1993年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題解答

1993年全國高中數(shù)學(xué)結(jié)合比賽試卷第一試一、選擇題(每題5分，共30分)1．若M={(x，y)||tany|+sin2x=0}，N={(x，y)|x2+y2≤2}，則M∩N的元素個(gè)數(shù)是（）(A)4(B)5(C)8(D)93x+4(a，b為實(shí)數(shù))，且f(lglog310)=5，則f(lglg3)的值是（）2．已知f(x)=asinx+b(A)5(B)3(C)3(D)隨a，b取不一樣值而取不一樣值3．會(huì)合A，B的并集A∪B={a1，a2，a3}，當(dāng)AB時(shí)，(A，B)與(B，A)視為不一樣的對，則這樣的(A，B)對的個(gè)數(shù)是（）（A）8（B）9（C）26（D）27πarcsina)(y+arccosa)=0所截的弦長為d，當(dāng)a變化時(shí)4．若直線x=被曲線C:(xarcsina)(xarccosa)+(y4d的最小值是()πππ(A)4(B)3(C)2(D)C－AC+A5．在△ABC中，角A，B，C的對邊長分別為a，b，c，若ca等于AC邊上的高h(yuǎn)，則sin2+cos2的值是()11(A)1(B)2(C)3(D)16．設(shè)m，n為非零實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位，zC，則方程|z+ni|+|zmi|=n與|z+ni||zmi|=m在同一復(fù)平面內(nèi)的圖形(F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn))是()yyyyF2oxF2oxF2oF2F1xF1F1F1Ox(A)(B)(C)(D)二、填空題（每題5分，共30分）1．二次方程(1i)x2+(+i)x+(1+i)=0(i為虛數(shù)單位，R)有兩個(gè)虛根的充分必需條件是的取值范圍為________．2．實(shí)數(shù)x，y知足4x25xy+4y2=5，設(shè)S=x2+y2，則1+1=_______．SmaxSmin3．若z25π2π的值是________.C，arg(z4)=，arg(z+4)=，則z6310934．整數(shù)31的末兩位數(shù)是_______.10+35．設(shè)隨意實(shí)數(shù)x0>x1>x2>x3>0，要使logx01993+logx11993+log1993≥k·log1993恒建立，則k的最大值x2x0x1x2x3x3是_______.6．三位數(shù)(100，101，，999)共900個(gè)，在卡片上打印這些三位數(shù)，每張卡片上打印一個(gè)三位數(shù)，有的卡片所印的，倒過來看仍為三位數(shù)，如198倒過來看是861；有的卡片則否則，如531倒過來看是，所以，有些卡片能夠一卡二用，于是至多能夠少打印_____張卡片．三、（此題滿分20分）三棱錐S－ABC中，側(cè)棱SA、SB、SC兩兩相互垂直，M為三角形ABC的重心，D為AB的中點(diǎn)，作與SC平行的直線DP．證明：(1)DP與SM訂交；(2)設(shè)DP與SM的交點(diǎn)為D，則D為三棱錐S－ABC的外接球球心．四、（此題滿分20分）設(shè)0<a<b，過兩定點(diǎn)四點(diǎn)共圓時(shí)，求這類直線

A(a，0)和B(b，0)分別引直線l與m的交點(diǎn)P的軌跡．

l和

m，使與拋物線

y2=x

有四個(gè)不一樣的交點(diǎn)，當(dāng)這五、（此題滿分20分）設(shè)正數(shù)列a0，a1，a2，，an，知足anan－2－an－1an－2=2an－1，(n≥2)且a0=a1=1，求{an}的通項(xiàng)公式．第二試一、（35分）設(shè)一凸四邊形ABCD，它的內(nèi)角中僅有D是鈍角，用一些直線段將該凸四邊形切割成形，但除掉A、B、C、D外，在該四邊形的周界上，不含切割出的鈍角三角形極點(diǎn)．試證必需條件是n≥4．

n個(gè)鈍角三角n應(yīng)知足的充分二、（35分）設(shè)A是一個(gè)有n個(gè)元素的會(huì)合，A的m個(gè)子集A1,A2,,Am兩兩互不包括．m試證：(1)1≤1；|A|ΣCnm(2)C|Ai|≥m2．此中|Ai|表示Ai所含元素的個(gè)數(shù)，C|Ai|表示n個(gè)不一樣元素取|Ai|個(gè)的組合數(shù)．Σi=1nn三、（35分）水平直線m經(jīng)過圓O的中心，直線lm，l與m訂交于M，點(diǎn)M在圓心的右邊，直線l上不一樣的三點(diǎn)A,B,C在圓外，且位于直線m上方，A點(diǎn)離M點(diǎn)最遠(yuǎn)，C點(diǎn)離M點(diǎn)近來，AP,BQ,CR為圓O的三條切線，P,Q,R為切點(diǎn)．試證：(1)l與圓O相切時(shí)，ABCR+BCAP=ACBQ；(2)l與圓O訂交時(shí)，ABCR+BCAP＜ACBQ；(3)l與圓O相離時(shí)，ABCR+BCAP＞ACBQ.1993年全國高中數(shù)學(xué)結(jié)合比賽解答第一試一、選擇題(每題5分，共30分)1．若M={(x，y)||tany|+sin2x=0}，N={(x，y)|x2+y2≤2}，則M∩N的元素個(gè)數(shù)是（）(A)4(B)5(C)8(D)9解：tany=0，y=k(k∈Z)，sin2x=0，x=m(m∈Z)，即圓x2+y2=2及圓內(nèi)的整點(diǎn)數(shù)．共9個(gè)．選D．3x+4(a，b為實(shí)數(shù))，且f(lglog310)=5，則f(lglg3)的值是（）2．已知f(x)=asinx+b(A)5(B)3(C)3(D)隨a，b取不一樣值而取不一樣值33解：設(shè)lglog310=m，則lglg3=－lglog310=－m，則f(m)=asinm+bm+4=5，即asinm+bm=1．f(－m)=－(asinm+b3m)+4=－1+4=3．選C．3．會(huì)合A，B的并集A∪B={a1，a2，a3}，當(dāng)AB時(shí)，(A，B)與(B，A)視為不一樣的對，則這樣的(A，B)對的個(gè)數(shù)是（）（A）8（B）9（C）26（D）27解：a1∈A或A，有2種可能，相同a1∈B或B，有2種可能，但a1A與a1B不可以同時(shí)建立，故有22－1種安排方式，相同a2、a3也各有22－1種安排方式，故共有(22－1)3種安排方式．選D．4．若直線x=πarcsina)(xarccosa)+(yarcsina)(y+arccosa)=0所截的弦長為d，當(dāng)a變化時(shí)被曲線C:(x4d的最小值是()yπππ(A)(B)(C)(D)432(,)解：曲線C表示以(arcsina，arcsina)，(arccosa，－arccosa)為直徑端點(diǎn)的O2πππππx圓．即以(α，α)及(－α，－+α)(α∈[－，])為直徑端點(diǎn)的圓．而x=與圓22224交于圓的直徑．故d=πππ(2α－)2+()2≥．(-,-+)22222應(yīng)選C．C－AC+A5．在△ABC中，角A，B，C的對邊長分別為a，b，c，若ca等于AC邊上的高h(yuǎn)，則sin2+cos2的值是()(A)1(B)1(C)1(D)123解：2R(sinC－sinA)=csinA=2RsinCsinA，sinC－sinA=sinCsinA，C+AC－A112C－A2C+A2cos2sin2=－2[cos(C+A)－cos(C－A)]=2[1－2sin2－2cos2+1]．C－AC+A2C－AC+A(sin2+cos2)=1，但sin2+cos2>0，應(yīng)選A．6．設(shè)

m，n

為非零實(shí)數(shù)，

i為虛數(shù)單位，

z

C，則方程|z+ni|+|zmi|=n

與|z+ni||zmi|

m在同一復(fù)平面內(nèi)的圖形

(F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)

)是(

)yyyyF2oxF2oxF2F2oF1xF1F1F1Ox(A)(B)(C)(D)解：方程①為橢圓，②為雙曲線的一支．兩者的焦點(diǎn)均為(－ni，mi)，由①n>0，故否認(rèn)A，因?yàn)閚為橢圓的長軸，而C中兩個(gè)焦點(diǎn)與原點(diǎn)距離(分別表示|n|、|m|)均小于橢圓長軸，故否認(rèn)C．由B與D知，橢圓的兩個(gè)個(gè)焦點(diǎn)都在y軸負(fù)半軸上，由n為長軸，知|OF1|=n，于是m<0，|OF2|=－m．曲線上一點(diǎn)到－ni距離大，否認(rèn)D，應(yīng)選B．二、填空題（每題5分，共30分）1．二次方程(1i)x2+(+i)x+(1+i)=0(i為虛數(shù)單位，R)有兩個(gè)虛根的充分必需條件是的取值范圍為________．解：即此方程沒有實(shí)根的條件．當(dāng)λ∈R時(shí)，此方程有兩個(gè)復(fù)數(shù)根，若其有實(shí)根，則x2+λx+1=0，且x2－x－λ=0．相減得(λ+1)(x+1)=0．當(dāng)λ=－1時(shí)，此二方程相同，且有兩個(gè)虛根．故λ=－1在取值范圍內(nèi)．當(dāng)λ≠－1時(shí)，x=－1，代入得λ=2．即λ=2時(shí)，原方程有實(shí)根x=－1．故所求范圍是λ≠2．2．實(shí)數(shù)x，y知足222211=_______．4x5xy+4y=5，設(shè)S=x+y，則+SmaxSmin解：令x=rcosθ，y=rsinθ，則S=r2得r2(4－5sinθcosθ)=5．S=5．54－2sin2θ55y∴1+4+24－28．1=5+5=SmaxSmin53．若z24)=5π2π的值是________.z2C，arg(z，arg(z+4)=，則z63解：如圖，可知z2表示復(fù)數(shù)4(cos120°+isin120°)．-4O4x∴z=±2(cos60°+isin60°)=±(1+3i)．1093的末兩位數(shù)是_______.4．整數(shù)1031+333解：令x=1031，則得x=x+27－2727．因?yàn)?<27<1，故所求末兩位數(shù)字為09－1=08．x+3=x2－3x+9－x+3x+3x+35．設(shè)隨意實(shí)數(shù)x0>x1>x2>x3>0，要使logx01993+logx11993+log1993≥k·log1993恒建立，則k的最大值x2x0x1x2x3x3是_______.解：明顯x0，進(jìn)而logx01993>0．即1+1+1≥k．>10－lgx10－lgx3x3x3lgx1－lgx22－lgx3lgxlgxlgx就是[(lgx0－lgx1)+(lgx1－lgx2)+(lgx2－lgx3)](111－lgx+－lgx+lgx2－lgx)≥k．lgx01lgx123此中l(wèi)gx0－lgx1>0，lgx1－lgx2>0，lgx2－lgx3>0，由Cauchy不等式，知k≤9．即k的最大值為9．6．三位數(shù)(100，101，，999)共900個(gè)，在卡片上打印這些三位數(shù)，每張卡片上打印一個(gè)三位數(shù)，有的卡片所印的，倒過來看仍為三位數(shù)，如198倒過來看是861；有的卡片則否則，如531倒過來看是，所以，有些卡片能夠一卡二用，于是至多能夠少打印_____張卡片．解：首位與末位各可選擇1，6，8，9，有4種選擇，十位還可選0，有5種選擇，共有4×5×4=80種選擇．但兩頭為1，8，中間為0，1，8時(shí)，或兩頭為9、6，中間為0，1，8時(shí)，倒后不變；共有2×3+2×3=12個(gè)，故共有(80－12)÷2=34個(gè)．三、（此題滿分20分）三棱錐S-ABC中，側(cè)棱SA、SB、SC兩兩相互垂直，M為三角形ABC的重心，D為AB的中點(diǎn)，作與SC平行的直線DP．證明：(1)DP與SM訂交；(2)設(shè)DP與SM的交點(diǎn)為D，則D為三棱錐S—ABC的外接球球心．⑴證明：∵DP∥SC，故DP、CS共面．DC面DPC，M∈DC，M∈面DPC，SM面DPC．在面DPC內(nèi)SM與SC訂交，故直線SM與DP訂交．⑵∵SA、SB、SC兩兩相互垂直，∴SC⊥面SAB，SC⊥SD．DP∥SC，∴DP⊥SD．△DDM∽△CSM，∵M(jìn)為△ABC的重心，∴DM∶MC=1∶2．∴DD∶SC=1∶2．取SC中點(diǎn)Q，連DQ．則SQ=DD，平面四邊形DDQS是矩形．∴DQ⊥SC，由三線合必定理，知DC=PS．同理，DA=DB=DB=DS．即以D為球心DS為半徑作球D．則棱錐S—ABC的外接球球心．

SQAMCDBD‘PA、B、C均在此球上．即D為三四、（此題滿分20分）設(shè)0<a<b，過兩定點(diǎn)A(a，0)和B(b，0)分別引直線l和m，使與拋物線y2=x有四個(gè)不一樣的交點(diǎn)，當(dāng)這四點(diǎn)共圓時(shí)，求這類直線l與m的交點(diǎn)P的軌跡．解：設(shè)l：y=k1(x－a)，m：y=k2(x－b)．于是l、m可寫為(k1x－y－k1a)(k2x－y－k2b)=0．∴交點(diǎn)知足

y2=x，(k1x－y－k1a)(k2x－y－k2b)=0．2若四個(gè)交點(diǎn)共圓，則此圓可寫為(k1x－y－k1a)(k2x－y－k2b)+(y－x)=0．于是l、m方程分別為y=k(x－a)與y=－k(x－b)．消去k，得2x－(a+b)=0，(y≠0)即為所求軌跡方程．五、（此題滿分20分）設(shè)正數(shù)列a0、a1、a2、、an、知足anan－2－an－1an－2=2an－1，(n≥2)且a0=a1=1，求{an}的通項(xiàng)公式．解：變形，同除以an－1an－2得：anan－1=2+1，an－1an－2n令+1=bn，則得bn=2bn－1．a(chǎn)n－1即{bn}是以b1=1+1=2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．1∴bn=2n．a(chǎn)n=(2n－1)2．故an－1a0=1，an=(2n－1)2(2n－1－1)2(21－1)2．(n≥1)第二試一、（35分）設(shè)一凸四邊形ABCD，它的內(nèi)角中僅有D是鈍角，用一些直線段將該凸四邊形切割成形，但除掉A、B、C、D外，在該四邊形的周界上，不含切割出的鈍角三角形極點(diǎn)．試證必需條件是n≥4．證明充分性

個(gè)鈍角三角應(yīng)知足的充分D⑴當(dāng)n=4時(shí)，如圖，只需連AC，并在ABC內(nèi)取一點(diǎn)F，使∠AFB、∠BFC、AE∠CFA都為鈍角(比如，能夠取ABC的Fermat點(diǎn)，因?yàn)锳BC是銳角三角形，故其Fermat點(diǎn)在其形內(nèi))．于是，ADC、AFB、BFC、AFC都是鈍角三角形．F⑵當(dāng)n=5時(shí)，可用上法把凸四邊形分紅四個(gè)鈍角三角形．再在AF上任取一點(diǎn)E，連EB，則AEB也是鈍角三角形，這樣就獲得了5個(gè)鈍角三角形．B一般的，由⑴獲得了4個(gè)鈍角三角形后，只需在AF上再取n－4個(gè)點(diǎn)E1、E2、En－4，把這些點(diǎn)與B連起來，即可獲得均是鈍角三角形的n個(gè)三角形．必需性n=2時(shí)，連1條對角線把四邊形分紅了2個(gè)三角形，但此中最多只好有1個(gè)鈍角三角形．n=3時(shí)，沒法從同一極點(diǎn)出發(fā)連線段把四邊形分紅3個(gè)三角形，現(xiàn)連了1條對角線AC后，再連AC上某點(diǎn)獲得線段，此時(shí)沒法使獲得的兩個(gè)三角形都是鈍角三角形．∴當(dāng)n=2，3時(shí)沒法獲得知足題目要求的解．只有當(dāng)n≥4時(shí)才有解．

C與二、（35分）設(shè)A是一個(gè)有n個(gè)元素的會(huì)合，A的m個(gè)子集A1,A2,,Am兩兩互不包括．m1試證：(1)≤1；Σi=1|A|Cnm2|表示n個(gè)不一樣元素取|Ai|個(gè)的組合數(shù)．(2)iiC|A|≥m．此中|Ai|表示Ai所含元素的個(gè)數(shù)，C|AΣi=1nn證明：⑴即證：若k1+k2++km=n，則k1!(n－k1)!+k2!(n－k2)!++km!(n－km)!≤n!．因?yàn)閚!表示n個(gè)元素的全擺列數(shù)，而ki!(n－ki)!表示先在這n個(gè)元素中拿出ki個(gè)元素?cái)[列再把其其他元素?cái)[列的方法數(shù)，因?yàn)锳i互不包括，故n!≥k1!(n－k1)!+k2!(n－k2)!++km!(n－km)!建立．⑵∵(m1m|Ai|+1)22)(Cn)≥(1+1+1+=m．|A|Σi=1Σi=1m1≤1，故m但0<|Ai|2．Σi=1|A|Σi=1Cn≥mCn三、（35分）lA水平直線m經(jīng)過圓O的中心，直線lm，l與m訂交于M，點(diǎn)M在圓心QBPRCrdOMm(a2－b2)k的右邊，直線l上不一樣的三點(diǎn)A,B,C在圓外，且位于直線m上方，A點(diǎn)離M點(diǎn)最遠(yuǎn)，C點(diǎn)離M點(diǎn)近來，AP,BQ,CR為圓O的三條切線，P,Q,R為切點(diǎn)．試證：(1)l與圓O相切時(shí)，ABCR+BCAP=ACBQ；(2