維的范疇，用以對數(shù)學問題的

認識、處理和解決，掌握數(shù)學思想方法，不是受用一陣子，而是受用一輩子，即使數(shù)學知

識忘記了，數(shù)學思想方法也還是對你起作用。

數(shù)學思想方法中，數(shù)學基本方法是數(shù)學思想的體現(xiàn)，是數(shù)學的行為，具有模式化與可

操作性的特征，可以選用作為解題的具體手段。數(shù)學思想是數(shù)學的靈魂，它與數(shù)學基本方

法常常在學習、掌握數(shù)學知識的同時獲得。

可以說，“知識”是基礎(chǔ)，“方法”是手段，“思想”是深化，提高數(shù)學素質(zhì)的核心

就是提高學生對數(shù)學思想方法的認識和運用，數(shù)學素質(zhì)的綜合體現(xiàn)就是“能力”。

為了幫助學生掌握解題的金鑰匙，掌握解題的思想方法，本書先是介紹高考中常用的

數(shù)學基本方法：配方法、換元法、待定系數(shù)法、數(shù)學歸納法、參數(shù)法、消去法、反證法、

分析與綜合法、特殊與一般法、類比與歸納法、觀察與實驗法，再介紹高考中常用的數(shù)學

思想：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化(化歸)思想。最后談?wù)劷?/p>

題中的有關(guān)策略和高考中的幾個熱點問題，并在附錄部分提供了近幾年的高考試卷。

在每節(jié)的內(nèi)容中，先是對方法或者問題進行綜合性的敘述，再以三種題組的形式出現(xiàn)。

再現(xiàn)性題組是一組簡單的選擇填空題進行方法的再現(xiàn)，示范性題組進行詳細的解答和分

析，對方法和問題進行示范。鞏固性題組旨在檢查學習的效果，起到鞏固的作用。每個題

組中習題的選取，又盡量綜合到代數(shù)、三角、幾何幾個部分重要章節(jié)的數(shù)學知識.

第一章高中數(shù)學解題基本方法

一、配方法

配方法是對數(shù)學式子進行一種定向變形(配成“完全平方”)的技巧，通過配方找到

已知和未知的聯(lián)系，從而化繁為簡。何時配方，需要我們適當預測，并且合理運用“裂項”

與“添項”、“配”與“湊”的技巧，從而完成配方。有時也將其稱為“湊配法”。

最常見的配方是進行恒等變形，使數(shù)學式子出現(xiàn)完全平方。它主要適用于：已知或者

未知中含有二次方程、二次不等式、二次函數(shù)、二次代數(shù)式的討論與求解，或者缺xy項

的二次曲線的平移變換等問題。

配方法使用的最基本的配方依據(jù)是二項完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2,將這

個公式靈活運用，可得到各種基本配方形式，如：

a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab;

a2+b2+c2+ab+be+ca=—[(a+b)2+(b+c)2+(c+a)2]

2

a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+be+ca)=(a+b-c)2-2(ab-be-ca)=...

2

3

結(jié)合其它數(shù)學知識和性質(zhì)，相應(yīng)有另外的一些配方形式，如:

1+sin2a=1+2sinacosa=(sina+cosa)2;

x2+—5-=(x+—)2-2=(x~—)2+2;.......等等。

XXX

I、再現(xiàn)性題組：

-

1.在正項等比數(shù)列｛a“｝中，a,?a5+2a3*35+a3a7=25,貝”a3+a5=.

2.方程x?+y2-41?-2丫+51<=0表示圓的充要條件是。

A.｛<k<lB.k〈點或k>lC.k€RD.k=《或k=l

3.已知sin"a+cos4a=1,則sina+cosa的值為

A.1B.-1C.1或-1D.0

4.函數(shù)y=logj.(-2x2+5x+3)的單調(diào)遞增區(qū)間是___。

A.(-8,總］B.［4>+°°)C.(-7,D.［1,3)

5.已知方程x*+(a-2)x+aT=0的兩根x］、x2,則點P(x］，x?)在圓x?+y?=4上，

則實數(shù)a=0

【簡解】1小題：利用等比數(shù)列性質(zhì)a「pa,"+p=a“J,將已知等式左邊后配方(a?

+a5)2易求。答案是：5。

2小題：配方成圓的標準方程形式(x-a)2+(y-b)2=r*,解r?＞。即可，選B。

3小題：已知等式經(jīng)配方成(sin2a+cos2a)2-2sin2acos2a=1,求出sinacos

a,然后求出所求式的平方值，再開方求解。選C。

4小題：配方后得到對稱軸，結(jié)合定義域和對數(shù)函數(shù)及復合函數(shù)的單調(diào)性求解。選D。

5小題：答案3-JTT。

n、示范性題組：

例1.已知長方體的全面積為11,其12條棱的長度之和為24,則這個長方體的一條

對角線長為。

A.2石B.V14C.5I).6

【分析】先轉(zhuǎn)換為數(shù)學表達式：設(shè)長方體長寬高分別為x,y,z,則

2(xy+yz+xz)=11.________

,4(x*),*_)_24，而欲求對角線長+)+，將其配湊成兩已知式的組合形

式可得。

【解】設(shè)長方體長寬高分別為x,y,z,由已知“長方體的全面積為11,其12條棱的

?[2(xy+yz+xz)=11

長度之和為24”而得：〈“、…。

[4(x+y+z)=24

長方體所求對甭線長為：y/x2+y2+z2=J(x+y+z)?-2(肛+yz+無z)=

=5

所以選B.

【注】本題解答關(guān)鍵是在于將兩個已知和一個未知轉(zhuǎn)換為三個數(shù)學表示式，觀察和分

析三個數(shù)學式，容易發(fā)現(xiàn)使用配方法將三個數(shù)學式進行聯(lián)系，即聯(lián)系了已知和未知，從而

求解。這也是我們使用配方法的一種解題模式。

3

4

例2.設(shè)方程x2+kx+2=0的兩實根為p、q,若（K）2+（幺）2<7成立，求實數(shù)k

qp

的取值范圍。

【解】方程x2+kx+2=0的兩實根為p、q,由韋達定理得：p+q=-k,pq=2,

（P_}2+（1}2=/+/=（.2+/）22p2g2=［（—+療—2聞2一2P=

qp（pq）2（pq￥（pq￥

（k2-4）2_O__

------------<7,解得k4-W或。

4

又.“、q為方程x?+kx+2=0的兩實根，△=k2-8》0即k》2&或k4-

2V2

綜合起來，k的取值范圍是：-J164k4-2JI或者2無《k《回.

【注】關(guān)于實系數(shù)一元二次方程問題，總是先考慮根的判別式“△”；已知方程有

兩根時，可以恰當運用韋達定理。本題由韋達定理得到p+q、pq后，觀察已知不等式，

從其結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想到先通分后配方，表示成p+q與pq的組合式。假如本題不對討

論，結(jié)果將出錯，即使有些題目可能結(jié)果相同，去掉對“△”的討論，但解答是不嚴密、

不完整的，這一點我們要尤為注意和重視。

例3.設(shè)非零復數(shù)a、b滿足a?+ab+b2=0,求（，一）叩8+（A”998。

a+ba-\-h

a、aa

【分析】對已知式可以聯(lián)想：變形為（一）2+（—）+1=0,則一=3（3為1的立

bbb

方虛根）；或配方為（a+b）2=ab。則代入所求式即得。

roa.a

【解】由a2+ab+b2=0變形得：（-）2+（-）+1=0,

bb

設(shè)3=則O）2+3+l=0,可知CO為1的立方虛根，所以：—=—,€03=693=

bcoa

lo

又由a?+ab+b?=。變形得：（a+b）之=ab,

所以（，L）刖+1998=（￡1）999+（Q）999=（￡）999+（^.）999=①999

a+ha+bahabha

+而"9=2。

【注】本題通過配方，簡化了所求的表達式；巧用1的立方虛根，活用3的性質(zhì)，

計算表達式中的高次賽。一系列的變換過程，有較大的靈活性，要求我們善于聯(lián)想和展開。

cca、ab—1±V3/

【另解】由a2+ab+b~=0變形得：（7）~+（?。?1=0,解出一=-------后，

hha2

nb

化成三角形式，代人所求表達式的變形式（T）999+（一）期后，完成后面的運算。此方法

ba

-1+

用于只是未一!—聯(lián)想到W時進行解題。

4

5

假如本題沒有想到以上一系列變換過程時，還可由a?+ab+b?=0解出：a=

-1±V3z

b,直接代入所求表達式，進行分式化簡后，化成復數(shù)的三甭形式，利用棣莫佛

2一

定理完成最后的計算。

in、鞏固性題組：

1.函數(shù)y=(x-a)2+(x-b)2（a、b為常數(shù)）的最小值為,

A.8B.〈"產(chǎn)C..《1/D.最小值不存在

22

2.a、0是方程X?-2ax+a+6=0的兩實根，則（a-l）2+（0-1）2的最小值是

A.-乎B.8C.18D.不存在

3.已知x、y￡R+,且滿足x+3y-l=0,則函凌攵t=2*+8'有。

A.最大值2&B.最大值也C.最小值2應(yīng)B.最小值也

22

4.橢圓x2-2ax+3y2+a?-6=0的一個焦點在直線x+y+4=0上，B'Ja=

A.2B.-6C.-2或-6I).2或6

5.化簡：2Jl-sin8+j2+2cos8的結(jié)果是。

A.2sin4B.2sin4-4cos4C.-2sin4D.4cos4-2sin4

6.設(shè)F1和F,為雙曲線E-y2=1的兩個焦點，點P在雙曲線上且滿足NEFF?=90

4

。，則△F]PFz的面積是o

7.若x>-l,貝[f(x)=x?+2x+_^^的最小值為o

X+1

8.已知工〈(3<a<27T,cos(a-0)=絲，sin(a+P)=-2,求sin2a的值。(92

24135

年高考題)

9.設(shè)二次函數(shù)f(x)=Ax2+Bx+C,給定m、n(m<n),且滿足A?[(m+n)2+m2n2]+

2A[B(m+n)-Cmn]+B2+C2=0。

①解不等式f(x)>0;

②是否存在一個實數(shù)t,使當t€(m+t,n-t)時，f(x)<0?若不存在，說出理由；若

存在，指出t的取值范圍。

442

10.設(shè)s>l,t>l,m€R,x=logvt+log,s,y=logyt+log,s+m(logvt+

log,2s),

①將y表示為x的函數(shù)y=f(x),并求出f(x)的定義域；

②若關(guān)于x的方程f(x)=0有且僅有一個實根，求m的取值范圍。

5

6

二、換元法

解數(shù)學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，

這叫換元法。換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變

換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、復雜

問題簡單化，變得容易處理。

換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起

來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來?；蛘咦?yōu)槭煜さ男问剑褟碗s的

計算和推證簡化。

它可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數(shù)式，在研

究方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、三角等問題中有廣泛的應(yīng)用。

換元的方法有：局部換元、三角換元、均值換元等。局部換元又稱整體換元，是在已

知或者未知中，某個代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個字母來代替它從而簡化問題，當然有時候

要通過變形才能發(fā)現(xiàn)。例如解不等式：4*+2*-2》0,先變形為設(shè)2、=t(t>0),而變

為熟悉的一元二次不等式求解和指數(shù)方程的問題。

6

7

三角換元，應(yīng)用于去根號，或者變換為三角形式易求時，主要利用已知代數(shù)式中與三

角知識中有某點聯(lián)系進行換元。如求函數(shù)丫=4x+m的值域時，易發(fā)現(xiàn)x￡[0,1],

JI

設(shè)*=5門2a,a30,一],問題變成了熟悉的求三角函數(shù)值域。為什么會想到如此設(shè),

2

其中主要應(yīng)該是發(fā)現(xiàn)值域的聯(lián)系，又有去根號的需要。如變量x、y適合條件x?+y2=r2

(r>0)時，則可作三角代換x=rcos。、y=rsin?；癁槿菃栴}。

SS

均值換元，如遇到*+丫=$形式時，設(shè)x=,+t,y=]-t等等。

我們使用換元法時，要遵循有利于運算、有利于標準化的原則，換元后要注重新變量

范圍的選取，一定要使新變量范圍對應(yīng)于原變量的取值范圍，不能縮小也不能擴大。如上

71

幾例中的t>0和a€[0,一]。

2

I、再現(xiàn)性題組：

1.y=sinx?cosx+sinx+cosx的最大值是。

2.設(shè)f(x2+1)=log”(4-x4)(a>l),則f(x)的值域是o

3.已知數(shù)列｛a〃｝中，a]=-1,an+1-aM=a/J+I-an,則數(shù)列通項a〃=。

4.設(shè)實數(shù)x、y滿足x?+2xy-1=0,則x+y的取值范圍是。

1+3-]

5?方程[丁=3的解是。

1+3”一

x+I

6.不等式log2(2*-1)*log2(2-2)〈2的解集是。

「1

【簡解】1小題：設(shè)sinx+cosx=t€[-y[2,V2],則丫=—+t---,對稱軸t=

22

-1,當t=啦，ymax=1+V2；

2

2小題：設(shè)x之+1=t(t>1),貝Uf(t)=logfl[-(t-1)+4],所以值域為(-

8,log/];

3小題：已知變形為........-=-1,3殳b〃=—，則bi=-1,b“=-1+(n-1)(-1)

%+ianan

“1

=-n,所以a=---;

rtn

4小題：設(shè)x+y=k,則x*—2kx+1=0,△=41<2-4>0,所以女》1或女4-1;

,1

5小題：設(shè)3'=y,則3y~+2y-1=0,解得y=§,所以x=-l;

6小題：設(shè)log2(2'-1)=y，貝]y(y+1)<2,解得一2<y<l,所以x€(log21,log23)<.

II、示范性題組：

例1.實數(shù)x、y滿足4x?-5xy+4y2=5(①式)，設(shè)S=x2+y:求一-一+----

,maxS1Tljn

的值。(93年全國高中數(shù)學聯(lián)賽題)

7

8

[分析]由S=x?+y2聯(lián)想到cos*a+sin2a1,于是進行三角換元,設(shè)

x=J'Scosa

代人①式求Smx和S*的值。

y-Vssina

x=Vscosa

【解】設(shè)《代入①式得:4S-5S?sinacosa=5

y=sina

10

解得S=

8-5sin2a

101010

V-l<sin2a<1「?3<8-5sin2a<13;?—<--------------<—

138-5sin<z3

11313168

+----=—+—=—=—

Sm,x--Smin--1010105

8S-10一向，/

此種解法后面求S最大值和最小值，還可由sin2a-------的有界性而求，即解不

S

QC_1Q

等式：|-------!這種方法是求函數(shù)值域時經(jīng)常用到的“有界法”。

S

A9.S9SrSS、

【另解】由$=*-+廠，&X-=—+t,y'=--t,t€[--,—],

貝“xy=±'代入①式得：4S±5

移項平方整理得100t2+39S2-160S+100=0.

2…1010

39S2-160S+100<0解得：一《S《一

133

11313168

,-------+------------+----=------——

Sm”5min1010105

【注】此題第一種解法屬于“三角換元法”，主要是利用已知條件S=X?+y2與三

角公式cos2a+sin2a=1的聯(lián)系而聯(lián)想和發(fā)現(xiàn)用三角換元，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角函

數(shù)值域問題。第二種解法屬于“均值換元法”，主要是由等式S=x2+y2而按照均值換元

的思路，設(shè)x2=E+t、y?==-t,減少了元的個數(shù)，問題且容易求解。另外，還用至I

22

了求值域的幾種方法：有界法、不等式性質(zhì)法、分離參數(shù)法。

和“均值換元法”類似，我們還有一種換元法，即在題中有兩個變量x、y時，可以

設(shè)*=2+12,y=a-b,這稱為“和差換元法”，換元后有可能簡化代數(shù)式。本題設(shè)x=a

+b,y=a-b,代入①式整理得3a2+13b2=5,求得a2€[0,,所以S=(a-b)?+

102021

(a+b)2=2(a2+b2)—+—a2￡[——，—]再求w十的值。

13131331Jmax'min

8

9

11V2

例2.△ABC的三個內(nèi)角A、B、C滿足：A+C=2B,-------+--------

cosAcosCcosB

A-C

COS-----的值。（96年全國理）

2

【分析】由已知"A+C=2B”和“三角形內(nèi)角和等于180?！钡男再|(zhì)，可得

A+C=120°A=60°+a

;由llA+C=120°”進行均值換元，則設(shè)＜,再代入可

B=60°C=60°a

a口A-C

求cosa即cos------

2

4+C=12O°

【解】由aABC中已知A+C=2B,可得

8=60°

A=60°+a

由A+C=120°,設(shè)＜代人已知等式得:

C=60°—a

11111

+++

cosAcosCcos(600+a)cos(60°-a)1V3.

一cosa--sina

22

_________]

cosacosa_2V2,

3

15.222

二cosa+―-sma-cosa--sin?cosa-

22444

rV2A-CV2

解得：cosa=,即:cos

22

11V2

【另解】由A+C=2B,<A+C=120°,B=60°o所以-----+------

cosAcosCcos5

一2V2,設(shè)-----=-V2+m,1-V2-m,

cosAcosC

1

所以cosA=---產(chǎn)----,cosC=----『----,兩式分別相加、相減得:

-V2+m------------一弋2—m

A+CA-CA—C2五

cosA+cosC=2cos-；-COS—；—=COS------

222m2-2"

A+CA-CA—C2/71

cosA-cosC=-2sin------sin-------M-sin

222m2-2g

gA-C2m2V2v2A-C2A-C

即：sin------—、--,代入sin+COS=--1-整---

2V3(w2-2)m2-222

理得：3m4-16m-12=0,解出m?=6,代入cos^——2V2V2

2m2-22

9

10

【注】本題兩種解法由“A+C=120?！薄ⅰ耙?一+」一=-2J5”分別進行均

cosAcosC

值換元，隨后結(jié)合三角形角的關(guān)系與三角公式進行運算，除由已知想到均值換元外，還要

求對三角公式的運用相當熟練。假如未想到進行均值換元，也可由三角運算直接解出：由

R113/-

A+C=2B,得A+C=120°,B=60°。所以-----+------------------2J2,即cosA

cosAcosCcosB

+cosC=-2V2cosAcosC,和積互化得：

A+CA-Cf—A—CV2

2cos-----cos-----=-v2Leos(A+C)+cos(A-C)，即cos-----=-------

2222

I—~A一C1~)A-CA—C

J2cos(A-C)=-----v2(2cos29--------1),整理得：4J2cos~------+2cos-----

2222

-35/2=0,

ACV2

解付：-COS--=----

22

例3.設(shè)a>0,求f(x)=2a(sinx+cosx)-sinx,cosx-2a2的最大值和最小值。

【解】設(shè)sinx+cosx=t,貝It€[-四，a],由(sinx+cosx)

產(chǎn)—1

1+2sinx,cosx得：sinx,cosx

2

f(x)=g(t)=-g(t-2a)2+—(a>0),t€5/2,V2]

t=-J^時，取最小值：-2a2-2V2a---

2

當2a》近時，t=亞，取最大值:-2a2+2V2a---

2

當O<2a40時，t=2a,取最大值:

2

1V2

-(0<tz<—)

f(x)的最小值為-2a?-2后a-—,最大值為“

2,r1V20

-2a-+2及a--(a>—)

【注】此題屬于局部換元法，設(shè)sinx+cosx=t后，抓住sinx+cosx與sinx,cosx

的內(nèi)在聯(lián)系，將三角函數(shù)的值域問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問題，使得容易求

解。換元過程中一定要注意新的參數(shù)的范圍(t￡[-&，、歷])與sinx+cosx對應(yīng)，否

則將會出錯。本題解法中還包含了含參問題時分類討論的數(shù)學思想方法，即由對稱軸與閉

區(qū)間的位置關(guān)系而確定參數(shù)分兩種情況進行討論。

一般地，在遇到題目已知和未知中含有sinx與cosx的和、差、積等而求三角式的最

大值和最小值的題型時，即函數(shù)為f(sinx±cosx,sinxesox),經(jīng)常用到這樣設(shè)元的換元

法，轉(zhuǎn)化為在閉區(qū)間上的二次函數(shù)或一次函數(shù)的研究。

10

11

例4.設(shè)對所于有實數(shù)x,不等式x2log,------+2xlog,——-+log,->0

aa+l4a~

恒成立，求a的取值范圍。（87年全國理）

【分析】不等式中10g2""、10g2――>log?4三項有何聯(lián)系？進行

aa+l24a2

對數(shù)式的有關(guān)變形后不難發(fā)現(xiàn)，再實施換元法。

A2a4(。+1)8(。+1)a+l

【解】設(shè)10g----=t,貝1I10g2-------=3+1%.=3-

2a+la

2a(a+1)2a+l

log,----=3-t,log,――:-=21og,——=-2t,

a+l'4a~2a

代入后原不等式簡化為(3-t)x?+2tx-2t>0,它對一切實數(shù)x恒成立，所以:

3-t>0\t<32a

V,解得Vt<0即log,----<0

△=4戶+8f(3-f)<0[t<0或，>6~a+1

2a

0<----<1,解得0〈a<L

0+1

【注】應(yīng)用局部換元法，起到了化繁為簡、化難為易的作用。為什么會想到換元及如

何設(shè)元，關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)已知不等式中l(wèi)og,------.log22a、log,----'-三項之間

aa+l_4a~

的聯(lián)系。在解決不等式恒成立問題時，使用了“判別式法”。另外，本題還要求對數(shù)運算

十分熟練。一般地，解指數(shù)與對數(shù)的不等式、方程，有可能使用局部換元法，換元時也可

能要對所給的已知條件進行適當變形，發(fā)現(xiàn)它們的聯(lián)系而實施換元，這是我們思考解法時

要注意的一點。

sin9cos。cos20sin20ioX

例5.已知------=------,且（②式），求一的

2+2-22

xy%y3(x+y)y

值。

sin0cos0

【解】=k,則sin6=kx,cos0=ky,且sin20+cos26=

xy

k2y2k2x210Wk2y2x2

k2(x2+y2)=1,代入②式得：-----+-----=-----------=-----艮口,+

x2y23(x2+y2)3'x2y2

=-1-0

3

x21inM■得：t=3或1.*.-?=±V3或土--

設(shè)一=t,貝It+-=，,

yt33y3

11

12

xsin。cos2。

【另解】由一=-----=tg0,將等式②兩邊同時除以----z—，再表示成含tg

ycos日x

42八1010222

6的式子：l+tg,6=(l+rg2^)x------j—=—tg20,力殳tg?。=t,貝13t2—lot

+3=0,

1x1—V3

「?t=3或二，解得一=±V3或士--。

3y3

sin0cos0

【注】第一種解法由------=-------而進行等量代換，進行換元，減少了變量的個

?Xsin。

數(shù)。第二種解法將已知變形為一=-----,不難發(fā)現(xiàn)進行結(jié)果為tg0,再進行換元和變

ycos8

形。兩種解法要求代數(shù)變形比較熟練。在解高次方程時，都使用了換元法使方程次數(shù)降低。

實數(shù)x、y滿足口-D—+讓±12-=1,若x+y-k>0恒成立，求k的范圍。

例6.

916

2

(x-1)-=],可以發(fā)現(xiàn)它與2+b2=1有相似之處,

【分析】由已知條件"9+Cv+Da

16

于是實施三角換元。

擊(X—1)2+(>'+1)2?x-1y+1

【角干】由---十———=1,設(shè)----=cos0,-----=sin0,

91634

lx=1+3cos0

即：(代入不等式x+y-k>0得：

[y=-l+4sin9

3cos0+4sin0-k>0,即k<3cos6+4sin0=5sin(6+3)

所以k<-5時不等式恒成立。

【注】本題進行三角換元，將代數(shù)問題(或者是解析幾何問題)化為了含參三角不等

式恒成立的問題，再運用“分離參數(shù)法”轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域問題，從而求出參數(shù)范圍。

一般地，在遇到與圓、橢圓、雙曲線的方程相似的代數(shù)式時，或者在解決圓、橢圓、雙曲

線等有關(guān)問題時，經(jīng)常使用“三角換元法”。

本題另一種解題思路是使用數(shù)形結(jié)合法的思想方法：在平面直角坐標,，不等式ax

+by+c>0(a>0)所表示的區(qū)域為直線ax+by+c=0所分平面成兩部R■中與^方向的

一部分。此題不等式恒